【精品】2020-2021学年高中数学 1.1.3 导数的几何意义同步练习含答案

选修2-2 1.1 第3课时导数的几何意义

一、选择题

1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0

B ．f ′(x 0)＜0

C ．f ′(x 0)＝0

D ．f ′(x 0)不存在

[答案] B

[解析] 切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f ′(x 0)＝－1

2＜0.故应选B.

2．曲线y ＝12x 2－2在点? ?

???1，－32处切线的倾斜角为( )

A ．1 B.π4

C.5

4π

D ．－π4

[答案] B

[解析] ∵y ′＝li m Δx →0 [12(x ＋Δx )2－2]－(1

x 2－2)Δx ＝li m Δx →0 (x ＋12Δx )＝x ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为

，故应选B. 3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π

的点是( ) A ．(0,0)

B ．(2,4) C.? ????

14，116

D.? ??

??12，14 [答案] D

[解析] 易求y ′＝2x ，设在点P (x 0，x 20)处切线的倾斜角为

，则2x 0＝1，

∴x0＝1

，∴P

，

4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2

C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5

[答案] B

[解析] y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3.

由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.

5．设f(x)为可导函数，且满足lim

x→0f(1)－f(1－2x)

＝－1，则过曲线y＝f(x)

上点(1，f(1))处的切线斜率为( ) A．2 B．－1

C．1 D．－2

[答案] B

[解析] lim

x→0f(1)－f(1－2x)

＝lim

x→0

f(1－2x)－f(1)

－2x

＝－1，即y′|x＝1＝－1，

则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.

6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )

A．不存在B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直D．与x轴斜交

[答案] B

[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.

7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( )

A．3,3 B．3，－1

C．－1,3 D．－1，－1

[答案] B

[解析] 由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.

8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为( )

A ．(1,0)或(－1，－4)

B ．(0,1)

C ．(－1,0)

D ．(1,4)

[答案] A

[解析] ∵f (x )＝x 3＋x －2，设x P ＝x 0，

∴Δy ＝3x 20·Δx ＋3x 0·(Δx )2＋(Δx )3

＋Δx ，

∴

Δy Δx

＝3x 20＋1＋3x 0(Δx )＋(Δx )2

， ∴f ′(x 0)＝3x 20＋1，又k ＝4，

∴3x 20＋1＝4，x 20＝1.∴x 0＝±1，

故P (1,0)或(－1，－4)，故应选A.

9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋2

3上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，

则α的取值范围为( )

A.??????0，π2∪??????

23π，π

B.??????0，π2∪????

??56π，π

C.??????

23π，π

D.? ??

π2，56π [答案] A

[解析] 设P (x 0，y 0)，

∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )＋23－x 3＋3x －

Δx ＝3x 2－3，∴切线的斜率k ＝3x 20－3， ∴tan α＝3x 20－

3≥－ 3. ∴α∈??????0，π2∪????

23π，π.故应选A.

10．(2021·福州高二期末)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，

]，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．[－1，－1

]

B ．[－1,0]

C ．[0,1]

D ．[1

，1]

[答案] A

[解析] 考查导数的几何意义． ∵y ′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，

]， ∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1，即0≤2x ＋2≤1， ∴－1≤x ≤－1

二、填空题

11．已知函数f (x )＝x 2＋3，则f (x )在(2，f (2))处的切线方程为________． [答案] 4x －y －1＝0 [解析] ∵f (x )＝x 2＋3，x 0＝2

∴f (2)＝7，Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝4·Δx ＋(Δx )2 ∴

Δy Δx

＝4＋Δx .∴li m Δx →0 Δy Δx ＝4.即f ′(2)＝4. 又切线过(2,7)点，所以f (x )在(2，f (2))处的切线方程为y －7＝4(x －2) 即4x －y －1＝0.

12．若函数f (x )＝x －1

，则它与x 轴交点处的切线的方程为________．

[答案] y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)

[解析] 由f (x )＝x －1

＝0得x ＝±1，即与x 轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．

∵f ′(x )＝li m Δx →0

(x ＋Δx )－

1x ＋Δx －x ＋1

Δx

＝li m Δx →0 ??????

1＋1x (x ＋Δx )＝1＋1x 2. ∴切线的斜率k ＝1＋1

＝2.

