解锐角三角函数(1)
解锐角三角函数的技巧
6. 三角函数的倒数关系：利用三角函数的倒数关系，将一个三角函数转化为另一个三角函 数的倒数形式。例如，tanθ=1/cotθ，cotθ=1/tanθ。
解锐角三角函数的技巧
解锐角三角函数的技巧主要包括以下几点：
1. 特殊角的数值：熟记30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦和正切值。例如， sin30°=1/2，cos45°=1/√2，tan60°=√3。
2. 三角函数的性质：利用三角函数的周期性、对称性倒数关系等性质，将角度转化为在 特定范围内的等效角度。例如，sin(180°+θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ，tan(θ+π)=-tanθ。
解锐角三角函数的技巧
7. 三角函数的逆函数：利用三角函数的逆函数，将一个三角函数的值转化为对应的角度。 例如，sin^(-1)(x)表示sinθ=x的解，cos^(-1)(x)表示cosθ=x的解。
通过掌握这些技巧，可以在解锐角三角函数的过程中更加灵活和高效地进行计算。同时， 多做练习和应用，加深对三角函数的理解和熟练度，也是提高解题能力的重要方法。
3. 三角函数的和差公式：利用三角函数的和差公式，将复杂的角度拆分为简单的角度的和 或差。例如，sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB。
解锐角三角函数的技巧
4. 三角函数的倍角公式：利用三角函数的倍角公式，将角度转化为两倍角度的三角函数。 例如，sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=cos^2θ-sin^2θ。
专题28 锐角三角函数(解析版)
专题28 锐角三角函数知识点一：锐角三角函数 1．三角函数定义在Rt △ABC 中，若∠C=90°A sin A ac ∠==的对边斜边A cos A bc ∠==的邻边斜边A tan A A ab∠==∠的对边的邻边A cot A A ba ∠==∠的邻边的对边2.同角三角函数的关系（1）平方关系：22sin cos 1A A += （2）商数关系：sin tan cos A A A =cos cot sin A A A = （3）倒数关系：tan cot 1A A ⋅=3.互为余角的三角函数关系sin(90)cos A A ︒-=，cos(90)sin A A ︒-=tan(90)cot A A ︒-=，cot(90)tan A A ︒-=或者：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA=cotB ，cotA=tanB 4. 特殊角的三角函数值5.锐角三角函数的增减性(0°--90°)（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。
（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。
6.锐角三角函数的取值范围0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0. 知识点二：解直角三角形 1.直角三角形中边角关系在直角三角形ABC 中，如果∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么（1）三边之间的关系为222a b c +=（勾股定理） （2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义） 2.其他有关公式 （1）1sin 2S ab C ∆==1sin 2bc A =1sin 2ac B （2）Rt △面积公式：1122S ab ch == （3）直角三角形外接圆的半径2cR =，内切圆半径2a b c r +-=结论：直角三角形斜边上的高ab h c= 3.实际问题中术语的含义 (1)仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
锐角三角函数(1)
第1课时 锐角三角函数（1）
课 前 小 测 课 堂 精 讲
课 后 作 业
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课 前 小 测
关键视点 1.如图，在 中，如果锐角A确定，那么 的对边与邻边的 比 便随之确定，这个比叫做 的 正切 ，记作 即
2.坡面的 铅直高度 与 水平宽度 的比称为坡度 (或坡比).常用来描述山的坡度.
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课 堂 精 讲
考点2 坡度 【例2】（2016闵行区一模）已知一条斜坡， 向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比 为 1：0.75 .
【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后 根据坡比=竖直方向上升的距离：水平方向前 进的距离，即可解题. 【解答】解：如图所示： AC=5米，BC=4米， 则AB= =3米， 则坡比= = =1：0.75.
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课 堂 精 讲
解：（1）tan∠BOA= = = ；
（2）点C的坐标是（﹣2，4）
类 比 精 练
1.如图，△ABC的三个顶点 都在正方形网格的格点上， 则tan∠A的值为（ B ）
A.
B.
C.
D.
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课 堂 精 讲
【分析】在正方形网格中构造一个∠A为锐角的 直角三角形，然后利用正切的定义求解. 【解答】解：如图， 在Rt△ADB中， tan A= 故选B. = .
