广义逆矩阵及其应用]

广义逆矩阵

广义逆矩阵

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浅谈广义逆矩阵 摘要：文章介绍莫尔-潘鲁斯(moore-penrose)广义逆矩阵的概念及其与实际背景的联系。文章中定理1和定理2说明条件i与相容线性方程组的基本解的广义逆矩阵的联系，定理3说明条件i和iv与相容线性方程组的最小模解的广义逆矩阵的联系。abstract: the article introduces the concept of moore-penrose’s generalized inverse matrix and its relation with the actual background. theorem 1 and theorem 2 in this article illustrate the relation between conditions 1 and generalized inverse matrix of the fundamental solution of compatible linear equation.theorem 3 illustrates condition i and condition iv’s relation with generalized inverse matrix of the minimal model solution of compatible linear equation. 关键词：广义逆矩阵；相容线性方程组；最小模解 key words: generalized inverse matrix；compatible linear equation；minimal model solution 0 引言 在科技、工程、医学、经济、以及气象学的不同领域，经常会遇到求线性方程组 a■ξ■+a■ξ■+……+a■ξ■=β■a■ξ■+a■ξ■+…… +a■ξ■=β■……………………………a■ξ■+a■ξ■+……

第六章 广义逆矩阵

第六章 广义逆 广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵{}1-逆及矩阵Moore-Penrose 逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin 逆的基本性质。 §6.1 广义逆矩阵的概述 广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设n C 为复n 维向量空间， m n C ?为复m n ?矩阵全体。设矩阵m n A C ?∈，考虑线性方程组 Ax b = （6-1） 其中，m b C ∈为给定的m 维向量，n x C ∈为待定的n 维向量。 定义1 若存在向量n x C ∈满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。 众所周知，当A 为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解1x A b -=，其中 1A -是A 的逆矩阵。当A 为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有 无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求n x C ∈，使得 () min y R A Ax b y b ∈-=- （6-2） 成立，其中 代表任意一种向量范数，{} (),m n R A y C y Ax x C =∈=?∈。上述两 种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式x Gb =，其中， G 是某个n m ?矩阵？ 这个矩阵G 是通常逆矩阵的推广。 1920年，E.H. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore 的方程过于抽象，并未引起人们的重视。1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。 定义2 设矩阵m n A C ?∈，若存在矩阵n m X C ?∈满足下列Penrose 方程 （1）AXA A =； （2）XAX X =； （3）()H AX AX =；

广义逆矩阵及其应用

题目广义逆矩阵及其应用学院 专业通信与信息系统学生 学号

目录 第一章前言 (1) 第二章广义逆矩阵 (2) §2.1广义逆矩阵的定义 (2) §2.2 广义逆矩阵的性质 (3) 第三章广义逆矩阵的计算 (12) §3.1 一般广义逆求解 (12) §3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16) 结论 (19)

第一章前言 线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。 逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广： （1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在； （2）它具有通常逆矩阵的一些性质； （3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。 满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。 1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。

3.矩阵乘法的性质与逆变换、逆矩阵

第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵一、矩阵乘法的性质 1.设Ａ＝ 01 11 ?? ?? ?? ，Ｂ＝ 11 23 - ?? ?? -?? ，Ｃ＝ 01 10 ?? ?? ?? 由A、B、C研究矩阵 是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。 结论： 2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。 3.单位矩阵的性质【应用】 1.设Ａ＝ 01 11 ?? ?? ?? ，求Ａ8 2. 【练习：P41】 二、逆变换与逆矩阵 1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，（I是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。 2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。 符号、记法：1 A-，读作Ａ的逆。 【应用】 1.试寻找Ｒ30o的逆变换。

【应用】 1.A＝ 31 42 ?? ? ?? ，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1 A-。 2. A＝ 21 42 ?? ? ?? ，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1 A-。 由以上两题，总结一般矩阵A＝ a b c d ?? ? ?? 可逆的必要条件。 三、逆矩阵的性质 1.二阶矩阵可逆的唯一性。 2.设二阶矩阵A、B均可逆，则A B也可逆，且111 () AB B A --- = 【练习：P50】

