中考复习之直角三角形与勾股定理
2012届中考数学复习方案(浙教版)第4单元：第22课时 直角三角形与勾股定理
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第22课时 │考点聚焦
考点5 命题、定义、定理、公理
1．在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含
义加以描述，作出明确的规定，也就是给它们下定义． 2．命题是判断一件事情的句子．正确的命题叫________ 真命题 ，错误
假命题 ；每个命题都由________ 条件 和________ 结论 两部分组 的命题叫________
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图 22－1 A．3 cm B．6 cm C．3 2 cm D．6 2 cm
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[解析] 如图所示，过点 A 作 AD⊥BD，垂足为点 D，所以 AB＝ 2AD＝2×3＝6(cm)，因为△ABC 是等腰直角三角形，故 AC＝ 2AB ＝6 2 cm.
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考点3 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长分别为 a、b、c，且满足 a ＋b ＝c ，那么这
直角 三角形． 个三角形是________
2 2 2
[作用] (1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)判断三角形的形 状；(3)证明两条线段垂直；(4)实际应用．
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第22课时 │直角三角形与勾股定理
第22课时 直角三角形与勾股定理
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考点聚焦
考点1 直角三角形
1．定义 有一个角是直角的三角形叫直角三角形．
2．直角三角形的有关结论
互余 ． (1)直角三角形的两锐角________ 一半 ． (2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的________
2020届中考数学总复习讲义课件：第四单元 第20课时 直角三角形和勾股定理
跟踪训练 1.[2018·湘潭]《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾 股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺， 问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图 20－8 所示，△ABC 中，∠ACB＝90°， AC ＋ AB ＝ 10 ， BC ＝ 3 ， 求 AC 的 长 ， 如 果 设 AC ＝ x ， 则 可 列 方 程 为 x_2_＋___3_2_＝___(1__0_－___x_)．2
第四单元 三角形
第20课时 直角三角形和勾股定理
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边 AB 的长为 2 cm，则 AC 长为( C )
A．4 cm
B．2 cm
C．1 cm
1 D.2 cm
2．[2019·毕节]如图 20－1，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，若 EB＝1，EC＝2， 那么正方形 ABCD 的面积为( B )
3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛 藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图 20－15，把 枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺， 有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处．则问题中葛藤的最 短长度是____2_5_____尺．
1．面积法 用面积法证明是常用的技巧之一，勾股定理的证明通常用面积法，即利用某个图 形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到证明的结论． 2．数形结合思想 在解决一些实际问题时，如立体图形侧面两点的距离问题，折叠问题，航海问题， 梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理，解决这些问题的过程， 充分体现了数形结合思想，这是中考的热点．
勾股定理与直角三角形的关系
勾股定理与直角三角形的关系在数学中，勾股定理是一个基本的几何定理，它描述了直角三角形中各边之间的关系。
勾股定理的形式化表述为：在一个直角三角形中，三条边的平方和等于斜边的平方。
即对于一个直角三角形，设其两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2勾股定理最早是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，因此也叫毕达哥拉斯定理。
它是数学中的重要定理之一，被广泛应用于各个领域。
勾股定理与直角三角形的关系是密不可分的。
直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
根据勾股定理，如果三条边的长度满足a^2 + b^2 = c^2的关系，则这个三角形是一个直角三角形。