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课 堂 精 讲
考点1 正切 【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点 B（4，2），BA⊥x轴于A. （1）求tan∠BOA的值； （2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点 C，求点C的坐标. 【分析】（1）根据正切的定义 ，对边与相邻的斜边的比，即 可求解； （2）根据图形，确定旋转以后 的位置，可以直接写出坐标.
初三 锐角三角函数(一)
A C锐角三角函数(一)知识要点1.锐角三角函数的定义在Rt △ABC 中，∠C=90°。
∠A 的正弦：sin aA c=（对边比斜边） ∠A 的余弦： cosA=bc （邻边比斜边） ∠A 的正切： tanA=a b（对边比邻边） cotA=a b（邻边比对边）2．特殊角度的三角函数值113.三角函数的范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1。
引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样算出的吗？典型例题例1.（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．（2）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．（3）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，︒341米10米?(1)3A(2)sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例2:在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°，BC=6， 53sin =A ，求cos A 和tanB 的值.例3:(1)如图(1), 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,6=AB ,3=BC ,求A ∠的度数.(2)用一片半径为2，面积为π2的扇形纸片围成如图(2)的圆锥，求圆锥的高OA 及α.例4.计算下列式子的值(1)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(2)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 222例5．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A (1)求AB 边上的高CD ；(2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．例6．（四川自贡，第10题4分）如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB=45°，则sinC 的值为（ ）A.22B.222-C. 222+ D.42经典练习1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．2.因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它______，所以sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 3（滨州，第11题3分）在Rt △ACB 中，∠C =90°，AB =10，sinA =53，cosA =54，tanA =43，则BC 的长为（ ）4．（江苏宿迁）如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（ ）ABCD A. 5 B.552 C. 55 D.325．﹙黑龙江﹚ 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 56.﹙成都﹚如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D.已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）A ．35B ．32 C ．552 D ．257.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（ ） A．B． C ． D ．8.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3． 则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．9.（广西贺州，第18题3分）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA = ．10.（广西玉林市、防城港市，第16题3分）如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME =EF 且EF ∥MN ，则cos ∠E = ．11．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB和cos B ．AB12．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．13.已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．巩固练习1．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43 2.求下列各式的值：（1）︒︒+︒+︒45sin 30sin 245cos 60cos 22CB A（2）︒+︒︒-︒+︒-︒︒+︒45cos 30sin 45cos 60cos 45sin 60cos 45sin 60cos3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．4．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．。
28.1锐角三角函数
感悟新知
知3－练
例 7 (1)已知α=45°，求2sin2α－2 2 sinα·tanα+tan2α；
(2)计算
1 4
tan2
45＋
sin
1 2 30
－3 cos2
30－
sin cos
45 45
.
解题秘方：用“代入法”求值.
感悟新知
解:(1)原式 2 sin－tan 2
2
(4)sin2A 表示sin A·sin A=(sin A)2，不能写成sin A2；cos2A 表示cos A·cos A=(cos A)2，不能写成cos A2；tan2A 表示 tan A·tan A=(tan A)2，不能写成tan A2.
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数
AB 3k 3k
AB 3k 3
tan B AD 2 2k 2 2. BD k
感悟新知
知1－练
3-1. 将一副三角尺(Rt△ ABC 与Rt△BDC)按如图所示的方 式摆放在一起，连接AD， 试求∠ ADB 的正切值.
感悟新知
解：过点 A 作 AM⊥DB，交 DB 的延长线于点 M. 知1－练
3
sin A－sin B的值.
知2－练
，求
解：∵sinA＋sinB＝43，∴(sinA＋sinB)2＝196.
∴sin2A＋sin2B＋2sinA·sinB＝196.
∵∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°，∴sinB＝cosA，
感悟新知
∴sin2A＋cos2A＋2sinA·sinB＝196， ∴1＋2sinA·sinB＝196，∴2sinA·sinB＝79， ∴sin2A＋sin2B－2sinA·sinB＝1－79＝29， ∴(sinA－sinB)2＝29，∴sinA－sinB＝± 32.