∴切线的方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)．

13．曲线C 在点P (x 0，y 0)处有切线l ，则直线l 与曲线C 的公共点有________个．

[答案] 至少一

[解析] 由切线的定义，直线l 与曲线在P (x 0，y 0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．

14．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________． [答案] 3x －y －11＝0

[解析] 设切点P (x 0，y 0)，则过P (x 0，y 0)的切线斜率为，它是x 0的

函数，求出其最小值．

设切点为P (x 0，y 0)，过点P 的切线斜率k ＝

＝3x 20＋6x 0＋6＝3(x 0＋1)

＋3.当x 0＝－1时k 有最小值3，此时P 的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x －y －11＝0.

三、解答题

15．求曲线y ＝1x －x 上一点P ? ?

???4，－74处的切线方程．

[解析] ∴y ′＝lim Δx →0 ?

??1

x ＋Δx －1x －(x ＋Δx －x )Δx ＝lim Δx →0 －Δx x (x ＋Δx )－

Δx

x ＋Δx ＋x Δx

＝lim Δx →0 ? ????－1x (x ＋Δx )－1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－1

2x . ∴y ′|x ＝4＝－

116－14＝－516

， ∴曲线在点P ?

????4，－74处的切线方程为： y ＋7

4＝－516

(x －4)．即5x ＋16y ＋8＝0.

16．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；

(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )．

[解析] (1)y′＝li m

Δx→0(x＋Δx)3－3(x＋Δx)－3x3＋3x

Δx

＝3x2－3.

则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率

＝f′(1)＝0，

∴所求直线方程为y＝－2.

(2)设切点坐标为(x0，x30－3x0)，

则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3x20－3，

∴直线l的方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0) 又直线l过点P(1，－2)，

∴－2－(x30－3x0)＝(3x20－3)(1－x0)，

∴x30－3x0＋2＝(3x20－3)(x0－1)，

解得x0＝1(舍去)或x0＝－1 2 .

故所求直线斜率k＝3x20－3＝－9 4，

于是：y－(－2)＝－9

(x－1)，即y＝－

x＋

17．求证：函数y＝x＋1

图象上的各点处的切线斜率小于1.

[解析] y′＝li m

Δx→0f(x＋Δx)－f(x)

Δx

＝li m

Δx→0?

x＋Δx＋

x＋Δx－?

x＋

Δx

＝li m

Δx→0x·Δx(x＋Δx)－Δx (x＋Δx)·x·Δx

＝li m

Δx→0(x＋Δx)x－1 (x＋Δx)x

＝x2－1

＝1－

＜1，

∴y＝x＋1

图象上的各点处的切线斜率小于1.

18．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一

条切线，且l 1⊥l 2.

(1)求直线l 2的方程；

(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积． [解析] (1)y ′|x ＝1

＝li m Δx →0 (1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)

Δx ＝3，所以l 1的方程为：y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3. 设l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， y ′|x ＝b ＝li m Δx →0 (b ＋Δx )2＋(b ＋Δx )－2－(b 2＋b －2)Δx

＝2b ＋1，所以l 2的方程为：y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)·(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.

因为l 1⊥l 2，所以3×(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以l 2的方程为：y ＝－

x －22

(2)由???

y ＝3x －3，

y ＝－13x －22

9，

得???

x ＝16，y ＝－5

2，

即l 1与l 2的交点坐标为? ????1

，－52.

又l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，? ????

－223，0.

所以所求三角形面积S ＝12×??????－52×?

???1＋223＝12512.

高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题

导数的概念、运算及其几何意义黑龙江依兰高中刘岩 A 组基础达标选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2．已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（） A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f / (x)的图象是（） 4.下列求导数运算错误．．的是（） A. 20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为（） A ． 2 B ． 3 C ． 12 D ．1 填空题： 1．若2012)1(/ =f ，则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ，x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2．函数y=(2x －3)2 的导数为函数y= x -e 的导数为 A x D C x B

