圆柱面第一类曲面积分

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2202第一型曲面积分的计算(续)

z =z x2 + y2
下的部分 (图22-2). 解对于圆锥面=z x2 + y2 ,
O
y
x
x2 + y2 = 2ax
图 22 − 2
有 zx
= x2x+ y2 , z y
y
, x2 + y2
1
+
z
2 x
+
z
2 y
=2;
而 S 在 xy 平面上的投影为 D( xy) : ( x − a)2 + y2 ≤ a2 . 因此
∫∫ f ( x, y, z( x, y))
1
+
z
2 x
+
z
2 y
dxdy
.
S
D
(2)
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算
例2 计算 ∫∫( xy + zx + yz)dS,
S
其中 S 为圆锥面=z x2 + y2
被圆柱面 x2 + y2 = 2ax 所割
数学分析第二十二章曲面积分
高等教育出版社
§1 第一型曲面积分第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算
EG − F 2 = 1 + u2 .
然后由公式 (3) 求得:
∫∫ ∫ ∫ =I
v 1= + u2dudv
2π
vdv
a
1 + u2du
0
0
D
( ) =
2π
2

u 2
1 + u2 + 1 ln u + 2

积分曲面为圆柱面的曲面积分的计算

贺勇
（武汉东湖学院基础课部
摘要：介绍积分曲面为圆柱面的曲面积分的计算方法及其应用。
武汉４３０２１２）
关键词：第一型曲线积分；柱面坐标；曲面积分
ｄ０ｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００４－４３３７．２０１３．０２．００３
，
（２）
例２计￣异干ｄｓ干其中∑ 是介于平面 —ｏ与 —
Ｈ之间的圆柱面Ｘ＋一Ｒ２
解
利用公式（２）得
∑被ｙｏｚ面分成前后两部分： ∑前， ∑ ，且
∑前：ｚ一＝，（，ｚ） ∈Ｄ一｛（，ｚ）ｌ —Ｒ ≤ ≤Ｒ，
＿厂（，Ｙ，ｚ）ｄｓ一ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＋ｆ（ｘ，，ｚ）ｄｓ
』垫＋再＋一』耳ａｒｃｔａｎ耳Ｈ
ａｒｃｔａｎ
ＪＲ
。
Ｈ
・
ＲｄＯ－２￣ａｒｅｔａｎ
ｆ（厨
，ｙ，）研
』
Ｈ，
一
１ｑ＿ｚ￣ｄｚ一』丽１ａｒｃｔａｎ
Ｚｌ（ｚ，） ≤２ ≤ ２＝＝＝
令．ｚ— ＲｃｏｓＯ， — Ｒｓｉｎ￣，０≤ ０≤ ２，ｒ，则ｄｓ一
在一般高等数学教材中，曲面积分主要转化为二重积分
的计算。这要求积分曲面在坐标面上的投影必须是区域，但
在解决与曲面积分有关的问题时会发现，对某些曲面比如柱

曲面积分

1 2 2 = − ∫− 1 1 − x dx − 2 1 − x
+ arcsin x 1 −1
=−
π
2
+π =
π
2
，
⎛ x xdS = ∫∫ x 1 + ⎜ ∫∫ ⎜ 2 S 32 D ⎝ 1− x
所以从而 2．计算
S3 S S31
⎞ x π ⎟ + 0dxdz = ∫∫ dxdz = ， ⎟ 2 2 1 − x D ⎠
S32
2
∫∫ xdS = ∫∫ xdS + ∫∫ xdS = π
I = ∫∫ xdS = ∫∫ xdS + ∫∫ xdS + ∫∫ xdS = π
S1 S2 S3
2 2 2 2 ∫∫ f ( x, y, z )dS ，其中 S 为球面 x + y + z = a ，
S
1
⎧ z < x2 + y2 ⎪ 0, f ( x, y , z ) = ⎨ 2 2 2 2 ⎪ ⎩x + y , z ≥ x + y
x 2 + y 2 = 1 介于平面 z = 0 与 z = x + 2 之间的部分。根据第一型曲面积分的计算公式，并
利用二重积分的性质，得
S1
∫∫ xdS = ∫∫ x 1 + 0 + 0dxdy = 0 ， ∫∫ xdS = ∫∫ x 1 + 1 + 0dxdy = 0
D S3 D
2 2
对于 S 3 ，由于其方程为 x + y = 1 ，所以不能写成 z = z ( x, y ) 的形式，故只能考虑其在 xOz 或 yOz 坐标面上的投影。为了简单起见，考虑 S 3 在 xOz 坐标面上的投影域 D ，根据题中条件易知 D = {( x, z ) − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x + 2} ，且 S 3 可以分成 S 31 与 S 32 两部分，其中 S 31：y = 1 − x , ( x, z ) ∈ D ； S 32：y = − 1 − x , ( x, z ) ∈ D ，因为

