第四章 杆单元和梁单元
杆单元和梁单元共46页
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
岩土工程数值分析试卷试题及参考(附答案)
岩土工程数值分析试题一、简答题（40分）1．简述梁单元、杆单元、连续梁单元、平面三角形常量单元和四边形等参单元的特点（10分）。
答：1）梁单元是由两个节点组成，每一个节点都具有三个方向的线性移动位移和三个方向的旋转位移，因而每个节点具有6个自由度，梁单元具有拉，压，剪，弯，扭的变形刚度。
计算理论成熟，建模方便,计算量小，在工程结构有限元分析中得到广泛的应用，适用于各种截面形式的杆件分析。
2）由有限个构件以一定方式连接起来所形成的结构，在同一平面内的杆系结构，其所受的外力作用线位于该平面内，在杆系中，每一个杆件可视为一个单元，每个单元的端点成为结点。
3）对于每跨各自等截面的连续梁，以每跨为一个单元。
结点编号和单元编号一般是从连续梁的左端顺序编到右端。
由于连续梁各单元的轴线方向一致，各单元坐标系与结构坐标系的方向相同，因此在矩阵位移法的计算过程中无须进行坐标变换，在单元坐标系和结构坐标系中单元刚度矩阵的表达式是相同的。
4) 平面三角形单元具有适应性强的优点，较容易进行网络划分和逼近边界形状，应用比较灵活。
其缺点是它的位移模式是线性函数，单元应力和应变都是常数，精度不够理想。
5) 四边形等参单元能更好地反映物体内的应力变化，适应曲线边界，常使用于弹性力学平平面问题的分析。
八结点单元一共有16个已知的结点位移分量。
2．除有限单元法外，岩土工程常用到哪些数值方法，并对比其优缺点(10分)。
答：岩土工程常用的数值方法包括：有限差分法、边界元法、离散元法、颗粒元法、不连续变形分析法、流形元法、模糊数学方法、概率论与可靠度分析方法、灰色系统理论、人工智能与专家系统、神经网络方法、时间序列分析法。
有限单元法的优缺点：有限单元法的理论基础是虚功原理和基于最小势能的变分原理，它将研究域离散化，对位移场和应力场的连续性进行物理近似。
有限单元法适用性广泛，从理论上讲对任何问题都适用，但计算速度相对较慢。
即，物理概念清晰、灵活、通用、计算速度叫慢。
《杆单元和梁单元》课件
当前研究的主要成果
经过多年的研究，杆单元和梁单元在理论建模、数值计算和实验验证等方面取得了许多重 要成果，为工程实际提供了有力支持。
面临的主要挑战
尽管杆单元和梁单元的研究已经取得了很大进展，但仍存在一些挑战，如提高计算精度、 处理复杂边界条件和适应大规模计算等。
动力响应
研究杆件在受到瞬态或周期性动力作用下的响应，如地震、风载等 自然灾害作用下的结构动力响应。
杆单元的稳定性分析
失稳判据
根据不同的失稳形式，如弯曲失 稳、剪切失稳等，采用相应的失 稳判据进行稳定性分析。
临界荷载
求解使杆件达到临界状态的荷载 ，即临界荷载，用于评估结构的 稳定性。
稳定性设计
根据稳定性分析结果，采取相应 的设计措施，如增加支撑、改变 截面形状等，以提高结构的稳定 性。
平衡方程
根据力的平衡原理，建立梁单元的平衡方程。
弯曲变形
考虑梁的弯曲变形，根据挠曲线近似法或能量法求解弯曲变形。
剪切变形
考虑梁的剪切变形，根据剪切力与剪切位移的关系求解剪切变形。
梁单元的动力分析
运动方程
根据牛顿第二定律和动力学基本原理，建立梁单元的 运动方程。
振动分析
分析梁的自由振动和受迫振动，求解振幅、频率和阻 尼等参数。
杆单元在桥梁工程中的应用
总结词
桥梁工程中广泛应用
详细描述
在桥梁工程中，杆单元被广泛应用于构建桥梁的支撑体系，如钢拱桥的拱肋、 斜拉桥的拉索等。杆单元能够承受拉压、弯曲等多种载荷，提供稳定的支撑作 用，确保桥梁的安全性和稳定性。
梁单元在建筑结构中的应用
总结词
梁单元和杆单元的静力学受力分析
梁单元和杆单元的应用静力学分析
分析原理
静力学计算是模型受静平衡常值载荷的作用，静力学计算中不考虑任何阻尼等非线性因素。
常用于结构强度和刚度的校核，一般需要添加位移约束和静止载荷。
问题描述
如图所示桁架结构受力点位移状况。
边界条件
两端支撑处固定，中间受集中力的作用。
材料参数
模型中4段主梁用CBEAM单元模拟，其余使用CROD单元模拟，CBEAM单元横截面的尺寸如图所示，CRDO单元的半径r=0.005m。
物理参数：材料的弹性模量E=2.1e11N/m^2
材料的泊松比NU=0.29
集中力F=10000N
分析结果
6
7
受力点位移（mm ）
6 0.001329
7 0.001329
卡片控制：
Load step （case）
SOL求解卡片设置（静力学线性运算）TIME求解时长设置
约束点
约束点受力点6
受力点7
约束点
约束点
约束
受力
网格模型
PARAM输出文件设置
CASE_UNSUPPORTED_CARDS
GLOBAL_OUTPUT_REQUEST输出数据控制。
有限元复习题及答案
1.两种平面问题的根本概念和根本方程；答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