导数的计算及其几何意义

导数的计算及其几何意义一、导数的概念及其几何意义 1.函数的平均变化率：定义：已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=- 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，则当0x ?≠时，商 00()()f x x f x y x x +?-?=??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率．注意：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2.函数的瞬时变化率、函数的导数：定义：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-．如果当x ?趋近于0时，平均变化 00()()f x x f x y x x +?-?=??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0 x ?→时， 00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ?→时， 000()() ()f x x f x f x x +?-'→?” 或 “0000 ()() lim ()x f x x f x f x x ? →+?-'=?”．注：0'()f x 是个数． 3.可导与导函数：定义：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构

导数概念及其几何意义

导数概念及其几何意义 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量满足（） A .>0 B .<0 C D. =0 2、设函数，当自变量由改变到时，函数值的改变量是（） A B C D 3、已知函数的图像上一点（1，2）及邻近一点，则等于（） A 2 B 2x C D 2+ 5．函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy）,则等于（） A．4Δx+2Δx2B．4+2Δx C．4Δx+Δx2D．4+Δx 7．若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y－1=0，则（） A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)=0 D．f′(x0)不存在 8．已知命题p：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q：函数y=f(x)是一次函数，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则等于（） A．f′(x0) B．0 C．2f′(x0) D．－2f′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f′(0)等于（）A．0 B．1 C．－1 D．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是______ 函数．（填增、减、常函数） 13．设f(x)在点x处可导，a、b为常数，则=_____． 16．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率．(2)点A处的切线方程． 17．已知函数f(x)=，试确定a、b的值，使f(x)在x=0处可导．导数的运算(二)

偏导数的几何意义

偏导数的几何意义实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件背景知识：一偏导数的定义在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多. 所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例, 如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做 , , ,或例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为

记做, , 或如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为

导数的计算与导数的几何意义高考试题汇编(含答案)

专题三导数及其应用第七讲导数的计算与导数的几何意义 2019年 1.（2019全国Ⅰ文13）曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 2.（2019全国Ⅱ文10）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 3.（2019全国三文7）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b =-1 B ．a=e ，b =1 C ．a=e -1，b =1 D ．a=e -1，1b =- 4.（2019天津文11）曲线cos 2 x y x =- 在点()0,1处的切线方程为__________. 5.（2019江苏11）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 . 2010-2018年一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)=+-+f x x a x ax ．若()f x 为奇函数，则曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为 A ．2=-y x B ．y x =- C ．2=y x D ．=y x 2．（2017山东）若函数e ()x f x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 A ．()2 x f x -= B ．2 ()f x x = C ．()3 x f x -= D ．()cos f x x = 3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x = B ．ln y x = C ．e x y = D ．3y x = 4．（2016年四川）设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01 ()ln , 1x x f x x x -<?，图象上点1P ，2P 处

高中数学-导数的几何意义及应用

高中数学导数及其应用复习学案类型一：利用导数研究函数的图像例2、若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（） (A) (B) (C) (D) 练习1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（）（A ）（B ）（C ）（D ） 2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是（） B ． C ．类型二：导数几何意义的应用例3、（1）求曲线21x y x = -在点()1,1处的切线方程。（2）求抛物线y=2x 过点5,62?? ??? 的切线方程 y x y y x y x y x O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 x y O 1 2 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o x o x y o x y o x y

32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+ ----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或 7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________．类型三：利用导数研究函数的单调性例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值；（II ）求函数f （x ）的单调区间；例5、已知函数f(x)= ax 1x 2 ++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围. 练习：若函数y =3 1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x = 例、求函数的极值。 ()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。练习1、已知f(x)=x 3+ax 2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) （A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6 （C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6 2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。类型五：导数与最值例8、已知函数f(x)=(x-k)e x . (1)求f(x)的单调区间；

高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计教材内容分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用。学生学情分析学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后，立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数，掌握求导数的基本步骤，初步学会求解简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观

3.1.3 导数的几何意义(优秀经典公开课比赛教案及联系解答)

3.1.3导数的几何意义教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数. 教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义教学过程：情景导入：如图,曲线C 是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C 上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P 邻近一点,PQ 为C 的割线,PM//x 轴,QM//y 轴,β为PQ 的倾斜角. .tan , ,:β=???=?=x y y MQ x MP 则展示目标：见学案检查预习：见学案合作探究：探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？ y x ??请问：是割线PQ 的什么?