换句话说，通过勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。
直角三角形和勾股定理在几何学中有着广泛的应用。
首先是测量，通过测量直角三角形的两条直角边的长度，可以利用勾股定理计算出斜边的长度，这在实际生活中非常有用。
其次，勾股定理还可以解决一些几何问题，例如求解角度、寻找缺失边长等等。
在建筑、设计、工程等领域，勾股定理也经常被用来计算和解决实际问题。
除了应用，勾股定理还有着深厚的数学内涵。
它是三角函数的基础之一，通过勾股定理可以导出正弦定理、余弦定理等重要的三角函数定理。
同时，勾股定理也是代数和几何之间的桥梁，在代数中，勾股定理可以用于解决二元二次方程。
总之，勾股定理与直角三角形的关系不仅仅局限于几何，还涉及到许多其他数学领域的运用。
它解决了很多实际问题，为我们提供了计算和推理的工具。
勾股定理的发现和应用是数学研究中的重要里程碑，深刻影响了数学和人类文明的发展。
无论是在学校教育中的数学教学，还是在实际生活中的应用，勾股定理都扮演着重要的角色，为我们提供了便利和启示。
中考复习模拟试题集锦——直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理一、选择题1、(2013年湖北荆州模拟5)小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高是（ ▲ ）． ABCD 答案： C2、 (2013年江苏南京一模)如图，直线上有三个正方形3和4，则b 的面积为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．7答案：73、(2013年广东省佛山市模拟)设a ,b ,c 分别是△ABC 的三条边，且∠A =60º,那么ca bb ac +++的值是（ ） （原创） A.1 B.0.5 C.2 D.3 答案：A4、(2013北仑区一模)12. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是 （ ▲ ）．A ．225y x =B ．2425y x =C ．2225y x =D ．245y x =【答案】A5．（2013郑州外国语预测卷）如图，两个等圆⊙A 、⊙B 分别与直线l 相切于点C 、D ，连接AB 与直线l 相交于点O ，∠AOB =30°，连接AC 、BD ，若AB =4，则这两个等圆的半径为（ ）ABC 第1题图 lABC DA ．21B ．1C ．3D ．2答案：B6．（2013辽宁葫芦岛一模）已知：直线l 1∥l 2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°答案：B7．（2013宁波五校联考一模）如图，已知∠AOM=60°，在射线OM 上有点B ，使得AB与OB 的长度都是整数，由此称B 是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B 的个数为 （ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4答案：B8．（2013宁波五校联考一模）如图，已知∠AOM=60°，在射线OM 上有点B ，使得AB 与OB 的长度都是整数，由此称B 是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B 的个数为 （ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4答案：A9．如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE=3，CF=1，P 是斜边AC 上的一个动点，则△PEF 周长的最小值为 ．510、(2013年福州市初中毕业班质量检查) “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)若针扎到小正方形(阴影部分)的概率是19，则大、小两个正方形的边长之比是A ．3∶1 B ．8∶1 C ．9∶1 D ．22∶1A11、 （2013年广西钦州市四模）图1中，每个小正方形的边长为1，ABC 的三1 2 l 1 l 2ABCD E FG第4题第5题 BEF第6题1题图边a ，b ，c 的大小关系是：（Ａ）a<c<b （Ｂ）a<b <c （Ｃ）c<a<b （Ｄ）c<b<a 答案：C12. （2013年广西钦州市四模）如图2所示，在Rt ABC △中，90A ∠=°，BD 平分6. 如图是某几何体的三视图及相关数据，请写出一个a,b,c,关系的等式 a 2+b 2=c 2且∠DAE =450，将△ADC 绕点A 顺时针旋转900后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：（1）△AED ≌△AEF ；（2）△ABE ∽△ACD ；（3）BE ＋DC ＝DE ；（4）2BE ＋2DC ＝2DE ．其中正确的是 ▲ ．第8题图【答案】（1) (4)9（2013河南南阳市模拟）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 是AB 的中点．现将△BCD 沿BA 方向平移1cm ，得到△EFG ，FG 交AC 于H ，则GH 的长等于cm ．第9题图 【答案】310、（2013温州模拟）16．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB=23，E 是AC 上的一点(AE>CE)，且DE=BE ，则AE 的长为 ▲ .【答案】7511、(2013浙江永嘉一模)14．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，点D 是AB 的中点，连结CD ．若AC，则图中长度等于1cm 的线段有 ▲ 条．12．（2013郑州外国语预测卷）如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为 度.