2014年人教A版选修4-4教案 二、圆锥曲线的参数方程
课题：圆锥曲线的参数方程
一、教学目标：
知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义
过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
(1)圆
2
2
2r
y
x=
+参数方程⎩
⎨
⎧
=
=
θ
θ
sin
cos
r
y
r
x
（θ为参数）
（2）圆
2
2
2
)
\
(
)
(r
y
y
x
x=
+
-参数方程为：⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
θ
θ
sin
cos
r
y
y
r
x
x
（θ为参数）
2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？（二）、讲解新课：
1.椭圆的参数方程推导：椭圆
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
参数方程⎩
⎨
⎧
=
=
θ
θ
sin
cos
b
y
a
x
（θ为参数）,
参数θ的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。
2.双曲线的参数方程的推导：双曲线
1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
参数方程⎩
⎨
⎧
=
=
θ
θ
tan
sec
b
y
a
x
（θ为
参数）
参数θ几何意义为以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。
3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22
=参数方程⎩⎨⎧==Pt y Pt x 222 （t 为参数）,t 为以抛物线上一点（X,Y ）与其顶点连线斜率的倒数。
（1）、关于参数几点说明：
A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样
C.在实际问题中要确定参数的取值范围
(2)、参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。
（3）、参数方程求法：
（A ）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；
（B ）选取适当的参数；
（C ）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；
（D ）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.
(4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。
与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆122
2
2=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ
为参数）；椭圆2
2
221(0)
y x b a b a +=>>的参数方程是
cos sin (2x b y a θθ
θθ==≤≤π⎨
为参数，且0）.
（2）、以
00
(,)
y x 为中心焦点的连线平行于x 轴的椭圆的参数方程是
00
cos sin ({x a y b x y θ
θθ=
+=+为参数）。
（3）在利用⎩⎨
⎧==θθsin cos b y a x 研究椭圆问题时，椭圆上
的点的坐标可记作（acos θ,bsin θ）。
（三）、巩固训练
1、曲线)(11为参数t t t y t t x ⎪⎩⎪⎨⎧
-
=+=的普通方程为422=-y x 。
2、曲线)
(sin cos 为参数θθθ
⎩⎨
⎧==y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D ）
A ．2
1 B ．22
C ．1
D ．2
3、已知椭圆⎩⎨
⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数).
求 （1）
6π
θ=
时对应的点P 的坐标
（2）直线OP 的倾斜角 （四）、小结：本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义，能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程，通过推到椭圆及双曲线的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握。
（五）、作业： 五、教学反思：。
人教A版高中数学选修4-4课件高二2.2圆锥曲线的参数方程(2)
抛物线的参数方程
y
M(x,y)
o
x
抛物线的参数方程
y
M(x,y)
o
x
总结
总结
No Image
No Image
y
A
•M
o
x
B•
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
No Image
练习
c
练习
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
第二讲参数方程
二.圆锥曲线的参数方程 2.双曲线的参数方程
• 阅读教材P29-30
双曲线的参数方程 探究：双曲线 的参数方程
y
a A•
oB b
•M
x
双曲线的参数方程
y
aA
•M
oB
x
b
消去参数得：
双曲线的参数方程
y
aA
•M
oB
x
b
说明：⑴这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM 的倾斜角不同.
⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角 恒等式相比较而得到，所以双曲 线的参数方程的实质是三角代换.
双曲线的参数方程 ：
例2、 解：
y
A
M
x
O B
解：
y
A
M
x
O B
探究
化下列参数方程为普通方程，并说明它们 表示什么曲线?由此你有什么想法？
第二讲参数方程
二.圆锥曲线的参数方程 3.抛物线的参数方程
人教版高中数学选修4-4课件 第2讲-2《圆锥曲线的参数方程》
＝ 55|5cos(θ＋φ)－13|，
从而当 cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中 φ 由 sin φ＝35，cos
φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d
取得最小值8
5
5 .