新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k = 当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x ?→+?-'==? 新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 精讲精练：例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况. 解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) <0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减.(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) <0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减.从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明 h(t) 曲线在 l1 附近比在 l2 附近下降得缓慢。例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)

(整理)CH8(5)偏导数的几何意义.

§8-5 多元函数微分学的几何应用 A 级同步训练题：一、客观题： 1、曲面z=F(x,y,z)的一个法向量为（）（A ）{1,,-'''z y x F F F } ; （B ）{1,1,1-'-'-'z y z F F F }; （C ）{,,,z y x F F F '''} ; （D ）{1,,y z F F '-'-}. 2、旋转抛物面z=x 2+2y 2-4在点（1，-1，-1）处的法线方程为（）（A ） 114121-+=+=-z y x ; （B ）11 4121-+= -+=-z y x ; （C ）114121-+=+=--z y x ; （D ）1 14121--= -=-+z y x . 3、曲线2 ,ln ),1sin(t z t y t x ==-=在对应于1=t 点处的切线方程是（） (A) 11 11-= =z y x ; (B) 21 111-= -=z y x ; (C) 2 111-= =z y x ; (D) 2 11z y x ==. 4、曲线x=t 3,y=t 2 ,z=t 在点（1，1，1）的切向量s = 。 5、x 2－y 2+z 2=3在点（1，1，1）的切平面方程为二、求曲面πππ =-+z x y y x 在点处的切平面和法线方程。三、求曲线3 2 ,,t z t y t x ===上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面16=-z y 。四、求曲线19,1,123 2 --=+=--=t t z t y t t x 上的点，使曲线在该点处的切线垂直于平面0432=+--z y x 。五、求曲面z=x 2+y 2在（1，2，2）处的切平面与法线方程。 B 级同步训练题：一、客观题： 1、设曲面xy z =上点的切平面平行于平面，则点到已知平面的距离等于（）（A ） ;（B ） ;（C ） 21 24 ; （D ）. 2、曲面)cos(y x x e z yz ++=在点?? ? ??1,0,2π处的法线方程为（）

导数的概念、运算及几何意义

导数的概率、运算以及几何意义１．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）上的平均变化率．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-．如果当x ?趋近于0时，平均变化率 00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→” 读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”．考点1：导数的定义【铺垫】求下列函数在区间[]22x +?，和[]33x +?，上的平均变化率 ①()f x x = ②2()f x x = 【例1】平均变化率与瞬时变化率 ⑴ 求下列函数在区间00[]x x x +?，上的平均变化率． ① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④1 ()f x x = ⑤ ()f x ⑵ 求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率． ① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x =④1 ()f x x =⑤()f x 【追问】从瞬时变化率角度分析每个函数的整体变化趋势，我们可以很明显的看出对于一次函数，二次函数，三次函数来说，次数越高，往后变化越快．【总结】由例1⑵看出一次函数的增长速度不变，二次函数三次函数的增长速度越来越快，提高班学案1 【拓1】求函数3()2f x x x =-在[]11x +?，上附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数．

导数的几何意义的教学设计

导数的几何意义【教学目标】 1.理解切线的定义 2.理解导数的几何意义 3.学会应用导数的几何意义。【教学重点与难点】重点：理解导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合的思想方法。难点：发现、理解及应用导数的几何意义。【教学过程】

第二步：求瞬时变化率()0000 () ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?. （即0x ?→，平均变化率趋近．．于的确定常数．．．．就是该点导数．．） (2) 类比平均变化率得出导数，同样我们可以利用平均变化率的几何意义，得出导数的几何意义，我们观察函数()y f x =的图象，平均变化率()00() f x x f x y x x +?-?=?? 的几何意义是什么生：平均变化率表示的是割线n PP 的斜率教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么二、引导探究、获得新知 1.得到切线的新定义要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究0x ?→，割线的变化趋势．．．．．．．， ◆多媒体显示：曲线上点P 处的切线PT 和割线n PP ，演示点n P 从右边沿着曲线逼近点P ,即0x ?→，割线n PP 的变化趋势。教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢生：先观察后发现，当0x ?→，随着点n P 沿着曲线逼近点P ，割以求导数的两个步骤为．．．．．．．．．依据．．，从平均变化率的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住0x ?→的联系，在图形上从割线入手来研究问题。用逼近的方法体会割线逼近切线。