答案：2513．（2013江西饶鹰中考模拟）小红在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为4、8、6，则原直角三角形纸片的斜边长是 .答案：20或5814、. （2013河南沁阳市九年级第一次质量检测）如图，Rt△ABC 中030,90=∠=∠A C ，在AC边上取点O 画圆使⊙O 经过A 、B 两点，下列结论中：①CO AO 2=；②BC AO=；（第2题图） AB Cl mαβ第1题图ABCDE③以O 为圆心，以OC 为半径的圆与AB 相切；④延长BC 交⊙O 与D ，则A 、B 、D 是⊙O 的三等分点．正确的序号是 (多填或错填不给分)．①③④三、解答题1、（2013浙江锦绣·育才教育集团一模）（本小题满分8分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的关系，并证明你的猜想．答案：解：数量关系为：BE =EC ，位置关系是：BE ⊥EC ．－－－－－－－－－－1分 证明：∵△AED 是直角三角形，∠AED =90°，且有一个锐角是45°， ∴∠EAD =∠EDA =45°， ∴AE =DE ， ∵∠BAC =90°，∴∠EAB =∠EAD +∠BAC =90°+45°=135°， ∠EDC =∠ADC －∠EDA =180°－45°=135°， ∴∠EAB =∠EDC ， ∵D 是AC 的中点， ∴AD = AB ， ∵AC =2AB ， ∴AB =DC ， ∴△EAB ≌△EDC ，∴EB =EC ，且∠AEB =∠AED =90°， ∴∠DEC +∠BED =∠AED =∠BED =90°，A∴BE ⊥ED ．－－－－－－－－－－－－－－－8分（中间过程酌情给分）2．（2013年北京平谷区一模）已知：如图，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，120D ∠=︒，E 是AD 上一点，∠BED=135°，BE =DC =2DE =求 (1)点C 到直线AD 的距离； （2）线段BC 的长．答案：解：（1）作CF ⊥AD 交AD 的延长线于F . ..1分 ∵ ∠ADC =120°，∴ ∠CDF =60°.在Rt △CDF 中，sin 60 3.FC CD =⋅︒=………………………………………2分 即点C 到直线AD 的距离为3. （2）∵ ∠BED=135°，BE = ∴ ∠AEB =45°. ∵ 90A ∠=︒， ∴ ∠ABE =45°.∴ 2.AB AE == ………………………………………………………………………3分 作BG ⊥CF 于G .可证四边形ABGF 是矩形. ∴ FG =AB =2，CG =CF -FG =1. ∵12DF CD==∴ 22 4.BG AF AE ED DF ==++=+………………………………..4分∴ BC =……………………………………………… 5分 3．（2013郑州外国语预测卷）如图，等边△ABC 中，AO 是∠BAC 的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE ,连结BE . (1) 求证：△ACD ≌△BCE ；(2) 延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、CQ 使CP =CQ =5, 若BC =8时，求PQ 的长.A 第2题图ABCDO答案：证明：△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∴AC =BC , CD =CE 且∠ACB =∠DCE =60° ∵∠ACD +∠DCB =∠DCB +∠BCE =60° ∴∠ACD =∠BCE ∴△ACD ≌△BCE（2）解：作CH ⊥BQ 交BQ 于H , 则PQ =2HQ在Rt △BHC 中 ，由已知和（1）得 ∠CBH =∠CAO =30° ∴ CH =4， 在Rt △CHQ 中，HQ =345CH CQ 2222=-=-∴PQ =2HQ =64. （2013江西饶鹰中考模拟）某校九年级（1）班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 如图1，在等腰直角△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边BC 边的中点O 上，从BC 边开始绕点A 顺时针旋转，其中三角板两条直角边所在的直线分别AB 、AC 于点E 、F ．（1）小明在旋转中发现：在图1中，线段AE 与CF 相等。
中考数学复习方案第四单元三角形第21课时直角三角形及勾股定理
故答案是:4 5或 10.
第二十五页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
考向二 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的应用
例2 [教材(jiàocái)题]一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上,梯子的底部离建筑物0.7米,如果
梯子的顶部滑下0.4米,梯子的底部向外滑出多远?
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
题组二
易错题
【失分点】
直角的不确定引起的分类讨论;求最短距离时,将立体(lìtǐ)图形展开成平面图形求解.
6.[2018·东营]如图 21-2 所示的圆柱的高 AB=3,底面直径 BC=3,现在有一只蚂蚁
想从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食,则它爬行的最短距离是 (
A.3 1 + π
的中点,连接BM,MN,BN, ∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,则BN的长为
.