【第三讲.作业】 1.已知非零二阶矩阵A 、B 、C ，下列结论正确的是 （ ） A.AB=BA B.(AB)C=A(BC) C.若AC=BC 则A=B D. 若CA=CB 则A=B 2.下列变换不存在逆变换的是 （ ） A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。 B.60o R 变换。 C.横坐标不变， 纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。 D.以y 轴为反射变换 3.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ） A. 0110?? ? ?? B. 0.5001?? ??? C. 0110-?? ??? D. 1010?? ??? 4.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ） A.111()AB A B ---= B. 111()AB B A ---= C.11()A A --= D. 2112()()A A --= 5.0110N -??= ??? ，则Ｎ2 ＝ 6. 1011?? ???1002?? ???1101?? ???0111?? ??? ＝ 7.1203?? ???2312?? ???4624-?? ?-?? ＝ 8.设1021A ??= ???，0210B ??= ???则向量11?? ?-?? 经过先Ａ再Ｂ的变换后的 向量为 经过先Ｂ再A 的变换后的向量为 9.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是 10.变换ρ将（3，2）变成（1，0），设ρ的逆变换为ρ－1，则ρ－1 将（1，0）变成点 11.矩阵0111?? ??? 的逆矩阵为 12.设ρ：''x y ?? ???＝1101-?? ?? ?x y ?? ???，点（－2，3）在ρ －1 的作用下的点 的坐标为 13.A ＝1101-?? ?? ?122122?? - ? ? ? ??? ，则1A -= 14.△ABC 的顶点A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果将三角形先后经过 1101?? ???和1011?? ??? 两次变换变成△A ‘B ’C ’,求△A ‘B ’C ’的面积。 15.已知A ＝122122?- ? ? ??? ，B ＝2001?? ??? ，求圆221x y +=在1()AB -变换作用下的图形。 16.已知2102A ??= ??? ，试分别计算：2A ,3A ,4A ,n A

2-2广义逆矩阵

§2 矩阵的广义逆 一、广义逆矩阵的概念 定义1 设任意一个矩阵n m R A ?∈，若存在矩阵m n R X ?∈，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )T =AX （3） (XA )T =XA （4） 这四个方程中的一个、两个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵。 由上面的定义可知，广义逆矩阵有15C C C C 44342414=+++中 之多。本节介绍应用广泛的减号广义逆和加号广义逆。 定义2 对矩阵n m R A ?∈，一切满足方程组 A AXA = 的矩阵X ，称为矩阵A 的减号逆或g-逆。记为-A 。 例如，??? ??=010001B ，??? ??=100001C 都是??? ? ??=010101A 的减号逆。 下面的定理解决了-A 的存在性和构造性问题。 定理1(秩分解) 设A 为n m ?矩阵，()rank A r =，若 Q O O O I P A r ??? ? ?=， 或??? ? ??=--O O O I AQ P r 11

这里P ,Q 分别为n n m m ??,的可逆阵，则 12221 121---??? ??=P G G G I Q A r (5) 其中222112,,G G G 是相应阶数的任意矩阵。 证明 设X 为A 的广义逆，则有 Q O O O I P Q O O O I QXP O O O I P A AXA r r r ??? ? ??=???? ?????? ???= ??? ? ??=???? ?????? ???O O O I O O O I QXP O O O I r r r 若记 ???? ??=2221 1211G G G G QXP 则上式， ??? ? ??=???? ???00 000011r I G r I G =?11 于是， 12221121--??? ? ??=?=P G G G I Q X A AXA r 其中222112,,G G G 任意. 证毕. 定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不唯一的，而且还给出了计算减号逆的方法。

矩阵论知识点

矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2，∞范数 2. 矩阵的范数 计算：1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t),?? ???==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组

1. 矩阵的三角分解 计算：Crout 分解，Doolittle 分解，Choleskey 分解 2. 矩阵的QR 分解 计算：Householder 矩阵，Givens 矩阵， 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向 3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite 矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh 商的极值 4. 广义特征值问题 计算：BX AX λ=转化为一般特征值问题

逆矩阵的性质及其若干求法

安阳师范学院本科学生毕业论文逆矩阵的性质及其若干求法 作者戴丽丰 系 (院) 数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级 2010 级本科 学号 100801071 指导教师贾红艳 论文成绩 日期2014年06月

学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已经发表或已经撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借读；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：导师签名：日期

