多目标决策方法

多目标决策方法一．多目标决策方法简介1．多目标决策问题及特点（１） 案例个人：购物；买房；择业．．．．．．集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．． （２） 要素行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则（3） 多目标决策有如下几个特点：决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性；定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。

有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。

2． 多目标决策问题的描述)}(),(),({21x f x f x f DR n0)(,0)(,0)(.21≤≤≤x g x g x g TS p决策空间：}0)({≤=x g x X i 目标空间})({X x x f F ∈=两个例子：离散型；连续型3．多目标决策问题的劣解与非劣解非劣解的寻找连续型有时较难4．多目标决策主要有以下几种方法：（１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题；（２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。

（３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。

（（４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。

（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。

（６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。

（７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。

（８）多目标群决策和多目标模糊决策。

（９）字典序数法和多属性效用理论法等。

二、几种常见方法简介及应用1．加性加权法（1） 基本假设：1.属性描述用基数定量描述，且相互独立； 2.价值函数的形式是加性的。

虽然价值函数很难确切描述，但决策者认为效用合成可用加性，另外，每个属性的价值函数是关于属性指标的线性函数。

（2） 符号说明：ij y :第i 个方案关于第j 个属性的取值；ij z :ij y 的规范值；j w :第j 个属性的权重；i v :第i 个方案的综合取值(3)加性加权模型：1max ii mv ≤≤1ni j ijj v W Z ==∑1,......i m= 1,.....j n = （１）ij z 的规范算法：max max min ij ij ij ij ijY Y Z Y Y -=- 当为j 成本型时，min max min ij ij ij ij ijiiY Y Z Y Y -=- 当j为效益型时，[]0,1ij Z ∈,当1ij Z =时，最优；0ij Z =时，最差。

规范后ij Z 是越大越优的。

Note :特殊问题的规范化值例子：人员招聘中对人的满意度的评价――――公务员的招聘（4）权重Wi 的求解 ――关键两种：一是直接由决策者给出；二是分析者根据决策者给的偏好信息用一定的方法导出。

由决策者对目标的成对比较，来导出属性目标的权重：成对比较矩阵()ij n n A a ⨯=ij a :第i 个目标相对于第j 个目标的重要性（按1-9比例标度赋值，这是根据心理学家的研究，认为人们区分信息等做的极限能力为7±2，标度1，3，5，7，9对应于两因素相比为同等重要，略微重要，比较重要，非常重要和绝对重要，而2，4，6，8表示两判断之间的中间状态对应的极度值） 成对比较矩阵性质：正互反性jia 1a ij =，0W 0A max >≥>且存在时，,n λ；A 为一致阵0==↔i max ,n λλ例1：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=143214134132312231214321A ∑=n λ 1)(=A r 理论说明：二阶．三阶虽然由客观事物的复杂性以及人的认识的多样性，因而判断矩阵A 未必是一致阵。

但是仍要求A 有大体上的一致性。

也就是说一个判断矩阵如果是有效的就不应该出现诸如“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙比甲极端重要的逻辑谬误。

因此对A 需作检验，关于A 的一致性检验分如下几步： （1） 计算一致性指标max 1nCI n λ-=- (２)(2)查找相应的平均一致性指标RI表1：1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的RIn 1 2 345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15RI0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59（３）计算一致性比例CRCICR RI=(３) 如CR ＜0.1，则认为A 的一致性问题可接受，否则需对A 作适当的修正。