高
频
考
向
探
究
图21-6
第二十二页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
[答案] 2
1
[解析]在△ CAD 中,∵M,N 分别是 AC,CD 的中点,∴MN∥AD,MN= AD,
2
1
在 Rt△ ABC 中,∵M 是 AC 的中点,∴BM= AC=1.
∵∠ACB=45°,∴AF=CF=1,
∴DF= 2 - 2 = 3,
∴CD=DF-CF= 3-1.
中考专项训练：直角三角形与勾股定理(含答案)
中考专项训练：直角三角形与勾股定理（含答案）一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝()A .3B .4C .4.8D .52.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为()A .32B .332C .32D .不能确定3.如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为()A .B .3C .D .54.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A .B .1，C .6，7，8D .2，3，45.(2019•南通)小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米7.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.38.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A.x－y2＝3B.2x－y2＝9C.3x－y2＝15D.4x－y2＝21二、填空题9.三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于.10.如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若∠A＝40°，则∠BCE＝________.11.如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB=3，AC=2，且α+β=∠B，则EF=.12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．13.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据:AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米(结果精确到0.1米，参考数据:≈1.41，≈1.73).14.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是.15.(2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．16.(2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ，10AB ，6AC ，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE △是直角三角形时，则CD 的长为__________．三、解答题17.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF ∥AB 交ED 的延长线于点F.(1)求证:△BDE ≌△CDF ;(2)当AD ⊥BC ，AE=1，CF=2时，求AC 的长.18.(2019•大庆)如图，一艘船由A 港沿北偏东60°方向航行10km 至B 港，然后再沿北偏西30°方向航行10km 至C 港．(1)求A ，C 两港之间的距离(结果保留到0.1km≈1.414≈1.732)；(2)确定C 港在A 港的什么方向．19.已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．备用图21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B 匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B 时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH 与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH 的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？2023年中考专项训练：直角三角形与勾股定理答案一、选择题1.【答案】D【解析】∵DE 垂直平分AC ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE ＝4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC＝3.在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝5.2.【答案】B【解析】如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，则BH ＝32，AH ＝AB 2－BH 2＝332.连接PA ，PB ，PC ，则S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC ，∴12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH ，∴PD＋PE ＋PF ＝AH ＝332.3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴ ，∴P 点所表示的数就是34 ，即点P 所表示的数介于3和4之间，故选C ．6.【答案】C[解析]在Rt △ACB 中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB 2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).7.【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.8.【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EGCG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.二、填空题9.【答案】2.5[解析]根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知最长边上的中线长=×5=2.5.10.【答案】50°【解析】∵E是Rt△ABC斜边AB的中点，∴EC＝AB2＝AE，∴∠ECA＝∠A＝40°，∴∠BCE＝90°－40°＝50°.11.【答案】[解析]∵α+β=∠B，∴∠EAF=∠BAC+∠B=90°，∴△AEF是直角三角形，∵AE=AB=3，AF=AC=2，∴EF==.12.【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.13.【答案】2.9[解析]首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4米，再根据勾股定理及三角函数可得MC2+MB2=(2MC)2，代入数可得答案.∵AM=4米，∠MAD=45°，DM⊥AM，∴DM=4米，∵AM=4米，AB=8米，∴MB=12米，∵∠MBC=30°，∴BC=2MC，∴MC2+MB2=(2MC)2，即MC2+122=(2MC)2，∴MC=4米，则DC=4-4≈2.9(米).14.【答案】10[解析]根据题意可得A，B的面积和为S1，C，D的面积和为S2，于是S3=S1+S2，即S3=2+5+1+2=10.15.