逆矩阵的性质及其若干求法 戴丽丰 （安阳师范学院 数学与统计学院, 浙江 金华 321000) 摘 要：矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.为了更便捷地求逆矩阵，根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法. 主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法，并对部分进行了简要论证。 关键词：逆矩阵；伴随矩阵；初等变换；分块矩阵；MATLAB 1 引言 矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题．可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件．而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.比如逆矩阵可以用来解线性方程组.逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式的值和它的伴随矩阵.当其阶数较高时,它的计算量是很大的,因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.为了更便捷地求矩阵的逆,本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法,这些方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题.同时,它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识,认真掌握它,可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础. 2 预备知识 2.1 逆矩阵的定义 设A 为n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB BA E ==(这里的E 是单位矩阵)成立，那么矩阵A 称为可逆矩阵，此时矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称为矩阵A 的逆.如果A 的逆矩阵不存在，那么A 称为不可逆矩阵. A 的逆矩阵记作1-A ，即如果A B BA E ==，那么1-=A B . 2.2逆矩阵的性质 性质1 如果矩阵A 可逆的，那么A 的逆矩阵是唯一的. 证明 设1B ，2B 都是A 的逆矩阵，则()()11121222B B E B AB B A B EB B =====， 所以A 的逆矩阵是唯一的. 性质2 如果A 可逆，那么1-A 可逆，且A A =--11)(. 性质3 如果A 可逆，数0≠λ，那么A λ可逆，且111 )(--=A A λ λ. 性质4 如果A 可逆，那么'A 可逆，且'11'()()A A --=. 性质5 如果A ，B 都是n 阶可逆矩阵，那么AB 可逆，且111)(---=A B AB . 证明 因为

第五章-广义逆矩阵

第五章 广义逆矩阵 广义逆矩阵是E. H. More 于1920年首次提出的，1995年R. Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。广义逆矩阵是矩阵论的一个重要分支。 第一节 广义逆矩阵的概念 对于线性方程组Ax =b ，当方阵A 可逆时，其有唯一解x =A -1b 。但是，在许多实际应用中更多涉及到的是系数矩阵A 是奇异方阵或长方阵的情形。这就从客观上要求人们去探索把通常逆矩阵进行推广的问题。 若A 是可逆的，即有逆矩阵A －1，则A －1必满足下面四个等式 AA －1A =A A －1AA －1=A －1 (AA －1)H =AA －1 (A －1A )H =A －1A 若A 是一个一般的矩阵，是否有矩阵X 存在，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )H =AX （3） (XA )H =XA （4） 这四个方程中的一个、二个、三个或全部呢？这就引出了广义逆矩阵的定义。 定义1 设A ∈C m ×n ，如果X ∈C n ×m 满足（1）—（4）式中的一个、二个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆阵。 由上定义可知，广义逆阵有154 4342414=+++C C C C 种之多。为了方便，引进一些记 号：A (i )为满足第i 个方程的广义逆矩阵，即第i 个方程的解矩阵，A {i }为第i 个方程的解集，即A （i ）的全体。同样有记号A (i ，j )，A (i ，j ，k )，A (1，2，3)，A {i ，j }，A {i ，j ，k }，A {1，2，3，4}。 如，A (1，3)为满足第1、第3个方程的广义逆矩阵，A {1，3}为所有A (1，3)的全体构成的集合。 在这15种广义逆矩阵中，常用的有A {1}，A {1，3}，A {1，4}，A {1，2，3，4}。我们将结合线性方程组的解的不同情况，在本章后面各节中进行讨论。为此先了解一下线性方程组的解的问题。

线性代数的基本概念

《线性代数》根据“卓越工程师教育培养计划”的基本要求，突出基本概念、基本理论、基本技能，注重培养学生数学素质。教材在满足教学要求的前提下，适当降低理论推导的要求，但重视阐明基本理论的脉络。习题配置 中也突出基本题、概念题和与工程相关的实际应用题等。 由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这 个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促 成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线 性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数 学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。 矩阵和行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常 有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。 1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封 信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解 伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。 1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学 家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具 使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相 分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开 行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明 了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。 继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。 1815 年， 柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列 式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。 19 世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士?西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894) 。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学 的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去 x 的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要 条件这一结果，但没有给出证明。 继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ，他引进了函数 行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几 何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。 矩阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重 要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个 述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为 了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列 式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先 引进矩阵以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了 关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念， 指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩

逆矩阵的性质

逆矩阵的性质 【填空题1】已知矩阵A=??? ? ??4321,则其逆矩阵为_______. 【知识点】逆矩阵的性质 【答案】???? ??=21-2312-A 1 - 【解析】 ｛步骤⊙｝先算出bc -=?ad ，得2-=? ｛步骤⊙｝再根据逆矩阵变换的公式?????? ???? ??=a c d -b -A 1- ｛步骤⊙｝代入得???? ??=21-2 31-2-A 1- 【本题结束】 【填空题2】已知矩阵A=??? ? ??1002,则其逆矩阵为_______. 【知识点】逆矩阵的性质 【答案】???? ??=10021A 1 - 【解析】 ｛步骤⊙｝先算出bc -=?ad ，得2=? ｛步骤⊙｝再根据逆矩阵变换的公式????? ? ???? ??=a c d -b -A 1- ｛步骤⊙｝代入得??? ? ??=10021A 1- 【本题结束】

【填空题3】已知矩阵A=??? ? ??4210,则其逆矩阵为_______. 【知识点】逆矩阵的性质 【答案】???? ??=02112-A 1 - 【解析】 ｛步骤⊙｝先算出bc -=?ad ，得2-=? ｛步骤⊙｝再根据逆矩阵变换的公式?????? ???? ??=a c d -b -A 1- ｛步骤⊙｝代入得??? ? ??=02112-A 1- 【本题结束】 【填空题4】已知???=+=+6422b a b a ，则A=??? ? ??a b b 2a 2的逆矩阵为_______. 【知识点】逆矩阵的性质 【答案】???? ??=1-121-A 1 - 【解析】 ｛步骤⊙｝先解出? ??=+=+6422b a b a 的解为???==11a b ｛步骤⊙｝代入得A=??? ? ??1211，并算出bc -=?ad ，得1-=? ｛步骤⊙｝再根据逆矩阵变换的公式?????? ???? ??=a c d -b -A 1- ｛步骤⊙｝代入得??? ? ? ?=1-121-A 1- 【本题结束】

逆矩阵运算

陕西科技大学 教育实习教案 课题：逆矩阵 学院：职业技术学院 学号： 8070614118 班级：信工 071 姓名：赵进彪

逆矩阵 Ⅱ.教学目的与要求 熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法 Ⅲ.重点与难点 重点：矩阵的逆 难点：矩阵的逆的概念 Ⅳ.教学内容 定义 1 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使 E BA AB ==，则说矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。 A 的逆矩阵记为1-A .,, 的逆阵也一定是的逆阵时为当由定义知B A A B . ,, 212211B B I A B AB I A B AB =====?则设唯一性

.. 111I A A AA A A ==---有的唯一的逆阵记为可逆阵 定理1 若矩阵A 可逆，则0≠A 证 A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1 ，故11 ==-E A A 所以 0≠A 定理2 若0≠A ，则矩阵A 可逆，且* 1 1A A A =- 其中*A 为矩阵A 的伴随矩阵 证 由例1知： E A A A AA ==* * 因0≠A ，故有E A A A A A A ==**11 所以有逆矩阵的定义，既有* 1 1A A A =- 当A =0时，，A 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，由上面两定理可知：A 是可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即可逆矩 阵就是非奇异矩阵。 推论：若E AB =（或E BA =），则1 -=A B 证 1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，于是

111*)()(---=====A E A AB A B A A EB B 方程的逆 矩阵满足下述运算规律 ①若A 可逆，则1 -A 也可逆，且 A A =--11)( ②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且11 1 ) (--= A A λ λ ③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---A B AB 证明 ()()() 1111----=A BB A A B AB 1 -=AEA ,1E AA ==- ().111 ---=∴A B AB 例2 求方程 ??? ? ? ??=343122321.A 的逆矩阵 解 023********≠=?+?+?=A A A A ，知1-A 存在 2.11=A 6.21 =A 4.31-=A 3.12-=A 6.22-=A 532 =A 2.13=A 2.23=A 2.33-=A 于是.A 的伴随矩阵为 ?? ??? ? ?----=222563462 .* A

广义逆矩阵及其应用【文献综述】

毕业论文文献综述 数学与应用数学 广义逆矩阵及其应用 一、前言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。 1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，

