一类二阶半线性椭圆型边值问题解的存在唯一性
关于极限limn→∞11nn存在的三种证明方法
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椭圆型方程
§1
差分逼近的基本概念
考虑二阶微分方程边值问题
d 2u Lu 2 qu f , a x b, dx u (a) , u (b) , (1.1) (1.2)
其中 q，f 为 [ a , b ] 上的连续函数， q 0, , 为给定常数. 将其分成等分，分点为
称
uh 收敛到边值问题的解 u .
对于差分方程
Lhvi fi , i 1, 2,3,L , N 1,
定义1.3
v0 vN 0 , 如果存在与网格 I h 及右端 fh 无关的常数
数 M 和 h0 , 使 || vh || M || f h ||R ,
0 h h0
称差分方程关于右端稳定.
第二章
椭圆形方程的有限差分法
有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种主要数值
方法.
有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，用数值 微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用RitzGalerkin 方法导出相应的线性代数方程组，但基函数要按
特定方式选取.
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.9) (2.10)
W (a) W ( x1 ) 2 qudx
d2 du hi 1 hi dx 2 ( p dx ) 12 i
d 3u 2 p O ( h ) dx 3 i
于是得逼近方程 (2.1)~(2.2) 的差分方程：
ui 1 ui ui ui 1 2 p 1 Lhui pi 1 i h h h h i i 1 i 1 i 2 2 i i 1, 2,, N 1 ui 1 ui qiui fi , hi hi 1 u0 , uN
一类带奇异项的半线性椭圆型方程的不变解
的不变解 的存在性 问题 。其 中 ０ ∈Ｑ 是 （ Ⅳ ４ ） 中的一个 有界或无 界的 开集 ， Ｎ－ － ａ ２２
一
１ ，
＜
＜
）
可 ，
有界 区域 且在 方程 中加 了 旦 这个 条件 。 目的 ｌ 。 Ｘｌ
收稿 日期 ： ０ ７ １ — ３ ２ ０ —０２
问题 （ ） １ 与下 面 的方 程
一ｉ（ ｌ Ｖ － ａ １ － ｕ） ２ Ｖ ．
在 １１ ２０中
铭 ，
一
Ａｕ（ 一 ｕ（ ＝ （ ～， Ｄ Ｏ中 ｘ） ｘ ｘ） 铭 功 在 Ｊ （） ２
ｕ（ ＞０ 在 １／ ｘ） ， ２０中 Ｕ（ ＝０ 在 ａ 中 Ｘ） ， Ｑ
Ｕ（ ） ， １／ Ｘ ＞０ 在 ２０中 ｕ（ ＝ ， ａ 中 ｘ） ０ 在 Ｑ
ａ ＜ｌ ａ， ＝ 口ｂ） ． ａ ｎ Ｇ ）使得 ＜ｂ ＋ 且 （ ， ， Ｃｎ ２（ ｕ ， 铭 在 （ Ｇ） ｎ，
方程 （ ） １ 是否 也存在 不变解 呢 ？众 多的数 学工作 者
都 致力于 ／ ｘ ＞Ｏ的情 况 。然而 ． 我们最 感 兴趣 的 问 题是 ／＜Ｏ这 种情况 。 ｘ 在
作者简介： 许勇强 （ ９ ６ ， 福建 漳浦人， １７ 一） 男， 助教 ， 硕士。
维普资讯
第 ２期
许 勇强 ： 一类带 奇异项 的半线性 椭圆 型方程 的不变 解
，
３ ３
是 为了显示 临界 维数 与文 ［】 ４ 中相 关 的格林 函数 积 分 之 间的关 系。 上面 的这 些情况 给 我们 予 启 示 ：对 更 一般 的
（） １
有着紧密 的联 系。 种带 有临 界 Ｓ ｂ ｌｖ 这 ｏ ｏｅ 指数 的方
椭圆型方程
(1.5)
注 此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数
最多有3个易于求解.
