初等数学研究 第1章答案

习题二答案1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +.2（略）3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'⊃；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'⊃，所以)(C A ⋃)(D B ⋃⊃所以集合C A ⋃的基数c a +大于集合D B ⋃的基数d b +，所以d b c a +>+.5（1）解：按照自然数序数理论加法定义，1555555155155)25(2535''=++=++⋅=+⋅=+⋅=⋅=⋅（2）解：按照自然数序数理论乘法定义87)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+6证明：︒1当2=n 时，命题成立.（反证法）()()()()()()()01121,1111111,111101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(212122121212121212122221212122111112111212222121≥++-+⇒≥++-++≥+-+-≥++++∴≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=︒+++++++++++++++++k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k a k k a k k a k k a k a a k a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n ka a a a a a k i a k k n ，即要证由归纳假设，得，且得，，且时，由当。

，且成立，即时假设 7证明：︒1当8=n 时，命题成立.（538+=）︒2设),7(N k k k n ∈>=时命题成立. k 角邮资可能是：（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮票来支付. 在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付1+k 角的邮票. 在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付1+k 角的邮票.综合︒1、︒2，命题对于不小于8的所有自然数成立.8证明：（1）()()()32164,2133,12++==+===f f f（2）()()()121121-=-+++=n n n n f ︒1当4,3,2=n 时，命题成立. ︒2假设),7(N k k k n ∈>=时命题成立，即()()121-=k k k f .那么1+=k n 时，原k 条直线有)1(21-k k 个交点.由条件知，第1+k 条直线与原k 条直线各有一个交点，且互不相同.故新增k 个交点，所以()()()()[]111211-++=+=+k k k k f k f . 综合︒1、︒2，命题对于不小于2的所有自然数成立.9举例：正整数集N 上定义的整除关系“|”满足半序关系.证明：（1）（自反性）任意的正整数x ，总有x x |；（2）（反对称性）如果x y y x |,|，那么y x =；（3）（传递性）如果z y y x |,|，那么z x |.通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.10证明：设N M ⊆，且①M ∈1②若M a ∈，则M a ∈'.若N M ≠.令A 是所有不属于M 的自然数组成的集合，则A 是N 的非空子集，按照最小数原理，A 中有最小数，设为b .由①知1≠b ，于是存在自然数c ，使b c ='，这样就有b c <，所以M c ∈，但根据②有M c ∈'，这与M b ∉矛盾.所以N M =.11证明：（1）根据自然数减法定义有，c d c d b a b a =-+-+=)(),(，两式相加得：c b a b d c d a +-+=-++)()(，于是)()()()(b a c b d c d a -++=-++，若d c b a -=-，则c b d a +=+若c b d a +=+，则d c b a -=-（2）)()()(d b d c b a ++-+-c a d c d b a b +=-++-+=)()(（3）先证bc ac c b a -=-)(事实上，由ac c b a b c b a bc =-+=-+)]([)(可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.由此，为了证明（3），只要证明)()()()(bc ad bd ac d c b d c a +-+=---，根据（1）上式就是)()()()(bd ac d c b bc ad d c a ++-=++-于是只要证明ac bc bc ac +=+显然，这个等式是成立的，所以（3）成立.12证明：（1）根据自然数除法定义有c d c d b a b a =⋅⋅=,，两式相乘，得ba bc d c ad ⋅=⋅，所以有：若bc ad =，则d cb a =；若dc b a =，则bc ad = （2）bc ad dc d b b a b d d c b a bd +=⋅+⋅=+)()()(，根据除法定义，（2）成立. （3）ac dc d b a b d c b a bd =⋅⋅=⋅))(()(，根据除法定义，（3）成立. 13证明：'''''''')()(n m m n m n n m +=+=+=+.14证明：设N b a ∈∀,，下，下面证明b a b a b a <>=,,三种关系有且仅有一个成立.（1）先证明三个关系中至多有一个成立.假若它们中至少有两个成立，若令b a b a >=,同时成立，则存在*N k ∈，使得：k a k b a +=+=于是a a >，与a a =矛盾.同理可证，任意两种关系均不能同时成立.（2）再证明三中关系中至少有一个成立.取定a ，设M 是使三个关系中至少有一个成立的所有b 的集合，当1=b 时，若1=a ，则b a =成立；若1≠a ，则存在*N k ∈，使得k b k k a +=+==1'，这时b a >成立.因此M ∈1.假若M b ∈，即三个关系中至少有一个成立.当b a <时，存在*N m ∈，使得m a b +=，则''')(m a m a b +=+=，即'b a <成立. 当b a >时，存在*N k ∈，使得k b a +=，若1=k ，就有'1b b a =+=；若1≠k ，就有*N l ∈，且'l k =，使得l b l b l b a +=++=+=''1，即'b a >成立. 