14
1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越 性．
2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点 M 的 轨迹上的点到直线 C3 距离的最小值，这个最小值归结为求关 于参数 θ 的函数的最小值．
ya22＋bx22＝1(a>b>0)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ 为参数)
2
2.双曲线的参数方程 普通方程
参数方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
x＝asec φ y＝btan φ
(φ 为参数)
3.抛物线的参数方程
x＝2pt2
(1)抛物线 y2＝2px 的参数方程是 y＝2pt
F1(0，－4)与 F2(0,4)．
10
已知曲线 C1：xy＝＝－3＋4＋sinctos t ，(t 为参数)，曲 线 C2：6x42 ＋y92＝1.
(1)化 C1 为普通方程，C2 为参数方程；并说明它们分别表 示什么曲线？
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π2，Q 为 C2 上的动点， 求 PQ 中点 M 到直线 C3：x－2y－7＝0 距离的最小值．
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
19
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的 参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形 式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式 sec2 φ－tan2 φ＝1 的应用．
人教版A版高中数学选修4-4：二 圆锥曲线的参数方程
一、参数方程的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是 某个变数 t 的函数
x＝f（t）， y＝g（t）， (*) 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这 条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变 数 t 叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普 通方程．
题型二：直线的参数方程
4.
5.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为
x 1
2t 2
y
2
2t 2
(t 为参数)，
直线 l 与抛物线 y 2 4 x 交于 A，B 两点，
求线段 AB 的长。
题型二方法总结：
1. 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 θ 的直线的参数方程 为yx＝＝yx00＋＋ttscionsθθ，(t 为参数)
的参数方程是
y
a
sin
(φ 为参数)．
其中参数 φ 的范围为 φ∈[0，2π )．
题型一：参数方程与普通方程的互化
1.
2.
3.
题型一方法总结：
1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过 程，常用的消参方法有：代入消参，加减消参，三角 恒等式消参等。 2.注意：参数的取值范围对普通方程中变量的取值范 围的影响。
(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆锥曲线 C
的普通方程；
(2)若直线 l 过曲线 C 的焦点且倾斜角为 60°，求直线 l 被圆锥曲线
C 所截得的线段的长度．
t 是直线上的定点 M0(x0，y0)到动点 M(x，y)的有向线段M→0M的数量， 即|M0M|＝|t|， 当点(x，y)在点(x0，y0)的上方时，t＞0； 当点(x，y)在点(x0，y0)的下方时，t<0， 当点(x，y)与点(x0，y0)重合时，t＝0.
人教版A选修4-4-圆锥曲线的参数方程 (共19张PPT)
时, d 有最大值, 面积最大
题型示例——圆锥曲线参数方程的应用
【练3】 (2008· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y)是
x2 2 椭圆 ＋y ＝1 上的一个动点，求 S＝x＋y 的最大值． 3 x＝ 3cos φ ， x2 2 解 因椭圆 ＋ y ＝ 1 的参数方程为 3 y＝ sin φ (φ 为参数 )，
为______. 3/2
题型示例——圆锥曲线参数方程的应用
例3：已知点P（x，y）是圆x2+y2 -6x -4y+12=0上动点， 求（1） x2+y2 的最值； （2）x+y的最值； （3）P到直线x+y -1=0的距离d 的最值。
解：圆x2+y2- 6x -4y+12=0即（x - 3）2+（y - 2）2=1， 用参数方程表示
2
x 3cos (1) y 5 sin
x 8cos (2) y 10 sin
x 2cos 练2. 已知椭圆的参数方程为 ( y sin 是参数), 则此椭圆的长轴长为 ____, 4 短轴
( 3 ,0) 离心率 长为____, 2 焦点坐标为_________,
1、圆的参数方程
y
M(x,y)
r o
M0
x
x r cos { (为参数) y r sin 这也是圆心在原点 O，半径为r的圆的参数方程 其中参数的几何意义是OM 0 绕点O逆时针旋转 到OM的位置时，OM 0 转过的角度。
思考：圆心为O1(a,b),半径为r 的圆的参数方程是什么呢？
r
P 1 ( x1 , y1 )
5
o
高中数学 圆锥曲线的参数方程(二)学案 新人教A版选修4-4
. 高中数学人教版选修4-4：
圆锥曲线的参数方程（二）
【自主学习】
任务1：阅读教材P27—29，理解下列问题：
椭圆 )0(12222>>=+b a b y a x 的一个参数方程) (.
sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎪⎩⎪⎨⎧==b y a x
任务2：完成下列问题：
.椭圆19
162
2=+y x 的内接矩形的最大面积是____________.
