广义逆矩阵及其应用【开题报告】
毕业论文开题报告
数学与应用数学
广义逆矩阵及其应用
一、选题的背景、意义
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。
1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因
子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。
矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。
广义逆矩阵不仅在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，而且在解线性方程组、矩阵方程组，以及在测量平差中和平面四杆机构综合中，还有在求解离散型动态投入产出模型中都有广泛的应用。这使广义逆矩阵得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。本文主要研究在解线性方程组、矩阵方程组，以及在测量平差中和平面四杆机构综合中的应用。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题
本文研究的基本内容为：
(一)、引言，主要包括课题研究的背景、研究意义等。
(二)、几种广义逆矩阵的叙述，包括Moore—Penrose广义逆矩阵及其分类、左逆、右逆。
(三)、广义逆矩阵的一些性质以及证明过程。
(四)、广义逆矩阵的一些应用，包括在解线性方程组、矩阵方程，测量平差以及在平面四杆机构综合中等方面的应用，给出相应的例题。
了解广义逆矩阵的几种定义，运用广义逆矩阵的计算方法及其性质，不仅可
的矩阵的一以解系数矩阵是方阵的线性方程组，而且还可以解系数矩阵是m n
般线性方程，以及矩阵方程。可以提高利用广义逆矩阵解决实际问题的能力。三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标
（一）、先采用文献研究法，搜集和阅读大量的相关文献，了解国内外的研究现状，吸收新理念，并对资料进行分类整理。再通过实例分析，进一步了解广
义逆矩阵的性质，能更熟练地运用广义逆矩阵的性质来解线性方程、矩阵方程。
（二）、研究的主要难点，如何运用广义逆矩阵的性质来解线性方程、矩阵方程。
（三）、预期达到的目标，通过本课题的研究，学习广义逆矩阵的性质，能运用广义逆矩阵的性质来解线性方程、矩阵方程。
四、论文详细工作进度和安排
第七学期第9周至第11周：论文选题，查阅文献资料，收集信息；
第七学期第12周至第18周：在广泛查阅文献资料的基础上，完成综述及其
论文开题报告，完成外文翻译；
第八学期第1周至第3周：全面开展课题研究，完成论文初稿；
第八学期第4周至第13周：反复修改毕业论文，最后定稿，准备答辩。
五、参考文献：
[1].尹钊，贾尚晖.Moore—Penrose广义逆矩阵与线性方程组的解[J].数学的实践与认识，2009,(9)：239-243.
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[3].贾正华.广义逆矩阵及其性质[J].安徽巢湖学院学报，2005,(3)：38-39.
[4].奚传智.用广义逆矩阵求解线性方程组[J].山东教育学院学报，2001,(1)：
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[5].周金森.广义逆矩阵与线性方程组的解[J].漳州职业技术学院学报，
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[6].程云鹏，张凯院，徐仲；矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社,2000.
[7].董增福，宋明辉，徐阳等.矩阵分析教程[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版
社,2005.
[8].戴华.矩阵论[M].北京：科学出版社,2005.
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Press，2005.
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版)，1996,(3)：15-19.
[13].曹淑贞.广义逆与矩阵方程的解[J].三明高等专科学校学报，2001,(2)：
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[14].程功，葛燕飞. 广义逆矩阵在测量平差中的应用[J]. 长春工程学院学报，
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[15].顾德裕.广义逆矩阵在平面四杆机构综合中的应用[J].机械计,2003,(2)：
28-30.
