三角形培优训练
诚品教育《三角形培优训练》1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角：①可过A点作MN∥BC(如图) ②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．（五）三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．2题图D C B AE E A C B A C B A B C A B C E E FEA AA如图，∠ACD 为△ABC 的一个外角，∠BCE 也是△ABC 的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等． 2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角． （六）多边形 ①多边形的对角线2)3(-n n 条对角线 ②n 边形的内角和为（n －2）×180° ③多边形的外角和为360° 考点11.对下面每个三角形，过顶点A 画出中线，角平分线和高.考点21、下列说法错误的是( ). A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D ．三角形的三条高可能相交于外部一点2、下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图形是( )3．如图3，在△ABC 中，点D 在BC 上，且AD= =CD ，AE 是BC 边上的高，若沿AE 所在直线折叠，点C 恰好落在点D 处，则∠B 等于（ ） A ．25° B．30° C．45° D．60°4. 如图4，已知AB=AC=BD ，那么∠1和∠2之间的关系是（ ）A. ∠1=2∠2B. 2∠1+∠2=180°C. ∠1+3∠2=180°D. 3∠1-∠2=180°5.如图5，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且ABC S ∆= 42cm ，则S 阴影等于( ) A ．22cm B. 12cm C. 122cm D. 142cm(1)CB AC B A (2)C B A (3)CAE ADCBA 6.如图7，BD=DE=EF=FC ，那么，AE 是 _____ 的中线 7.如图6，BD=12BC ，则BC 边上的中线为 ______，ABD S ∆=__________。
8.如图1，在△ABC 中，∠BAC=600，∠B=450，AD 是△ABC 的一条角平分线，则∠DAC= 0，∠ADB= 09.如图2，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，则根据图形填空： ⑴BE= =21 ；⑵∠BAD= =21 ⑶∠AFB= =900； 10.如图在△ABC 中，∠ACB=900，CD 是边AB 上的高。
那么图中与∠A 相等的角是（ ）A 、 ∠B B 、 ∠ACDC 、 ∠BCD D 、 ∠BDC 11.在△ABC 中，∠A=21∠C=21∠ABC ， BD 是角平分线，求∠A 及∠BDC 的度数（12.已知，如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，求∠E 的度数13.如图，在△ABC 中，D,E 分别是BC ，AD 的中点，ABC S ∆=42cm ，求ABE S ∆.考点3 1.关于三角形的边的叙述正确的是 （ ）A 、三边互不相等B 、至少有两边相等C 、任意两边之和一定大于第三边D 、最多有两边相等2.已知△ABC 中，∠A=200，∠B=∠C ，那么三角形△ABC 是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、正三角形 3.下面说法正确的是个数有（ ）①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=21∠C ，那么△ABC 是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在∆ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形。
A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、5个4.一个多边形中，它的内角最多可以有 个锐角5.如图是一副三角尺拼成图案，则∠AEB ＝_________°.考点41.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( ) A. 3cm, 4cm, 8cm B. 8cm, 7cm, 15cm C. 13cm, 12cm, 20cm D. 5cm, 5cm, 11cm2.下列长度的三条线段能组成三角形的是 （ ）DCBAEDCBA_ E_ D _ B _ C _ AB CADEA 、 3，4，8B 、 5，6，11C 、 1，2，3D 、 5，6，10 3.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为( )A 、13B 、17C 、13或17D 、不能确定4.△ABC 中，如果AB=8cm ，BC=5cm ，那么AC 的取值范围是________________.5.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有 种选法，它们分别是6.一个等腰三角形的两条边长分别为8㎝和3㎝，那么它的周长为7.已知a,b,c 是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|.考点51.不是利用三角形稳定性的是( )A 、自行车的三角形车架B 、三角形房架C 、照相机的三角架D 、矩形门框的斜拉条 2.下列图形中具有稳定性的有（） A 、正方形 B 、长方形 C 、梯形 D 、 直角三角形 3.装饰大世界出售下列形状的地砖：○1正方形；○2长方形；○3正五边形；○4正六边形。