【合作探究】
如图，已知椭圆14
22
=+y x 上一点M (除短轴端点处)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证|OP | · |OQ |为定值.
【目标检测】 已知A 、B 是椭圆14
92
2=+y x 与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大.
【学习反思】：本节课我学到了什么？我的学习效率如何？还有哪些没学懂。
高中数学人教A版选修4-4学案 第二讲二圆锥曲线的参数方程
庖丁巧解牛知识·巧学一、椭圆的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：(1)椭圆=1(a>b>0)的参数方程是(θ为参数，且0≤θ<2π）.(2)椭圆=1(b>a>0)的参数方程是(θ为参数,且0≤θ<2π).以(x0，y0)为中心，半长轴为a，半短轴为b，焦点连线平行于x轴的椭圆的参数方程是（θ是参数）.方法点拨在利用研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作(acosθ,bsinθ).二、双曲线的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况：(1)双曲线=1的参数方程为（φ为参数）；(2)双曲线=1的参数方程为（φ为参数）.以(x0，y0)为中心，半实轴为a，半虚轴为b，焦点连线平行于x轴的双曲线的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π，θ≠,).方法点拨在利用研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(asecφ,btanφ).三、抛物线的参数方程顶点在坐标原点的抛物线参数方程：抛物线y2=2px(p>0)的参数方程：(p>0,t为参数,t∈R),其中参数t可视为该抛物线y2=2px(p>0)上任一点P与抛物线顶点O所连直线OP的斜率的倒数.设抛物线上任一点P(x,y),则t=.以(x0，y0)为顶点，焦参数为p，对称轴平行于x轴的抛物线的参数方程是（t是参数）,其中参数t是抛物线上任意一点与顶点连线的斜率的倒数.辨析比较抛物线y2=-2px(p>0)的参数方程：x=(p>0,t为参数,t∈R)；抛物线x2=2py(p>0)的参数方程：(p>0,t为参数,t∈R)；抛物线x2=-2py(p>0)的参数方程：(p>0,t为参数,t∈R).问题·探究问题1 举一些现实生活中的例子,说明圆锥曲线的参数方程同圆锥曲线的普通方程相比有何特点，圆锥曲线的参数方程在解题中有什么样的作用?探究：弹道曲线是炮弹飞行的轨迹.在军事上，当炮弹发射出去后，需要知道各个时刻炮弹的位置，很显然相应的位置与炮弹发射出去后的时间有着密切的关系，通过建立适当的坐标系，选择时间作为参数，很容易建立起相应的参数方程，这比根据已知条件直接去找炮弹飞行的普通方程方便得多，并且根据实际军事需要，这样也容易知道各个时刻炮弹所处的位置，有利于为现代战争赢得时间.这正是抛物线的参数方程在实际生活中的具体应用.当然圆锥曲线的参数方程的应用还不止这些，再比如：在研究人造地球卫星的运行轨道时，常常也用其参数方程的形式来予以研究.问题2 在使用圆锥曲线的参数方程解题时，需要能够正确地把普通方程转化为参数方程.那么，在把普通方程转化为参数方程时，是否会出现不同的结果呢?探究：会.例如:椭圆=1的参数方程可以是x=的形式，也可以是的形式，它们二者只是形式上不同而已，但实质上都是表示同一个椭圆(通过消参数即可看出)，同样，对于双曲线、抛物线亦是如此.典题·热题例1已知A、B分别是椭圆=1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.思路分析：本题有两种思考方式，求解时把点C的坐标设为一般的(x1,y1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为(6cosθ,3sinθ)的形式，从而予以求解.图2-2-1解：由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为(6cosθ,3sinθ).点G的坐标为(x,y)，则由题意可知点A(6，0)、B(0，3).由重心坐标公式,可知有由此消去θ,得到+(y-1)2=1即为所求.深化升华本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.例2实数x、y满足=1，试求x-y的最大值与最小值，并指出何时取得最大值与最小值.思路分析：本题的思考方式也许容易想到由已知方程予以变形代换，但容易看到会出现开方，很不利于求x-y的最大值与最小值.这时，根据已知条件可考虑借助于相应的参数方程来求解，借助于正弦、余弦的有界性从而把问题解决.解：由已知可设则x-y=(4cosθ+1)-(3sinθ-2)=(4cosθ-3sinθ)+3=5cos(θ+α)+3，其中cosα=,sinα=.当cos(θ+α)=1,即θ+α=2kπ,k∈Z时，cosθ=cos(2kπ-α)=cosα=，sinθ=sin(2kπ-α)=-sinα=.∴x=4×+1=,y=3×()-2=时，x-y的最大值为8.同理,当x=,y=时，x-y的最小值为-2.误区警示本题易错点主要有两点:(1)对于椭圆的参数方程不会转化而直接使用普通方程；(2)在使用参数方程运算时不考虑α的实际取值.例3点P在圆x2+(y-2)2=上移动，点Q在椭圆x2+4y2=4上移动，求PQ的最大值与最小值，及相应的点Q的坐标.思路分析：点P与点Q都是动点，PQ的表达式中会有两个参变量，最大值与最小值都难求.点P在圆上，圆是一个中心对称图形.当椭圆上的点到圆心距离最远时，它到圆上的点也会是最远，故先将求PQ转化为求圆心O′与Q的距离.点Q在椭圆上，可利用椭圆的参数方程表示点P的坐标.