【VIP专享】矩阵变换及应用开题报告
鞍山师范学院 数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号：30 指导教师：裴银淑 2013年12月26日
一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义： 矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词，他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容，在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson 联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价：
广义逆矩阵
广义逆矩阵
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浅谈广义逆矩阵 摘要：文章介绍莫尔-潘鲁斯(moore-penrose)广义逆矩阵的概念及其与实际背景的联系。文章中定理1和定理2说明条件i与相容线性方程组的基本解的广义逆矩阵的联系，定理3说明条件i和iv与相容线性方程组的最小模解的广义逆矩阵的联系。abstract: the article introduces the concept of moore-penrose’s generalized inverse matrix and its relation with the actual background. theorem 1 and theorem 2 in this article illustrate the relation between conditions 1 and generalized inverse matrix of the fundamental solution of compatible linear equation.theorem 3 illustrates condition i and condition iv’s relation with generalized inverse matrix of the minimal model solution of compatible linear equation. 关键词：广义逆矩阵；相容线性方程组；最小模解 key words: generalized inverse matrix；compatible linear equation；minimal model solution 0 引言 在科技、工程、医学、经济、以及气象学的不同领域，经常会遇到求线性方程组 a■ξ■+a■ξ■+……+a■ξ■=β■a■ξ■+a■ξ■+…… +a■ξ■=β■……………………………a■ξ■+a■ξ■+……
分块矩阵的性质及其应用【开题报告】
阵的相关计算简单化, 而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题, 以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上, 对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解, 所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念, 我们需要透彻的了解分块矩阵, 在此基础上较好地学会在何时应用矩阵分块, 从而研究它的性质及应用是非常必要的. 根据目前国内外对矩阵应用研究的发展, 可以知道矩阵已经广泛应用到线性规划、线性代数、统计分析, 以及组合数学等.在这样的形式下, 必须要求对矩阵有一种科学的处理方式以提高应用效果.本文是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨了分块矩阵在各方面的应用.当前对分块矩阵的应用主要发展到计算和证明两大方面.证明方面: 通过对矩阵的分块证明了有关矩阵秩的定理以及其他线性代数证明问题; 计算方面,本文通过对分块矩阵的性质的研究很好的解决了求矩阵的逆矩阵问题, 求行列式, 求矩阵的秩等问题的新的快捷方式. 二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题: 研究的基本内容: 通过学习分块矩阵的相关的几种定义, 掌握分块矩阵的性质, 从而熟练分块矩阵的应用. 解决的主要问题: 1．了解分块矩阵的基本概念. 2．探讨分块对角化的性质. 3．研究分块矩阵的应用. 三、研究步骤、方法及措施: 研究步骤: 1．查阅相关资料, 做好笔记; 2．仔细阅读研究文献资料; 3．在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告; 4．翻译英文资料; 5．撰写毕业论文; 6．上交论文初稿; 7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述; 8．论文定稿.
第六章 广义逆矩阵
第六章 广义逆 广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵{}1-逆及矩阵Moore-Penrose 逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin 逆的基本性质。 §6.1 广义逆矩阵的概述 广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设n C 为复n 维向量空间， m n C ?为复m n ?矩阵全体。设矩阵m n A C ?∈，考虑线性方程组 Ax b = （6-1） 其中，m b C ∈为给定的m 维向量，n x C ∈为待定的n 维向量。 定义1 若存在向量n x C ∈满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。 众所周知，当A 为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解1x A b -=，其中 1A -是A 的逆矩阵。当A 为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有 无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求n x C ∈，使得 () min y R A Ax b y b ∈-=- （6-2） 成立，其中 代表任意一种向量范数，{} (),m n R A y C y Ax x C =∈=?∈。上述两 种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式x Gb =，其中， G 是某个n m ?矩阵？ 这个矩阵G 是通常逆矩阵的推广。 1920年，E.H. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore 的方程过于抽象，并未引起人们的重视。1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。 定义2 设矩阵m n A C ?∈，若存在矩阵n m X C ?∈满足下列Penrose 方程 （1）AXA A =； （2）XAX X =； （3）()H AX AX =；
线性方程组的求解与应用开题报告