逆矩阵的运算

11.5逆矩阵 11.5.1逆矩阵的概念 在前面，我们看到矩阵的运算性形式上有些类似于数的地方。比如零矩阵n m O ?在矩阵的加法中与数0在数的加法中有类似的性质：n m n m n m A O A ???=+；单位矩阵n I 在矩阵的乘法中与数1在数的乘法中有类似的性质：n m n n m A I A ??=，n m n m m A A I ??=。 而在数的乘法中，对于任何一个数0≠a 有所谓它的倒数1 -a 存在，适合 111==--a a aa 。下面我们在矩阵的范围中引进起到类似作用的所谓逆矩阵的概念。 定义11.17 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得 I BA AB == 则称矩阵A 为可逆矩阵，而称矩阵B 为A 的逆矩阵。 如果A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的。事实上，如果B 和C 都是A 的逆矩阵，则有 I BA AB ==，I CA AC == 那么 C IC C BA AC B BI B =====)()( 即 C B =。 我们把矩阵A 唯一的逆矩阵记作1 -A ，读作A 的逆。注意，1 -A 不能读作A 的负一次方，同时由于我们没有定义过矩阵的除法，1 -A 也不能看作 A 1。 1．伴随矩阵求逆法 定义11.18 若n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，则称矩阵A 为非奇异的或非退化的。 定理11.11 n 阶矩阵() ij a A =为可逆的充分必要条件是A 为非奇异的，而且 * -= A A A 11 （11.17） 其中 ?? ?? ? ?? ??=*nn n n n n A A A A A A A A A A 2122212 12111 （11.18）

矩阵论广义逆矩阵

第六章 广义逆矩阵 当A 是n 阶方阵，且det A ≠0时，A 的逆矩阵1A -才存在，此时线性方程组Ax =b 的解可以简洁地表示为x =1 A b -．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述． 1920年，，由于不知道它的应用，所以一直未受到重视．直到1955年R.Penrose 利用四个矩阵方程给出广义逆矩阵的更简便实用的定义后，它才引起普遍关注，并得到迅速发展．目前，广义逆矩阵已形成了一套既系统又完整的理论，并在许多学科得到广泛的应用．§6.1 广义逆矩阵的概念 定义6.1 设A ∈C m n ?，如果X ∈C n m ?满足下列四个Penrose 方程 (1)AXA =A ； (2)XAX =X ； (3)()AX AX =H ； (4)H ()=XA XA 的某几个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵，满足全部四个方程的广义逆矩阵X 称为A 的Moore-Penrose 逆． 显然，如果A 是可逆矩阵，则1 X A -=满足四个Penrose 方程． 按照这一定义，可以分为满足一个、二个、三个或四个Penrose 方程的广义逆矩阵，一 共有1234 4444C C C C 15+++=类． 以下定理表明，Moore-Penrose 逆是存在并且惟一的，从而上述的15类广义逆矩阵都是存在的． 定理6.1 设C m n A ?∈，则A 的Moore-Penrose 逆存在且惟一． 证 设rank A ＝r ．若r ＝0，则A 是m ×n 零矩阵，可以验证n ×m 零矩阵满足四个Penrose 方程．若r >0，由定理4．19知，存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V 使得其中∑=diag ()12r σ，σ，…，σ，而()12r i i =σ，，…，是A 的非零奇异值．记 则易验证X 满足四个Penrose 方程，故A 的Moore-Penrose 逆存在． 再证惟一性．设X ，Y 都满足四个Penrose 方程，则(为了叙述简明，在等号上注明了推演时所依据的方程号)从而A 的Moore-Penrose 逆是惟一的． 证毕 需要指出的是只要A 不不可逆矩阵，则除Moore-Penrose 逆以外的其他14类广义逆矩阵都不是惟一的．

