高数 第十二章 无穷级数

第十二章 无穷级数常数项级数++++=∑∞=n n nu u u u 211考试要求：⑴∑∞=1n n u 的敛散性（发散、收敛、条件收敛、绝对收敛）； ⑵∑∞=1n n u 的和一、任意项级数：∑∞=1n n u （R u n ∈）审敛法法一：定义 部分和数列{}n s 收敛（发散）⇔∑∞=1n nu收敛（发散）法二：五条性质及其推论性质1 ∑∞=1n n u 与∑∞=1n n cu 为非零常数）c (有相同的敛散性；且当其收敛时∑∑∞=∞==11n n n n u c cu 。

性质2 若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛，则∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n nnn n n vuv u 。

推论1 若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都发散，则)(1n n n v u ±∑∞=可能收敛可能发散推论2 若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 一个收敛一个发散，则)(1n n n v u ±∑∞=一定发散性质3 添加、去掉或改变级数的前有限项不改变级数的敛散性。

推论 级数∑∞=1n n u 和∑∞+=1k n nu有相同的敛散性（k N +∈），但对于收敛的级数其和要改变性质4 若级数∑∞=1n n u 收敛，则对其项任意加括号所得到的新级数仍收敛，且其和不变。

推论1 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛推论2 若加括号后所成的新级数发散，则原级数也一定发散。

推论3 若加括号或去括弧后原级数和新级数都是正项级数，则它们的敛散性不变性质5 级数∑∞=1n n u 收敛⇒0lim =∞→n n u 。

推论1 若0lim =∞→n n u ，∑∞=1n n u 可能收敛，也可能发散推论2 若0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n n u 发散。

法三 比值（根值）审敛法 定理 设ρ=+∞→nn n u u 1lim（ρ=∞→nn n u lim），则1）当1<ρ时，级数∑∞=1n n u 绝对收敛；2）当1>ρ（或+∞=ρ）时，级数发散； 3）1=ρ时，级数可能收敛也可能发散。

法四 借助正项级数∑∞=1n n u （绝对值级数） 定理 ∑∞=1n n u 收敛⇒∑∞=1n nu绝对收敛推论 若∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n u 可能收敛可能发散二、正项级数∑∞=1n n u （0≥n u ）审敛法法一 定理 正项级数1n n u ∞=∑收敛（发散）⇔它的部分和数列}{n s 有界（发散）。

法二 比较审敛法 ①0,111nn aq qaq q ∞=⎧<⎪-=⎨⎪≥⎩∑发散,②p -级数11p n n ∞=∑1,1,p p >⎧⎨≤⎩当时收敛当时发散。

定理 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数，且存在自然数N ，当n N ≥时),2,1( =≤n v u n n ,（a ）∑∞=1n n v 收敛⇒∑∞=1n nu收敛； （b)∑∞=1n n u 发散⇒∑∞=1n nv发散。

推论 设1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都是正项级数，如果limn n nu l v →∞=，则(1) 当+∞<<l 0时，两级数有相同的敛散性；(2) 当0=l 时，若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；(3) 当+∞=l 时， 若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散。

法三 比值（根值）审敛法定理 设∑∞=1n n u 是正项级数,若1limn n nu u ρ+→∞=，则1）当1<ρ时，级数收敛； 2）当1>ρ（或1limn n nu u +→∞=∞）时，级数发散；3）1=ρ时，级数可能收敛也可能发散，（即此方法失效）。

三、交错级数 11(1)n n n u ∞-=-∑或1(1)n n n u ∞=-∑ （0(1,2,)n u n >= ）审敛法定理 如交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件：(ⅰ)数列{}n u 单调减少，即),3,2,1(1 =≥+n u u n n ；(ⅱ)0lim =∞→n n u ，则级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛，且其和1u s ≤，其余项n r 的绝对值1+≤n n u r 。