解：设Q(2cosα,sinα),O′(0,2),则O′Q2=(2cosα)2+(sinα-2)2=4cos2α+sin2α-4sinα+4=-3(sinα+)2+8+，故当sinα=时，O′Q2取最大值为，此时，O′Q=.当sinα=1时，O′Q2取最小值为1，此时，O′Q=1.又圆的半径为，故圆上的点P与Q的最大距离为PQ=+.P与Q的最小距离为PQ=1-=.PQ取最大值时，sinα=,cosα=，Q的坐标为()或(,)；PQ取最小值时，sinα=1,cosα=0，点Q的坐标为(0,1).深化升华本题的解法再次体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,并且对于椭圆的参数方程要求更高了，因为所给方程不是椭圆的标准方程的形式.运用参数方程显得很简单，运算更简便.例4设P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一点，求使四边形OAPB的面积最大的点P的坐标.思路分析：由于P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一动点，因此四边形OAPB的形状不定，则不能用特殊四边形的面积公式来求其最值，只能考虑把四边形分解为几个三角形，利用三角形的知识来求其面积的最大值.解：∵点P是椭圆=1在第一象限部分的弧AB上的一点,∴设P(6cosθ,2sinθ),θ∈(0,)(图略).法一:直线AB方程为=1,即x+3y-6=0.欲使S OAPB最大,只需P到AB的距离最大.∵d P-AB=θ∈(0,),∴sin(θ+)>0.∴当θ=时,d max=.∴(S△APB)max==6(-1).∴(S OAPB)max=·6·2+6(-1)=.法二:S OAPB=S△POA+S△POB=·2·6cosθ+·6·2sinθ=6(sinθ+cosθ)=sin(θ+),θ∈(0,),∴当θ=时,(S OAPB)max=,此时点P的坐标为(,2).拓展延伸分析本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求S△POA+S△POB，S OAPB 的最大值或者求点P到AB的最大距离，或者求S OAPB的最大值.。
人教A版选修4-4 第2讲 2 圆锥曲线的参数方程
二 圆锥曲线的参数方程学习目标 1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．知识点一 椭圆的参数方程思考1 圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcosθ，y ＝rsinθ的参数θ的几何意义是什么？答案 是点(rcosθ，rsinθ)绕点O 逆时针旋转的旋转角．思考2 对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，若令x ＝acosφ(φ为参数)，那么椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的参数方程是什么？答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acosφ，y ＝bsinφ(φ为参数)．梳理 (1)椭圆的参数方程(2)φ是点M(acosφ，bsinφ)的离心角． 知识点二 双曲线的参数方程 思考1 化简⎝⎛⎭⎪⎫1cosφ2－tan 2φ，它的值等于什么？答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cosφ2－tan 2φ＝1. 思考2 令y ＝btanφ(φ为参数)，写出x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的参数方程．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cosφ，y ＝btanφ(φ为参数)．梳理 令1cosφ＝secφ.双曲线的参数方程知识点三 抛物线的参数方程 1．抛物线的参数方程2.参数的几何意义(1)α表示OM 的倾斜角．(2)t ＝1tanα.当t ＝0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt 表示原点.类型一 椭圆的参数方程 命题角度1 利用参数方程求最值例1 已知实数x ，y 满足x 225＋y216＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值．解 椭圆x 225＋y216＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cosφ，y ＝4sinφ(φ为参数)，代入目标函数，得z ＝5cosφ－8sinφ＝52＋82cos(φ＋φ0) ＝89cos(φ＋φ0)(tanφ0＝85)．所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89.反思与感悟 利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．跟踪训练1 已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosφ，y ＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排序，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标； (2)求曲线C 1的普通方程，判断曲线形状；(3)设点P 为C 1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围． 解 (1)由曲线C 2的极坐标方程ρ＝2可知， 曲线C 2是圆心在极点，半径为2的圆，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.