【答案】6或或【解析】①如图1，当5AB AC ，4AD ，则3BD CD ，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ，4CD 时，则3AD ，∴2BD ，∴BC ，∴此时底边长为③如图3，当5AB AC ，4CD 时，则3AD ，∴8BD ，∴BC∴此时底边长为6或16.【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ，则90AED C ，CD ED ，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ，1064BE ，设CD DE x ，则8BD x ，∵Rt BDE △中，222DE BE BD ，∴2224(8)x x ，解得3x ，∴3CD ；②若90BDE ，则90CDE DEF C ，CD DE ，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ，AEF B ，∴AEF EBD △∽△，∴AFEFED BD ，设CD x ，则EF DF x ，6AF x ，8BD x ，∴68x x x x ，解得247x ，∴247CD ，综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17.【答案】解:(1)证明:∵CF ∥AB ，∴∠B=∠FCD ，∠BED=∠F.∵AD 是BC 边上的中线，∴BD=CD ，∴△BDE ≌△CDF.(2)∵△BDE ≌△CDF ，∴BE=CF=2，∴AB=AE +BE=1+2=3.∵AD ⊥BC ，BD=CD ，∴AC=AB=3.18.【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴≈14.1．答：A 、C 两地之间的距离为14.1km ．(2)由(1)知，△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C 港在A 港北偏东15°的方向上．19.【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分)在△ACE 与△BCD 中，＝DCACE ＝∠BCD ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)20.【答案】(1)在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ．(2)①如图2，当F 在AC 上时，905x ．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x ．所以21223y AE EF x ．如图3，当F 在BC 上时，955x ≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4EF BE B x ．所以21315288y AE EF x x ．②当905x 时，223y x 的最大值为5425；当955x ≤时，231588y x x 235758232x (的最大值为7532．因此，当52x 时，y 的最大值为7532．图2图3图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142sin (6)(6)2255AEF S AE AF A x x x x ．解方程2(6)35x x ，得3x因为3x 3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第（3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上”，那么就不存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，BE ＝5－x ，BF ＝x ＋1．因此21133sin (5)(1)45)22510BEF S BE BF B x x x x ．解方程23(45)310x x ．整理，得2450x x ．此方程无实数根．21.【答案】（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4．（2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t ．所以24S t ．②如图2，当66115t ≤时，2EF EH t ，2AE t ，33(2)44NE AE t ．于是31132(2)442NH EH NE t t t ，211422233NHQ S NH QH NH NH NH △22113342t．所以22221132511343422422S t t t t ．③如图3，当625t ＜≤时，4EF ，2AE t ，2AF t ．所以2233388AFM AEN S S S AF AE t △△．图2图3图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t ．图5图6图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t ，2EH EF t ，由2324tt ，得611t ．如图9，当G 落在AC 上时，2AF t ，2GF EF t ，由2324tt ，得65t ．图8图9。
2020年中考数学复习精讲课件第20讲 直角三角形及勾股定理
B．2 D．4
重点题型
题题组组训训练练
1．(2019·河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标 系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位： km).笔直铁路经过A，B两地． (1)A，B间的距离为 20 km； (2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一 个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距 离为 13 km.
|＋(tan B－
3 3
)2＝0
精讲释疑
重重点点题题型型
题组训练
题型一 勾股定理及应用
例1.(2019·郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称 直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的 三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6 ，则正方形ADOF的边长是( B )
A． 2 C． 3
重点题型
题题组组训训练练
4．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝ ∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF.
(1)如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此 时线段DF，CF的数量关系和位置关系(不用证明)；
(2)如图2，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转 45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并 证明你的判断；
重点题型
题题组组训训练练
2．(2019·北京)如图所示的网格是正方形网格，则 ∠PAB＋∠PBA＝ 45° °(点A，B，P是网格线 交点).
重点题型
题题组组训训练练
3．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm ，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只 蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处 ，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 20 cm( 杯壁厚度不计).