四、级数∑∞=1n n u 的和s法一 部分和数列{}n s 的极限s s n n =∞→lim法二 借助函数项级数)(1x u n n ∑∞=的和函数)(x s设0x 与)(x s 分别为)(1x u n n ∑∞=的收敛点与和函数，则数项级数)(01x u n n ∑∞==)(0x s幂级数 x 的幂级数nn n xa ∑∞=0，0x x -的幂级数()n n n x x a 00-∑∞=考试要求①求nn n x a ∑∞=0或()n n n x x a 00-∑∞=得收敛半径R 、收敛区间、收敛域②求nn n x a ∑∞=0或()n n n x x a 00-∑∞=的和函数)(x s③将函数)(x f 展开成x 的幂级数nn n x a ∑∞=0或0x x -的幂级数()n n n x x a 00-∑∞=令0x x t -=， ()nn n x x a 00-∑∞==nn n t a ∑∞=0，则()nn n x x a 00-∑∞=转化为n n n x a ∑∞=0型一、求n n n x a ∑∞=0的收敛半径R法一 不缺项n n n x a ∑∞=0（0≠n a ）的收敛半径R 求法ρ=+∞→nn n a a 1lim（或ρ=∞→nnn a lim）⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∞+∞=∞<<=0,,,0,0,1ρρρρR 法二 缺项的x 的幂级数)(1x u n n ∑∞=收敛区间），（R R +-求法设)(x ρ=)()(lim1x u x u n n n +∞→1≤（或)(x ρ=nn n x u )(lim∞→1≤）⇔），（R R +-二、求n n n x a ∑∞=0的收敛域若),0(+∞∈R ，由常数项级数nn n Ra ∑∞=0与nn n R a )(0-∑∞=的敛散性得幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛域为(),R R -+，[),R R -+，(],R R -+或[],R R -+三、n n n x a ∑∞=0的和函数（必须同时求出其收敛域）法一 直接法 )(lim )(x s x s n n ∞→=法二 间接法 应用变量代换、逐项求和（求差）、逐项求导及逐项积分转化为常用的幂级数的和函数。

常用的幂级数的和函数（函数展开成幂级数） ①)11(,11120<<-++++==-∑∞=x x x x xxnn n② )(,!!21!2+∞<<-∞++++==∑∞=x n xxx n xe nn nx③ ()21321sin (1)(1),,(21)!3!(21)!n n nnn xxxx x x n n ++∞==-=-++-+∈-∞+∞++∑④ ,!)1()1(!2)1(1)1(2++--++-++=+nxn n xx x ααααααα当1α≤-时，收敛域为(1,1)-；当1α>时，收敛域为[1,1]-定理1（幂级数的代数运算性质） 设1I ，2I 分别为∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 的收敛域，则① nn n nnn n nn n xb ax b x a ∑∑∑∞=∞=∞=±=±0)( 21I I x ⋂∈② n n n nn n nn n x c x b x a ∑∑∑∞=∞=∞==⋅0；其中0110b a b a b a c n n n n +++=- 21I I x ⋂∈③ nn nn nnn nn x cxbxa ∑∑∑∞=∞=∞==；其中n c 满足0110c b c b c b a n n n n +++=- （ 2,1,0=n ）n n n x c ∑∞=0的收敛域远小于21I I ⋂定理2（幂级数的分析运算性质）设R 、I 与)( x s 分别为∑∞=0n n n x a 的收敛半径、收敛域与和函数，则①)( x s 在收敛域I 上连续②)( x s 在收敛区间),(R R -内可导，且11)()(-∞=∞=∑∑='='n n n n nn x na x a x s③)( x s 在收敛区间),(R R -内可积，且11)(+∞=∞=∑∑⎰⎰+==n n n nn xn xxn a dt t a dt t S（逐项求导或逐项积分后收敛半径不变，但收敛域可能会改变）四、将函数)(x f 展开成x 的幂级数nn n x a ∑∞=0或0x x -的幂级数()n n n x x a 00-∑∞=法一 直接法 将)(x f 展开成0x x -的幂级数()n n n x x a 00-∑∞=第一步 求)()(x fn ，及)(0)(x fn第二步 写出幂级数()nn n x x n x f000)(!)(-∑∞=，并求出其收敛域I第三步 验证lim ()0n n R x →∞=或)()(x fn 在I 上有界法二 间接法应用变量代换、逐项求和（求差）、逐项求导及逐项积分转化为常用函数的幂级数展开式。