设计题目线性方程组理论及其应用 学生姓名陈彦语学号1111124123 专 业 数学与应用数 学（师范类） 一、课题的目的意义： 高等代数教材中只给出了运用克拉默法则（Cramer's Rule）和利用增广矩阵进行初等行变换求解线性方程组的方法，本文将更加系统的阐述求解线性方程组的几类方法，并进一步讨论线性方程组在许多领域中的应用。 线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支，其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。线性方程组的求解是数值计算领域十分活跃的研究课题之一，大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因为计算机只能“线性”地求解问题，所以所有问题在计算机处理前都要线性化。可以说，线性方程组的求解在现代科学领域占有重要地位。 二、近几年来研究现状： 目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有的优点是：需要计算机的存储单位较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变，但存在收敛性和收敛速度的问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法，当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好的性能加速还有待进一步研究。 。三、设计方案的可行性分析和预期目标： 可行性分析：本文主要以查找资料，在现有知识水平上，对求解线性方程组的一般方法进行总结归纳，并根据对数学软件的学习，在借鉴前人对计算机编程科学性研究的基础上，给出利用matlab软件求解几类常见线性方程组的方法。通过广泛收集线性方程组应用方向的文献和书籍，并多次向导师请教，最终以具体实例来说明线性方程组在许多领域的应用，并实现线性方程组的求解过程。 预期目标：通过撰写论文，能让我从一个更高的角度来审视高等代数，对其中的线性方程组部分有一个更加深刻的理解和认识，锻炼自己的发散性思维和缜密的思考能力，培养自己利用所学知识解决实际问题的能力，从而达到对所学知识的融会贯通。
广义逆矩阵及其应用
题目广义逆矩阵及其应用学院 专业通信与信息系统学生 学号
目录 第一章前言 (1) 第二章广义逆矩阵 (2) §2.1广义逆矩阵的定义 (2) §2.2 广义逆矩阵的性质 (3) 第三章广义逆矩阵的计算 (12) §3.1 一般广义逆求解 (12) §3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16) 结论 (19)
第一章前言 线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。 逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广： （1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在； （2）它具有通常逆矩阵的一些性质； （3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。 满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。 1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。
矩阵的开题报告doc
矩阵的开题报告 篇一：矩阵变换及应用开题报告 鞍山师范学院 数学系 13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号： 30 指导教师：裴银淑 XX年 12月 26日 一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种 十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到 非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解 决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义：
矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式 识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着 不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内 外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词， 他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩 阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的 研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容， 在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在 第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金 斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的
CharlesR.Johnson联合编著的《矩 阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外 关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出 了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价： 矩阵理论一直都是各个学科的基本数学工具，矩阵变换是矩阵理论的基础， 近年来有许多关于矩阵变换的研究，这些研究将一些繁琐复杂的问题简单化，也 极大地推进和丰富了电子信息、航空航天等领域的发展，同时促进了更多的数学 家加入到研究矩阵变换的队伍中，这样就使得矩阵变换知识日渐完善，并应用到 更多的领域中去。 三、论文提纲 前言 (一)、矩阵初等变换及应用 1、矩阵初等变换的基本概念 2、初等变换在方程组中的应用 3、初等变换在向量组中的应用
2-2广义逆矩阵
§2 矩阵的广义逆 一、广义逆矩阵的概念 定义1 设任意一个矩阵n m R A ?∈，若存在矩阵m n R X ?∈，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )T =AX （3） (XA )T =XA （4） 这四个方程中的一个、两个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵。 由上面的定义可知，广义逆矩阵有15C C C C 44342414=+++中 之多。本节介绍应用广泛的减号广义逆和加号广义逆。 定义2 对矩阵n m R A ?∈，一切满足方程组 A AXA = 的矩阵X ，称为矩阵A 的减号逆或g-逆。记为-A 。 例如，??? ??=010001B ，??? ??=100001C 都是??? ? ??=010101A 的减号逆。 下面的定理解决了-A 的存在性和构造性问题。 定理1(秩分解) 设A 为n m ?矩阵，()rank A r =，若 Q O O O I P A r ??? ? ?=， 或??? ? ??=--O O O I AQ P r 11
