2019年数学高考真题分类汇编

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2019年全国卷数学(文)高考真题考点分布汇总

2019年全国卷数学(文)高考真题考点分布汇总
数学运算、数据分析
15
填空题
正弦定理、三角恒等变换
逻辑推理、数学运算
16
填空题
数学文化中的立体几何问题、空间几何体的性质
逻辑推理、数学运算、直观想象
17
解答题
线面垂直的性质和判定、四棱锥的体积
逻辑推理、数学运算、直观想象
18
解答题
等比数列与等差数列的性质及前n项和
逻辑推理、数学运算
19
解答题
频数分布表、平均数与标准差、利用样本估计总体
数学运算
14
填空题
等比数列的通项与求和
逻辑推理、数学运算
15
填空题
诱导公式、二倍角公式、三角函数的最值
逻辑推理、数学运算
16
填空题
空间直线和平面的位置关系、点到平面的距离
逻辑推理、数学运算、直观想象
17
解答题
频率与概率的关系、独立性检验
数学运算、数据分析
18
解答题
等差数列的通项与求和、不等式的解法
逻辑推理、数学运算
4
选择题
逻辑联结词的意义和统计知识
逻辑推理、数学运算
5
选择题
三角函数的性质与函数的零点
逻辑推理、数学运算6选题等比数列的性质及前n项和
逻辑推理、数学运算
7
选择题
导数的几何意义
逻辑推理、数学运算
8
选择题
立体几何中的位置判断
逻辑推理、数学运算、直观想象
9
选择题
算法与程序框图
逻辑推理、数学运算
10
选择题
23
解答题
基本不等式、不等式的证明及求参数问题
逻辑推理、数学运算
全国II卷

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编:函数(含解析)

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编:函数(含解析)

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编:函数(含解析)1.(2019•天津•理T8)已知a ∈R ,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1,x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为( )A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e] 【答案】C【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2-2a 2+2a ≥0.a 2-2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x ,f'(x)=1-a x =x -a x >0此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立.可知0≤a ≤1.(2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立.此时f'(x)=x -a x ,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a ,+∞),f'(x)>0,单调递增.需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e ,可知1<a ≤e.由(1)(2)可知,a ∈[0,e],故选C.2.(2019•天津•文T8)已知函数f(x)={2√x ,0≤x ≤1,1x ,x >1.若关于x 的方程f(x)=-14x+a(a ∈R)恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为( )A.54,94B.54,94C.54,94∪{1}D.54,94∪{1} 【答案】D【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a ,得a=54.当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a ,a=94.故当54≤a≤94时,有两个相异点.当x>1时,f'(x 0)=-1x 02=-14,x 0=2.此时切点为2,12,此时a=1.故选D.3.(2019•浙江•T9)设a ,b ∈R ,函数f(x)={x ,x <0,13x 3-12(a +1)x 2+ax ,x ≥0.若函数y=f(x)-ax-b 恰有3个零点,则( )A.a<-1,b<0B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0【答案】C【解析】当x<0时,由x=ax+b ,得x=b 1-a ,最多一个零点取决于x=b 1-a 与0的大小,所以关键研究当x≥0时,方程13x 3-12(a+1)x 2+ax=ax+b 的解的个数,令b=13x 3-12(a+1)x 2=13x 2x-32(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示,可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系.①若32(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b 最多只能有一个交点,不符合题意.②若32(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意.③若32(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b 可以有两个交点,且此时要求x=b 1-a <0,故-1<a<1,b<0,选C.4.(2019•北京•文T3)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12B.y=2-xC.y=lo g 12xD.y=1x【答案】A【解析】函数y=2-x ,y=lo g 12x ,y=1x 在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=x 12在区间(0,+∞)上单调递增,故选A.5.(2019•全国1•理T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(π2,π)内单调递增③f(x)在[-π,π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③【答案】C【解析】因为函数f(x)的定义域为R ,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确; 当π2<x<π时,f(x)=2sin x ,它在区间(π2,π)内单调递减,故②错误;当0≤x ≤π时,f(x)=2sin x ,它有两个零点0和π;当-π≤x ≤0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x ,它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;当x ∈[2k π,2k π+π](k ∈N *)时,f(x)=2sin x;当x ∈(2k π+π,2k π+2π](k ∈N *)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确;综上可知①④正确,故选C.6.(2019•全国3•理T11文T12)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( )A.f (log 314)>f(2-32)>f(2-23)B.f (log 314)>f(2-23)>f(2-32)C.f(2-32)>f(2-23)>f (log 314)D.f(2-23)>f(2-32)>f (log 314)【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的偶函数,∴f (log 314)=f(-log 34)=f(log 34).又y=2x 在R 上单调递增,∴log 34>1=20>2-23>2-32.又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减, ∴f(log 34)<f(2-23)<f(2-32),∴f(2-32)>f(2-23)>f (log 314).故选C.7.(2019•全国1•理T3文T3)已知a=log 20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【答案】B【解析】因为a=log 20.2<0,b=20.2>20=1,又0<c=0.20.3<0.20<1,所以a<c<b.故选B.8.(2019•天津•理T6)已知a=log 52,b=log 0.50.2,c=0.50.2,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【答案】A【解析】∵a=log 52<log 5√5=12,b=log 0.50.2>log 0.50.5=1,c=0.50.2=(12)0.2>(12)1,∴b>c>a.故选A.9.(2019•天津•文T5)已知a=log 27,b=log 38,c=0.30.2,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b命题点比较大小,指、对数函数的单调性. 解题思路利用指、对数函数的单调性比较.【答案】A【解析】a=log 27>log 24=2.b=log 38<log 39<2,且b>1.又c=0.30.2<1,故c<b<a ,故选A.10.(2019•全国1•T5)函数f(x)=sinx+xcosx+x 2在[-π,π]的图像大致为( )。

三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题10解三角形文(含解析)

