开题报告-矩阵逆的推广及应用

毕业论文开题报告

信息与计算科学

矩阵逆的推广及应用

一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）

1． 选题的背景

Moore.E.H 是公认的研究广义逆矩阵的第一人，他在美国数学会1920年一个会议报告的摘要中，对任意矩阵定义了广义逆，当时他称之为general reciprocal 。Moore 关于广义逆的较详细结果发表在Moore(1935)的著名论文中。于是，许多学者通常把1935年作为广义逆研究的起点。在这篇论文中，对任意n m ?矩阵A ，Moore 用下面两个矩阵方程 )(A R P AX =，)(X R P XA = (1) 来定义广义逆X ，这里)()(X R A R P P 和分别是)()(X R A R 和上的正交投影算子。在这之后的20多年中，人们对广义逆的研究并未给予应有的重视。

到了二十世纪50年代，一些学者开始注意到广义逆矩阵的最小二乘性质。Bjerhammar （1951a,1951b ）在不知道Moore 结果的情况下，重新提出了广义逆矩阵的概念（他称之为reciprocal matrix ），并注意到了广义逆与线性方程组解的关系。Bott 和Duffin(1953)在研究电网理论时，引进了一种后来被称为Bott-Duffin 广义逆的逆矩阵。当时他们称为约束逆（constrained inverse ）。但这时期的研究工作缺少一般性，零散而不系统。

在广义逆研究中，一个重要的里程碑是Penrose （1955）的著名论文。在这篇文章中，Penrose 以非常简单、直观的形式叙述了广义逆矩阵+A 满足的四个条件（也称Penrose 条件）：设n m C A ?∈，则满足

XA XA AX AX X XAX A AXA ====H H ))(4(;))(3(;)2(;

)1( (2) 的矩阵n m C X ?∈称为矩阵A 的广义逆（其中的共轭转置表示A A H ），并证明了（2）式

的解是唯一的。他还建立了（2）式的第一方程的解-A 与方程组b Ax =解的联系。Penrose 的这项工作在广义逆的研究中起着十分重要的作用，它使广义逆这一概念获得再生。从此以后，学者们对广义逆的研究倾注了前所未有的兴趣。在此后短短10余年中，发表了数百篇关于广义逆的研究论文。这包括Greville （1957），Bjerhammar （1957,1958）,Ben-Israel 和Charnes(1963)，Chipman （1964），Scroggs 和Odell （1966）等。在这期间，Erdelyi(1967)引进了群逆，而Drazin 于1958年引进了另一种广义逆，他称之为pseudo inverse ，现在通称为Drazin 逆。

在广义逆研究的这一高峰时期，统计学家的研究工作占了相当的分量。Rao （1955,1962,1966,1967）和Mitra(1968a ，1968b)研究了{1}-逆结构表示和不唯一性，并把他们应用于统计参数估计理论，特别是线性模型和方差分析估计与检验问题。现在广义逆矩阵已经成为数理统计的许多分支不可缺少的有效工具，参见王松桂（1987），wang 和chow(1994)。

1968年3月，在美国Texas 举行了广义逆矩阵的专题学术会议，并出版了会议文集，见Boullion 和odell(1968)。后来，分别于1973年和1976年举行了关于这一课题的讨论班和区域性会议，并出版有文集，分别见Nashed(1976)和Campbell （1982）。

Ben-Israel(1966)，Stewart （1969），Wedin （1973）和何旭初（1979）研究了广义逆矩阵的扰动和连续性问题，他们建立了+

A 连续性的条件。

在二十世纪70年代前后，一些关于广义逆矩阵及其应用的专著陆续问世，其中主要有Rao 和Mitra （1971），Boullion 和Odell （1971），Ben-Israel 和Greville(1974)。这些著作广泛收集和系统总结了散见在各种刊物中关于广义逆的理论、方法和应用的许多重要结果，并在一定程度上规范了许多常用的术语和记号。

我们知道，矩阵是现代自然科学、工程技术乃至社会科学许多领域的一个不可缺少的数学工具，因此广义逆矩阵的应用也相当广泛。可以这样说，凡是用到矩阵的地方，都有可能用到广义逆。Nashed （1976）和Campbell(1982)介绍或综述了广义逆在许多方面的应用，其中包括数理统计、数学规划、数值分析、控制论、博弈论和计量经济等，部分内容的详细讨论可以再Rao 和Mitria(1971)以及Ben-Israle 和Greville(1974)中找到。

现在，广义逆矩阵已广泛应用于人工智能与模式识别、信息安全、图像恢复、现代控

制论、概率统计、网络定理、测绘学等方面。

环上矩阵的广义逆是揭示环的代数结构的有力工具。国内，以庄瓦金、陈建龙、屠伯勋、曹重光为代表的众多学者已经作了大量的研究，得到了除环、主理想环、正则环、一般结合环等环上矩阵广义逆的一系列结果。最近，陈焕艮、刘晓冀、岑建苗等人在这方面又做了进一步的工作，得到了环上矩阵广义逆存在的新的充要条件及性质，从而推广了以往文献的相应结果。