这里P ,Q 分别为n n m m ??,的可逆阵，则 12221 121---??? ??=P G G G I Q A r (5) 其中222112,,G G G 是相应阶数的任意矩阵。 证明 设X 为A 的广义逆，则有 Q O O O I P Q O O O I QXP O O O I P A AXA r r r ??? ? ??=???? ?????? ???= ??? ? ??=???? ?????? ???O O O I O O O I QXP O O O I r r r 若记 ???? ??=2221 1211G G G G QXP 则上式， ??? ? ??=???? ???00 000011r I G r I G =?11 于是， 12221121--??? ? ??=?=P G G G I Q X A AXA r 其中222112,,G G G 任意. 证毕. 定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不唯一的，而且还给出了计算减号逆的方法。
矩阵特征值、特征向量的研究【开题报告】
毕业论文开题报告 数学与应用数学 矩阵特征值、特征向量的研究 一、选题的背景、意义 （1）选题的背景、意义 “矩阵(Matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。19世纪50年代，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由几行H列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。随后，弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。然而，矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前l世纪中国的《九章算术》就已经用到类似于矩阵的名词。但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有建立起独立完善的矩阵理论。18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。20世纪初，无限矩阵理论得到进一步发展[]1。 线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中[]2。 由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量
空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 “代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今[]3[]4。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 （2）国内外研究现状和发展趋势 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）[]5。 ①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位； ②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分； ③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的； ④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如
矩阵论知识点
矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。
第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2，∞范数 2. 矩阵的范数 计算：1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t),?? ???==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组
1. 矩阵的三角分解 计算：Crout 分解，Doolittle 分解，Choleskey 分解 2. 矩阵的QR 分解 计算：Householder 矩阵，Givens 矩阵， 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向 3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite 矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh 商的极值 4. 广义特征值问题 计算：BX AX λ=转化为一般特征值问题
第五章-广义逆矩阵
第五章 广义逆矩阵 广义逆矩阵是E. H. More 于1920年首次提出的，1995年R. Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。广义逆矩阵是矩阵论的一个重要分支。 第一节 广义逆矩阵的概念 对于线性方程组Ax =b ，当方阵A 可逆时，其有唯一解x =A -1b 。但是，在许多实际应用中更多涉及到的是系数矩阵A 是奇异方阵或长方阵的情形。这就从客观上要求人们去探索把通常逆矩阵进行推广的问题。 若A 是可逆的，即有逆矩阵A －1，则A －1必满足下面四个等式 AA －1A =A A －1AA －1=A －1 (AA －1)H =AA －1 (A －1A )H =A －1A 若A 是一个一般的矩阵，是否有矩阵X 存在，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )H =AX （3） (XA )H =XA （4） 这四个方程中的一个、二个、三个或全部呢？这就引出了广义逆矩阵的定义。 定义1 设A ∈C m ×n ，如果X ∈C n ×m 满足（1）—（4）式中的一个、二个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆阵。 由上定义可知，广义逆阵有154 4342414=+++C C C C 种之多。为了方便，引进一些记 号：A (i )为满足第i 个方程的广义逆矩阵，即第i 个方程的解矩阵，A {i }为第i 个方程的解集，即A （i ）的全体。同样有记号A (i ，j )，A (i ，j ，k )，A (1，2，3)，A {i ，j }，A {i ，j ，k }，A {1，2，3，4}。 如，A (1，3)为满足第1、第3个方程的广义逆矩阵，A {1，3}为所有A (1，3)的全体构成的集合。 在这15种广义逆矩阵中，常用的有A {1}，A {1，3}，A {1，4}，A {1，2，3，4}。我们将结合线性方程组的解的不同情况，在本章后面各节中进行讨论。为此先了解一下线性方程组的解的问题。
线性代数的基本概念