若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖有（ ） A. ○1○2○3 B. ○1○2○4 C. ○2○3○4 D. ○1○3○4 4.下列图形中具有稳定性有（ ） A 、 2个 B 、 3个 C 、 4个 D 、 5个5、如图，一扇窗户打开后用窗钩AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是( )A 、三角形的稳定性B 、两点确定一条直线C 、两点之间线段最短D 、垂线段最短6.桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的 性； 考点61.已知△ABC 的三个内角的度数之比∠A ：∠B ：∠C=1：3：5，则∠B= 0，∠C=2.如图，已知点P 在△ABC 内任一点，试说明∠A 与∠P 的大小关系3如图4，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；考点7 1、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形 2、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°3、已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数( ). A. 90° B. 110° C. 100° D. 120°4、如图，下列说法错误的是( )A 、∠B >∠ACD B 、∠B+∠ACB =180°－∠AC 、∠B+∠ACB <180°D 、∠HEC >∠B（1）（2）（3）（4）（5）（6）PB A 图48题图150︒50︒3217题图140︒80︒16题图F E A C B D432110题图C B AD 5、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ). A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、无法确定 6、如图，若∠A=100°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE 等于( ) A. 120° B. 115° C. 110° D. 105° 7、如图，∠1=______.8、如图，则∠1=______,∠2=______,∠3=______,9、已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_______.10、如图,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC 的度数.考点81．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （ ）A 、三角形B 、 四边形C 、 五边形D 、 六边形2．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（ ）A 、 6 B 、 7 C 、 8 D 、 9 3．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（ ） A 、 四边形 B 、 五边形 C 、 六边形 D 、 八边形 4、一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加( ) A. 180° B. 360° C. (n-2)·180° D. n ·1805、若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是( ) A 、八边形 B 、十边形 C 、十二边形 D 、十四边形6、正方形每个内角都是 ______，每个外角都是 _______。
全等三角形培优竞赛训练题
全等三角形培优竞赛训练题全等三角形是初中几何中的重要内容，它不仅是证明线段和角相等的重要工具，也是解决许多几何问题的基础。
在培优竞赛中，全等三角形的题目往往具有较高的难度和综合性，需要我们熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，并具备灵活运用知识的能力。
下面我们就来一起探讨一些全等三角形培优竞赛训练题。
一、基础巩固1、已知：如图 1，AB ＝ AC，AD ＝ AE，求证：∠B ＝∠C。
证明：在△ABD 和△ACE 中，AB ＝ AC，∠A ＝∠A，AD ＝ AE，所以△ABD≌△ACE（SAS）所以∠B ＝∠C2、如图 2，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB ＝ AC，AD ＝ AE。
求证：BE ＝ CD。
证明：在△ABE 和△ACD 中，AB ＝ AC，∠A ＝∠A，AE ＝ AD，所以△ABE≌△ACD（SAS）所以 BE ＝ CD二、能力提升1、已知：如图 3，在△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，AC ＝ BC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CF⊥AE 于 F，过 B 作 BD⊥BC 交 CF 的延长线于 D。
求证：（1）AE ＝ CD；（2）若 BD ＝ 5cm，求 AC 的长。
证明：（1）因为 CF⊥AE，所以∠DCB ＋∠DBC ＝ 90°，又因为∠ACB ＝ 90°，所以∠EAC ＋∠AEC ＝ 90°，而∠AEC ＝∠DCB（对顶角相等），所以∠EAC ＝∠DBC。
在△CBD 和△CAE 中，∠DBC ＝∠EAC，BC ＝ AC，∠DCB ＝∠ECA ＝ 90°，所以△CBD≌△CAE（ASA）所以 AE ＝ CD（2）因为△CBD≌△CAE，所以 BD ＝ CE。
因为 AE 是 BC 边上的中线，所以 CE ＝ 1/2BC。
又因为 AC ＝ BC，BD ＝ 5cm，所以 AC ＝ 10cm2、如图 4，在△ABC 中，∠B ＝ 60°，△ABC 的角平分线 AD、CE 相交于点 O。
新人教版八上第十一章《三角形》培优练习
第十一章三角形习题集第1课时三角形的边——三边关系姓名：___________☆知识导学1．若三角形的两边长分别为a，b(a＞b)，则第三边长x的取值范围是_______________________．2．三角形具有___________，四边形具有_____________．☆习题演练1．已知三角形ABC三边a、b、c满足（a-b）2+|b-c|=0，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上都不对2．不能组成一个三角形的三条线段的长度是（）A．3，3，3 B．3，6，2 C．3，4，3 D．3，5，73．（2012•海南）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm4．（2013•南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．18 C．20 D．16或206．下列说法中正确的是（）A．三角形的内角中至少有两个锐角B．三角形的内角中至少有两个钝角C．三角形的内角中至少有一个直角D．三角形的内角中至少有一个钝角7．