综上，M b ∈'，从而*N M =.15证明：nby nax by ax n n +=+=)(，bny ab bn ab n a |,|,|∴∴ ，anx ab an ab n b |,|,|∴∴n nby nax ab =+∴|16证明：因为))(()(c a d b bc ad cd ab --=+-+，且cd ab c a +-|，))((|c a d b c a ---，所以))((|c a d b cd ab c a ---+-，即bc ad c a +-| 17证明：因为)1)(1(121++++-=---p p p p p p p p ，而有限个奇数的乘积仍是奇数，奇数个奇数的和也是奇数，因而121++++--p p p p p 是奇数，于是Z s s p p p ∈+-=-),12)(1(1，同理有Z t t q q q ∈++=+),12)(1(1，两式相加：)1)(()1)(1(2+++=++-=+t s q p t s p q p q p ，所以)(|q p q p q p ++.18解：因为3153=+q p ，所以p 3和q 5必为一奇一偶.若p 3为偶数，可验证质数5,2==q p ，则13log 2+q p 1532log 2+⨯=81log 2=3-= 若q 5为偶数，可验证质数2,7==q p ，则13log 2+q p 1237log 2+⨯=0= 所以0313log 2或-=+q p .19证明：根据减法是加法的逆运算知，设b a ,是有理数，b a -是这样一个数，它与b 的和等于a ．即a b b a =+-)(．但是，我们有])[()]([b b a b b a +-+=+-+(加法结合律)a a =+=0因此，)(b a -+这个确定的有理数，它与b 的和等于a ，)(b a b a -+=-∴又如果差为x ，则有a b x =+，于是，两边同加)(b -有：)()(b a b b x -+=-++)()]([b a b b x -+=-++)(b a x -+=即差只能是)(b a -+，定理得证．20证明：做差，0332>-=-+a b a b a ，03)(232<-=-+b a b b a . 所以有b b a a <+<32 21证明：首先证明y x ≤当且仅当y x y ≤≤-.事实上，若y x ≤，当0≥x 时，y x x ≤=且y x -≥，即y x y ≤≤-;当0<x 时，y x x ≤=-,有x y ≤-,且y x ≤<0,故y x y ≤≤-.反之，若y x y ≤≤-,当0≥x 时，y x x ≤=;当0<x 时，x x y =-≥.下面来证明：b a b a b a +≤+≤-.事实上，对于b a ,显然有： a a a ≤≤- b b b ≤≤-故有b a b a b a +≤+≤+-)(.由上面的讨论知，b a b a +≤+.另一方面，b b a b b a b b a a ++=-++≤-+=.故b a b a b a +≤+≤-.22证明:(反证法)设,qp e =其中q p ,是正整数,不妨假定q p ,互素, 取自然数q n >,用!n 乘下列级数表达式两边: ++++=!31!21!111e ,得: ++++++++-++=)2)(1(11113)1(!!!n n n n n n n e n 令13)1(!!++-++= n n n n a n , +++++=)2)(1(111n n n b n 于是n n b a e n +=!,则e n !应为正整数, n a e n -!应为整数. 但是))3)(2(1211(110 ++++++=<n n n n b n 12)1(2))2(1211(1122+<++=+++++≤n n n n n n 因为1>n ,故10<<n b ,即n b 不可能是整数,产生矛盾,所以e 是无理数.23证明：假设1,1),(,≠==q q p qp a n 两边n 次方得n nqp a =， 但是,1),(=q p 所以1,1),(≠=n n n q q p ，所以a 不是整数，这与已知条件矛盾， 所以n a 是无理数.24证明：假设N q Z p qp b a ∈∈=,,log ， 所以q p b a =，因为1),(=b a ，所以1),(=q p b a但是当0≤p 时，上式明显不成立；当0>p 时，上式与1),(=q p b a 矛盾.所以，b a log 不是有理数，又可以证明b a log 是实数，所以b a log 是无理数.25证明：假设方程有有理数根1,1),(,>==q q p q p x ，将qp x =其代入方程，可得：)(12211---+++-=n n n n n q a q p a p a q p ，由此可知q 的任何素数因子r 必可整除n p ，因此r 必可整除p ，从而知r 为p 与q 的公因子，但是1),(=q p ，所以1=r ，所以1=q ，这与1>q 矛盾.所以整系数代数方程011=+++-n n n a x a x 的任何非整实根均为无理数. 26按照字典排序法，先比较实部，再比较虚部.27证明：将三次本原单位根ω=x 或2ω分别代入)(x f ：1)(2313++=++n m f ωωω012=++=ωω1)()()(2321322++=++n m f ωωω012=++=ωω因此，)(x f 含有因式)(),(2ωω--x x ，而)()(2ωω-⋅-x x 012=++=x x 所以)(|)1(2x f x x ++28证明（反证法）：若π与3.8的和是有理数a ，即a =+8.3π，则π=-8.3a . 因为全体有理数称为一个域，对减法运算封闭，所以差8.3-a 仍是有理数，与π是无理数矛盾，所以π与3.8的和是无理数.29两个无理数的商可能是有理数.例如：2是无理数，易证22也是无理数，Z ∈=222230不能，因为无理数对四则运算不封闭.例如022=-.31解：由于xyi y x y x y x xyi y x yi x z )(44)()2()(222222222244-+--=+-=+= 所以4z 是纯虚数的条件是04)(22222=--y x y x ，0)(422≠-xy y x 即0,)21(≠±±=y y x32证明：设1C 是C 的任一子域，R C ⊃1，且在1C 中方程12-=z 有解j z =. 按照题意，要证明C C =1.因为C C ⊆1，所以只需要证明C C ⊇1.由1C j ∈，C C ⊆1，知C j ∈，依C 的四则运算律，有 0))((22=--+=+-j ij ji i j i j i于是，j i =或j i -=.任取C ∈ω，由),(,R y x yi x ∈+=ω，知yj x +=ω或yj x -=ω又由于1,,C j y x ∈，而1C 是域，于是1C ∈ω，因此C C ⊇1.。