位值原理与数的进制.教师版
数学课堂问题链设计的三个维度：精准 深度 长远
数学课堂问题链设计的三个维度：精准深度长远作者：***来源：《小学教学参考(数学)》2022年第12期［摘要］问题链包含数学教学中的“知识性问题和思维性问题”，是数学课堂中问题群体中的主体。
要充分发挥问题链的引导与驱动作用，就需要教师精心设计问题，在“精准、深度、长远”三个核心上深化实践，让问题链有效引领数学学习，促进学生数学核心素养的发展。
［关键词］问题链；问题引领；问题驱动［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2022）35-0070-03问题链是数学学习的引领，问题之精准，表现在“什么可以被看成教学的重点”“什么是学习的难点”，这就要求问题切中内容核心和学生学习的需求点。
问题之深度，表现在“如何能通过适当的问题引导学生更深入地思考”，这就要求问题能激活学生思维，引领学生经历数学知识再发现的过程。
问题之长远，表现在用全局观念进行思考，关注学生认识的不断发展与深化。
下面，以“千以内数的认识”一课为例，谈小学数学课堂问题链设计的“三个维度”：精准、深度、长远。
一、精准分析，引导式提问奥苏伯尔认为，学习过程是在原有认知结构的基础上，形成新的认知结构的过程。
因此，教师要精心设计好引导式提问，清楚每一个提问要解决什么问题，达到什么目的。
如果导入的问题能直击学生原有经验，多角度反馈学情、诊断学情，教师就能借此找准并抓住学生的认知起点。
[课堂片段1]师（出示2，48，138，165，303，1000）：这节课我们来学习“数”。
你从这些数中知道了什么？生1：数位。
生2：双数、单数。
师：请指一指双数，并说说它们分别是几位数。
生3：2是个位数，48是十位数，138是百位数，1000是千位数。
师：这些数是几位数？我们在作业纸的计数器上画一画。
1.材料简洁，以问导学这节课涉及数数、读数、写数、数的组成、数位顺序、比较大小等知识点，还有位值原理、十进制等内容。
什么样的素材才能串起这么多知识点呢？“2，48，138，165，303，1000”这六个看似平常的数，能带领学生走进课堂，研究数字概念的本质属性，显示了教师选题的别具匠心，体现了教师对教材的深度把握、高度整合。
十进制计数原理的数学思想
十进制计数原理的数学思想十进制计数原理是指我们现在所使用的计数方法，即以10为基数进行计数的方法。
这种计数方法来源于我们使用的数字系统，即十进制数字系统。
而十进制计数原理的数学思想则涉及到了数字的基数、位权和位值等概念。
首先，我们需要明确什么是数字的基数、位权和位值。
数字的基数指的是表示一个数字所使用的符号的种类数量，也即是我们常常说的进制数。
在十进制系统中，基数为10，因此我们使用0-9这10个数字来表示所有的数。
位权则是指一个数字在整个数中所占据的位置权重。
在十进制系统中，我们可以以个位、十位、百位、千位等为单位来表示一个数字的位权。
而位值则是指一个数字在某一位上的具体数值。
十进制计数原理的核心思想是将一个数分解成各个位上的位值相加，通过不同位上的位权与位值的配合来表示一个数的大小。
举个例子来说明，我们用数537来说明。
在这个数中，5是百位上的位值，3是十位上的位值，7是个位上的位值。
对应的位权分别为100、10和1。
所以，根据十进制计数原理，我们可以把537表示为：5 * 100 + 3 * 10 + 7 * 1这种表示方法就是十进制计数原理的运用。
我们可以看出，每一位上的位权与位值相乘的结果再相加就可以得到一个数的值。
这是因为我们所使用的数字系统是以10为基数的，所以每一位上的数值都是基数的倍数。
那么，十进制计数原理的数学思想有哪些应用呢？首先，它可以用来进行数的加减乘除运算。
我们可以把需要计算的数按照位权与位值进行分解，然后进行相应的运算，最后得到结果。
其次，十进制计数原理也可以用来进行数制的转换。
例如，我们可以利用十进制计数原理将一个数从十进制转换为其他进制，或者将其他进制的数转换为十进制。
通过对位权与位值的转换关系的理解，我们可以在不同进制之间进行数值的转换。
此外，十进制计数原理还有很多和数学有关的应用。
例如，在数学中常用的数位拆解法就是基于十进制计数原理的思想。
数位拆解法就是将一个数按照位权与位值进行拆解，然后进行相应的操作。
小学二年级下册数学万以内数的认识教案
小学二年级下册数学《万以内数的认识》教案【篇一】设计说明：万以内数的认识是认数的第三阶段，但它的基本原理始终是十进位值制计数法。
由于二年级学生的年龄特点，对抽象概念理解的能力还没有形成，因此在学生已有的对“个、十、百、千”四个数位认识的基础上，让学生充分经历数数的过程，体会从具体的形到抽象的数的形成过程，理解并掌握“10个一千是一万”这一知识点，加深学生对十进位值制计数法的认识和理解，培养学生的数感。
1、数形结合，层层递进，加深理解。
本节课的教学，从情境图入手，让学生感受到生活中数的应用，接着让学生以正方体木块为素材，一千一千地数；再以计数器为素材，一千一千地数，使学生进一步体会十进制计数原理，理解“10个一千是一万”。
最后引导学生整理并制作数位顺序表，在激发学生学习兴趣的同时，使学生进一步理解数位的意义与作用，探索数位顺序表的应用价值。