图中有______个三角形，用符号表示这些三角形：__________________________．第7题图第13题图8．在△ABC中，已知两条边a=6，b=7，则第三条边c的取值范围是_________________．9．若三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，则第三边可以是________（只填符合条件的一个即可）．10．（2012•哈尔滨）一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是________________．11．若三角形的两边长分别为3和5，则它的周长l的取值范围是________________．12．（提高题）△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有________个．13．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），这样做的数学道理是_____________________________．14．用一条长为20cm的铁丝围成一个等腰三角形能围成有一边长为6cm的等腰三角形吗？为什么？第2课时三角形的高、中线与角平分线姓名：___________ ☆知识导学如图，完成下面几何语言的表达：（1）∵AD是△ABC的高（已知）∴AD⊥BC，∠______=∠______=90º．（2）∵AE是△ABC的中线（已知）∴______=______=21______，______=2______=2______．（3）∵AF是△ABC的角平分线（已知）∴∠______=∠______=21∠______，∠______=2∠______=2∠______．☆习题演练1．如图所示的△ABC中，线段BE是三角形AC边上的高的是（）A．B．C．D．2．下列说法正确的是（）①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．A．①②③B．①②C．②③D．①③3．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2 B．3 C．6 D．不能确定4．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD 的中线；③DE是△ADC的中线；④S△ADE= S△CDE，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．三角形中的角平分线、中线、高都是三条特殊的__________（填直线、射线、线段）．6．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点B的坐标是（1，-4），过点B作AC边上的高线，则垂足D点的坐标是________．AB CD EF第3题图第4题图第6题图8．如图，在△ABC中，已知CD是角平分线，∠A=70°，∠B=50°，求∠BCD的度数．9．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．10．如图，△ABC的边BC上的高为AD，且BC=9cm，AD=2cm，AB=6cm．（1）画出AB边上的高CE；（2）求CE的长．11．如图，D，E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE 的周长相等．设BC=a，AC=b，AB=c．求AE，BD的长（用含a，b，c的代数式表示）．AB CD第3课时 三角形的内角 姓名：___________☆知识导学如图，延长BC 至D ，过点C 作CE//AB ∵CE//AB∴∠ECD=∠______（_________________________________________） ∠ECA=∠______（_________________________________________）∵∠ECD+∠ECA+∠ACB=180°（___________________） ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换） 归纳：三角形的内角和等于____________． ☆习题演练 1．在△ABC 中，（1）若∠A=40°，∠C=35°，则∠B=_______，△ABC 是__________三角形． （2）若∠A=70°，∠B=∠C ，则∠B=_______°．（3）若∠A ∶∠B ∶∠C=1∶1∶2，则△ABC 是__________三角形．2．如图，AD 是△ABC 的角平分线，点O 在AD 上，且OE ⊥BC 于点E ，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．10°D ．15°第2题图 第4题图 第5题图 3．在△ABC 中，∠B 与∠C 的角平分线交于O 点，若∠A=50°，则∠BOC=（ ） A ．130° B ．50° C ．25° D ．115°4．将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°5．（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ） A ．150° B ．210° C ．105° D ．75°6．（2005•长沙）在△ABC 中，若∠A=38°36′，∠B=57°36′，则∠C=_________度． 7．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C ），则∠A 的度数为________度．8．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内ABC DE9．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C ，BD 平分∠ABC ，∠A=36º，求∠BDC 的度数．10．如图，在△ABC 中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，求∠ABE 、∠ACF 和∠BHC 的度数．11．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ．求证：∠CFE=∠CEF ．12．如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA 的度数． EFABCD13．如图，B岛在A岛的南偏西45°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向．