平面应力问题设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有：，，剩下平行于XY面的三个应力分量未知。
平面应变问题设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。
平面问题的根本方程为：平衡方程几何方程物理方程〔弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到〕•平面应力问题的物理方程平面应力问题有•平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。
2弹性力学中的根本物理量和根本方程；答：根本物理量有：空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。
其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。
平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。
根本方程有：1.平衡方程及应力边界条件：平衡方程：边界条件：2.几何方程及位移边界条件：几何方程：边界条件：3.物理方程:3.有限元中使用的虚功方程。
对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。
对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。
设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移,相应的虚应变为,作用在微元体上的平衡力系有〔X,Y,Z〕和面力。
外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：其中为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功，由此得到虚功方程：4.节点位移，单元位移及它们的关系。
ANSYS Workbench 19.0基础入门与工程实践 第4章 网格划分
4.4.2 局部网格控制
• 局部网格控制主要用于细化仿真中比较关注的部位，同时对于存在大曲率、多 连接相贯等位置处的网格进行细化处理，保证获得质量较高的网格单元。
1．Sizing（尺寸控制）
• 通过插入Sizing控制局部网格尺寸的方式有两种，分别如下。 • （1）Element size（单元大小）： • （2）Sphere of Influence（球体影响范围）：
• 协调修补算法基于自下而上的网格划分技术，在划分过程中充分考虑几何体的微 小特征，对于包含倒角、圆孔等特征的几何模型也能获得较好的网格质量；而独 立修补算法采用自上而下的网格划分技术，由内而外，由体至面，划分网格时忽 略对几何特征的处理，适合对网格尺寸要求较为统一的几何模型。
4.3.3 自动划分法
• 扫掠法是针对几何结构比较规则的模型进行网格划分的手段，用于生成六面体 或者棱柱网格单元。采用该方法进行网格划分需要保证几何模型是可以扫掠的， 在源面与目标面之间有相同的拓扑结构，如图所示，类似的几何体具备扫掠特 征，可以采用扫掠法进行网格划分。
4.3.2 四面体划分法
• 四面体网格划分适用于几乎所有几何体，尤其是几何模型比较复杂，无法直接生 成六面体网格的模型。四面体网格生成提供两种算法，分别为协调修补算法 （Patch Conforming）和独立修补算法（Patch Independent）。
3．雅克比比率（Jacobian Ratio）
• 雅克比比率指单元内各特定点（积分点）的雅克比行列式的值的最大值与最小 值之比，用于表征单元的扭曲程度。通常二次三角形单元以及四面体单元的边 中节点与单元角节点的中点位置重合，雅克比比率为1，边中节点离单元边中 点越远，雅克比比率越大，如图所示为三角形单元扭曲程度的雅克比比率。
有限元分析基本步骤
• 截面参数由用另外提供，材料和温度等也另外 提供。
• 对特殊行业，也可建立管单元。
2
• 二维单元
– 分类：面单元和板单元
– 特点：厚度远小于长度和宽度
– 节点连接：节点处铰接，传递平面内的力，不能传递 弯矩
– 形状：三角形或四边形
• 载荷
– 平面单元和板单元只承受平面内的载荷，不能传递力 矩
– 壳单元在节点处固接，可承受垂直于平面的载荷，可 传递任意方向的力并可传递弯矩和扭矩
• 如模块盒底板可建立壳单元
• 厚度尺寸和其他参数另外提供
3
• 三维单元
– 不能简化为二维问题的连续体。节点处铰 接，只传递力不能传递扭矩。单元形状为 六面体、或四面体、五面体。
– 实际问题模型可由多种模型结合。
• 则节点载荷为
{ } [ ] P e = Pxi Pyi Pxj Pyj Pxm Pym T
20
体积力移置
21
l ds
22
23
σ e = Dε e = DBeδ e = S eδ e
{ε}= [B]{δ }e
5． 建立单元刚度矩阵
• 由虚功原理可导出节点力和节点位移的关系。
• 设节点力为
Ui
0
∂Nm