导数的几何意义及运算

导数的几何意义及运算复习一、导数的几何意义： )(0x f ?=x y ??=x x x x x f x f 0 000)()()(-?+-?+=x f x f x x ?-?+)()(00=K 当Δx----0时, )(0x f ? =K 趋近于一常数二、导数的求导公式及运算典型例题：例1、当h 无限趋近于0时,h h 4)4(22-+无限趋近于 ;h h 44-+无限趋近于 . 练习：若 )(0x f ?=3，当Δx 无限趋近于0时,x x f x f x x ??--?+)3()(00= . 例2.已知函数y=f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线方程是x-2y+1=0,则'(1)2(1)f f += 训练1：已知函数y=f(x)的图像在点（0，f(0)）处的切线方程是2x-y+2=0,则'(0)(0)f f += 2.曲线 '2(1) 1().(0)2x f x f x e f e x =-+在点（1，f(1)）处的切线方程为题型二：求切线方程例3、已知曲线y=3 4313+x , (1)、求曲线在点P （2,4）处的切线方程; (2)、求斜率为4的曲线的切线方程； (3）、求过点P （2,4）的切线方程；

练习1：已知曲线3 y x = （1）求曲线在点P （1,1）处的切线方程；（2）求与直线3x-y=0平行的直线方程；（3）求过点P(1，1)处的直线方程；练习2：已知kx+1=㏑x 有实数解,求k 的取值范围题型三：告诉切线方程求参数的值例4：函数y=12+x a 图像与直线y=x 相切,则a= . 练习：曲线y= 13++ax x 的一条切线方程为y=2x+1则实数a= 题型四：两个曲线的公切线例5.若存有过点（1,0）的直线与曲线3y x =和21594 y ax x =+-都相切，则实数a= 例6已知曲线C 1：y=x 2与C 2：y=-)2(2-x ,直线l 与C 1,C 2都相切,求直线l 的方程.

偏导数的几何意义教学内容

偏导数的几何意义

偏导数的几何意义实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件背景知识：一偏导数的定义在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做

, , ,或例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为记做, , 或如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或

由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为 = 其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例求的偏导数解= , = 二偏导数的几何意义

(精心整理)高中数学导数知识点归纳总结

§14. 导数知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→

导数的概念及几何意义运算

一、选择题 1．若f ′(x 0)＝2，则 f (x 0－k )－f (x 0)2k 等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D.12 答案：A 3．曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1, 则P 0点的坐标为( ) A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)或(－1，－4) D ．(2,8)或(－1，－4) 解析：设P 0点的坐标为(x 0，y 0)，由f (x )＝x 3＋x －2得：f ′(x )＝3x 2＋1，令f ′(x 0)＝4，即3x 2 o ＋1＝4得x 0＝1或x 0＝－1，∴P 0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)．答案：C 4．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( ) A ．－15 B ．0 C.15 D ．5 解析：由已知f ′(x )是R 上以5为周期的奇函数，则f ′(5)＝f ′(0)＝0. 答案：B 5．设f (x )在x 0处可导，则 f (x 0＋t )－f (x 0－t )t 的值等于________．答案：2f ′(x 0) 6．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，由y ＝e x 知y ′＝e x ，则y ′|x ＝x 0＝e x 0， ∴y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0 ＝e x 0，则x 0＝1，因此切点坐标为(1，e)．斜率为e. 答案：(1，e) e 7．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 所围成的三角形面积为16 ，则a ＝________. 解析：由y ＝x 3知y ′＝3x 2，则y ′|x ＝a ＝3a 2.因此切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a ) 即y ＝3a 2x －2a 3，令y ＝0得：x ＝2a 3，令x ＝a 得y ＝a 3根据已知条件12|a －2a 3|·|a 3|＝16 ，解得：a ＝±1. 答案：±1 1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )

导数的几何意义教学导案后附教学反思

导数的几何意义教案(后附教学反思)