故B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6，由对称性，得直角坐标分别为A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)． (2)由曲线C 1的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝cosφ，y3＝sinφ，两式平方相加，得x 24＋y29＝1.所以曲线是焦点在y 轴上的椭圆．(3)由点P 为曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosφ，y ＝3sinφ上任意一点，得P(2cosφ，3sinφ)， 则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2＝(2cosφ－1)2＋(3sinφ－3)2＋(2cosφ＋3)2＋(3sinφ－1)2＋(2cosφ＋1)2＋(3sinφ＋3)2＋(2cosφ－3)2＋(3sinφ＋1)2＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ， 因为32≤32＋20sin 2φ≤52，所以|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围是[32,52]． 命题角度2 利用参数方程求轨迹方程例2 已知A ，B 分别是椭圆x 236＋y29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．解 由题意知A(6,0)，B(0,3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G 的坐标设为(x ，y)，由三角形重心的坐标公式，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cosθ3，y ＝0＋3＋3sinθ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cosθ，y ＝1＋sinθ.消去参数θ，得(x －2)24＋(y －1)2＝1.反思与感悟 本类题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决求轨迹方程问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．跟踪训练2 已知点A 在椭圆x 2144＋y 236＝1上运动，点B(0,9)，点M 在线段AB 上，且|AM||MB|＝12，试求动点M的轨迹方程．解 由题意知B(0,9)，设A(12cosα，6sinα)，M(x ，y)， 则x ＝12cosα＋12×01＋12＝8cosα，y ＝6sinα＋12×91＋12＝4sinα＋3，∴动点M 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cosα，y ＝4sinα＋3(α是参数)，消去参数α，得x 264＋(y －3)216＝1.类型二 双曲线的参数方程例3 已知等轴双曲线C 的实轴长为2，焦点在x 轴上． (1)求双曲线的普通方程和参数方程；(2)已知点P(0,1)，点Q 在双曲线C 上，求|PQ|的最小值． 解 (1)设等轴双曲线C 的普通方程为x 2－y 2＝a 2(a>0)， 依题意，得2a ＝2，所以a ＝1， 所以x 2－y 2＝1，化为参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝secφ，y ＝tanφ(φ为参数)．(2)因为点P(0,1)，Q 在双曲线C 上， 设Q(secφ，tanφ)， 则|PQ|＝sec 2φ＋(1－tanφ)2＝sec 2φ＋tan 2φ－2tanφ＋1 ＝2tan 2φ－2tanφ＋2 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫tanφ－122＋32≥32＝62. 当且仅当tanφ＝12时，|PQ|min ＝62.反思与感悟 双曲线的参数方程中，常用的三角函数关系式为sin 2φ＋cos 2φ＝1⇒1＋tan 2φ＝1cos 2φ＝sec 2φ⇒sec 2φ－tan 2φ＝1.跟踪训练3 设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1和F 2为两个焦点，证明：|F 1P|·|F 2P|＝|OP|2. 证明 如图，设双曲线上的动点为P(x ，y)，焦点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝secθ，y ＝tanθ，(θ为参数)， 则(|F 1P|·|F 2P|)2＝[(secθ＋2)2＋tan 2θ]·[(secθ－2)2＋tan 2θ]＝(sec 2θ＋22secθ＋2＋tan 2θ)(sec 2θ－22secθ＋2＋tan 2θ)＝(2secθ＋1)2(2secθ－1)2＝(2sec 2θ－1)2.又|OP|2＝sec 2θ＋tan 2θ＝2sec 2θ－1， 由此得|F 1P|·|F 2P|＝|OP|2. 类型三 抛物线的参数方程例4 已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r>0)相切，则r ＝________. 答案2解析 由题意知抛物线的普通方程为y 2＝8x ，其焦点为(2,0)，过焦点且斜率为1的直线方程为x －y －2＝0，由题意知圆心(4,0)到直线的距离d ＝|4－0－2|2＝2，即半径r ＝ 2.反思与感悟 在解决问题时，根据题目特征，合理选择使用参数方程还是普通方程，所以熟练进行参数方程和普通方程的互化，是解题的必备技能． 跟踪训练4 将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tant ，y ＝1－cos2t1＋cos2t (t 为参数)化为普通方程是________．