三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题10解三角形文(含解析)

a2 b2 c2 ,则 C 4

A.
2
C.
4
【答案】C

B.
3
D.
6
【解析】由题可知 S△ABC

1 2
absinC

a2
b2 4
c2
,所以 a2
b2
c2

2absinC ,
由余弦定理 a2 b2 c2 2abcosC ,得 sinC cosC ,因为 C 0, π ,所以 C π ,
4.【2018 年高考全国Ⅱ文数】在△ABC 中, cos C 5 , BC 1, AC 5 ,则 AB 25
2
A. 4 2
B. 30
C. 29
D. 2 5
【答案】A
【解析】因为 cos C 5 ,所以 cosC=2 cos2 C −1=2× ( 5 )2 −1= 3 .
25
2
5
5
于是,在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2−2AC × BC×cosC=52+12−2×5×1×( 3 )=32, 5
所以 AB= 4 2 .故选 A.
【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理,考查考生的运算求解力,考查的数学核心素养是数 学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点,将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起,既体现了试题 设计的亮点,又体现了对所学知识的交汇考查.
4
故选 C.
【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查考生的运算求解能
力,考查的核心素养是数学运算.解三角形的题型一般有两类:一是边角关系的转化,考生需对所给的边

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题08 数列 无答案原卷版

十年高考真题分类汇编(2010-2019)  数学 专题08 数列  无答案原卷版

十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=n2-2n2.(2019·浙江·T10)设a,b∈R,数列{a n}满足a1=a,a n+1=+b,n∈N*,则()A.当b=时,a10>10B.当b=时,a10>10C.当b=-2时,a10>10D.当b=-4时,a10>103.(2018·全国1·理T4)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )A.-12B.-10C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( )A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a45.(2018·北京·理T4文T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A. fB. fC. fD. f6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为( )A.-24B.-3C.3D.88.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=( )A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>010.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )A. B. C.10 D.1212.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.14.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C. D.16.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A. B.- C. D.-17.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=,c n+1=,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m= ( )A.3B.4C.5D.620.(2012·全国·理T5)已知{a n}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( )A.7B.5C.-5D.-721.(2012·全国·文T12)数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为( )A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10= .2.(2019·全国3·理T14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则= .3.(2019·江苏·T8)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,S n的最小值为.5.(2019·全国1·文T14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4= .6.(2019·全国1·理T14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1==a6,则S5=________.7.(2018·全国1·理T14)记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1,则S6= .8.(2018·北京·理T9)设{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为.9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n-1(n∈N*),前n项和为S n,若,则q=.10.(2018·江苏·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}.记S n为数列{a n}的前n项和,则使得S n>12a n+1成立的n的最小值为.11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则=____________.12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8=.14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1= ,S5= .15.(2016·北京·理T12)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= .16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和.若S n=126,则n= .18.(2015·湖南·理T14)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .19.(2015·福建·文T16)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*).则数列前10项的和为____________.21.(2015·全国2·理T16)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n= .22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .23.(2015·陕西·文T13)中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为.24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .26.(2014·安徽·理T12)数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= .27.(2014·全国2·文T16)数列{a n}满足a n+1=,a8=2,则a1=____________.28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{a n}的前n项和最大.29.(2014·天津·理T11)设{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为.31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6= .32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n= .33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3+3S2=0,则公比q= .三、计算题1.(2019·全国2·文T18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n.求数列{b n}的前n项和.2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n-b n+4,4b n+1=3b n-a n-4.(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n-b n}是等差数列;(2)求{a n}和{b n}的通项公式.3.(2019·天津·文T18)设{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}满足c n=求a1c1+a2c2+…+a2n c2n(n∈N*).4.(2019·天津·理T19)设{a n}是等差数列,{b n}是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}满足c1=1,c n=其中k∈N*.①求数列{-1)}的通项公式;②求a i c i(n∈N*).5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=4,a4=S3.数列{b n}满足:对每个n∈N*,S n+b n,S n+1+b n,S n+2+b n成等比数列.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=,n∈N*,证明:c1+c2+…+c n<2,n∈N*.6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M- 数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M- 数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,,其中S n为数列{b n}的前n项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数.若存在“M- 数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.7.(2018·北京·文T15)设{a n}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求{a n}的通项公式;(2)求+…+.8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n},若无穷数列{b n}满足:对任意x∈N*,都有|b n-a n|≤1,则称{b n}与{a n}“接近”.(1)设{a n}是首项为1,公比为的等比数列,b n=a n+1+1,n∈N*,判断数列{b n}是否与{a n}接近,并说明理由;(2)设数列{a n}的前四项为a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,{b n}是一个与{a n}接近的数列,记集合M={x|x=b i,i=1,2,3,4},求M中元素的个数m:(3)已知{a n}是公差为d的等差数列.若存在数列{b n}满足:{b n}与{a n}接近,且在b2-b1,b3-b2,…,b201-b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.9.(2018·江苏·T 20)设{a n}是首项为a1,公差为d的等差数列,{b n}是首项为b1,公比为q的等比数列.(1)设a1=0,b1=1,q=2,若|a n-b n|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围;(2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1, ],证明:存在d∈R,使得|a n-b n|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).10.(2018·天津·文T18)设{a n}是等差数列,其前n项和为S n(n∈N*);{b n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为T n(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求S n和T n;(2)若S n+(T1+T2+…+T n)=a n+4b n,求正整数n的值.11.(2018·天津·理T18)设{a n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*),①求T n;②证明-2(n∈N*).12.(2018·全国2·理T17文T17)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.13.(2018·全国1·文T17)已知数列{a n}满足a1=1,na n+1=2(n+1)a n.设b n=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{b n}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{a n}的通项公式.14.(2018·全国3·理T17文T17)等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和,若S m=63,求m.15.(2017·全国1·文T17)设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.16.(2017·全国2·文T17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的前n项和为T n,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{b n}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.17.(2017·全国3·文T17)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.18.(2017·天津·理T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).19.(2017·山东·理T19)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.20.(2017·山东·文T19)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.1)求数列{a n}的通项公式;(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列的前n项和T n.21.(2017·天津·文T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).22.(2016·全国2·理T17)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1 000项和.23.(2016·全国2·文T17)等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.24.(2016·浙江·文T17)设数列{a n}的前n项和为S n.已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(1)求通项公式a n;(2)求数列{|a n-n-2|}的前n项和.25.(2016·北京·文T15)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设c n=a n+b n,求数列{c n}的前n项和.26.(2016·山东·理T18文T19)已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n,{b n}是等差数列,且a n=b n+b n+1.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)令c n=,求数列{c n}的前n项和T n.27.(2016·天津·理T18)已知{a n}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,b n是a n和a n+1的等比中项.(1)设c n=,n∈N*,求证:数列{c n}是等差数列;(2)设a1=d,T n=(-1)k,n∈N*,求证:.28.(2016·天津·文T18)已知{a n}是等比数列,前n项和为S n(n∈N*),且,S6=63.(1)求{a n}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,b n是log2a n和log2a n+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n项和.29.(2016·全国1·文T17)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和.30.(2016·全国3·文T17)已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1, -(2a n+1-1)a n-2a n+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{a n}的通项公式.31.(2016·全国3·理T17)已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求λ.32.(2015·北京·文T16)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{a n}的第几项相等?33.(2015·重庆·文T16)已知等差数列{a n}满足a3=2,前3项和S3=.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b1=a1,b4=a15,求{b n}的前n项和T n.34.(2015·福建·文T17)等差数列{a n}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.35.(2015·全国1·理T17)S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,+2a n=4S n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和.36.(2015·安徽·文T18)已知数列{a n}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设S n为数列{a n}的前n项和,b n=,求数列{b n}的前n项和T n.37.(2015·天津·理T18)已知数列{a n}满足a n+2=qa n(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{a n}的通项公式;(2)设b n=,n∈N*,求数列{b n}的前n项和.38.(2015·山东·文T19)已知数列{a n}是首项为正数的等差数列,数列的前n项和为.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(a n+1)·,求数列{b n}的前n项和T n.39.(2015·浙江·文T17)已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,a n+1=2a n(n∈N*),b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1(n∈N*).(1)求a n与b n;(2)记数列{a n b n}的前n项和为T n,求T n.40.(2015·天津·文T18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.41.(2015·湖北·文T19)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.42.(2014·全国2·理T17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明:是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)证明:+…+.43.(2014·福建·文T17)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.(1)求a n;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.44.(2014·湖南·文T16)已知数列{a n}的前n项和S n=,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.45.(2014·北京·文T14)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.46.(2014·大纲全国·理T18)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.47.(2014·山东·理T19)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(2)令b n=(-1)n-1,求数列{b n}的前n项和T n.48.(2014·全国1·文T17)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.49.(2014·安徽·文T18)数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设b n=3n·,求数列{b n}的前n项和S n.50.(2014·山东·文T19)在等差数列{a n}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,记T n=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)n b n,求T n.51.(2014·大纲全国·文T17)数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.52.(2014·全国1·理T17)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.53.(2013·全国2·文T17)已知等差数列{a n}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.54.(2013·全国1·文T17)已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0,S5=-5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.55.(2012·湖北·理T18文T20)已知等差数列{a n}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|a n|}的前n项和.56.(2011·全国·文T17)已知等比数列{a n}中,a1=,公比q=.(1)S n为{a n}的前n项和,证明:S n=;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{b n}的通项公式.57.(2011·全国·理T17)等比数列{a n}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列的前n项和.58.(2010·全国·理T17)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.59.(2010·全国·文T17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题01 集合