2、由直观到抽象，深化对概念的理解。
本节课教学注重让学生经历数数的过程，通过数星星的活动让学生充分地数数，在活动中深化学生对计数单位、计数方法的理解。
再通过正方体木块、计数器逐步抽象，让学生直观感受到概念的形成过程，逐步培养和发展学生的数感。
课前准备：教师准备PPT课件计数器数位顺序表学生准备计数器教学过程：情境导入，激发兴趣1、出示课件，体会“大数”。
（1）导入：同学们，生活中处处都有数学知识，你们看，这是我们的校园，请你们来读一读校园里的这些数吧。
（2）学生尝试读数。
（3）引导学生观看南京长江大桥图，并读数：南京长江大桥公路桥长4589米，铁路桥长6772米。
2、揭示课题。
师：看来在我们的生活中还存在很多比千更大的数，今天我们就来认识它们。
（板书课题：万以内数的认识）设计意图：通过创设情境，引导学生关注生活中的数学现象，产生认识万以内数的需要，体会数学与生活的联系，同时培养学生的爱国主义情感。
探究新知，引导发现（一）教学例5。
1、复习数数的方法。
（1）学生以小组为单位，说一说：学过哪些计数单位相邻两个计数单位之间的进率是多少（2）学生集体汇报已经学过的数数的方法。
五年级数学奥数讲义-位值原理与数的进制(学生版)
“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，=1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。
【试题来源】【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
小学奥数精讲第四讲 进位制与位值原理
第4讲 进位制与位值原理（二）同步练习： 1. 计算：102(2014)()= 210(101110)()=【答案】见解析【解析】倒取余数法：102(2014)(11111011110)=位值原理法：210(101110)(46)=2. 八进制的1234567化成四进制后，前两位是多少? 【答案】11【解析】先八进制化为二进制：一位变三位：82(1234567)(1010011100101110111)=；再把二进制化为四进制：两位合一位：24(1010011100101110111)(1103211313)=.可见，前两位为11.3. 在几进制中有12512516324⨯=? 【答案】7【解析】注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10<n ．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以n 只能是7．4. 已知100(1)3=+-÷bab b a ，则b =_____. 【答案】7【解析】10110=+bab b a ;100(1)1001003+=+-÷b b a .得313300+=a b .（a ,b ）= (9,7)，b =7.5. 将6个灯泡排成一行，用○和●表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5．那么●○○●○●表示的数是______．【答案】26【解析】从图中数字1、2、4的表示可知：自右向左第一个灯亮表示1，第二个灯亮表示2，第三个灯亮表示4，第四个灯亮表示8，第五个灯亮表示16，第六个灯亮表示32．因此问题当中的表示168226++=54321●○○○●○○●○○●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●6. 在宇宙中有一个使用三进制的星球．小招移居到这个星球后更换身份证，要把年龄从十进制数变为三进制数表示．小招发现，只要在原来十进制年龄末尾添个“0”，就是三进制下的年龄．请问小招多少岁? 【答案】21岁【解析】①设小招为a 岁，得(10)(3)0=a a ，又10(3)(10)03033=⨯+⨯=a a a ，解得0=a ，不合题意，所以小招的年龄不可能是一位数．②设小招是ab 岁，由题意得：(10)(3)0=ab ab ．因为(10)10=+ab a b ，(3)0930193=⨯+⨯+⨯=+ab a b a b ，所以1093+=+a b a b ，即2=a b ． 又因为0ab 是三进制数，a ，b 都小于3，所以2=a ，1=b ．所以，小招为21岁． ③设小招为abc 岁，由题意有，(10)(3)0=abc abc ，因为(10)10010=++abc a b c ， 32(3)03332793=⨯+⨯+⨯=++abc a b c a b c ，所以100102793++=++a b c a b c ．即732+=a b c ．又a 、b 、c 都小于3，所以上述等式不成立． 综上可知小招的年龄是21岁．7. abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd -abc -ab -a = 1787，则这四位数=______或______. 【答案】2009或2010【解析】原式可表示成：8898991787+++=a b c d ，则知a 只能取：1或2，当1=a 时，b 无法取，故此值舍去.