答案 y ＝x 2解析 由y ＝1－cos2t 1＋cos2t ＝2sin 2t 2cos 2t ＝tan 2t ，将tant ＝x 代入上式，得y ＝x 2，即为所求方程．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosφ，y ＝sinφ(φ为参数)表示( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线答案 C2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3secφ，y ＝4tanφ(φ为参数)的焦点与原点的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cosθ，y ＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上 答案 B解析 曲线可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其对称中心为圆心(－1,2)，该点在直线y ＝－2x 上，故选B. 4．把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cosθ，y ＝2sinθ(θ为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosθ，y ＝3sinθ(θ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9cosθ，y ＝4sinθ(θ为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cosθ，y ＝9sinθ(θ为参数)答案 B解析 椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y29＝1，令x ＝2cosθ，y ＝3sinθ，可得参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosθ，y ＝3sinθ(θ为参数)．5．已知椭圆x 225＋y216＝1，点A 的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P ，使点P 与点A 的距离最大．解 椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cosθ，y ＝4sinθ(θ为参数)．设P(5cosθ，4sinθ)，则 |PA|＝(5cosθ－3)2＋(4sinθ)2＝9cos 2θ－30cosθ＋25＝(3cosθ－5)2＝|3cosθ－5|≤8， 当cosθ＝－1时，|PA|最大．此时，sinθ＝0，点P 的坐标为(－5,0)．1．利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等．2．当需要研究圆锥曲线的形状、性质时，又通常需要将圆锥曲线的参数方程化为普通方程． 3．如果用到椭圆、双曲线的参数方程，注意三角恒等式的应用．一、选择题1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosθ，y ＝5sinθ(θ为参数)的焦点坐标为( )A ．(0，21)和(0，－21)B ．(21，0)和(－21，0)C ．(0，29)和(0，－29)D ．(29，0)和(－29，0) 答案 A解析 把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosθ，y ＝5sinθ(θ为参数)化为普通方程是x 24＋y225＝1，它表示焦点在y 轴上的椭圆，其中a ＝5，b ＝2，c ＝a 2－b 2＝21，故焦点坐标为(0，±21)．2．方程⎩⎪⎨⎪⎧xcosθ＝a ，y ＝bcosθ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分答案 D解析 由xcosθ＝a ，∴cosθ＝ax ，代入y ＝bcosθ，得xy ＝ab.又由y ＝bcosθ知，y ∈[－|b|,0)∪(0，|b|]，∴曲线应为双曲线的一部分．3．若点P(3，m)在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF|等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x ＝－1的距离，即为4.4．当θ取一切实数时，连接A(4sinθ，6cosθ)和B(－4cosθ，6sinθ)两点的线段的中点的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．线段 答案 B5．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cosθ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同的两点，则m 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1)答案 D解析 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cosθ－1化为普通方程，得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1)，它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.6．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cost ，y ＝2sint(t 为参数)，则其交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．