用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案)
用锐角三角函数概念解题的常见方法1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab，cotA=ba．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．3．锐角三角函数的性质（1）0<sinα<1，o<cosα<1（0°<α<90°）（2）tan α·cot α=1或tan α=1cot α； （3）tan α=sin cos αα，cot α=cos sin αα． （4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）．有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法： 一、设参数例1. 在ABC ∆中，︒=∠90C ，如果125tan =A ，那么sinB 的值等于（ ） 512.125.1312.135.D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求AB AC 的值，而已知的125tan =A ，也就是125=AC BC 可设k AC k BC 125==， 则k k k AB 13)12()5(22=+=13121312sin ==∴k k B ，选B 二、巧代换例2. 已知3tan =α，求ααααcos sin 5cos 2sin +-的值。
解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式3cos sin tan ==ααα，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。
锐角三角函数1
教师备课稿学科_ 数学__ _九_年级第_下册教师朱晶_课题1.1锐角三角函数（1）第课时教学目标1.经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，了解三角函数的概念.2.掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数.3.掌握在直角三角形中，锐角三角函数与边之比的关系.4.了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值.重难点教学重点：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念. 教学难点：锐角三角函数的概念.教具、学具准备ppt课件学教安排教法及学法指导、反思课前准备一、创设情境，引入新课小红在上山过程中，下列哪些量是变量，哪些量是常量(坡角，上升高度，所走路程)？她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值变化吗？小强呢?（通过学生自主探索，教师引导，从而发现小红在上山过程中，坡角是常量，上升高度和所走路程是变量.她在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值不会变化.）定义：一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点Ｂ，作ＢＣ⊥ＡＣ于点Ｃ，则比值BCAB,ACAB,BCAC都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关，因此，比值BCAB,ACAB,BCAC都是锐角α的三角函数.比值BCAB叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.比值ACAB叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.30°B45°西东比值BCAC叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.注意：1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不写．2、sinα、cosα、tanα是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义.如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有sin cos tanAAAAAAA∠=∠=∠=∠的对边斜边的邻边斜边的对边的邻边那么B∠呢？追问：你能求出sinA 与cosA的取值范围吗？.三、新知运用用一用1.如图△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=12.判断：（1）sinA=513（√）（2）tanB=512（×）2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.⑴若BC=8,AB=17,求sinA, cosA,tanA的值;⑵若BC︰AB=1︰2 ,求sinA, cosA,tanA的值;⑶若sinA=513, 求sinB的值.解后语：已知直角三角形中的两边或两边之比，就能求出锐角三角函数值．例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=90ο,AC=200, sinA=0.6.求BC的长.解后反思：本题属于简单题，属于知识的简单运用.练一练：1.在Rt△ABC中，∠C为Rt∠，AC:BC=1:2，求sinA+cosA的值.四、课堂小结1.正弦，余弦和正切的概念；2.三角函数的概念；3.如果∠A是直角三角形的一个锐角，那么它的三角函数与边的关系.4.锐角三角函数的值都是哪一类数，正弦和余弦有什么范围限制？课后反思感谢您的阅读，祝您生活愉快。
第16讲锐角三角函数复习课件(共42张PPT)
解：原式＝ 3＋ 2× 22＋ 3－－3－2 3＋1＝ 3＋1＋ 3 ＋3－2 3＋1＝5.
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4．在△ABC 中，若|cos A－12|＋(1－tan B)2＝0，则∠C 的
度数是
(C )
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
5．式子 2cos 30°－tan 45°－ （1－tan 60°）2的值是
∵CE＝EF，∴CAEC＝
m＝ 5m
55，
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∴tan∠CAE＝ 55. 解法二：∴在 Rt△ABC 中，
tan
B＝ABCC＝
2m ＝ 5m
2， 5
在 Rt△EFB 中，EF＝BF·tan B＝2m，∴CE＝EF＝2m，
5
5
2m
∴在 Rt△ACE 中，tan∠CAE＝CAEC＝2m5＝ 55，
∴tan∠CAE＝ 55.