④ 对方程组 (1.4)～(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：
(a) 解是否惟一？ (b) 当网格无限加密时，即 h 0 时，差分解 ui
是否收敛到真解 u (xi ) ? (c) 在何种度量下收敛？ (d) 收敛速度如何？ 为了解决如上问题，需要给出如下说明：
于是在 xi 将方程 (1.1) 写成
u (xi1) 2u (xi ) u (xi1) h2
q(xi )
u (xi )
f
(xi )
R
i(u),
(1.3)
其中
R
i(u)
h2 12
d
4u(x) dx4
i
O(h3 ).
舍去 R i(u) 得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：
du dx
i
hi1 2
hi
d 2u dx2
i
O(h2
)
(2.3)
p(
x i
1
)
2
u(xi ) u(xi1) hi
p
du dx i1
2
hi2 24
p
d 3u
dx3
i1
2
O(h3)
p
du dx
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.7) (2.8)
(2.9) (2.10)
W (a) W (x1 ) 2
x1
关于P3P问题解的唯一性条件的几点讨论
关于P3P问题解的唯一性条件的几点讨论
周鑫;朱枫
【期刊名称】《计算机学报》
【年(卷),期】2003(026)012
【摘要】P3P问题的多解现象使其应用受到了限制,前人的研究结果对布置控制点和摄像机没有太大的指导意义.该文作者采用了与前人不同的研究方法,发现3个控制点构成等腰三角形时,在空间可以找到一些区域,当摄像机在这些区域中时,可以唯一地求出所构成的P3P问题的真实解.同时,该文的研究结果又对P3P问题在实际应用中布置控制点和摄像机的位置具有指导意义.
【总页数】6页(P1696-1701)
【作者】周鑫;朱枫
【作者单位】中国科学院沈阳自动化研究所机器人学重点实验室,沈阳,110016;中国科学院沈阳自动化研究所机器人学重点实验室,沈阳,110016
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.具温度边界条件的单相Stefan问题解的存在唯一性 [J], 闫德宝
2.共振条件下半线性椭圆偏微分方程边值问题解的存在唯一性 [J], 孙世全;李维国
3.具有Wentzel型边界条件的反源问题解的唯一性 [J], 尹丽君;温鑫亮
4.一阶方程初值问题解的存在与唯一性定理的几点注记 [J], 胡燧林
5.带积分边界条件的非线性Caputo型分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性[J], 赵阳阳
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退化线性椭圆方程非常弱解的存在唯一性
退化线性椭圆方程非常弱解的存在唯一性晏华辉;顾广泽【摘要】In this paper,we first defined the very weak solutions to degenerate elliptic equations in a bounded smooth domain with a flat boundary piece.Then,we obtained the existence and uniqueness to such very weak solutions by applying variational method and maximum principle of degenerate elliptic e-quations.%定义了在所谓的具有一片平的边界的有界光滑区域内退化线性椭圆的非常弱解的概念，然后利用变法方法与退化椭圆方程的极值原理等证明了该问题非常弱解的存在唯一性结果。