《线性代数》根据“卓越工程师教育培养计划”的基本要求，突出基本概念、基本理论、基本技能，注重培养学生数学素质。教材在满足教学要求的前提下，适当降低理论推导的要求，但重视阐明基本理论的脉络。习题配置 中也突出基本题、概念题和与工程相关的实际应用题等。 由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这 个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促 成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线 性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数 学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。 矩阵和行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常 有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。 1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封 信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解 伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。 1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学 家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具 使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相 分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开 行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明 了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。 继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。 1815 年， 柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列 式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。 19 世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士?西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894) 。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学 的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去 x 的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要 条件这一结果，但没有给出证明。 继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ，他引进了函数 行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几 何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。 矩阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重 要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个 述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为 了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列 式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先 引进矩阵以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了 关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念， 指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩
广义逆矩阵
价值工程 0引言在科技、工程、医学、经济、以及气象学的不同领域，经常会遇到求线性方程组 a 11ξ1 +a 12ξ2+……+a 1n ξn =β1a 21ξ1+a 22ξ2+……+a 2n ξn =β2……………………………a s1ξ1+a s2ξ2+……+a sn ξn =βs （1）或矩阵方程A ξ=β（1）’的求解问题。通过线性代数的学习，我们知道方程组（1）有解的充分必要条件是A 与其增广矩阵有相同的秩。而方程组（1）存在唯一解，必须方程组未知数的个数与系数矩阵的秩相等，若A 是方阵，且A 非退化（即A 满秩|A|≠0），则A 存在逆矩阵，为A -1 =A*/|A|，其中A*是A 的伴随矩阵，则方程组有唯一解，可表为ξ=A -1β，唯一性在线性代数讲过，在这不再赘述。上面要求在一些实际问题中是不容易满足，那是因为：①实际问题中，方程个数与未知量个数不等s ≠n ，A 不是方阵，不存在逆阵A -1 ，但方程组（1）却又是可解的（即相容的）。 ②还有可能是，希望在无解方程组中找到既使模|ξ|最 小，又使A ξ軃-β2 最小的解。总之，根据问题的需要，我们光用逆矩阵的概念解决不了这样的问题，所以有必要推广逆矩阵，下面先介绍广义逆矩阵的定义。先来看设A 是n ×n 可逆阵，β是任意一个n ×1矩阵，则方程A ξ=β总有解，且解可表示为ξ=A -1β，现在设A 是任意m ×n 阵，b 是一个m ×1矩阵，是否存在n ×m 矩阵X ，使得只要方程A ξ=β有解，ξ=A -1β就是解？这样的矩阵就是广义逆矩阵，在未给出概念前，先看看X 满足条件。引理：设A 为m ×n 阵，某个n ×m 阵X ，对任意n 维列 向量X 0及β=AX 0 满足A ×β=β的充分条件是AXA=A 1定义设A 为m ×n 矩阵，如果n ×m 矩阵X 满足AXA=A ，则 称X 为A 的一个广义逆矩阵，且广义逆矩阵具有下面四个性质： I AXA=A II XAX=X III （AX ）T =AX IV （XA ）T =XA 其中（·）T 表示转置，A 的广义逆记为A +；广义逆矩阵的四个性质与引言中的实际问题之间有什么联系，我们做如下的论证。 2论证以上定义中的广义逆矩阵X ，如果在s=n 且|A|≠0的—————————————————————— —基金项目：金肯职业技术学院高等数学教学改革的研究资助 （JG0907）。 作者简介：周海青（1974-），女，藏族，青海互助人，南京市金肯职业技术学院数学教研室，讲师，主要从事数学教育方 向的研究工作。浅谈广义逆矩阵 On the Generalized Inverse Matrix 周海青ZHOU Hai-qing （金肯职业技术学院，南京211156） （Jinken College of Technology ， Nanjing 211156，China ）摘要：文章介绍莫尔-潘鲁斯(Moore-Penrose)广义逆矩阵的概念及其与实际背景的联系。文章中定理1和定理2说明条件I 与相 容线性方程组的基本解的广义逆矩阵的联系，定理3说明条件I 和IV 与相容线性方程组的最小模解的广义逆矩阵的联系。 