从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？14．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α，∠C=β，（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）15．已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°．（1）求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系？并说明理由．第4课时 三角形的外角 姓名：___________☆知识导学1．如图，延长QR 至T ，∵∠PRQ+∠P+∠Q=180º（__________________________） 又∵∠PRQ+∠PRT=180º（__________________________） ∴∠PRT =∠P+∠Q可得：三角形的一个外角等于__________________的两个内角的和．∵∠PRT =∠P+∠Q∴∠PRT ＞∠P ，∠PRT ＞∠Q可得：三角形的一个外角大于_______________________________．2．如图，∵∠1=∠XYZ+∠YZX ，∠2=_______+_______，∠3=_______+_______．∴∠1+∠2+∠3=（∠XYZ+∠YZX ）+（______+______）+（______+______） =2（_____+______+______）=2×_____°=_____°．归纳：三角形的外角和等于____________． ☆习题演练1．如图，（1）若∠A=50º，∠B=70º，则∠ACD=_________． （2）若∠A=40º，∠ACD =130º，则∠B =_________． （3）若∠B=80º，∠ACD =135º，则∠A =_________． 2．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ） A ．75° B ．90° C ．105° D ．120°第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ） A ．165° B ．120° C ．150° D ．135°4．如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A 的度数是（ ） A ．61° B ．60° C ．37° D ．39° 5．如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（ ）A ．∠2＞∠1＞∠3B ．∠1＞∠3＞∠2C ．∠3＞∠2＞∠1D ．∠1＞∠2＞∠3 6．如图，直线MA ∥NB ，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=_______度．第6题图 第7题图 第8题图 第9题图PQRTαABC DN A BM PEAB DCABCDXYZ 12 38．三角形三个内角之比为3∶4∶5，则它的三个外角之比为____________．9．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边BC 上E 处，折痕为CD ，则∠EDB=_________°．10．如图，在△ABC 中，∠A=α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； …；∠A 2011BC 与∠A 2011CD 的平分线相交于点A 2012，得∠A 2012，则∠A 2012=____________．11．如图，已知D 为△ABC 边BC 延长线一点，DF ⊥AB 于F ，且交AC 于E ，∠A=34°，∠D=42°．求∠ACD 的度数．12．一个零件的形状如图中阴影部分．按规定∠A 等于90°，∠B 、∠C 应分别等于29°和21°． （1）检验人员度量得∠BDC=141°，就断定这个零件不合格．你能说明理由吗？（2）你知道∠B 、∠C 、∠BDC 三个角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）13．如图，在△ABC 中，∠1=100°，∠C=80°，∠2=21∠3，BE 平分∠ABC ．求∠4的度数．14．如图，已知∠BAD=∠CBE=∠ACF ，∠FDE=48°，∠DEF=64°，求△ABC 各内角的度数．15．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且BE 、CE 交于E 点． 求证：∠E=21∠A ．16．如图①，A 、B 两点同时从原点O 出发，点A 以每秒m 个单位长度沿x 轴的正方向运动，点B 以每秒n 个单位长度沿y 轴正方向移动．（1）若|m+2n-5|+|2m-n|=0，试分别求出1秒后，A 、B 两点的坐标；（2）如图②，设∠4的邻补角和∠3的邻补角的平分线相交于点P ．试问：在点A 、B 运动的过程中，∠P 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．17．已知：在△ABC 和△XYZ 中，∠A=40°，∠Y+∠Z=95°，将△XYZ 如图摆放，使得∠X 的两条边分别经过点B 和点C ．（1）当将△XYZ 如图1摆放时，则∠ABX+∠ACX=_______度；（2）当将△XYZ 如图2摆放时，请求出∠ABX+∠ACX 的度数，并说明理由；（3）能否将△XYZ 摆放到某个位置时，使得BX 、CX 同时平分∠ABC 和∠ACB ？为什么？ ABXA ZCX ZYB图1图24 A3OAx1 2 BB Px y y O 图2第5课时 多边形的内角和、外角和 姓名：___________☆知识导学1．过点A 作出下列多边形的对角线，各将多边形分成几个三角形？完成表格：归纳：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引_______条对角线，把n 边形分成________个三角形． （2）n 边形的内角和等于___________．（其中n ≥3）2．从与每个内角相邻的两个外角中分别取1个相加，得到的和称为多边形的外角和．∠1＋∠2＋∠3=________°， ∠1＋∠2＋∠3＋∠=________°归纳：n 边形的外角和等于__________． ☆习题演练1．八边形的内角和是（ ）A ．540°B ．720°C ．900°D ．1080° 2．一个多边形的内角和等于720°，这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 3．下列各角不是多边形的内角和的是（ ）A ．