国外，在环上矩阵广义逆的研究方面，K.P.S.Rao 、R.Bapat 、D.Robinson 等人研究了整环、交换环上矩阵的广义逆。2002年，K.P.S.Rao 出版了专著“The theory of generalized inverses over commutative rings ”。在非交换环上矩阵广义逆的研究上，R.E.Hartwig 、R.Puystjens 、J.J.Koliha 等深入研究了除环、正则环、Noetherian 环、Artian 半单环乃至一般结合环上矩阵的广义逆。

2． 选题的意义

在解决实际问题时，经常会碰到这样的线性方程组，其系数矩阵时方阵，但却是奇异的。众所周知，对于系数矩阵时非奇异的线性方程b Ax =，它的解与系数矩阵的逆有着紧密的联系，即方程组的解可表示为b A x 1-=。那么对于奇异的系数矩阵解的情况会是怎么样的呢？是否也存在一个矩阵类似于可逆矩阵的逆矩阵呢？这就促使人们去想象能否推广逆矩阵的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G ，使得其解仍可以表示为类似于b A x 1-=的紧凑形式呢？这些矩阵就是本文即将引进的广义逆矩阵。应用M-P 逆及其所衍生出的其他类型的广义逆彻底解决线性系统：

m n n m C b C x C A b Ax ∈∈∈=?,,,

的求解问题。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

在生产实践和科学实验中，人们经常碰到一类线性系统

b Ax =， （3）

其中，n m C A ?∈，n C x ∈，m

C b ∈。

当r b A rank A rank ==),()(时，该方程组有解，且n r =时，有唯一解，n r <时，有无穷多组解，当),()(b A rank A rank <时，该方程组无解。

无解的线性方程组好像是最为乏味并且没有实际意义。但事实相反，在某些实际问题中，如数据处理、多元分析、最优化理论、现代控制理论、网络理论等学科中，所遇到的方程组往往是不相容方程组，没有一个n

C x ∈能使方程精确相等。因此在实际应用中，需要找一个n C x ∈，使得Ax 尽可能的逼近b ，如何去找这样的x ？为了解决这一问题，数学家们做了大量的工作。高斯最先引入了最小二乘法，并从统计方面证明它的合理性。所谓最小二乘，就是找出一个n C x ∈，使得系统的残差Ax b r -=的2范数最小，即2||||min r n C x ∈。如何计算最小二乘问题，成了一个重要的课题。但人们总希望能像A 可逆时那样显式地写出其解x 的表达式，为适应这种需要，广义逆应运而生。

由文献]1[的结果，我们知道了广义逆的确是逆矩阵的推广，以下是广义逆矩阵中一些常用的广义逆矩阵，包括减号逆、自反减号逆以及加号逆等。通过这些广义逆矩阵的求解方法的研究，我们可以探讨矩阵的广义逆在解线性方程组中的应用。

1． 几种常用的广义逆矩阵的性质及求解方法

1.1减号逆-A 的性质与求解

1．减号逆-A 的定义

]6[： 定义1.1 对n m C A ?∈，若n m C G ?∈满足

A AGA =，

则称G 为A 的{1}-逆（或称为A 的g 逆），记为)1(A

（或-A ）。 2． 减号逆-A 的性质

]6[： 定理1.1设n m C

A ?∈，C ∈λ，则有 （1）--=)()(H H A A ；

(2) A A +-=λλ)(，其中???=≠=-+

；若若0001λλλλ

(3) )()(A rank A rank ≥-

；

（4）--AA A A 与 都是幂等阵，且满足)()()(A rank AA rank A A rank ==--。

3．减号逆-A 的求解]7[

对于任意的n m ?矩阵A ,它的减号逆-A 是存在的但不唯一，这一结论在文献]98[-上已有证明或进行了说明。接下来我们介绍一种常用的求-A 的公式：

1）设矩阵A 的秩为r ，且A 的左上角的r 阶子块为满秩，即 ???

? ??=----）（（r n r m r r m r n r rr A A A A A ))()( 其中rr A 的行列式0||≠rr A ，则有

???

? ??=--0001rr A A （4） 将上式直接代入（4）式验证即可。

2）若矩阵A 的秩为r ，但其左上角的r 阶子块rr A 不满秩。这时若有初等列变换（P 为相应的初等矩阵）使得~ A AP =,而~ A 的左上角r 阶子块rr A ~

为满秩的，则有 ???? ??==---000)()()( ~1~ rr A AP A

再由-

--=A P AP 1)(即可求得 ???

? ??==---000)

()(1~ ~ rr A P A P A （5） 这意味着，当A 的左上角无满秩的r 阶子块时，需先对A 实行某种列变换，使其左上