十年高考真题分类汇编(2010-2019)  数学 专题01 集合

十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学专题01 集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C【解析】∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】D【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A【解析】∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B【解析】∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】C【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。

20 2008~2019年江苏高考数学分类汇编(解析版)---排列组合二项式定理加试

20 2008~2019年江苏高考数学分类汇编(解析版)---排列组合二项式定理加试

2008~2019年江苏高考数学分类汇编排列组合二项式定理2008-23 请先阅读:在等式2cos 22cos 1x x =-(x ∈R )的两边求导,得:2(cos 2)(2cos 1) x x ''=-,由求导法则,得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=-, 化简得等式:sin 22cos sin x x x =.(1)利用上题的想法(或其他方法),结合等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++(x ∈R ,正整数2n ≥),证明:112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑. (2)对于正整数3n ≥,求证:(i )1(1)C 0nkknk k =-=∑;(ii )21(1)C 0nkk nk k =-=∑;(iii )11121C 11n nkn k k n +=-=++∑. 【证明】(1)在等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++两边对x 求导得112121(1)2(1)n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x ----+=+++-+移项得 112[(1)1]nn k k n k n x kC x --=+-=∑ (*)(2)(i )在(*)式中,令1x =-,整理得11(1)0nk kn k kC -=-=∑所以1(1)0nkkn k kC =-=∑(ii )由(1)知112121(1)2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥两边对x 求导,得2232(1)(1)232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x ---+=+++-在上式中,令1x =-23220232(1)(1)(1)n n n n C C n n C -=+-++--即22(1)(1)0nkk nk k k C-=--=∑,亦即22(1)()0nkkn k k k C =--=∑ (1)又由(i )知1(1)0nkkn k kC =-=∑ (2)由(1)+(2)得21(1)C 0nkk n k k =-=∑(iii )将等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++两边在[0,1]上对x 积分110122(1)(C C C C )n n nn n n n x dx x x x dx +=++++⎰⎰由微积分基本定理,得11110011(1)()11nn k k n k x C x n k ++=+=++∑所以 1012111n nk n k C k n +=-=++∑2011-23 设整数4n ≥,(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点,其中,{1,2,3,,},a b n a b ∈>(1)记n A 为满足3a b -=的点P 的个数,求n A ;(2)记n B 为满足1()3a b -是整数的点P 的个数,求n B【解析】考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力,较难题。

专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(解析版)

专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(解析版)