中考解直角三角形知识点复习
中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2,那么这个三角形是直角三角形;考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形;经典直角三角形：勾三、股四、弦五用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：1确定最大边不妨设为c ；2若c 2＝a 2＋b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2,则此三角形为钝角三角形其中c 为最大边； 若a 2＋b 2＞c 2,则此三角形为锐角三角形其中c 为最大边4. 勾股定理的作用：1已知直角三角形的两边求第三边; 2已知直角三角形的一边,求另两边的关系;3用于证明线段平方关系的问题; 4利用勾股定理,作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图,在△ABC 中,∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记为sinA,即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记为cosA,即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记为tanA,即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记为cotA,即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sinα cos αtan α 1 cot α14、各锐角三角函数之间的关系1互余关系：sinA=cos90°—A,cosA=sin90°—A ； 2平方关系：1cos sin 22=+A A 3倒数关系：tanA •tan90°—A=1 4商弦切关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时,1正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小；2余弦值随着角度的增大或减小而减小或增大；3正切值随着角度的增大或减小而增大或减小；4余切值随着角度的增大或减小而减小或增大 考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形; 2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a,b,c 1三边之间的关系：222c b a =+勾股定理 2锐角之间的关系：∠A+∠B=90°3边角之间的关系：正弦sin,余弦cos,正切tan4 面积公式：h c 为c 边上的高考点五、解直角三角形 应用1、将实际问题转化到直角三角形中,用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：1仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角;2坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度坡比;用字母i 表示,即hi l=;坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等; 把坡面与水平面的夹角记作α叫做坡角,那么tan hi lα==; 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角;如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°;解直角三角形的基本类型及其解法公式总结2测量底部可以到达的物体的高度h ＝h 1＋h 2＝a 1tan α＋tan β3测量底部不可到达的物体的高度1数学模型所用工具 应测数据 数量关系根据 理论 皮尺 侧倾器仰角α 俯角β 高度a tan α＝x h 1 ,tan β＝xah ＝a ＋h 1＝a ＋a ＝a1＋矩形的性质和直角三角形的边角关系俯角α 俯角β 高度 tan α＝, tan β＝xa∴x ＝＝ ∴h ＝a －测量底部不可到达的物体的高度2数字模型 所用工具 应测距离 数量关系根据 原理皮尺侧倾器 仰角α, 仰角β 水平距离a 1 侧倾器高a 2tan α＝xa h +11tan β＝x h 1∴h 1＝αββαtan tan tan tan 1-ah ＝a 2＋h 1＝a 2＋αββαtan tan tan tan 1-a矩形的性质和直角三角形的边角关系仰角α 仰角β 高度atan α＝, tan β＝ h ＝tan α＝, tan β＝、h ＝仰角α 仰角β 高度atan α＝, tan β＝h ＝第三部分 真题分类汇编详解2007-2012200719．本小题满分6分一艘轮船自西向东航行,在A 处测得东偏北°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B 处,测得小岛C 此时在轮船的东偏北°方向上．之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C 最近参考数据：°≈925,°≈25, °≈910,°≈2200819．本小题满分6分在一次课题学习课上,同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬,小明同学绘制的设计图如图所示,其中,AB 表示窗户,且2AB =米,BCD 表示直角遮阳蓬,已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6,最大夹角β为64.5．请你根据以上数据,帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米结果保留两个有效数字参考数据：sin18.60.32=,tan18.60.34=,sin 64.50.90=,tan 64.5 2.1=200919．本小题满分6分在一次数学活动课上,老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器,测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°,然后往塔的方向前进50米到达B 处,此时测得仰D ＤＣ BβC GEFhα β x h xaα βhAa x α βhaxαβ hx α β角37CGE ∠=°,已知测倾器高米,请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度． 参考数据：3sin 375°≈,3tan 374°≈,9sin 2125°≈,3tan 218°≈ 201019．本小题满分6分小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ,AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°,大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．结果保留整数参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，解：201119．