0
∂x
[B]
=
1 2A
0 ∂Ni
∂Ni ∂y ∂Ni
∂x 0 ∂N j
∂N j
∂y ∂N j
∂x 0 ∂Nm
∂Nm ∂y ∂Nm
=
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0
0
cm
cm bm
第04章 常用结构单元单元总结
集中质量单元：CONM1、CONM2
• CONM2属性
• 其中：
– – – – – – EID——单元号 G——集中质量所在节点号 CID——参考坐标系号 M——集中质量 Xi——从节点到质心在3个方向上的偏置距离 Iij——质心相对于参考坐标系的转动惯量
间隙单元CGAP
• 间隙单元可以模拟开口问题，当其封闭时，刚度 非常大；当打开时，其刚度变得非常小。 • Gap单元坐标系定义
– x轴由GA指向GB，给定一个参考向量v，由右手定则确 定y轴和z轴。
间隙单元CGAP
• Gap单元力-位移曲线
– 当开口封闭时，曲线斜率为KA – 当开口打开时，曲线斜率为KB
间隙单元CGAP
• 间隙单元属性
– 间隙单元属性关键字是PGAP，其定义卡片格式如下
• 其中：
– – – – – – – – PID——属性号 U0——初始开口宽度 F0——预载荷 KA——间隙封闭时的轴向刚度 KB——间隙打开时的轴向刚度 KT——间隙封闭时的剪切刚度 MU1——静摩擦系数 MU2——动摩擦系数
• 单元坐标系和单元力：
杆单元：CROD
• CROD单元的属性卡片
• 其中：
– – – – – – PID——属性编号 MID——材料编号 A——杆单元横截面积 J——杆单元极惯性矩 C——扭转应力系数（默认为0，即不输出扭转应力） NSM——单位长度上的非结构质量
• 扭转应力计算公式：
规则截面梁单元：CBAR
单元定义
• 弹簧单元定义
– 弹簧单元的标识是CELASi，其中CELAS1的定义卡片 如下
• Gi——连接的节点号 • Ci——自由度编号（1-6）
– 弹簧单元的属性标识是PELAS，其卡片格式定义如下
第四讲-机械结构的有限元分析
5.线性静力分析 线性静力分析注意问题 线性静力分析
NORTHEASTERN UNIVERSITY
单元类型必须指定为线性结构单元类型； 材料属性是线性的，可以是各向同性或正交各向 异性、常量或与温度相关的量； 必须定义弹性模量和泊松比； 对于象重力一样的惯性载荷，必须要定义能计算 出质量的参数，如密度等； 对热载荷，必须要定义热膨胀系数； 对应力、应变感兴趣的区域，网格划分比对位移 感兴趣的区域要密。
10 材料非线性
材料的应力一应变关系是非线性的，影响材料 这种非线性关系的因素可能有：加载历史(如弹 一塑性响应)、环境状况(如温度)、加载的时间 总量(如蠕变)等。 ( ) ANSYS的非线性分析能力主要包括：弹塑性分 析、超弹性分析、蠕变分析等。
弹性力学及有限元
11状态非线性
NORTHEASTERN UNIVERSITY
弹性力学及有限元
3. 结构静力分析定义
NORTHEASTERN UNIVERSITY
计算在固定不变的载荷作用下结构的位移、应力、 应变和力，它不考虑变化的惯性力和阻尼的影响。 计算那些固定不变的惯性载荷对结构的影响，以及 那些可以近似为等价静力作用的随时间变化载荷。 静力分析既可以是线性的也可以是非线性的。
Ansys中的常用杆元
NORTHEASTERN UNIVERSITY
三维空间杆元Link8： ： 三维空间杆元
弹性力学及有限元
3.平面梁元
NORTHEASTERN UNIVERSITY
平面梁元：为二维空间单元，每个节点有三个自 由度：一个轴向自由度，一个横向自由度(挠度)和 一个旋转自由度(转角)，适用于受弯曲、拉压组合 作用的刚架结构。 这类单元适用于平面刚架结构，即在刚架结构中， 所有构件横截面的主惯性轴之一与刚架所受载荷 在同一平面内，如机床的主轴、导轨等 。
有限单元法课件第四章 杆件系统的有限元法
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
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u(x) [1
x]
aa12
uu12
1 1
x1 x2
aa12
aa12
1 1
导出
u(x)[1 x] a a1 2 1 x1 1 x x1 21 u u1 2 =
2
2
(4.9)
其中，单元刚度矩阵（element stiffness matrix），或称单 元特性矩阵(element characteristic matrix)
Ke0 leB TEeB A edxE lee A e 1 1 1 1
(4.10)
4.1 杆件系统的有限元分析方法
（5）应力 由弹性力学的物理方程知：
(x)E eB (x)δeS(x)δe E lee E lee u u 1 2
(4.8)
（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵
单元的势能表达式：
4.1 杆件系统的有限元分析方法