专题05三角函数与解三角形历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 三角函数2019年新课标1理科11 单选题2017 三角函数2017年新课标1理科09 单选题2016 三角函数2016年新课标1理科12 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科02 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科08 单选题2014 三角函数2014年新课标1理科08 单选题2012 三角函数2012年新课标1理科09 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科05 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科11 单选题2010 三角函数2010年新课标1理科09 填空题2018 三角函数2018年新课标1理科16 填空题2015 解三角形2015年新课标1理科16 填空题2014 解三角形2014年新课标1理科16 填空题2013 三角函数2013年新课标1理科15 填空题2011 解三角形2011年新课标1理科16 填空题2010 解三角形2010年新课标1理科16 解答题2019 解三角形2019年新课标1理科17 解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17 解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17 解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17 解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17 解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1.【2019年新课标1理科11】关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)在区间(,π)单调递增③f(x)在[﹣π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.①②④B.②④C.①④D.①③【解答】解:f(﹣x)=sin|﹣x|+|sin(﹣x)|=sin|x|+|sin x|=f(x)则函数f(x)是偶函数,故①正确,当x∈(,π)时,sin|x|=sin x,|sin x|=sin x,则f(x)=sin x+sin x=2sin x为减函数,故②错误,当0≤x≤π时,f(x)=sin|x|+|sin x|=sin x+sin x=2sin x,由f(x)=0得2sin x=0得x=0或x=π,由f(x)是偶函数,得在[﹣π,)上还有一个零点x=﹣π,即函数f(x)在[﹣π,π]有3个零点,故③错误,当sin|x|=1,|sin x|=1时,f(x)取得最大值2,故④正确,故正确是①④,故选:C.2.【2017年新课标1理科09】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin(2x),则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【解答】解:把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=cos2x图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y=cos2(x)=cos(2x)=sin(2x)的图象,即曲线C2,故选:D.3.【2016年新课标1理科12】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|),x为f(x)的零点,x为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5【解答】解:∵x为f(x)的零点,x为y=f(x)图象的对称轴,∴,即,(n∈N)即ω=2n+1,(n∈N)即ω为正奇数,∵f(x)在(,)上单调,则,即T,解得:ω≤12,当ω=11时,φ=kπ,k∈Z,∵|φ|,∴φ,此时f(x)在(,)不单调,不满足题意;当ω=9时,φ=kπ,k∈Z,∵|φ|,∴φ,此时f(x)在(,)单调,满足题意;故ω的最大值为9,故选:B.4.【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=()A.B.C.D.【解答】解:sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°.故选:D.5.【2015年新课标1理科08】函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.(kπ,kπ),k∈z B.(2kπ,2kπ),k∈zC.(k,k),k∈z D.(,2k),k∈z【解答】解:由函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象,可得函数的周期为2()=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+ϕ).再根据函数的图象以及五点法作图,可得ϕ,k∈z,即ϕ,f(x)=cos(πx).由2kπ≤πx2kπ+π,求得2k x≤2k,故f(x)的单调递减区间为(,2k),k∈z,故选:D.6.【2014年新课标1理科08】设α∈(0,),β∈(0,),且tanα,则()A.3α﹣βB.3α+βC.2α﹣βD.2α+β【解答】解:由tanα,得:,即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα,sin(α﹣β)=cosα=sin(),∵α∈(0,),β∈(0,),∴当时,sin(α﹣β)=sin()=cosα成立.故选:C.7.【2012年新课标1理科09】已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx)在区间[,π]上单调递减,则实数ω的取值范围是()A.B.C.D.(0,2]【解答】解:法一:令:不合题意排除(D)合题意排除(B)(C)法二:,得:.故选:A.8.【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos2θ=()A.B.C.D.【解答】解:根据题意可知:tanθ=2,所以cos2θ,则cos2θ=2cos2θ﹣1=21.故选:B.9.【2011年新课标1理科11】设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(﹣x)=f(x),则()A.f(x)在单调递减B.f(x)在(,)单调递减C.f(x)在(0,)单调递增D.f(x)在(,)单调递增【解答】解:由于f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ),由于该函数的最小正周期为T,得出ω=2,又根据f(﹣x)=f(x),得φkπ(k∈Z),以及|φ|,得出φ.因此,f(x)cos2x,若x∈,则2x∈(0,π),从而f(x)在单调递减,若x∈(,),则2x∈(,),该区间不为余弦函数的单调区间,故B,C,D都错,A正确.故选:A.10.【2010年新课标1理科09】若,α是第三象限的角,则()A.B.C.2 D.﹣2【解答】解:由,α是第三象限的角,∴可得,则,应选A.11.【2018年新课标1理科16】已知函数f(x)=2sin x+sin2x,则f(x)的最小值是.【解答】解:由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin2x的一个周期,故只需考虑f(x)=2sin x+sin2x在[0,2π)上的值域,先来求该函数在[0,2π)上的极值点,求导数可得f′(x)=2cos x+2cos2x=2cos x+2(2cos2x﹣1)=2(2cos x﹣1)(cos x+1),令f′(x)=0可解得cos x或cos x=﹣1,可得此时x,π或;∴y=2sin x+sin2x的最小值只能在点x,π或和边界点x=0中取到,计算可得f(),f(π)=0,f(),f(0)=0,∴函数的最小值为,故答案为:.12.【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则AB的取值范围是.【解答】解:方法一:如图所示,延长BA,CD交于点E,则在△ADE中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°,∴设AD x,AE x,DE x,CD=m,∵BC=2,∴(x+m)sin15°=1,∴x+m,∴0<x<4,而AB x+m x x,∴AB的取值范围是(,).故答案为:(,).方法二:如下图,作出底边BC=2的等腰三角形EBC,B=C=75°,倾斜角为150°的直线在平面内移动,分别交EB、EC于A、D,则四边形ABCD即为满足题意的四边形;当直线移动时,运用极限思想,①直线接近点C时,AB趋近最小,为;②直线接近点E时,AB趋近最大值,为;故答案为:(,).13.【2014年新课标1理科16】已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sin A﹣sin B)=(c﹣b)sin C,则△ABC面积的最大值为.【解答】解:因为:(2+b)(sin A﹣sin B)=(c﹣b)sin C⇒(2+b)(a﹣b)=(c﹣b)c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc,又因为:a=2,所以:,△ABC面积,而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以:,即△ABC面积的最大值为.故答案为:.14.【2013年新课标1理科15】设当x=θ时,函数f(x)=sin x﹣2cos x取得最大值,则cosθ=.【解答】解:f(x)=sin x﹣2cos x(sin x cos x)sin(x﹣α)(其中cosα,sinα),∵x=θ时,函数f(x)取得最大值,∴sin(θ﹣α)=1,即sinθ﹣2cosθ,又sin2θ+cos2θ=1,联立得(2cosθ)2+cos2θ=1,解得cosθ.故答案为:15.【2011年新课标1理科16】在△ABC中,B=60°,AC,则AB+2BC的最大值为.【解答】解:设AB=cAC=bBC=a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时,此时a,c符合题意因此最大值为2另解:因为B=60°,A+B+C=180°,所以A+C=120°,由正弦定理,有2,所以AB=2sin C,BC=2sin A.所以AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin(120°﹣A)+4sin A=2(sin120°cos A﹣cos120°sin A)+4sin Acos A+5sin A=2sin(A+φ),(其中sinφ,cosφ)所以AB+2BC的最大值为2.故答案为:216.【2010年新课标1理科16】在△ABC中,D为边BC上一点,BD DC,∠ADB=120°,AD=2,若△ADC的面积为,则∠BAC=.【解答】解:由△ADC的面积为可得解得,则.AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°,,则.故∠BAC=60°.17.【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B﹣sin C)2=sin2A ﹣sin B sin C.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sin C.【解答】解:(1)∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B﹣sin C)2=sin2A﹣sin B sin C.则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C=sin2A﹣sin B sin C,∴由正弦定理得:b2+c2﹣a2=bc,∴cos A,∵0<A<π,∴A.(2)∵a+b=2c,A,∴由正弦定理得,∴解得sin(C),∴C,C,∴sin C=sin()=sin cos cos sin.18.