2答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ，得x ＋y －1＝0(－1≤x ≤0,1≤y ≤2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cost ，y ＝2sint ，得x 29＋y24＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．二、填空题7．已知动圆方程x 2＋y 2－xsin2θ＋22·ysin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________．答案 y 2＝1＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12解析 圆心轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin2θ，y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sinθcosθ，y ＝－(sinθ＋cosθ)消去参数，得y 2＝1＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12.8．双曲线⎩⎨⎧x ＝3tanθ，y ＝secθ(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．答案 30°或150°解析 将参数方程化为y 2－x23＝1，此时a ＝1，b ＝3，设渐近线的倾斜角为α，则tanα＝±13＝±33.∴α＝30°或150°.9．在直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝2－s (s 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝t 2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________. 答案2解析 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝2－s (s 为参数)的普通方程为y ＝3－x ，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝t 2(t 为参数)的普通方程为y ＝(x －3)2.依题意，得(x －3)2＝3－x ， 解得x 1＝3，y 1＝0；x 2＝2，y 2＝1.所以坐标为A(3,0)，B(2,1)，则|AB|＝ 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ＝π4(ρ≥0)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52 解析 射线θ＝π4(ρ≥0)的直角坐标方程为y ＝x(x ≥0)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)的普通方程为y ＝(x －2)2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x (x ≥0)，y ＝(x －2)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.三、解答题11．已知直线l ：3x ＋2y －6＝0与抛物线y 2＝23x 交于A ，B 两点，O 为原点，求∠AOB 的值． 解 设抛物线y 2＝23x 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23t 2，y ＝23t(t 是参数)，代入3x ＋2y －6＝0，整理得3t 2＋23t －3＝0.① 因为A ，B 对应的参数t 1，t 2分别是方程①的两根， 所以t 1t 2＝－1.因为t 表示抛物线上除原点外任一点与原点连线的斜率的倒数，所以1k OA ·1k OB ＝－1，即k OA ·k OB ＝－1，所以∠AOB ＝90°.12．如图所示，已知点M 是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上在第一象限的点，A(a,0)和B(0，b)是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值．解 点M 是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)上在第一象限的点，由于椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acosφ，y ＝bsinφ(φ为参数)，故可设M(acosφ，bsinφ)，其中0<φ<π2，因此，S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB ＝12|OA|·bsinφ＋12|OB|·acosφ ＝12ab(sinφ＋cosφ)＝22absin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4.所以，当φ＝π4时，四边形MAOB 的面积有最大值，最大值为22ab.13．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的动弦BC 平行于虚轴，M ，N 是双曲线的左、右顶点．(1)求直线MB ，CN 的交点P 的轨迹方程；(2)若P(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求证：a 是x 1，x 2的比例中项． (1)解 由题意可设点B(asecθ，btanθ)， 则点C(asecθ，－btanθ)，又M(－a,0)，N(a,0)，∴直线CN 的方程为y ＝－btanθasecθ－a (x －a)，直线MB 的方程为y ＝btanθasecθ＋a(x ＋a)，将以上两式相乘，得点P 的轨迹方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>0，b>0)．