1800°B ．540°C ．1900°D ．1440° 4．正六边形的每个内角都是（ ）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120° 5．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形 7．一个多边形的各个内角都等于108°，它是_______边形．8．一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形是______边形，过其中一个顶点可以作_______条对角线，AAAA123 12349．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加_______，外角和__________．10．（2013•乐山）如图，在四边形ABCD中，∠A=45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2=_________．第9题图第10题图11．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出______个三角形．12．已知一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的边数．13．若两个多边形的边数之比为1∶2，内角和的度数之比为1∶3，求这两个多边形的边数．14．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．15．如图，四边形ABCD中，如果∠A与∠C互为补角，求证：∠B与∠D也互为补角．16．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4，求x的值．17．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和．18．已知一个多边形的最小的一个内角是120°，比它稍大的一个内角是125°以后依次每一个内角比前一个内角多5°，且所有内角的和与最大的内角的度数之比是63∶8，试求这个多边形的边数．19．如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，（1）整个行走路线是什么图形？（2）一共走了多少米？20．如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=70°，∠5=∠6．（1）求证：AC⊥BD；（2）求四边形ABCD各内角的度数；（3）若AC=8，BD=6，求四边形ABCD的面积．。
专题02 直角三角形斜边上的中线(专项培优训练)(教师版)
专题02 直角三角形斜边上的中线（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.56一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE 的周长和面积分别是（ ）A．16，6B．18，18C．16，12D．12，16解：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，∴四边形CFDE是平行四边形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，∴CF＝AB＝5，∵DF∥CE，点F是AB的中点，∴＝＝，∠CDF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴点D是AC的中点，∴CD＝AC＝4，∵点F是AB的中点，点D是AC的中点，∴DF是Rt△ABC的中位线，∴DF＝BC＝3，∴四边形CFDE的周长为2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，四边形CFDE的面积为DF•CD＝3×4＝12．故选：C．2．（2分）（2023•金安区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）A．10﹣B．﹣3C．2﹣6D．3解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，∴AB＝＝2，∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN＝＝，CM＝＝3，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为：﹣3，故选：B．3．（2分）（2023•海曙区校级一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD＝4，AE＝5，则AC＝（ ）A．3B．C．5D．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4，∴AB＝2CD＝8，∵ED⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5，∵AC2＝AE2﹣CE2＝AB2﹣BC2，∴52﹣CE2＝82﹣（5+CE）2，解得CE＝1.4，∴AC＝．故选：B．4．（2分）（2022春•铁锋区期末）如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，A′B′表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（ ）A．下滑时，OP增大B．上升时，OP减小C．无论怎样滑动，OP不变D．只要滑动，OP就变化解：∵AO⊥BO，点P是AB的中点，∴OP＝AB，∴在滑动的过程中OP的长度不变．故选：C．5．（2分）（2022•雁塔区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E在AC上，且AE＝BE，连接CD交BE于点F，若∠A＝25°，则∠DFE的度数（ ）A．65°B．70o C．75o D．80o解：∵D为AB的中点，∠ACB＝90°，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝25°，∵AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝25°，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°，∴∠DFE＝∠ACD+∠BEC＝25°+50°＝75°，故选：C．6．（2分）（2021•荷塘区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的结论是（ ）A．