【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.【解答】解:(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.∴由正弦定理得:,即,∴sin∠ADB,∵AB<BD,∴∠ADB<∠A,∴cos∠ADB.(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB,∵DC=2,∴BC5.19.【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.【解答】解:(1)由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B,∴3c sin B sin A=2a,由正弦定理可得3sin C sin B sin A=2sin A,∵sin A≠0,∴sin B sin C;(2)∵6cos B cos C=1,∴cos B cos C,∴cos B cos C﹣sin B sin C,∴cos(B+C),∴cos A,∵0<A<π,∴A,∵2R2,∴sin B sin C•,∴bc=8,∵a2=b2+c2﹣2bc cos A,∴b2+c2﹣bc=9,∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33,∴b+c∴周长a+b+c=3.20.【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得:2cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C,整理得:2cos C sin(A+B)=sin C,即2cos C sin(π﹣(A+B))=sin C2cos C sin C=sin C∴cos C,∴C;(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•,∴(a+b)2﹣3ab=7,∵S ab sin C ab,∴ab=6,∴(a+b)2﹣18=7,∴a+b=5,∴△ABC的周长为5.21.【2013年新课标1理科17】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB,求P A;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【解答】解:(I)在Rt△PBC中,,∴∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得P A2=PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°.∴P A.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,PB=BC cos(90°﹣α)=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化为.∴.22.【2012年新课标1理科17】已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a cos C a sin C﹣b﹣c=0(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.【解答】解:(1)由正弦定理得:a cos C a sin C﹣b﹣c=0,即sin A cos C sin A sin C=sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C=sin(A+C)+sin C,即sin A﹣cos A=1∴sin(A﹣30°).∴A﹣30°=30°∴A=60°;(2)若a=2,△ABC的面积,∴bc=4.①再利用余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bc•cos A=(b+c)2﹣2bc﹣bc=(b+c)2﹣3×4=4,∴b+c=4.②结合①②求得b=c=2.考题分析与复习建议本专题考查的知识点为:同角三角函数基本关系、诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现,重点考查的知识点为:诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1.函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.则函数()f x 的单调递增区间为( )A .,63k k ππππ轾犏-+犏臌,k z ∈B .,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈C .,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈D .,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象, 可得:332113441264T ππππω=⋅=-=, 解得:2ω=, 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上,可得:2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,可得:2262k ππϕπ⨯+=+,k ∈Z ,解得:26k πϕπ=+,k ∈Z ,由于:0ϕπ<<, 可得:6π=ϕ,即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令222262k x k πππππ-≤+≤+,k ∈Z 解得:36k x k ππππ-≤≤+,k ∈Z ,可得:则函数()f x 的单调递增区间为:,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z .故选C .2.将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到()g x 的图像,若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-,则122x x -的最大值为( ) A .4912π B .356π C .256π D .174π 【答案】C 【解析】由题意,函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象, 若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-, 则()()123g x g x ==,则22,62x k k Z πππ+=+∈,解得,6x k k Z ππ=+∈,因为12,[2,2]x x ππ∈-,所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--, 当12711,66x x ππ==-时,122x x -取得最大值,最大值为711252()666πππ⨯--=, 故选C.3.将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度,得到函数()g x 的图像,若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A .23-π B .3π-C .6π-D .2π-【答案】A 【解析】 因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++, 将其图像向右平移3π个单位长度,得到函数()g x 的图像, 所以()cos()13g x x πϕ=-++,又()(4)g x g x π=-,所以()g x 关于2x π=对称, 所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈,即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈,因为0πϕ-<<,所以易得23πϕ=-.故选A4.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π, ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点,且最大值点大于最小值点,则()f x =( ) A .sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B .3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C .sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D .3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<,所以34πϕ=,所以3()sin()4f x x πω=+, 因为3()sin()0444f πππω=+=,由图可知,3244k ππωππ+=+,解得18,k k Z ω=+∈, 又因为24T ππω=<,可得8ω>,所以当1k =时,9ω=, 所以3()sin(9)4f x x π=+, 故答案选D.5.已知函数()cos 3f x x x =-,则下列结论中正确的个数是( ). ①()f x 的图象关于直线3x π=对称;②将()f x 的图象向右平移3π个单位,得到函数()2cos g x x =的图象;③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心;④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. A .1 B .2C .3D .4【答案】A由题意,函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ①中,由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值,则()f x 的图象不关于直线3x π=对称,故①错; ②中,将()f x 的图象向右平移3π个单位,得到函数()2cos g x x =的图象,故②对; ③中,由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭,可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心,故③错; ④中,由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤,解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤,即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈, 由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈,解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈,即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,故④错. 故选:A .6.在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ,满足()22sin 40a a B B -++=,b =则ABC △的面积为A .BC .D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程,则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…,故若使得方程有解,则只有△0=,此时6B π=,b =代入方程可得,2440a a -+=,由余弦定理可得,2428cos3022c c+-︒=⨯,解可得,c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选:C .7.设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2,2a B A ==,则b 的取值范围为( )A .(0,4)B .