第二章第二节第一型曲面积分doc

第18 章曲面积分第二节第一类型曲面积分1、第一类型曲面积分的定义问题：设∑是3R 中一张有面积的曲面，∑上按面密度)(p ρρ=分布着某种物质，问如何求出分布在∑上物质的总质量？沿用以前用过的作法，将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ，并在每一小块i S 上任意取定一点i p ，这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈，n i ,,2,1 =。

于是曲面片∑上的质量就近似地等于)()(1i ini S pσρ∑= 。

当我们把曲面片∑无限细分时，上面的和式的极限就可以定义为展布在曲面片∑上物质的质量M ，即)()(lim1i ini S pM σρ∑==。

以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。

定义18.2 设∑是3R 中一张可求面积的曲面片，f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。

定义分割T 的宽度为},,2,1,max{||||n i diamS T i ==，在每一小片i S 上任意取定一点i p ，如果和数)()(1i i ni S p f σ∑=当0||||→T 时有有限的极限，并且其极限值不依赖于分割及点ip 在iS上的选择，那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分，记作σd f ⎰∑，或dSf ⎰⎰∑。

2、第一类型曲面积分的计算公式由曲面面积元素的表达式dudv r r d v u ||||⨯=σ，或从定义出发，求出右端的极限，便可得出第一型曲面积分的计算公式：（1）设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，f 是定义在∑上的连续函数，则σd f ⎰∑dudvr r v u z v u y v u x f v u ||||)),(),,(),,((⨯=⎰⎰∆dudvF EG v u z v u y v u x f ⎰⎰∆-=2)),(),,(),,((；（2）当曲面∑是由显式D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表达时，其中D 是有面积的平面区域，)(1D C ∈ϕ，f 是定义在∑上的连续函数，则有σd f ⎰∑dxdyzx y x y x f D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1)),(,,(ϕϕϕ。

曲线积分与曲面积分-第一类曲面积分

D yz = {( y , z ) y ≤ R, 0 ≤ z ≤ H }.
o
x
Σ1 R y
dS dS = 2 I = ∫∫ 2 ∫∫ R2 + z 2 2 R +z Σ1 Σ
2 d S = 1 + x 2 + xz d y d z y
= 1+ ( = R
y R y
2 2 2
)2 + 0 d y d z
Σ
Σ1 Σ2
(3) 对称性：
对面积的曲面积分
∫∫ f ( x , y , z ) d S，
Σ
对称性的利用类似于三重积分 .
如：若 f ( x , y , z ) 在 Σ 上连续， Σ 关于 yoz 面对称，则 f ( x, y, z) = f ( x, y, z) 0, ∫∫ f ( x, y, z)d S = 2∫∫ f ( x, y, z)d S, f ( x, y, z) = f ( x, y, z) Σ
dS , 其中 ∑是介于平面 I = ∫∫ 2 2 2 x + y +z Σ
Σ = Σ1 + Σ 2
2 2
z = 0 , z = H 之间的圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 .
解 (方法1)
Σ1 : x =
z
H
Σ2
R y ,
( y , z ) ∈ D yz
( y , z ) ∈ D yz
Σ 2 : x = R2 y 2 ,
∫∫ f ( x , y )dσ
D Ω
I是空间闭区域Ω→∫∫∫ f ( x , y , z )dv I是曲线 Γ → I是曲线 Σ →
∫ f ( x , y, z )ds