当2=a 时，0=b ，0=c 或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010.8. 十进制计算中,逢10必须进位,有保密员之间采用r 进位制方式计算,在他们的运算中: 10(166)(133)(24)-=r r ，则r =______.【答案】7【解析】(166)(133)(33)33247-==⨯+=⇒=r r r r r .9. 一个三位数A 的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A ，这个三位数A 是_____. 【答案】495【解析】设这个最大三位数为abc ，那么最小三位数为cba ，于是99()=-=-A abc cba a c ，三位数A 是99的倍数，所有可能值如下：198、297、396、495、594、693、792、891.代入题中检验，得A =495.10. 记号(75)k 表示k 进制的数，如果(70)k 在m 进制中表示为(56)m ,又m 、k 均小于等于10，求k 和m 的值.【答案】8,10==k m【解析】由于()()107077=⨯=k k k ,()()10565656=⨯+=+m m m ;所以567+=m k ,求得8,10==k m .深化练习11. 正整数3、5、6、15可以分别表示为121⨯+，2121⨯+，21212⨯+⨯，321212121⨯+⨯+⨯+，他们的上述表示(又称之为二进制)中1的个数分别是2，2，2，4，都是偶数，像3、5、6、15…这样的数，称为魔数，前10个魔数(从小到大)的和是______. 【答案】115【解析】魔数从小到大排列：11，101，110，1001，1010，1100，1111，10001，10010，10100，……，前10个有5个1在末位，5个1在倒数第二位，5个1在倒数第三位，4个1在倒数第4位，3个1在倒数第5位，和为2345152524232115⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝.12. 四位数1234可通过下面的变换变成1541：现在有一个四位数，通过以上方法变换成3779，那么原来的这个四位数是______. 【答案】3271【解析】设原来这个四位数是，则有37++=a b ，79++=c d ，即11237+=a b ，11279+=c d ，解得3,2,7,1====a b c d ，所以原来这个四位数是3271.13. 一个人今年的年龄恰好等于他出生年的数字和，那么这个人今年的年龄是______. 【答案】5或23【解析】(1)设这个人的出生年为19ab ，根据题意19201719+++=-a b ab102017190010++=---a b a b化简得：112107+=a b .所以111072=-a b 因为9≤b ，所以111071889≥-=a .从而9≥a 推出9=a ，4=b .这个人的年龄为2017199423-=（岁）.(2)设这个人的出生年月为20ab ，根据题意 20201720+++=-a b ab ， 11215+=a b12==，a b .这个人的年龄为201720125-=（岁）.14. 四位数及其逆序数的和是35的倍数，求满足条件的四位数一共有多少个？ 【答案】238【解析】()()1001110+=+++abcd dcba a d b c ，可以知道+a d 是5的倍数，+b c 是7的倍数，其中a ，d 不为0，有5/10/15+=a d ，0/7/14+=b c ，(),a d 一共有17组，(),b c 一共有14组，那么一共有1714238⨯=.12+1+21541123415.a、b、c是0~9中不同的数字，用a、b、c共可组成六个数，如果其中五个数之和不小于2009，也不大于2012，那么另一个数是______.【答案】208【解析】这六个数的总和为222（a＋b＋c）.若a＋b＋c=10，那么六个数总和为2220，所求的数不小于208，不大于211，只有208满足条件；若a＋b＋c=11，那么六个数总和为2442，所求的数不小于430，不大于433，都不符合条件；若a＋b＋c=12，那么六个数总和为2664，所求的数不小于652，不大于655，都不符合条件；若a＋b＋c=13，那么六个数总和为2886，所求的数不小于874，不大于877，都不符合条件；若a＋b＋c≥14，那么六个数总和不小于3108，那么另一个数超过1000，不符合题意.综上可得，另一个数必是208.。
小五奥数-十进制和二进制
1、进位制的基本原理（1）十进位制我们通过对常用的“十进位制”的进一步认识。
推广到其他非十进位制，概括出进位制原理。
