第十二届全国中学生数理化综合实践活动高一年级数学学科知识展示试题(A卷)答案PDF高清版

第十二届中学生数理化综合实践活动

高一数学学科知识展示试题（A 卷）答案

一、选择题

1. B ．

2. A

3. D.

解析：令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．

由 x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1）解得

x ＝1，y ＝1. 所以结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}． 4.B ．

解析：由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e －0.5x

＋14<20，解得x >5.42，取整数，故为6个小时．

5.A ．

解析：依题意得a －4＋2a －2＝0，所以a ＝2.又f (x )为奇函数，故b ＋2＝0，所以b ＝－2，所以f (a )＋f (b )＝f (2)＋f (－2)＝0.

6. C

解析： A 选项中，当x ＝－1时，y ＝2x －x 2－1＝12－1－1＝－32

<0，不符；B 选项中，当x ＝－π2时，y ＝2x sin x 4x ＋1＝014214)2sin(222<+?=+?????ππ

πππ，不符；D 选项中，当x <0时，y ＝x ln x 无意义，不符．

7.C

解析：设三个模块都选择的学生人数是x ，作出Venn 图，则依次

可以求出图中的数据(如图)．故

(5＋x )＋(2＋x )＋(1＋x )＋(11－x )＋(12－x )＋(13－x )＋x ＝50，化简

得x ＋44＝50，解得x ＝6.故三个模块都选择的学生人数是6.

8. B.

解析 对于命题①,)(,A P A A A ∈?，故正确；

对于命题②,若集合A 的元素个数为m ，则A 的子集共,2m

若N m A P n m ?===3log ,32,3)]([2，故错。

对于命题③，若=B A φ，φ,A ?φB ?，故φ),(A P ∈φ)(B P ∈，所以φ)]()([B P A P ∈，则≠)()(B P A P φ，故错。

对于命题④，若B A ?，对集合A 的任意子集)(,),(,B P E B E A P E A E ∈?∈?，因此)()(B P A P ?，故正确。

对于命题⑤，设,)(n B n =则1)(+=n A n ，则A 的子集个数为n n n A P n 222)]([,211×==++。

B 的子集个数为,2)]([,2n n B P n =因此)]([2)]([B P n A P n ×=，故正确。

二、填空题

9.{－2 018，2 019，－2 019，2 020}．

解析：由给出的定义知集合P ⊕Q 的元素是由所有属于集合A 但不属于集合B 和属于集合B 但不属于集合A 的元素构成的，即P ⊕Q ＝{x |x ∈P 且x ?Q 或x ∈Q 且x ?P }．故P ⊕Q ＝ {－2 018，2 019，－2 019，2 020}． 10.),2

1(+∞??n 解析 由题意有1+2x +…+(n-1)x +n x

a>0,从而

a>-??1n ?x +?2n ?x +?+?n -1n ?x ?. 因为n ≥2,而y=?k n ?x (k=1,2,…,n-1)是(-∞,1]上的递减函数,所以??1n ?x +?2n ?x

+?+?n -1n ?x ?≥1n +2n +…+

n -1n = n -12,故a>－n -12. 11.23ln

2 解析：函数()f x 的定义域为（－8，2），

不妨设1282x x ?<<<，由12||2x x -=有：212x x ?=， 8()ln

2x f x x +=-＝210ln 2x x ?+?＝10ln(1)2x ??，函数()f x 在（－8，2）上单调递增， 11111122121228ln 10ln 28ln 28ln )()(|)()(|x x x x x x x x x f x f x f x f ?+??+=?+??+=?=?

12.

1281（或72?） 解析 2018

max(2,0)min(2,0)max(1,8)min(1,8)(2,0)2,(1,8)7,(1)(1)g g ????====??? min(2,7)71((2,0),(1,8))(2,7)(max(2,7))2.128

f g g f ??=?=?== 三、解答题

13.解析：依题意得?a ·12+b ·1+c =52,a ·22+b ·2+c =54,a ·32+b ·3+c =58,…………3分

即?a +b +c =52,4a +2b +c =54,9a +3b +c =58,解得?a =1,b =?1,c =52, ∴甲:y 1=x 2-x+52.……………………5分

又

=+?=+?=+?③②①,58,54,52321r q p r q p r q p …………3分 ②-①,得p ·q 2-p ·q

1=2,④

③-②,得p ·q 3-p ·q 2=4,⑤

⑤÷④,得q=2.

将q=2代入④式,得p=1. 将q=2,p=1代入①式,得r=50.∴乙:y 2=2x +50.……………………6分 计算当x=4时,y 1=64,y 2=66; 当x=5时,y 1=72,y 2=82; 当x=6时,y 1=82,y 2=114. 可见,乙选择的模型较好.……………………6分

14.解析：不妨假设 a b c ． 由于 f (

x ) 在 (0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增，在[9, ) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像知a (0, 3) ，

b (3, 9) ，

c (9, ) ，且 f (a ) f (b ) f (c ) (0, 1) ．……10 分 由 f (a ) f (b ) 得1 l og 3 a log 3 b 1 ，即

l og 3 a log 3 b 2 ，因此 a b 32 9 ． 于是 a bc 9c ． …………………7 分

又0 f (c ) 4

1，故 c (9, 16) ．进而 a bc 9c (81, 144) ．…………………6分

15. 解：记{}1121,,,a a a A =，|B|表示B 中元素个数。 不妨设1121a a a <<< ①若0≥i a ()111≤≤i 恒成立；

由于1110113112423221a a a a a a a a a a a a <<<<<<< ， 这里显然可以发现有18个数在B 中，即18≥B …………………5 分 ②若1111210a a a a a a k k k <<<≤<<<<++ ，其中5≤k 时，由于 1111121121111121a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k >>>>>>>>??++ 有10个非负数；

又11101141131124232a a a a a a a a a a a a k k k k k k k <<<<<<<+++++++ 有k 217?个正数，

故此时，1722721710≥?=?+≥k k B ，当5=k 时，17min =B ，如 {}4322,2,2,2,1,0±±±±±=A ，{}87654322,2,2,2,2,2,2,2,1,0?±±±±±±±?=B 满足； …………………7分 ③若1111210a a a a a a k k k <<<≤<<<<++ ，其中6≥k 时，由于 1111121121111121a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k >>>>>>>>??++ 有10个非负数；

又0621<<<

则1213141525354565a a a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<<有8个正数，故此时，18810=+≥B …………………7分 ④若0

…………………4 分 综上，B 的元素个数的最小值为17. …………………1 分