也谈矩阵的广义逆【开题报告】

开题报告 信息与计算科学 也谈矩阵的广义逆 一、综述本课题的研究动态, 说明选题的依据和意义 矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成. 1801年德国数学家高斯（F.Gauss, 1777~1855把一个线性变换的全部系数作为一个整体. 1844年, 德国数学家爱森斯坦（F.Eissenstein, 1823~1852）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积. 1850年, 英国数学家西尔维斯特 （James Joseph Sylvester, 18414-1897）首先使用矩阵一词. 1858年英国数学家凯莱（A.Gayley, 1821~1895）发表《关于矩阵理论的研究报告》. 他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究, 并在这个主题上首先发表了一系列文章, 因而被认为是矩阵论的创立者, 他给出了现在通用的一系 列定义, 如两矩阵相等, 零矩阵, 单位矩阵, 两矩阵的和, 一个数与一个矩阵的数量积, 两个矩阵的积, 矩阵的逆, 转置矩阵等. 并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的, 但一般不可交换, 且*m n 矩阵只能用*n k 矩阵去右乘. 1854年, 法国数学家埃米尔特（C.Hermite, 1822~1901）使用了“正交矩阵”这一术语, 但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius, 1849~1917）发表. 1879年, 费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念. 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质, 矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展, 现在已经成为一门数学分支——矩阵论. 而矩阵论又可分为矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论. 矩阵的应用时多方面的, 不仅在数学领域里, 而且在力学, 物理, 科技等方面都有十分广泛的应用. 广义逆的概念最早是由I.Fredholm 提出的, 他给出了积分算广义逆的定义, 并称为“伪逆”. 1904年, D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中, 含蓄地提出了微分算子的广义逆. 而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的, 他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上, 他利用投影矩阵定义了矩阵唯一Moore 的广义逆. 1933年, E.H.Moore 的学生Y .Y.Tseng 又将Moore 广义逆推广到了Hilbert 空间, 提出了Hilbert 空间线性算子的广义逆的概念. 20世纪50年代围绕着某些广义逆的最小二乘性质的讨论重新引起了人们对这个课题的兴趣. 然而, 矩阵的广义逆真正得到迅速的发展并在各个领域获得卓有成效的应用实在

开题报告-矩阵逆的推广及应用

毕业论文开题报告 信息与计算科学 矩阵逆的推广及应用 一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 1． 选题的背景 Moore.E.H 是公认的研究广义逆矩阵的第一人，他在美国数学会1920年一个会议报告的摘要中，对任意矩阵定义了广义逆，当时他称之为general reciprocal 。Moore 关于广义逆的较详细结果发表在Moore(1935)的著名论文中。于是，许多学者通常把1935年作为广义逆研究的起点。在这篇论文中，对任意n m ?矩阵A ，Moore 用下面两个矩阵方程 )(A R P AX =，)(X R P XA = (1) 来定义广义逆X ，这里)()(X R A R P P 和分别是)()(X R A R 和上的正交投影算子。在这之后的20多年中，人们对广义逆的研究并未给予应有的重视。 到了二十世纪50年代，一些学者开始注意到广义逆矩阵的最小二乘性质。Bjerhammar （1951a,1951b ）在不知道Moore 结果的情况下，重新提出了广义逆矩阵的概念（他称之为reciprocal matrix ），并注意到了广义逆与线性方程组解的关系。Bott 和Duffin(1953)在研究电网理论时，引进了一种后来被称为Bott-Duffin 广义逆的逆矩阵。当时他们称为约束逆（constrained inverse ）。但这时期的研究工作缺少一般性，零散而不系统。 在广义逆研究中，一个重要的里程碑是Penrose （1955）的著名论文。在这篇文章中，Penrose 以非常简单、直观的形式叙述了广义逆矩阵+A 满足的四个条件（也称Penrose 条件）：设n m C A ?∈，则满足 XA XA AX AX X XAX A AXA ====H H ))(4(;))(3(;)2(; )1( (2) 的矩阵n m C X ?∈称为矩阵A 的广义逆（其中的共轭转置表示A A H ），并证明了（2）式

广义逆矩阵及其在线性方程组中的应用

毕业论文 题目广义逆矩阵及其在线性方程组中的应用学院理学院 专业数学与应用数学 班级数学0601班 学生周正明 学号20060903116 指导教师孙红卫 二〇一〇年五月三十日

摘要 线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。 关键词：广义逆矩阵；Moore-Penrose 方程；线性方程组；满秩分解

ABSTRACT The method to solve linear equations using the inverse matrix is only feasible when the coefficient matrix is reversible. But for the general system of linear equations, the coefficient matrix may be a irreversible matrix or a rectangular matrix, in this case, we can not use this method to solve the system of linear equations. In order to find solutions of this system, we promote the inverse matrix to generalized inverse matrix, and than use the generalized inverse matrix to solve the system of linear equations. The generalized inverse matrix is important in many area, such as Data analysis, Multivariate analysis, Signal processing, System theory, Modern control theory, Network theory and so on. This paper studies the definition, properties, calculation of the generalized inverse matrix , and the applications in soluting the system of linear equations. Utilizing the generalized inverse matrix, we study the soluting of the general system of linear equations and the minimum norm solution. Key words: generalized inverse matrix; Moore-Penrose eqations; linear equations; full rank decomposition