十进位制记数法，只用十个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9.它是“位值制”记数法（即同一个数码，在不同的位置上表示不同的数值），如246的百位上的数码2表示200，十位上的数码4表示40，个位上的数码6表示6，即246=200＋40＋6=2210+4106⨯⨯+一般来说，任何一个十进位制数，都可以用各位数码（共十个不同数码）与10的方幂的乘积的和来表示，其中幂指数比相应数码所在的位数（从右往左数）少1.如 10543210356842=300000500006000800402310+510+610+810+410+210+++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯说明 : ①十进位数 10356842 的下标（10），是为了和其他进位制区别开，一般下标“（10）”省略，即10356842 =356842② 10356842 是“位值制”，一般第二步可以省略不写，可按法则直接写成与10的方幂的乘积的和的形式。
③十进位制数，要“满十进一”。
（2）二进位制类比十进位制数来认识二进位制数，注意相同点和不同点。
二进位制记数法：只用两个数码，即“0”和“1”。
二进位制数也是“位值制”记数法，低位向高位进位要“满二进一”。
如 1+1=10,10+1=11，11+1=100,100+1=101,101+1=110,110+1=111,111+1=1000等等十进位制数和二进位制数对照表如下：十进位制数1，2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， …… 二进位制数1，10，11，100，101，110，111，1000， ……二进位制数也可以表示成：以2为底的方幂的乘积的和的形式，例如：020220210=1x2=211=1x2+1x2=2+1=3100=12+02+02=2=4101=12+02+12=2+1=5⨯⨯⨯⨯⨯⨯（2）（2）（2）（2），，，一般来说，任何一个二进位制数，就是各位数码与2的方幂的乘积的和，其中幂指数等于相应数码所在位数（从右往左数）减1.说明 因为“1”乘任何数仍得那个数，其因数1可以省略不写，又因为“0”乘任何数仍得“0”，零项也可以省略不写。
3.2小数点搬家练习 第二课时(教案)2023-2024学年数学四年级下册 北师大版
3.2小数点搬家练习第二课时（教案）2023-2024学年数学四年级下册北师大版教学目标：1. 理解小数点的位置移动对数值的影响，掌握小数点搬家的方法。
2. 能够准确地将小数点向左或向右移动，扩大或缩小数值。
3. 能够应用小数点搬家的方法解决实际问题，提高数学运算能力。
教学重点：1. 小数点的位置移动对数值的影响。
2. 小数点搬家的方法及运用。
教学难点：1. 理解小数点搬家时数值的变化规律。
2. 解决实际问题中的小数点搬家运算。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾上节课的内容，复习小数的定义和性质。
2. 提问：小数点在数值中的位置有什么作用？二、小数点搬家（15分钟）1. 讲解小数点的位置移动对数值的影响。
a. 小数点向左移动一位，数值扩大10倍。
b. 小数点向右移动一位，数值缩小10倍。
2. 示例演示小数点搬家的方法。
a. 将小数点向左移动一位。
b. 将小数点向右移动一位。
3. 学生跟随老师一起练习小数点搬家的方法。
三、练习与应用（15分钟）1. 发给学生练习题，让学生独立完成。
2. 学生互相检查答案，讨论解题过程中的困惑。
3. 老师挑选几道题目进行讲解，解答学生的疑问。
四、拓展与提高（5分钟）1. 提供一些实际问题，让学生运用小数点搬家的方法解决。
2. 学生分享解题思路和答案，互相交流学习。
五、总结与反思（5分钟）1. 老师引导学生总结本节课的学习内容，强调小数点搬家的方法和运用。
2. 学生反思自己在解题过程中的不足之处，提出改进的方法。
教学延伸：1. 学生回家后，家长可以出一些小数点搬家的练习题，帮助学生巩固所学知识。
2. 学生可以尝试将小数点搬家的方法应用到其他数学问题中，提高数学运算能力。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了小数点搬家的方法，并能够应用到实际问题中。
在教学过程中，要注意引导学生理解小数点位置移动对数值的影响，以及解决实际问题中的小数点搬家运算。
无锡市苏教版四年级数学下册《认识含有亿级和万级的数》教案
无锡市苏教版四年级数学下册《认识含有亿级和万级的数》教案一. 教材分析《认识含有亿级和万级的数》是苏教版四年级数学下册的一节课。
本节课主要让学生掌握含有亿级和万级的数的读写方法，以及数的组成和位值原理。
通过本节课的学习，学生能够正确读写亿级和万级的数，理解数的组成，掌握位值原理，为后续的数学学习打下基础。
二. 学情分析四年级的学生已经掌握了整数的读写方法，对数的组成和位值原理有一定的了解。
但是，对于含有亿级和万级的数，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生逐步理解数的组成和位值原理，让学生能够熟练读写含有亿级和万级的数。
三. 教学目标1.让学生掌握含有亿级和万级的数的读写方法。
2.让学生理解数的组成和位值原理。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：含有亿级和万级的数的读写方法，数的组成和位值原理。