(2,C .D .4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2,2a B A ==,∴ 022A π<<,3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<,04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==,即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8.已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若6sin cos 7sin2C A A =,53a b =,则C =( ). A .3πB .23π C .34π D .56π 【答案】B 【解析】由题意,因为672sinCcosA sin A =,可得:614sinCcosA sinAcosA =, 即(614)0sinC sinA cosA -⋅=,可得∴614sinC sinA =或0cosA =, 又由a b <,则A 为锐角,所以0cosA =不符合舍去, 又由正弦定理可得:37c a =,即:73a c =, 由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭, ∵(0,)C π∈,∴23C π=. 故选:B .9.若函数()2sin()f x x ωϕ=+ (01ω<<,02πϕ<<)的图像过点,且关于点(2,0)-对称,则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭,即:23k πωπ-+=,k Z ∈126k πωπ∴=-+,k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭,()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果:110.若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+,∴10x y -+>, ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ,当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ,即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈,即()12k x y k Z π+==∈, 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭(当且仅当0k =时取等号), 从而xy 的最小值为1.411.设函数()sin(2)3f x x π=+,若120x x <,且12()()0f x f x +=,则21x x -的取值范围是_______.【答案】(3π,+∞) 【解析】不妨设120x x <<,则2121x x x x -=-,由图可知210()33x x ππ->--=.故答案为:(3π,+∞) 12.已知角α为第一象限角,sin cos a αα-=,则实数a 的取值范围为__________.【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+,因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为:(1,2]13.已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,则cos 2ϕ=___. 【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14.如图,四边形ABCD 中,4AB =,5BC =,3CD =,90ABC ∠=︒,120BCD ∠=°,则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o,如图:故在Rt ABC∆中,sin4141θθ==,()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ,又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15.在锐角ABC∆中,角A B C,,的对边分别为a b c,,.且cos cosA Ba b+=23sin C23b=.则a c+的取值范围为_____.【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得:23sin cos sin cos sinB A A B B C+=,可得:sin()sin sin A B C B C +==,sin B ∴=, 又ABC ∆为锐角三角形,3B π∴=,∴可得:sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角,可得:,62636A A πππππ<<-<-<,(6,a c ∴+∈.故答案为: (6,.16.在ABC ∆中,已知AB 边上的中线1CM =,且1tan A ,1tan C ,1tan B成等差数列,则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ,1tan C ,1tan B 成等差数列, 所以211tan tan tan C A B =+,即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==, 所以2sin 2cos sin sin C C A B =,由正弦定理可得2cos 2c C ab=,又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=,所以222222a b c c ab ab+-=,故2222a b c +=, 又因为AB 边上的中线1CM =,所以1CM =u u u u v ,因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+, 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,即22224232c b a ab c ab=++⋅=,解c =即AB 的长为3.17.在ABC ∆中,A B C ,,的对边分别a b c ,,,60,cos A B ︒==(Ⅰ)若D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,求DCBD的值; (Ⅱ)若 ccos cos 2B b C +=,求ABC ∆的面积. 【答案】(Ⅰ)4;【解析】(Ⅰ)因为cos 3B =,∴sin 3B =, ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==, 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠,sin DCCAD∠, 因为AD 平分BAC ∠,所以sin 4sin DC BBD C ===.(Ⅱ)由cos cos 2c B b C +=,即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==,所以sin sin a b A B =,∴sin sin 3a Bb A ==,故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别,,a b c ,()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈,函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.(1)当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,求()f x 的值域;(2)若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】(1)⎛⎤⎥ ⎝⎦(2)【解析】(1)()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称, ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数,5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数,且()0f =,5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦(2)∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理,2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19.在ABC ∆中,已知2AB =,cos 10B =,4C π=.(1)求BC 的长; (2)求sin(2)3A π+的值.【答案】(1)5BC =(2【解析】解:(1)因为cos B =,0B π<<,所以sin B ===在ABC ∆中,A B C π++=,所以()A B C π=-+, 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中,由正弦定理知sin sin BC AB A C=,所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. (2)在ABC ∆中,A B C π++=,所以()A B C π=-+, 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭,于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=, 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此,sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20.如图,在四边形ABCD 中,60A ∠=︒,90ABC ∠=︒.已知3AD =,6BD =.(Ⅰ)求sin ABD ∠的值;(Ⅱ)若2CD =,且CD BC >,求BC 的长.【答案】(Ⅰ)64(Ⅱ)1BC = 【解析】(Ⅰ)在ABD V 中,由正弦定理,得sin sin AD BD ABD A =∠∠. 因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,6sin ABD ∠=, 因为90ABC ︒∠=,所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=. 在BCD ∆中,由余弦定理,得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠. 因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-,即2320BC BC -+=,解得1BC =或2BC =.又CD BC >,则1BC =.21.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且234cos2sin 22A b b a B =+. (1)求cos A ;(2)若a =5c =,求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解:(1)由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+, 化简得4cos 3sin b A a B =,由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =, 因为sin 0B ≠, 所以4tan 3A =,且A 为ABC ∆的内角, 即3cos 5A =. (2)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-, 所以220256b b =+-,所以2650b b -+=,所以1b =或5.22.已知在△ABC 中,222a c ac b +-=. (Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)求cos cos A C +的最大值.【答案】(Ⅰ)3π;(Ⅱ)1. 【解析】 (Ⅰ)由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=(Ⅱ)由(Ⅰ)可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。