利用上述成对比较矩阵，可采用和法，根法，特征根法，最小平方法来计算权重，具体方法如下：和法： 111n iji n j kjk a W n a ===∑∑ 1,2,......i n = ，11nii w==∑（４） 例 2 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=131231321311A 1593.01=W 5889.02=W2578.03=W 如果已求得各权重向量1w ，…wn ，则 max λ也可由下式计算得到：111max nij jnj ia wn w λλ===∑∑(５)根法： 11111n nij j i n n n kj k j a W a ===⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭∏∑∏ 1,2,......i n = ， 11ni Wi ==∑（６）1507.01=W 5753.02=W 2740.03=W 特征根法：()max 0A I W λ-= ()12,,......Tn W W W W =11ni Wi ==∑ 得 唯一正解 （７）0536.3max =λ 1571.01=W 5936.02=W 2493.03=W 最小平方法: ()211min nnij j i i j a w w ==-∑∑11ni Wi ==∑（条件极值求得）（jiw w ≈ij a ） （８） 1735.01=W 6059.02=W 2206.03=W迭代法：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=131231321311A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3131310ek k Ae e =+1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2206.06176.01618.010e⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=75.076.136.02e⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2602.06122.01301.07500.07648.13677.08825.2120e ．．．．．． 注意：差异不大，可根据具体情况选择使用计算实例：控制仪器的购买某人拟购买一个控制仪器，现有四种产品可供选择。

每种产品的满意度用4个目标去衡量，即：可靠度，成本，外观和重量。

每个目标对应的属性值都可以量化。

每个方案即每个产品对应的属性值 用下表1所示的决策矩阵描述表示的1X ,2X ,3X ,和4X 分别代表4个产品。

在这4个目标中，可靠度和外观的值越大越好，成本和重量值越小越好。

试帮助该人确定这四种仪器的优势。

仪器购买的决策矩阵方案属性可靠性()1f x 成本()2f x外观()3f x重量()4f x1X 7 89 6 2X 6 7 8 3 3X 5 6 7 54X41067表1方案4X 的每个属性值都劣于方案1X 的每个属性值，故方案4X 是一劣解，将其从方案集中排除，则待选方案为 1X ,2X ,3X 。

对效益型属性1f ,3f 和成本型属性 2f ,4f 利用（3）和（2）将方案1X ,2X ,3X 的属性进行规范化处理，得：10100.50.50.510100.333Z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设决策者偏好结构为如下的成对比较矩阵；124512122141211151211A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（一致性检验不能少！） 采用（4）式（111n iji n j kjk a W n a ===∑∑）计算得：10.5174W =, 20.2446W =,30.1223W =, 40.1157W =最后计算得三个方案1X ,2X ,3X 的目标值i V 为：1ni j ij j V W Z ==∑ 故10.6397V =,20.5579V =,30.2831V =因此，四种产品的选择顺序为： 1234X X X X >>>2 基于理想解的排序模型（目标规划法）（1）基本假设1. 属性描述用基数定量描述，且相互独立；2. 决策者偏好用权 （2）符号说明*j Z ：各属性规范化后的最优值，*x ：理想解，即*x 所对应的各属性值都是规范化后的最优值i S ：第i 个方案与理想解的测度（2） 基于理想解的排序模型()2*11min minni j ij j i mij S w Z Z ≤≤==-∑（９）如果决策者不给出权或给出的各属性的权相同，可用如下模型计算：()2*11min minni ij j i mij S Z Z ≤≤==-∑ （10）注意：ij Y 的规范化可采用如下的方法： ()21ijij mij i Y Z Y ==∑ ()211mij i Z ==∑ （11）理想解*x 的各个属性值()*1,2,......j Zj n =的确定可用如下方 法''1,2,3......,JJ n JJ ==∅应用——控制仪器的购买（内容如上）首先排除劣解X4，将各方案的各个属性利用（11）式规范化得：0.66740.65540.64620.70710.57210.57340.57440.35360.47460.49150.50260.5893Z ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此得理想解*x 的各个属性分量为：()0.66740.49150.64620.3536权重仍用加性加权模型的结果，即各个权重的属性分量为：()0.51740.24460.12230.1157代入（９）式计算得：10.1464S =，20.0835S =，30.1672S =即四种产品的选择顺序为：2134X X X X >>>3 线性分配模型（1） 基本假设1. 属性描述采用序数形式，决策者的偏好仍用权来表示2. 对某一属性，不同方案允许并列，但最终排序不允许并列。

（2） 符号说明：ij W 方案i X 排在位次j 的权重，称()ij m n W W ⨯=为权矩阵。