2.教学难点：理解数的组成和位值原理，熟练读写含有亿级和万级的数。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，让学生理解数的组成和位值原理。
2.游戏教学法：通过数学游戏，激发学生的学习兴趣，巩固所学知识。
3.小组合作学习：引导学生相互讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作含有亿级和万级的数的读写方法的教学课件。
2.教学素材：准备一些含有亿级和万级的数的生活实例。
3.学习单：为学生准备含有亿级和万级的数的读写练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过出示一些含有亿级和万级的数的生活实例，引导学生关注数的组成和位值原理。
2.呈现（10分钟）教师通过教学课件，向学生讲解含有亿级和万级的数的读写方法，以及数的组成和位值原理。
3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作学习，让学生相互讨论，共同解决问题。
同时，教师为学生提供一些含有亿级和万级的数的读写练习题，让学生进行操练。
4.巩固（5分钟）教师通过数学游戏，让学生巩固所学知识，提高学生的学习兴趣。
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5-7.位置原理与数的进制 教师版 page 1 of 11本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
一、位值原理 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
知识点拨教学目标 5-7位置原理与数的进制5-7.位置原理与数的进制 教师版 page 2 of 11 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n 0=1。
n 进制：n 进制的运算法则是“逢n 进一，借一当n ”，n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
进制间的转换：如右图所示。
模块一、位置原理 【例 1】 某三位数abc 和它的反序数cba 的差被99除，商等于______与______的差；【解析】 本题属于基础型题型。
我们不妨设a ＞b ＞c 。
(abc -cba ）÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c ；【巩固】ab 与ba 的差被9除，商等于______与______的差； 【解析】 (ab -ba ）÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b ；【巩固】ab 与ba 的和被11除，商等于______与______的和。
【解析】 (ab +ba ）÷11=[(10a+b)+(10b+a)]÷11=(11a+11b)÷11=a+b 。
【例 2】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】 设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba ，根据题意，(10)(10)9()45ab ba a b b a a b -=+--=-=，5a b -=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即9a =，例题精讲5-7.位置原理与数的进制 教师版 page 3 of 11 4b =，原来的两位数中最大的是94．【巩固】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】 设原数为abcd ，则新数为dcba ，(100010010)(100010010)999()90()dcba abcd d c b a a b c d d a c b -=+++-+++=-+-．根据题意，有999()90()8802d a c b -+-=，111()10()97888890d a c b ⨯-+⨯-==+．推知8d a -=，9c b -=，得到9d =，1a =，9c =，0b =，原数为1099．【巩固】 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。
例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。
可以证明，所有的巧数都是两位数。
请你写出所有的巧数。
【解析】 设这个巧数为ab ，则有ab+a+b=10a+b ，a(b+1)=10a ，所以b+1=10，b=9。
满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。