10.4第一类曲面积分

dz
o x
y
例8. 求椭圆柱面
位于 xoy 面上方及平面
x 2 a2 x 2 + a 2 dx = x + a 2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2
z = y 下方那部分柱面 Σ 的侧面积 S . 解: S = ∫∫ dS ∫
Σ
取dS = z ds
z
o x
= ∫ z ds = ∫ y ds
+ ∫ d z∫
0
1
1z
0 1z
1 dx (1+ x)2 1 dy 2 (1+ y)
+ ∫ d z∫
0
1
0
3 3 = + ( 3 1) ln 2 2
3. 计算 ∫∫ ( x + y + z )ds , 其中 Σ 为平面
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分所截得的部分.
2 2
2
π
π
例6. 计算
其中 ∑ 是球面 x2 + y2
+ z = 2(x + y + z).
2
解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3 ,, 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用重心公式
= 4∫∫ xd S = 4 x ∫∫ d S
∑ ∑
∫∫∑ xd S x= ∫∫∑ d S

第一曲面积分

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教学目的：掌握第一型曲面积分的定义和计算公式．教学内容：第一型曲面积分的定义和计算公式． (1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．
例. 求半径为R 的均匀半球壳的重心.
解: 设的方程为 zR 2 x2y2,(x ,y) D xy 利用对称性可知重心的坐标 xy0,而
z zd S d S
用球坐标
zRcos
dSR2sindd
R3R0202dd0202ssiinn cdod s
R3 2 R
R 2
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M(x,y,z)dS
S
第一型曲面积分与第一型曲线积分、重积分的性质
类似，例如
dSS的面.积
S
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二、第一型曲面积分的计算
定理22.1 设有光滑曲面 S:zz(x,y)(,x,y) D xy
z
S
f (x, y, z) 在 S 上连续, 则
f(x, y,z)dS
O
y
D xy
分析: 若将曲面分为前后(或左右)
z
两片, 则计算较繁.
解: 取曲面面积元素
dS2Rdz
则
I
H2Rdz
0 R2z2
2arctaHn
R
H
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▪ 第一型曲面积分的概念 ▪ 第一型曲面积分的计算
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第一类曲面积分计算公式

第一类曲面积分计算公式
和参考文献
第一类曲面积分概念是对曲面在三维空间中面积（面积）或曲面曲线（线长）的计算。

由此可以看出，它是计算曲面表面形面积和曲线长度的有效工具。

第一类曲面积分是一类数学积分，它用数学的方法计算了2函数的综合，称为曲面积分。

在开展第一类曲面积分研究时，首先要确定一般正则曲面（一般曲面是构成合法曲线曲面的一类曲面）上待求性质的积分公式：$$\iint_D f(x,y)dS$$，其中$D$为曲面面积，f(x,y)为空间上可积函数；该曲面积分表示在曲面$D$上积分$f(x,y)$的空间积分。

它可用向量积分来表示，故它在三维空间中可以被看做某种形式的空间积分的运算。

大多数和空间有关的问题，可以用第一类曲面积分来解决，比如电磁学中电场强度的计算。

第一类曲面积分也能够计算消光系数，有助于计算物理中受力的方向及强度，是研究几何体内部压力的重要工具。

它可以用来计算力学力学，重力力学内部的力，从而为飞行器的飞行性能提供参考。

第一类曲面积分具有它强大的计算能力，数学推导复杂，但利用今天的计算机计算，可以让结果更加接近精准的值，这给了科学家们更加精准和便捷的理论模型来进行计算和研究。

综上所述，第一类曲面积分在许多科学领域中都有重要作用，其广泛运用已经为科学家和工程师提供了有力的帮助。

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圆柱面第一类曲面积分
冰球场上的一场激烈比赛，球员们时而如疾风驰骋，时而如闪电般激烈碰撞，
安在看台上的我们点燃激情，尖叫呐喊，尽情欢快，而这充满活力的双重面相得到了圆柱面的第一类曲面积分的形容。

圆柱面的第一类曲面积分是一种常见的数学计算方法，也可以用来表示函数的
范围，它指的是圆柱体的侧面的不规则的凹凸不平，来表示它是不等轴夹角时特定面的积分。

它可以通过椭圆积分或半圆积分来解决，使用这种方法则可以准确、快速、有效地解决类似圆柱体的问题。

圆柱面的第一类曲面积分在建筑、结构交通等方面也有着广泛的运用，由于它
的结构特殊，也常常用在特殊的用途上。

比如当我们设计一个大型屋顶蓬型结构时，圆柱面的第一类曲面积分就可以帮助我们在更短的时间内计算出积分值，使结构更稳固。

总而言之，圆柱面的第一类曲面积分可以帮助我们在结构、交通等领域做出比
较准确，快速，有效的决定，它的特殊计算方法让我们看到和应用它的有趣性，使我们前进地更加有力。