【期刊名称】《湖南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)007【总页数】3页(P122-124)【关键词】存在性;唯一性;非常弱解;退化椭圆方程【作者】晏华辉;顾广泽【作者单位】湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙 410082;湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙 410082【正文语种】中文【中图分类】O175.25Quittner 与Reichel 在[1]中研究了带非线性Neumann边界条件的问题：(1)Ω∈RN有界．定义了一类非常弱解的概念，并且证明了只要函数f满足增长条件：则存在弱解u∈L∞(Ω).还证明了是精确临界指数.即当时，对空间维数N=3或4，f(x,s)=sp,存在区域Ω与ε>0使得所研究问题存在至少有两个正的无界的弱解，这些解会在边界∂Ω的某点爆破.关于是精确临界指数的情形，读者可以参阅文献[2]-[7]等.为了研究问题(1)的非常弱解，他们需要首先研究对应线性边界条件问题：(2)他们需要得到上面问题非常弱解的存在唯一性结果.性质1 令g∈L1(∂Ω).则问题(2)存在唯一弱解u∈L1(Ω)×L1(∂Ω),且存在常数C>0,使得：‖u‖L1(Ω)+‖u‖L1(∂Ω)≤C‖g‖L1(∂Ω).而且，若g在∂Ω上g≥0几乎处处成立，则解u在Ω内与∂Ω上均几乎处处成立u≥0.1 预备知识和几个引理自然想到将上面椭圆方程非常弱解的问题推广到退化椭圆方程非常弱解的问题.为此，我们需要在如下一类特别的区域内考虑问题.定义1 令H={(x′,xN):xN>0}为上半空间.H中的一个有界光滑区域Ω称为具有一片平的边界的区域，若它满足：(ⅰ)∂Ω=Σ1∪Σ2,Σ1⊂∂H,且0∈int (Σ1)；(ⅱ)int (Σi)=Σi(i=1,2),且int (Σ1)∩int (Σ2)=φ.我们将研究在一片平的边界Σ1的区域Ω内的如下退化椭圆问题：(3)其中参数a∈(-1,1),且注当a=0时，退化椭圆问题(3)即为问题(1).要研究问题(3)，也需要研究它对应的线性边界条件的问题非常弱解的存在唯一性：(4)类似[1]，定义问题(4)的非常弱解的概念.定义2 令g∈L1(Σ1),函数u∈L1(Ω)称为问题(4)的一个非常弱解，若它满足：▽对任意的▽首先用变分方法得到：当g∈L∞(Ω1)时，问题(4)非常弱解的存在唯一性．需要用到如下的退化椭圆算子对应的极值原理．引理1[8] 若u弱满足则在Ω中u≥0.引理2 令g∈L∞(Σ1)，则问题(4)存在唯一弱解∞,u|Σ2=0}.证问题(4)对应的能量泛函为显然，能量泛函J存在极小化子序列{uk}使得易得▽uk|2dx+由Poincare不等式与已知条件g∈L∞(Σ1)知▽其中C与k无关.从而存在一个子列，仍记作 {uk}及使得：uk→u在的意义下，由范数的弱下半连续性及空间的弱闭性质知J(u)=m.从而u即为问题(4)的弱解.再证唯一性.设有两个解u1,u2，则它们的差w:=u1-u2满足：由引理1可得w≡0，所以u1≡u2.证毕.2 主要结果本文的主要结果如下：定理令g∈L1(Σ1),则问题(4)有唯一非常弱解u∈L1(Ω),且存在C>0,使得‖u‖L1(Ω)≤C‖g‖L1(∂Ω).而且若在∂Ω上g≥0几乎处处成立的话，则在Ω内几乎处处成立u≥0.证先证明存在性.由分解g=g+-g-，其中g+=max {g(x),0}，g-=-min {g(x),0}.只需对函数g≥0的情形证明非常弱解的存在性即可.令gk(x)=min {g(x),k},k∈N.则gk→g在L1(Σ1)意义下，当k→∞，令为如下问题的弱解所以对所有的有▽φ)dx=(5)由(5)式可得▽(6)由引理2可知，如下问题存在古典解ψ将(6)中的实验函数取上面问题的解ψ，则有由引理1知，在中ψ≥0及uk-ul≥0，当k>l.所以{uk}为L1(Ω)中的一个基本列.从而在L1(Ω)中uk→u.在(5)式中，取极限，令k→∞，得到结论:u为原问题(4)的非常弱解.存在性得证.唯一性的证明同前面引理2，略去.证毕.推论方程组(7)只有零解.证显然u≡0是方程组(7)的解，由定理可知方程组(7)的解唯一，故方程组(7)只有零解.证毕.参考文献[1]QUITTNER P,REICHEL W.Very weak solutions to elliptic equations with nonlinear Neumann boundary conditions [J].Calc Var Partial Diff Equ，2008,32(4):429-452.[2]BIDAUT-VERON M F,PONCE A,VERON L.Boundary singularities of positive solutions of some nonlinear elliptic equations [J].C R Acad Sci Paris Ser I Math，2007,344(2):83-88.