(2)证明 ∵点P 既在MB 上，又在CN 上， 由两直线方程消去y 1，得x 1＝asecθ， 而x 2＝asecθ，∴有x 1x 2＝a 2， 即a 是x 1，x 2的比例中项． 四、探究与拓展14．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asinθ，y ＝3cosθ(θ为参数，a>0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 答案 32解析 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32或a ＝－32(舍去)． 15．椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使OP ⊥AP(O 为原点)，求离心率e 的取值范围．解 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acosθ，y ＝bsinθ(θ为参数)(a>b>0)，则椭圆上的点为P(acosθ，bsinθ)，A(a,0)，∵OP ⊥AP ，∴bsinθacosθ·bsinθacosθ－a ＝－1，即(a 2－b 2)cos 2θ－a 2cosθ＋b 2＝0. 解得cosθ＝b2a 2－b 2或cosθ＝1(舍去)．∵a>b ，－1≤cosθ≤1，∴0<b2a 2－b 2≤1.把b 2＝a 2－c 2代入，得0<a 2－c2c2≤1.即0<1e2－1≤1，解得22≤e<1. 故离心率e 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.。
2.2圆锥曲线的参数方程课件-高二A版数学(文)人教选修4-4
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
人教版数学选修4-4课件 2.2 圆锥曲线的参数方程
为( B )
A．0
B．1
C． 2
D．2
解析：因为点
P(1,0)
到
曲
线
x＝t2， y＝2t
(t ∈ R) 上 的 点 之 间 的 距 离 为
d＝
x－12＋y－02＝ t2－12＋2t2＝t2＋1≥1，故选 B．
•考点四 利用参数法求轨迹方程
• 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问 题时，需要引入一个中间变量即参数，然后 消去参数得普通方程．这种方法是参数法， 而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的 参数方程表示点的坐标．
即xy00＝＝22tt，2. 又|OM|＝|MP|，∴xy＝＝22xy00＝＝44tt，2 ， 消去参数 t 得 y＝14x2， 即 P 点轨迹方程为 y＝14x2⇒x2＝4y，它表示抛物线．
【变式 3】 点 P(1,0)到曲线xy＝＝t22t， (其中 t 是参数，且 t∈R)上的点的最小距离
解析：(1)由 C1 的参数方程yx＝＝21s＋in3αcos α，
得x－3 1＝cos α， 2y＝sin α，
平方消去 α 得曲
线 C1 的普通方程为x－912＋y42＝1. (2)设 M(1＋3cos α，2sin α)，曲线 C 的直角坐标方程为 2x＋3y－2＝0，
d＝|2＋6cos
α＋6sin 13
α－2|＝6
1326cosα－π4∈0，6 1326.
•考点二 双曲线参数方程的应用
• 双曲线参数方程的应用技巧 • 先设出双曲线上的点P的参数形式，利用斜
率公式或点到直线的距离公式等转化为三角 函数问题，再用三角知识去处理．
参数方程
x＝__a_c_o_s__φ__ y＝__b_s_i_n__φ__
人教A版高中数学选修4-4：2.参数方程 教学案
第二讲 参数方程一、内容及其解析本节课要学习的内容有参数方程的概念，圆、椭圆、双曲线、抛物线及直线的参数方程形式，参数方程与普通方程的互化。
学生已经理解掌握了三角函数、解方程组、各种曲线的普通方程的形式，本节课的内容就是在此基础上的延伸与发展。
学习的重点是参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化、圆、椭圆及直线的参数方程的形式特点，其核心是参数方程与普通方程的互化，解决核心的关键是参数方程的概念。
二、目标及其解析目标定位：1.理解参数方程的概念、理解掌握参数方程与普通方程的互化；2.了解直线、圆、椭圆的参数方程的形式特点。
目标解析：目标定位1就是理解曲线上的任一点的横坐标x 与纵坐标y 均可表示为某个变数t 的函数；将参数方程通过消参就可以得到普通方程，将x,y 同时用一个变数t 的函数来表示就是将普通方程转化为参数方程； 目标定位2就是指用一个变数t 来表示直线、圆、椭圆，并根据形式来了解方程的特点。
三、教学过程问题1.什么是参数方程？设计意图：通过案例让学生理解参数方程的概念及意义。
师生活动：1.引例： 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？救援物资做何运动？你能用物理知识解决这个问题吗？2100,1500.2x t y gt =⎧⎪⎨=-⎪⎩2.你能说说下面这个方程的特征吗？（1）有几个变量？（2）x ，y 都可以用什么来表示？（3）给定t 的一个值，方程中x ，y 的值确定吗？3.参数方程的概念：一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数t 的函数()(2)()x f t y g t =⎧⎨=⎩并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y 的变数t 叫做参变数, 简称参数。