6分某商场准备改善原有楼梯的安全性能, 原来的40o 减至35o ．已知原楼梯AB 长为5m,调整后的楼梯所占地 面CD 有多长结果精确到0.1m ．参考数据：sin40o ≈,cos40o ≈≈,tan35o ≈ 201220.8分附历年真题标准答案：200719．本小题满分6分解：过C 作AB 的垂线,交直线AB 于点D,得到Rt△ACD 与Rt△BCD．设BD ＝x 海里,在Rt△BCD 中,tan∠CBD＝CDBD,∴CD＝x ·°．在Rt△ACD 中,AD ＝AB ＋BD ＝60＋x 海里,tan∠A＝CDAD,∴CD＝ 60＋x ·°． ∴x·°＝60＋x·°,即 ()22605x x =+．解得,x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里,距离小岛C 最近． …………………………6′ 200819．本小题满分6分解：设CD 为x ,在Rt△BCD 中, 6.18==∠αBDC ,∵CDBCBDC =∠tan ,∴x BDC CD BC 34.0tan =∠⋅=． ········· 2′ 在Rt△ACD 中, 5.64==∠βADC , ∵CDACADC =∠tan ,∴x ADC CD AC 1.2tan =∠⋅=． ∵BC AC AB -=,∴x x 34.01.22-=． 1.14x ≈． 答：CD 长约为米． 200919．本小题满分6分B CD A CG EDBAF B37° 48°DC A 第19题图40o 35o ADBC解：由题意知CD AD ⊥,EF AD ∥, ∴90CEF ∠=°,设CE x =,在Rt CEF △中,tan CE CFE EF ∠=,则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°； 在Rt CEG △中,tan CE CGE GE ∠=,则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°∵EF FG EG =+,∴845033x x =+． 37.5x =,∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=米．答：古塔的高度约是39米． ························ 6分 201019．本小题满分6分解：设CD = x ．在Rt △ACD 中,tan37ADCD︒=, 则34AD x =,∴34AD x =. 在Rt△BCD 中,tan48° = BD CD,则1110BD x=, ∴1110BD x =. ……………………4分∵AD ＋BD = AB ,∴31180410x x +=．解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． ………………… 6分201119．本小题满分6分 201220.8分第19题图。
直角三角形的定理
直角三角形的定理直角三角形是指其中一个角度为90°的三角形，直角三角形的特点是其中两条边相互垂直。
在数学中，有几个重要的定理与直角三角形相关，包括勾股定理、正弦定理和余弦定理。
本文将详细介绍这些定理及其应用。
一、勾股定理勾股定理是直角三角形中最著名且最基础的定理之一。
它表明：在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边平方的和。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则勾股定理可以表示为：a² + b² = c²勾股定理可以用于求解各种与直角三角形有关的问题，例如已知两条直角边的长度，可以通过勾股定理求解斜边的长度，或者已知斜边和一条直角边的长度，可以通过勾股定理求解另一条直角边的长度。
二、正弦定理正弦定理是直角三角形中三角函数的重要定理之一，它是一个可以用于求解任意三角形的定理，不仅仅适用于直角三角形。
正弦定理表明：在一个三角形中，任意两条边的长度和它们夹角的正弦之比相等。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC对于直角三角形来说，其中一个角度为90°，而正弦值由定义可知，在90°角度对应的正弦值为1。
因此，正弦定理在直角三角形中可以简化为：a/sinA = b/sinB = c正弦定理可以用于求解直角三角形中非直角边的长度，或者求解三角形的角度。
三、余弦定理余弦定理也是直角三角形中三角函数的重要定理之一，它可以用于求解任意三角形的长度和角度。
余弦定理表明：在一个三角形中，任意一条边的平方等于另外两条边平方的和与这两条边的乘积的2倍的余弦值之积。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC对于直角三角形来说，其中一个角度为90°，而余弦值由定义可知，在90°角度对应的余弦值为0。
人教版中考数学专题课件：直角三角形与勾股定理
A．48
解 析
B．60
图 18－1 C．76
D．80
先根据勾股定理求出 AB＝ 62＋82＝10，所以
2
1 阴影部分的面积＝10 － ×6×8＝76.故选 C. 2
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直角三角形与勾股定理
运用勾股定理能解决的问题有： (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)根据勾股定理建立只含一个未知数的方程求解； (3)证明线段之间的平方关系．
③∵12＋( 3)2＝22， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意． 故构成直角三角形的有②③. 故选 D.
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直角三角形与勾股定理
互余 的三角形是直角三角形； 1.两个内角________ 判定 2.一边上的________ 中线 等于这边的一半的三角形是直 角三角形.
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直角三角形与勾股定理
考点2 勾股定理及逆定理
直角三角形两直角边 a、 b 的平方和等于斜边 c 的平 2 勾股 方，即：a ________. ＋b2＝c2 定理 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为 勾股数． 勾股 2 2 定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：a ________ ＋b2＝c， 的逆 那么这个三角形是直角三角形. 定理
定义
命题
公理 定理
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考点4 互逆命题、互逆定理
互逆 命题 互逆 定理
如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样 的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其中一个叫 做________ 原命题 ，那么另一个叫做它的________. 逆命题 若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定 理的________ 逆定理 ，称这两个定理为互逆定理.