Abstract:The article introduces the concept of Moore-Penrose's generalized inverse matrix and its relation with the actual background.Theorem 1and Theorem 2in this article illustrate the relation between Conditions 1and generalized inverse matrix of the fundamental solution of compatible linear equation.Theorem 3illustrates Condition I and Condition IV's relation with generalized inverse matrix of the minimal model solution of compatible linear equation. 关键词：广义逆矩阵；相容线性方程组；最小模解Key words:generalized inverse matrix ；compatible linear equation ；minimal model solution 中图分类号：G642文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）25-0236-02 统改造的方法对学科知识的处理有着天然的优势，尤其是 分类中易混淆的知识，能有效的促进新学科及交叉学科间的知识交流与区分。另外，由于机读目录格式进行的知识资源组织实际上是属于受控编目，编目知识具有质量高、数据规范、系统稳定、经济实用的优点。 但由于MARC 是处理书目信息的，是根据书目信息的特点编制的，用于管理高校学术知识则有冗余字段多、卡片显示不够理想、查找功能受限等缺点。 4结语 利用图书编目系统构建学术知识共享系统虽有一定 的缺点，但对无条件引进或开发高校学术知识共享系统的高校是一个不错的选择。 参考文献： [1]张晓林.数字化信息组织的结构与技术[J].大学图书馆学报,2001(4):9-14. [2]胡敏．机读目录与都柏林核心元数据的格式研究[J]．图书馆学刊，2005(2)：65-66,98. [3]胡敏．网络信息资源的MARC 格式编目[J]．情报杂志，2005(10)：127-129. [4]知识管理系统.百度百科[EB].https://www.360docs.net/doc/d78952039.html,/view/858842.htm.2012-04-02/2012-05-28. ·236·
线性方程组的求解方法及应用开题报告
开题报告 线性方程组的求解方法及应用开题报告 一、选题的背景、意义(所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势) 线性方程组求解在中国历史久矣。对线性方程组的研究,中国比欧洲至少早1500年,记载在公元初《九章算术》方程章中。现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。在科学计算中的许多问题,例如,电学中的网络问题,船体放样中的样条函数计算,实验数据的曲线拟合以及微分方程的差分方法或有限元方法求解等问题,最终都归结为求解线性代数方程组。现行高等代数教材只用行初等变换来解线性方程组,存在一定的局限性。本文主要讨论了解线性方程组的直接法中的Gauss消元法,以及行初等变换、克莱姆法则、标准上三角形求解法等。 对于不同类型的问题,线性方程组的求解方法不尽相同。同时方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解,如在实践中遇到的线性方程组,它的方程个数未必等于未知量个数,即使方程个数等于未知量个数,也未必有唯一解,有可能无解或有无穷多解。这就需要我们去根据相关问题去探究。 马克思曾经说过“一门科学只有成功地应用数学时,才算达到了完善的地步”。随着科学技术的进步,数学已迅速渗透到各门学科之中,因而能强烈感受到数学的重要性。而应用数学中很多用到了线性代数的相关知识,而本选题涉及的线性方程组知识尤为重要,在实际生活的数学应用中,对所需目标进行确定,接着进一步明确一些决策中的关键因素,即而确立线性方程组,进而对此方程求解。因
而求线性方程组解是线性代数中的精髓部分,恰当地使用方法,可以使计算过程比较简洁,避免了迂回复杂的计算。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 也许会觉得解线性方程组会很容易,但事实上想要彻彻底底的完整得出方程组的解是非常不容易的。若要正确完整得出方程解,首先要具备一定的线性代数的知识,其次要分析对于什么样类型,采用什么样的方法去解决更便捷、更有效。对于不同类型的问题,线性方程组解法的适用就至关重要。同时方程组存在解的个数的问题及线性方程组是否存在零解,如在实践中遇到的线性方程组,它的方程个数未必等于未知量个数,即使方程个数等于未知量个数,也未必有唯一解,有可能无解或有无穷多解。这就需要我们去根据相关问题去探究。 本报告主要涉及到一些方程求解的方法,比如初等行变换、回代法、高斯消元法、标准上三角形法等。同时还介绍了线性方程组在以下几方面的应用,在几何方面求点到平面的方程,空间中向量相关性的判别方法。 2.1线性方程组的一些性质线性方程组即一次方程组。线性方程组有一般形式、矩阵形式、向量形式。 含个方程,个未知量的线性方程组的一般形式为:表示未知量,称系数项,称常数项。将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解称为系数矩阵,在系数矩阵的右边添上一列,这一列是线性方程组的等号右边的值形成了增广矩阵。线性方程组也可以用矩阵表示。型线性方程组可表示为,称为线性方程组的系数矩阵;为线性方程组的增广矩阵;方程组的解是使矩阵等式成立的维向量。在矩阵形式下,对增广矩阵作初等变换不改变方程组的解。如矩阵和是行初等变换下等价的矩阵,即存在可逆矩阵,使,则线性方程组是等价的线性方程组。线性方程组也可以用向
分块矩阵的初等变换及其应用开题报告 [开题报告]
毕业论文开题报告 信息与计算科学 分块矩阵的初等变换及其应用 一、选题的背景、意义 1．选题的背景 在数学的矩阵理论中，一个分块矩阵或是分段矩阵就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。 通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是三角矩阵等特殊形式的矩阵。 2．选题的意义 矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵。在运算中，我们有时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于计算。分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。因此，如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要，本文的目的就是讨论分块矩阵的初等变换及其应用[1]。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 分块矩阵及其初等变换 2.1.1 分块矩阵的定义： 将一个分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，每一块低阶矩阵称为A 的子块。以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。 我们将单位矩阵E分块：
??? ? ? ??=s r r E E E 0 00 001O ，其中E r 是r i 阶单位矩阵(1 毕业论文文献综述 数学与应用数学 广义逆矩阵及其应用 一、前言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。 1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，广义逆矩阵及其应用【文献综述】