e Ue We
1 2
e
u u
1 2
(4.5)
4.1 杆件系统的有限元分析方法
因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是
u(x)N(x)δe
(4.6)
（4）应变
由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足
(x) u xd N d x (x) u u 1 2 l1 e l1 e u u 1 2 B u u 1 2 (4.7)
N
(
x
)
u u
1 2
x1 x2
1
uu12
(4.3)
得到形函数矩阵（shape function matrix）
N(x)(1x2 xx1)
x x2x1
(4.4)
记节点位移矢量 (nodal displacement vector)是
δe
（2）确定位移模式
假设单元位移场： u (x ) a 1 a 2 x a 3 x 2
取其线性部分，系数 a 1 、a 2 可由节点位移 u 1 、u 2确定，称为位
移插值模式（interpolation model）.
u(x)a1a2x
(4.2)
（3）形函数矩阵的推导 由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移
根据最小势能原理， e 0 ，得
Keδe Pe
其中节点载荷矩阵为
(4.11)
P
e
P1 P2
（7）把所有单元按结构形状进行组集（assembly of discrete
elements）
对于图4.1所示结构
第一个单元：
δ (1)
u u
1 2
K(1)
E(1)A(1) l(1)
为u(x)|xx1 u1，u(x)|xx2 u2，代入上式插值模式公式得： a1 a2 x1 u1
a1 a2 x2 u2
求解得到
a1u1x1(u1u2)/(x1x2) a2 (u1u2)/(x1x2)
4.1 杆件系统的有限元分析方法
这样，u(x)a1a2x可以写成如下矩阵形式
1 1
1 1
P
(1)
R R
1 2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
第二个单元：
δ (2)
u u
2 3
K(2)
E(l2()2A) (2)
1 1
1 1
P
(2)
R F3
2
整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即
第4章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
单元1
u212x来自E2 , A2 , l2
单元2
3
F3 10N
图 4-1 杆件结构
（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界 条件。
4.1 杆件系统的有限元分析方法
要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐
标系。根据自然离散, 坐标系建立成一维, 单元划分为两个,
给出相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图4-1）。在
4.1 杆件系统的有限元分析方法
杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采 用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆 单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。
如图4-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力， 相关参数如图。具体求解过程如下：
E1, A1, l1
u1
(x)
(x)d
1 2
P1
P2
uu12
1 2
le 0
(S(x)δe
(x))T
(B(x)δe
(x))Aedx
1 2
P1
1 δeT le BT EeBAedxδe 1 PeTδe
20
2
上式记作如下矩阵形式：
P2
uu12
e1δeTKeδe1PeTδe
(1)(2) 1 2 u u1 2 T
E(1)A(1) 1 l(1) 1
11 u u1 2 1 2R1
R2 u u1 2
1 2 u u2 3 T
E(2)A(2) l(2)
1 1
11 u u2 3 1 2R2
F3 u u2 3
在这里，把表达成整体位移矢量
u u
1 2
的函数，如下：
局部坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图4-2为任取
的一个杆单元。
P1, u1
P2 , u2
E，A，l
1
2
图 4-2 杆单元
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关
系式
P1 P2
k
e
u1 u2
(4.1)
其中， k e 称为单元刚度矩阵
4.1 杆件系统的有限元分析方法