近七年(2013-2019)全国高考(1卷)真题整理汇编(理科数学)

近七年(2013-2019)全国高考(1卷)真题整理汇编(理科数学)

2013-2019近七年全国高考(1卷)真题整理汇编(理科数学)一、集合与逻辑用语【2019,1】已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N =( )A .}{43x x -<<B .}42{x x -<<-C .}{22x x -<<D .}{23x x <<1、【2018,2】 已知集合A ={x |x 2−x −2>0},则∁R A = A.{x |−1<x <2} B. {x |−1≤x ≤2}C. {x|x <−1}∪{x|x >2}D. {x|x ≤−1}∪{x|x ≥2}2、【2017,1】已知集合{}1A x x =<,{}31xB x =<,则( )A .{|0}AB x x =< B .A B =RC .{|1}A B x x =>D .A B =∅3、【2016,1】设集合}034{2<+-=x x x A ,}032{>-=x x B ,则A B =( )A .)23,3(--B .)23,3(-C .)23,1(D .)3,23(4、【2015,3】设命题p :n ∃∈N ,22n n >,则p ⌝为( )A .n ∀∈N ,22n n >B .n ∃∈N ,22n n ≤C .n ∀∈N ,22n n ≤D .n ∃∈N ,22n n = 5、【2014,1】已知集合A={x |2230x x --≥},B={}22x x -≤<,则A B ⋂=( )A .[-2,-1]B .[-1,2)C .[-1,1]D .[1,2)N |{-=x −2>0得{AB x x ={AB x x =32AB x ⎧=⎨⎩6、【2013,1】已知集合A ={x |x 2-2x >0},B ={x |x ,则( )A .A ∩B =B .A ∪B =RC .B ⊆AD .A ⊆B二、函数及其性质【2019,3】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===,,,则( ) A .a b c << B .a c b << C .c a b << D .b c a <<【2019,5】函数f(x )=在[,]-ππ的图像大致为A .B .C .D .1、【2018,9】 已知函数f(x)={ex,x ≤0,lnx ,x >0,g(x)=f(x)+x +a .若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是( ) A. –1(0( B. 0(+∞( C. –1(+∞( D. 1(+∞(2sin cos ++x xx x 0,∴x <0或x >2,∴由图象可以看出2、【2018,16】已知函数f (x )=2sinx +sin2x ,则f (x )的最小值是_____________(3、【2017,5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是( ) A .[2,2]- B . [1,1]-C . [0,4]D . [1,3]4、【2017,11】设,,x y z 为正数,且235x y z ==,则( )A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5zC 详解:画出函数f(x)的图像,y =e x 在y 轴右侧的去掉,再画出直线y =−x ,之后上下移动, 可以发现当直线过点A 时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程f(x)=−x −a 有两个解,也就是函数g(x)有两个零点, 此时满足−a ≤1,即a ≥−1,故选C.&公众号则知教育.&5、【2016,7】函数x exy-=22在]2,2[-的图像大致为()A.B.C.D.6、【2016,8】若1>>ba,10<<c,则()A.cc ba<B.cc baab<C.cbcaabloglog<D.ccbaloglog<7、【2015,13】若函数f(x)=x ln(x a=8、【2014,3】设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论正确的是( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数9、【2013,11】已知函数f (x )=220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,,,若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是( )A .(-∞,0]B .(-∞,1]C .[-2,1]D .[-2,0]三、导数及其应用【2019,13】曲线23()e x y x x =+在点(0)0,处的切线方程为____________.1、【2018,5】设函数f(x)=x 3+(a −1)x 2+ax ,若f(x)为奇函数,则曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为A. y =−2xB. y =−xC. y =2xD. y =x时,才能满足|f (x )|≥ax ,可排除-2x .故由|f (x )|≥ax 得∵x -2<-2,∴a ≥-2、【2017,16】如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5 cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC , CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC .的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为_______.3、【2015,12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中1a <,若存在唯一的整数0x ,使得0()0f x <,则a 的取值范围是( )A .3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B .33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C . 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D . 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 详解:因为函数f(x)是奇函数,所以a −1=0,解得a =1, 所以f(x)=x 3+x ,f′(x)=3x 2+1,所以f′(0)=1,f(0)=0,所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ,化简可得y =x ,故选D.【解析】由题,连接OD ,交BC 与点G ,由题,OD BC ⊥,36OG BC =, 即OG 的长度与BC 的长度或成正比,设OG x =,则23BC x =,5DG x =-,三棱锥的高22225102510h DG OG x x x x =-=-+-=-,21233332ABC S x x =⋅⋅=△, 则21325103ABC V S h x x =⋅=⋅-△45=32510x x ⋅-,令()452510f x x x =-,5(0,)2x ∈,()3410050f x x x '=-,令()0f x '>,即4320x x -<,2x <,则()()280f x f =≤,则38045V ⨯=≤,∴体积最大值为3415cm .4、【2014,11】已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且0x >0,则a 的取值范围为( )A .(2,+∞)B .(-∞,-2)C .(1,+∞)D .(-∞,-1)3113x x -有唯一的正33t t -+有唯一的交点1±,3t +有唯一的正零5、【2013,16】若函数f (x )=(1-x 2)(x 2+ax +b )的图像关于直线x =-2对称,则f (x )的最大解答题【2019,20】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明:(1)()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点;(2)()f x 有且仅有2个零点.1、【2018,21】21. 已知函数f(x)=1x−x+alnx((1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2(2、【2017,12】已知函数()()22x xf x ae a e x =+--.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.3、【2016,12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点.(Ⅰ)求a 的取值范围;(Ⅱ)设21,x x 是)(x f 的两个零点,证明:221<+x x .4、【2015,12】已知函数31()4f x x ax =++,()ln g x x =-. (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x =的切线;(Ⅱ)用min{,}m n 表示,m n 中的最小值,设函数min{),()(}()h x f x g x =(0x >),讨论()h x 零点的个数.5、【2014,21】设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+,曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ; (Ⅱ)证明:()1f x >.(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞,112()ln x x x x a b b f x ae x e e e xxx--'=+-+由题意可得(1)2,(1)f f e '==,故1,2a b ==(Ⅱ)由(Ⅰ)知,12()ln x xe f x e x x -=+,从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->- 设函数()ln g x x x =,则()ln g x x x '=+,所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x '<,当1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增,从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e=-.设函数2()x h x xe e -=-,则()()1x h x e x -'=-,所以当()0,1x ∈时,()0h x '>,当()1,x ∈+∞时,()0h x '<,故()h x 在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减,从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值1(1)h e=-. 综上:当0x >时,()()g x h x >,即()1f x >6、【2013,理21】设函数f (x )=x 2+ax +b ,g (x )=e x (cx +d ).若曲线y =f (x )和曲线y =g (x )都过点P (0,2),且在点P 处有相同的切线y =4x +2.四、三角函数和解三角形【2019,11】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:①f (x )是偶函数;②f (x )在区间(2π,π)单调递增;③f (x )在[,]-ππ有4个零点;④f (x )的最大值为2。