[3]HU B.Nonexistence of a positive solution of the Laplace equation with a nonlinear boundary condition [J].Differential IntegralEquations.1994,7(2):301-313.[4]MCKENNA P J,REICHEL W.A priori bounds for semilinear equations anda new class of critical exponents for Lipschitz domains [J].J Funct Anal，2007,244(1) :220-246.[5]PACARD F.Existence de solutions faibles positive de dans des ouverts bornes de [J].C R Acad Sci Paris Ser． I Math，1992,315(7) :793-798. [6]PACARD F.Existence and convergence of positive weak solutions of in a bounded domains of [J].Calc Var Partial Diff Equ，1993,1(3) :243-265. [7]QUITTNER P,SOUPLET PH.A priori estimates and existence for elliptic systems via bootstrap in a weighted Lebesgue spaces [J].Arch Ration Mech Anal，2004,174(1):49-81.[8]CABRE X,SIRE Y.Nonlinear equations for fractional LaplaciansI:regularity,maximum principles,and Hamiltonian estimates [J].Ann Inst HPoincar’{e} Anal NonLin’{e}aire，2014,31(1) :23-53.。
一类特殊椭圆型方程的弱解存在性
记 Ｌ ：＝ ｖ Ｇ （ ，则 有 如 下 引 理 ２ ｖ ＝ ＝Ａ ＋ Ｕ） ： 引理 ２ Ｅ 算 子 Ｌ 的 核 空 间 可 以 表 示 为
，
（） ３
其 ， ） ｇ）一） － 中 （一 ・Ｊ （（ １ ｚ Ｇ ｛’ ｚ ｄ ．
收 稿 日期 ：２ １ － １２ ． ０ １１－２ 基 金 项 目 ：国家 自然 科 学 基 金 项 目 （ １ ７ ０ ５ １０ １ ９ ） ＊通讯 联 系 人 ． ｍａｌ ｊ＠ ｍａｌｃｎ ． ｄ ． ｒ Ｅ ｉ：ｚｚ ｉ ｃ ｕ ｅ ｕ ｃｌ ．
摘 要 ： 用 扰 动 方法 证 明 了如 下 一 类 具 有 特 殊 非 线 性 项 的 椭 圆 型方 程 运
＜
￣Ａ ＋ （ “１ 户 －ｕ ｃ ＿¨＜＜ ｇ （ ）
ｌ ∈ Ｄ 。 ＲＮ） “（ 一 Ｏ，ｚｉ 。 “ ’（ ， ） ｝ 一 。．
在 ｇ ｚ ∈Ｌ Ｒ ， ｇ ｚ ≥ ｏ ｌ ｇ ｚ 一 ０ 则 存 在 正 数 ￡， ｅ （ ， ） ， 少 有 一 个 弱 解 （ ） （ ）且 （ ） ， ｉ （ ） ｍ ， 。 当 Ｅ ０￡ 时 至 。
存在．
关 键 词 ： 动 方 法 ； 圆 型方 程 ； 解 扰 椭 弱 中 图 分 类 号 ： ７． Ｏ１ ５ 研 究 如 Ｆ类 型 的 椭 圆 型 方 程
显 然 问 题 （ ）可 以 看 作 问 题 （ ）的 一 个 扰 动 ， １ ２ 问 题 （ ）的 方 程 中不 显 含 ｚ， 而 可 以 在 球 对 称 空 ２ 从
第 ４ ６卷 第 ４ 期 ２１ Ｏ ２年 ８月
华 中师 范 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＵＡＺＨ０ＮＧ Ｎ０ＲＭ ＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ（ ｔ ｃ． Ｉ Ｎａ ．Ｓ ｉ ）
一类无界域上非线性二阶椭圆方程粘性解的存在性
４ 讨 论 了 ｎ ＝Ｒ ］ 隋形 ． 本文 考虑 如下狄 利 克雷 问题 （ ． ）
』 ＋（ ，ｕ一 ）ｏ ｅ ， （ ）ＦＤ Ｄ ） ＝， ｆ （ ｕ２ ｔ １ ）
【 （ ：０ ∈ａ ） ， Ｑ，
７ ４
第２ 第Ｅ ２１ ３ Ｊ ０ ５ ，
１ 期