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导数的几何意义教案（后附教学反思）永嘉中学数学组周瑛 08.4.13 【教学目标】知识与技能目标：（1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/ x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在 0x x =处的切线的斜率。（数形结合），即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/＝切线的斜率 (2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的意识。【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。【课型】探究课【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。难点：发现、理解及应用导数的几何意义【教学过程】（一）课题引入，类比探讨：让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学案”中写：导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率．．．．．，即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/ （注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意

8导数的计算及其几何意义 - 难 -讲义

导数的计算及其几何意义知识讲解一、导数的概念及其几何意义 1.函数的平均变化率：定义：已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=- 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，则当0x ?≠时，商 00()()f x x f x y x x +?-?=??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率．注意：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2.函数的瞬时变化率、函数的导数：定义：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-．如果当x ?趋近于0时，平均变化 00()()f x x f x y x x +?-?=??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0 x ?→时， 00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ?→时， 000()() ()f x x f x f x x +?-'→?” 或 “0000 ()() lim ()x f x x f x f x x ? →+?-'=?”．注：0'()f x 是个数．

导数的概念和几何意义同步练习题(教师版)

导数的概念和几何意义同步练习题一、选择题 1．若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42 A ，则它在A 点处的切线方程是（） A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C ．20x y -= D. 20x y += 【答案】B 【解析】试题分析：设()a f x x =，把11(,)42A 代入，得1142a =，得12 a =，所以1 2()f x x ==() f x '= ，1 ()14f '=，所以所求的切线方程为11 24 y x - =-即4410x y -+=，选B.考点：幂函数、曲线的切线. 2．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、 4π B 、0 C 、4 3π D 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x -=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k ， 1.利用导数求切线的斜率； 2.直线斜率与倾斜角的关系 3．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） A.2 e B.2 2e C.2 4e D.22 e 【答案】D 【解析】试题分析：∵点2 (2)e ，在曲线上，∴切线的斜率'22 2 x x x k y e e --===， ∴切线的方程为2 2 (2)y e e x -=-，即2 2 0e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为2 (0,)e -，(1,0)， ∴22 1122 e S e =??=.考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式. 4．函数2 ()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A ．44y x =- B ．44y x =+ C ．42y x =+ D ．4y = 【答案】A 【解析】试题分析：由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ，又4)2(=f ，所以切线方程为)2(44-=-x y ，即44-=x y .也可以直接验证得到。考点：导数求法及几何意义 5．曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行，则点A 的坐标为( ) （A ）() 11,e -- （B ）()0,1 （C ）()1,e （D ）()0,2

导数的几何意义教学设计(教案)-函数的导数的几何意义教学设计

导数的几何意义教学设计（教案）一、【教学目标】 1.知识与技能目标：（1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/ x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在 0x x =处的切线的斜率。（数形结合），即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/＝切线的斜率 (2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。 2.过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。 3.情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的意识。【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。【课型】探究课【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。难点：发现、理解及应用导数的几何意义二、【教学过程】（一）课题引入，类比探讨：让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学案”中写：导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率．．．．．，即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/ （注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角

高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点?１、导数定义的认知与应用； ?2、求导公式与运算法则的运用; ? 3、导数的几何意义； ?4、导数在研究函数单调性上的应用; ５、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。??三、知识要点? (一)导数?１、导数的概念?（1)导数的定义（Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x（△ｘ可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果

时,有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作 ,即。 ?(Ⅱ）如果函数在开区间(）内每一点都可导，则说在开区间()内可导,此时,对于开区间(）内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间(）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。??认知：（Ⅰ)函数的导数是以ｘ为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当时的函数值。（Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量 ;? ②求平均变化率； ③求极限?上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。?? (2)导数的几何意义:?函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。? (3)函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别:?（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续;?若函数在开区间(）内可导,则在开区间（）内连续(可

导一定连续）。??事实上，若函数在点处可导，则有此时,? ? ? ?记 ,则有即在点处连续。?（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。?反例：在点处连续，但在点处无导数。事实上，在点处的增量?当时，, ；?当时，, 由此可知，不存在，故在点处不可导。??2、求导公式与求导运算法则（１）基本函数的导数(求导公式）公式1 常数的导数：(c为常数），即常数的导数等于0。??公式2 幂函数的导数:。? 公式3 正弦函数的导数:。??公式4 余弦函数的导数： ??公式5 对数函数的导数:? (Ⅰ)； ?（Ⅱ）