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7．如图5－16－4，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，∠A＝30°，E为线段AB上 一点且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于F， 连结FB，则tan∠CFB的值等于 ( C )
3 A. 3
53 C. 3
23 B. 3 D．5 3
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第五章 解直角三角形
第16讲 锐角三角函数
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月球有多远？ 如图，如果从地球上A点看， 月球S刚好在地平线上(即AS和地 球半径OA垂直)，而同时从地球上B点看，S刚好在天顶处(即S 在地球半径OB的延长线上)，那么∠S就叫做月球S的地平视 差，根据一个天体的地平视差，可以算出这个天体的距离． ∠S可以从∠AOB算出，而∠AOB可以从地球上A，B两点 的经纬度算出． 月球S的地平视差(∠S)，就是从月球S看来，垂直于视线 (SA)的地球半径(OA)所对的角．
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解锐角三角函数
第一课时
教学目标：
1、经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，
理解正切的意义。
2、能够用表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度，并能够用
正切进行简单的计算。
教学重难点：
1、重点：理解锐角三角函数正切的意义，用正切表示倾斜程度、坡度。
2、难点：从现实情境中理解正切的意义
教学过程：
1、问题引入：
在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其它的边和角吗?猜一猜,
这座古塔有多高?那你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗?
2、探究新知：从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常见的物体，你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪
些办法？
问题1：小明的问题,如图:
梯子AB和EF哪个更陡？
你是怎样判断的？
问题2：小丽的问题,如图:
梯子AB和EF哪个更陡？
你是怎样判断的？
55
2.5 2
A
B DE
F
C
B
1 2
A
问题3：小亮的问题,如图
梯子AB和EF哪个更陡？
你是怎样判断的？
问题4：小颖的问题,如图:
梯子AB和EF哪个更陡？
你是怎样判断的？
小明和小亮这样想,如图:
小明想通过测量B1C1及AC1,算出
它们的比,来说明梯子AB1的倾斜程度;
而小亮则认为,通过测量B2C2及
AC2,算出它们的比,也能说明梯子AB1的
倾斜程度
你同意小亮的看法吗?
问题5：(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
总结：
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角
的值也随之确定
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
A
B
1
C
1
B2
C
2
4
3.5
1.5 1.3
A
B CDE
F
46
2
3
A
B CDE
F
56
2 2
A
B
CDE F
?).2(222111有什么关系和
ACCBAC
CB
问题6：如图：梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗?
与∠A有关吗?
与tanA有关:tanA的值越大,梯子AB1越陡.
与∠A有关:∠A越大,梯子AB1越陡.
3、例题
例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡?
解:甲梯中,
乙梯中,
∵tanβ>tanα,∴乙梯更陡.
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.
山坡垂直高度为h m与水平长度为l m
的比叫做坡面的坡度（或坡比）
坡面与水平面的夹角称为坡角，记做 ,于是
显然，坡度（ ）越大，坡角 就越大，坡面就越陡。
例2 在RT△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求tanA和tanB
解：
水平长度l
垂
直
高
度
h
l
h
i
l
h
itan
6m
8m
5m
13m
乙
甲
A B1 C1 B2 C
2
A
C
∠A的对边
∠A的邻边
B
的邻边的对边AAA
tan
.1255135tan22
.4386tan
tani
34tan,43tanBCACBAC
BC
A
4、练习：书本98页练习
1.鉴宝专家——是真是假：
(1).如图 (1) （ ）
(2).如图 (2) （ ） （ ）
（ ） （ ）
( )
2.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)AC=3,AB=6,求tanA和tanB
(2)BC=3,tanA= ,求AC和AB.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,tanA= , 求AC和BC.
4.在等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=10,求tanB
5、小结：
本节课从梯子的倾斜程度谈起，通过探索直角三角形中边角关系，得出
了直角三角形中的锐角确定后，它的对边比邻边的比也随之确定，在直角三角形
中定义了正切的概念，接着，了解了坡面的倾斜程度与正切的关系，
6、作业：习题3，4，6
7、个性化设计与反馈：
A
B C A B
C
7m
10m
(1) (2)
AC
BC
Atan
BCACAtanAB
BC
Atan
7
10
tanB
7.0tanA
7.0tan7.0tan,7.0tanAAA或
12
5
4
3