南 昌航 空 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ） Ｊ ＵＲ Ｌ ＯＦＮ ＣＨ Ｇ ＡＮＧ ＮＧ ＵＮＶＥ ＳＴ Ｎ Ｕ Ｏ ＮＡ ＡＮ ＡＮ Ｈ ＫＯ Ｉ Ｒ ＩＹ（ ＡＴ ＲＡＬＳ Ｉ Ｎ ＥＳ Ｃ Ｅ Ｃ ）
一
类 无 界 域 上 非 线 性 二 阶 椭 圆 方 程 粘 性 解 的存 在 性
方面 ， 只要 ＞ ， Ｎ 就有 Ｉ ｉ Ｍ ＜ 其 Ｍ 一ｌ ｍ Ｉ ，
中 是 一个 能 任意 小 的正 数 ， 据 （ ２ 式 和方 程 组 根 １）
（ ） ｉ） Ｎ 能 够 取 成 与 无 关 的 数 ； 一 方 面 ， ６ （ｖ ， 另 由
其 中 ￡＞ ． 造 辅 助 函数 族 （ ０构 ）＝２ ｘ －／， Ｌｅ Ｒ ｘ
得
证明
假设 结 论 不 成立 ， 则存 在 一 点 ∈Ｑ， 使
其 中 Ｑ 是
中的 无 界 域 ， ａ 且 Ｑ≠ （ ． 过 对 ２通 ｊ
（ ） （ ）＝ｏ ＞ 元 一 元 ｒ０
成 立． 由于 又 ） Ｃ（ ， ∈Ｕ Ｑ） 有
（） ２
问题 （ ） 明 比较 原 理成 立 ， 通 过 实 际构 造 出上 、 １证 再
＋ （ （） 一 一 （） ） Ｆ 一 多 ＋ ， ＤＪ 多 一 ２
一
偏微分方程初步介绍公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
0, 0
第三边值问题（Robin）
经典旳定解问题举例
热传导方程旳初、边值问题
u t
a2
2u x 2
f (x, t),
t 0,0 x L
u(x, t) (x)
t 0
u( x, t) x0
g (t), u(x, t) xL
h(t)
何为适定性？
存在性 唯一性 连续依赖性（稳定性）
自变量 未知函数
F (x, u,
u x1
,,
u xn
,
2u x12
,)
0
偏微分方程旳一般形式
某些概念
PDE旳阶 古典解
PDE旳 解
广义解
线性PDE
非线性PDE
是指这么一种函数，它本身以及它旳偏导 数在所考虑旳区域上连续，同步用满足方 程。
半线性PDE 拟线性PDE 完全非线性PDE
线性PDE： PDE中对所含未知函数及其各阶导数旳全体都是线 性旳。 线性PDE中全部具同一最高阶数旳偏导数构成旳 部分，称为线性方程旳主部。
r x2 y2
6.
u t
6u
u x
3u x3
0
KDV方程
特解都不易找到
7. ut uux eu
拟线性PDE
8.
v x v xx
v
2 y
v
yy
v2
拟线性PDE
9. a( x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy ) 半线性PDE
10. ut ux sin u
11. ut 2 ux 2 u 2
a22
y
y
a11 x
a22
y
a11 x
a22
【国家自然科学基金】_二阶边值问题_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
上下解方法 上下解 三解定理 三个正解 z2不变群指标 robin边值问题 p-laplace算子 navier-stokes方程 mawhin连续定理 leray-schauder抉择 leray-schauder度原理 leray-schauder不动点定理 krasnosel'skii不动点定理 galerkin banauch空间边值问题 banach空间 banach空问边值问题 banach压缩映像原理 34k10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106
科研热词 推荐指数 正解 26 锥 15 存在性 11 边值问题 10 不动点定理 10 奇异 8 三点边值问题 7 奇异边值问题 6 不动点指数 6 不动点 6 多点边值问题 5 锥不动点定理 4 周期边值问题 4 锥映射 3 两点边值问题 3 green函数 3 非线性常微分方程 2 非线性二阶常微分方程 2 非奇异 2 非共振 2 闭凸锥 2 解的存在性 2 解和正解 2 解 2 能量正交形函数空间 2 离散 2 格林函数 2 有限元 2 无穷区间 2 四点边值问题 2 唯一性 2 单调迭代方法 2 凝聚映射 2 全连续算子 2 schauder不动点定理 2 neumann边值问题 2 dirichlet边值问题 2 高阶精度 1 预存微孔 1 边值问题mr(2000)主题分类34818 1 边值问题. 1 超线性半正问题 1 超线性 1 误差估计 1 角函数 1 脉冲方程 1 脉冲微分方程 1 符号条件 1 积分-微分方程 1 离散边值问题 1 相对弱紧 1 特征函数 1