【例 3】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【解析】 设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ， 因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ⨯++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【解析】 设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++⨯+++⨯+++=⨯++所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【巩固】 用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？【解析】 卡片“9”倒过来看是“6”。
作为卡片“9”，由第3题的结果可知，1，9，7可组成的六个不同的三位数之和是（1＋9＋7）×222；同理，作为卡片“6”，1，6，7可组成的六个数之和是（1＋6＋7）×222。
这12个数的平均值是：［（1＋9＋7）＋（1＋6＋7）］×222÷12＝573.5。
【巩固】 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【解析】 设这三个数字分别为a 、b 、c 。
由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为222×（a ＋b ＋c ）＝3330，推知a ＋b ＋c ＝15。
所以，当a 、b 、c 取1、5、9时，它们组成的三位数最小为159，最大为951。
5-7.位置原理与数的进制 教师版 page 4 of 11 【巩固】 a ，b ，c 分别是09中不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【解析】 由a ，b ，c 组成的六个数的和是222()a b c ⨯++．因为223422210>⨯，所以10a b c ++>．若11a b c ++=，则所求数为222112234208⨯-=，但2081011++=≠，不合题意．若12a b c ++=，则所求数为222122234430⨯-=，但430712++=≠，不合题意．若13a b c ++=，则所求数为222132234652⨯-=，65213++=，符合题意．若14a b c ++=，则所求数为222142234874⨯-=，但8741914++=≠，不合题意．若15a b c ++≥，则所求数2221522341096≥⨯-=，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有13a b c ++=时符合题意，所求的三位数为652．【例 4】 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。
求出所有这样的三位数。
【解析】 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。
如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。
设原两位数是ab ，则b=5，变成的三位数为ab5，由题意有100a ＋10b ＋5＝（10a ＋5）×9，化简得a ＋b ＝4。
变成的三位数只能是405，315，225，135。
【巩固】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。
又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
【解析】 设第一个2位数为10a+b ；第二个为10b+a ；第三个为100a+b ；由题意：(100a+b)-（10b+a ）=( 10b+a)-（10a+b) ；化简可以推得b=6a ，0≤a,b ≤9，得a=1，b=6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
【巩固】 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数M ，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．【解析】 设组成这个四位数的四个数码为a ，b ，c ，d (91a b c d ≥>>>≥)， 则有383443388172abcd dcba -=+=，可得999()90()81727992180a d b c -+⨯-==+，则8a d -=，2b c -=，9a =，1d =，194338M cb =+，且M 的四位数字分别为1、c 、b 、9，由于8917+=的个位数字为7，所以b ，c 中有一个为7，但2b c -=，所以c 不能为7，故7b =，5c =，157943385917M =+=．【例 5】 已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求.【解析】 原式：1111a ＋111b ＋11c ＋d ＝1370，所以a ＝1， 则111b ＋11c ＋d ＝1370－1111＝259，推知b＝2；进而推知c ＝3，d=4所以abcd =1234。