Fourier 级数考试要求①狄利克雷（Dirichlet ）充分定理②将周期为l 2周期函数)(x f 展开成Fourier级数③将定义在],[l l -上的函数)(x f 展开成Fourier 级数 ④将定义在],0[l 上的函数)(x f 展开成正弦级数或余弦级数周期为l 2的周期函数)(x f 的Fourier 级数为：)(x f =)sin cos(210x l n nb x ln a a n n n ππ∑∞=++ ∈x ()()1()2C x f x f x f x -+⎧⎫⎡⎤==+⎨⎬⎣⎦⎩⎭期中),2,1,0(,cos)(1==⎰-n dx lx n x f la l ln π；),2,1(,sin)(1==⎰-n dx lx n x f lb lln π狄利克雷（Dirichlet ）充分定理 设周期为l 2的周期函数)(x f 满足在一个周期上：① 连续或至多只有有限个第一类间断点；② 至多只有有限个极值 则)(x f 的Fourier 级数)sin cos (210x l n b x l n a a n n n ππ∑∞=++⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=-++--++=lx l f l f x f x x f x f x f x x f ,2)0()0()(,2)0()0()( ),(的第一类间断点为若的连续点为若期中),2,1,0(,cos)(1 ==⎰-n dx lx n x f la lln π ),2,1(,sin)(1 ==⎰-n dx lx n x f lb lln π一、将周期为l 2周期函数)(x f 展开成Fourier 级数 计算),2,1,0(,cos)(1==⎰-n dx lx n x f la lln π；),2,1(,sin)(1==⎰-n dx lx n x f lb lln π代入：)sin cos (210x l n b x l n a a n n n ππ∑∞=++⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=-++--++=lx l f l f x f x x f x f x f x x f ,2)0()0()(,2)0()0()( ),(的第一类间断点为若的连续点为若二、将定义在],[l l -上的函数)(x f 展开成Fourier 级数第一步 将)(x f 作周期延拓为周期为l 2周期函数)(x F ：)(x F =)(x f ),[l l x -∈ 第二步 将周期为l 2周期函数)(x F 展开成Fourier 级数)sin cos (210x l n b x l n a a n n n ππ∑∞=++⎪⎪⎪⎩⎪⎨±=-++--++=lx l F l F x F x x F x F ,2)0()0()(,2)0()0(的第一类间断点为若期中（),2,1,0(,cos)(1==⎰-n dx lx n x f la lln π；),2,1(,sin)(1==⎰-n dx lx n x f lb lln π）第三步 把自变量的范围缩小在],[l l -)sin cos (210x l n n b x l n a a n n n ππ∑∞=++⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=-++--++=lx l f l f x f x x f x f x f x x f ,2)0()0()(,2)0()0()( ),(的第一类间断点为若的连续点为若三、将定义在],0[l 上的函数)(x f 展开成正弦级数（或余弦级数） 1、正弦级数第一步 将)(x f 作奇延拓为⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈--=],0(,)(0,0)0,[,)()(l x x f x l x x f x g ，再作周期延拓为周期为l 2周期函数)(x F ：)(x F =)(x f ),0l x （∈第二步 将周期为l 2周期函数)(x F 展开成Fourier 级数∑∞=1sin n nx l n b π⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=-++--++=lx l F l F x F x x F x F x F x x F ,2)0()0()(,2)0()0()( ),(的第一类间断点为若的连续点为若期中（),2,1,0(,0 ==n a n ；),2,1(,sin)(20==⎰n dx lx n x f lb ln π）第三步 把自变量的范围缩小在],0[l)sin cos (210x l n b x l n a a n n n ππ∑∞=++⎪⎪⎪⎩⎪⎨=-++-++=lx x F x F x f x x f x f ,0 ,2)0()0()(,2)0()0(的第一类间断点为若2、余弦级数第一步 将)(x f 作偶延拓为⎩⎨⎧∈-∈--=],0[,)()0,[,)()(l x x f l x x f x g ，再作周期延拓为周期为l 2周期函数)(x F ：)(x F =)(x f ),0[l x ∈第二步 将周期为l 2周期函数)(x F 展开成Fourier 级数∑∞=+10cos 2n n x l n a a π⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=-++--++=lx l F l F x F x x F x F x F x x F ,2)0()0()(,2)0()0()( ),(的第一类间断点为若的连续点为若期中（),2,1,0(,cos)(20==⎰n dx lx n x f la ln π；),2,1(,0 ==n b n ）第三步 把自变量的范围缩小在],0[l∑∞=+10cos 2n n x l n a a π⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++-++=lx x F x F x f x x f x f x f x x f ,0 ,2)0()0()(,2)0()0()( ),(的第一类间断点为若的连续点为若典型例题一、常数项级数的敛散性 1、判断下列级数的敛散性（1）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211n n n （2）∑∞=11n nnn（3）∑∞=-1312ln n nn （4）)1111(2nnn n ---∑∞=，（5）)0(111>+∑∞=a an n（6）∑∞=1223cosn nn n π （7）∑∞=+112tann n n π（8）)0()12(1>++∑∞=b n bnn nn n（1）因级数∑∞=11n n发散,∑∞=121n n收敛,故∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-1211n n n 发散（2）因111lim=∞→nnn n n ，所以∑∞=11n nnn与∑∞=11n n有相同的敛散性。