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2019年真题分类汇编一、集合1,(全国1理1)已知集合242{60{}MxxNxxx,,则MN=A.{43xxB.42{xxC.{22xxD.{23xx

2,(全国1文2)已知集合1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB,,,则U

BAð

A.1,6B.1,7C.6,7D.1,6,7

3,(全国2理1)设集合A={x|x2–5x+6>0},B={x|x–1<0},则A∩B=A.(–∞,1)B.(–2,1)C.(–3,–1)D.(3,+∞)

4,(全国2文1)已知集合={|1}Axx,{|2}Bxx,则A∩B=A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.

5,(全国3文、理1)已知集合2{1,0,1,2}{|1}ABxx,,则ABA.1,0,1B.0,1C.1,1D.0,1,2

6,(北京文,1)已知集合A={x|–11},则A∪B=(A)(–1,1)(B)(1,2)(C)(–1,+∞)(D)(1,+∞)

7,(天津文、理,1)设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}ABCxxR,则()ACBA.2B.2,3C.1,2,3D.1,2,3,4

8(浙江1).已知全集1,0,1,2,3U,集合0,1,2A,1,0,1B,则()UABð

=

A.1B.0,1C.1,2,3D.1,0,1,3

9,(江苏1).已知集合{1,0,1,6}A,{|0,}BxxxR,则AB.10,(上海1)已知集合{1A,2,3,4,5},{3B,5,6},则AB

二、复数1,(全国1理,2)设复数z满足=1iz,z在复平面内对应的点为(x,y),则A.22+11()xyB.221(1)xyC.22(1)1yxD.22(+1)1yx

2,(全国1文,1)设3i12iz

,则

z

=

A.2B.3C.2D.1

3,(全国2理2)设z=–3+2i,则在复平面内z

对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4,(全国2文,2)设z=i(2+i),则z=A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i5,(全国3理、文,2)若(1i)2iz,则z=A.1iB.1+iC.1iD.1+i

6,(北京,理、文2)已知复数z=2+i,则zz(A)3(B)5(C)3(D)5

7,(天津理、文9)i是虚数单位,则5ii1

的值为_____________.

8,(浙江11)复数11iz

(i为虚数单位),则||z=___________.

9,(江苏2)已知复数(2i)(1i)a的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.10,(上海5)设i为虚数单位,365zii,则||z的值为三、函数1,(全国1理、文,3)已知0.20.32 log0.220.2abc,,,则A.abcB.acbC.cabD.bca

2(全国1理、文,5).函数f(x)=2

sin

cos

xx

xx在[,]的图像大致为

A.B.C.D.3,(全国1理、文13)曲线23()e

x

yxx

在点(0)0,处的切线方程为____________.

4,(全国2理,4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行.2

L

点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,2

L点到

月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:121223()

()

MMMRr

RrrR

.

设rR,由于的值很小,因此在近似计算中34532333(1),则r的近似值为A.21MRMB.212

MR

M

C.2313MRMD.23

13

MR

M

5,(全国2理,12).设函数()fx的定义域为R,满足(1)2 ()fxfx,且当(0,1]x时,()(1)fxxx.若对任意(,]xm,都有

8()

9fx

,则m的取值范围是

A.9,4B.7,3C.5,2D.8,

3





6,(全国2理14)已知()fx是奇函数,且当0x时,()eaxfx.若(ln2)8f,则a__________.7,(全国2文,6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e1x

,则当x<0时,f(x)=

A.e1xB.e1xC.e1xD.e1x

8,(全国2文,10)曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为A.10xyB.2210xy

C.2210xyD.10xy

9,(全国3理6、文7).已知曲线elnxyaxx

在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则

A.e1ab,B.a=e,b=1C.1e1ab,D.1ea

,

1b

10,(全国3理7)函数32

22xxx

y



在6,6的图像大致为

A.B.C.D.11,(全国3理11、文12)设fx是定义域为R的偶函数,且在0,+单调递减,则

A.f(log3

1

4)>f(322)>f(232)

B.f(log3

1

4)>f(232)>f(322)

C.f(322)>f(232)>f(log314)

D.f(232)>f(322)>f(log314)

12,(北京理8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:221||xyxy就是其中之一(如图).给出下列三个结论:

①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是(A)①(B)②(C)①②(D)①②③13,(北京理13)设函数f(x)=ex+ae−x

(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=________;

若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是___________.

14,(北京理、文14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.

①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为__________.

15,(北京文3)下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是(A)12yx(B)y=2x(C)12logyx(D)1y

x

16,(北京文7)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212

152–lgE

mm

E

,其中星等为

km的星的亮度为k

E(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星

等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(A)1010.1(B)10.1(C)lg10.1(D)10.110

17,(天津理6).已知5log2a,0.5og2.l0b,0.20.5c,则,,abc的大小关系为

A.acbB.abcC.bcaD.cab

18,(天津文5)已知0.223log7,log8,0.3abc,则a,b,c的大小关系为(A)cba(B)abc(c)bca(D)cab

19,(天津理8).已知aR,设函数222,1,

()

ln,1.

xaxaxfx

xaxx







若关于x的不等式()0fx在R

上恒成立,则a的取值范围为A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e

20,(天津文8)已知函数2,01,()1

,1.

xxfxxx







若关于x的方程1()()

4fxxaaR

恰有两个互

异的实数解,则a的取值范围为(A)59,44(B)59,44(C)59,{1}44(D)59,{1}

44





21,(天津文11)曲线cos2

xyx在点(0,1)处的切线方程为__________.

22.(浙江11)已知,abR,函数32

,0()11

(1),0

32

xxfxxaxaxx







若函数()yfxaxb恰有3个零点,则A.a<–1,b<0B.a<–1,b>0C.a>–1,b<0D.a>–1,b>0

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