∠DCB＝∠B B．BC＝BDC．AD＝BD D．∠ACD＝∠BDC解：∵AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴A正确，故A不符合题意；∵∠BDC≠∠BCD，∴BD≠BC，∴B错误，故B符合题意；∵∠B＝∠BCD，∴BD＝DC，∴AD＝BD，∴C正确，故C不符合题意；∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠A＝∠ACD，∴∠ACD＝∠BDC，∴D正确，故D不符合题意；故选：B．7．（2分）（2021•铁岭模拟）如图，在△ABC中，E为边AC的中点，CD⊥AB于点D，AB＝2，BC＝1，DE＝，则∠CDE+∠BCD＝（ ）A．60°B．75°C．90°D．105°解：∵CD⊥AB，E为AC边的中点，∴AC＝2DE＝，∵AB＝2，AC＝1，∴BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，E为AC边的中点，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠CDE+∠BCD＝∠ECD+∠BCD＝∠ACB＝90°，故选：C．8．（2分）（2020•汝阳县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（ ）A．2B．C．1D．解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACD＝30°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，∵AC2+BC2＝AB2，AC＝2，∴（2）2+BC2＝（2BC）2，解得：BC＝2（负数舍去），∴AB＝2BC＝4，∵AB＝4，D为AB的中点，∴BD＝AD＝2＝BC，∵BF⊥CD，∴CF＝DF，∵DE∥BC，D为AB的中点，∴AE＝CE，∴EF＝AD＝＝1，故选：C．9．（2分）（2021•饶平县校级模拟）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（ ）A．B．C．D．7解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，∴AB＝4，由勾股定理知AF＝＝，故选：B．10．（2分）（2020•亳州二模）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，D为AC边上一动点，O为BD中点，DE ⊥AB，垂足为E，连接OE，CO，延长CO交AB于F，设∠BAC＝α，则（ ）A．∠EOF＝αB．∠EOF＝2αC．∠EOF＝180°﹣αD．∠EOF＝180°﹣2α解：设∠ABD＝β，则∠BDC＝∠ABD+∠A＝β+α，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDE＝90°﹣β，∵O为BD中点，∴OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE，同理得OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝α+β，∴∠EOD＝180°﹣2（90°﹣β）＝2β，∠COD＝180°﹣2（α+β）＝180°﹣2α﹣2β，∴∠EOF＝180°﹣∠EOD﹣∠COD＝180°﹣2β﹣（180°﹣2α﹣2β）＝2α；故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023•仓山区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若AB ＝4，则CD的长是 2 ．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AB＝4，∴．故答案为：2．12．（2分）（2023•开平市二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D 是AB的中点，若△DEF的周长是11，则AF＝ ．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，由勾股定理知AF＝＝，故答案为：．13．（2分）（2023•京口区校级一模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，连接AC、BD．M是AC的中点，连接BM、DM．若AC＝12，则△BMD的面积为 18 ．解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝DM＝AC＝AM＝6，∴∠MBD＝∠MDB，∠CAB＝∠ABM，∠DAC＝∠ADM，由三角形的外角性质得，∠BMC＝∠ABM+∠CAB＝2∠BAC，∠CMD＝∠ADM+∠DAC＝2∠DAC，∴∠BMD＝∠BMC+∠CMD＝2（∠BAC+∠DAC）＝2∠BAD，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，∴∠BAD＝45°，∴∠BMD＝2∠BAD＝90°，＝BM•DM＝×6×6＝18．∴S△BMD故答案为：18．14．（2分）（2023•长春一模）如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F．若AB＝10，则EF的长为 5 ．∵DE⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°＝∠ACB，∴DE∥CF，又∵DC∥EF，∴四边形EDCF为平行四边形，∴EF＝DC，又∵DC为直角三角形斜边中线，∴，∴EF＝DC＝5．故答案为：5．15．（2分）（2022•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE＝AE＝1，则CD＝ ．解：如图，连接BE，∵CE＝AE＝1，∴AE＝3，AC＝4，而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，∴AE＝BE＝3，在Rt△ECB中，BC＝＝2，∴AB＝＝2，∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，∴CD＝AB＝．故答案为：．16．（2分）（2023•市南区校级开学）如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为 112° ．解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE＝AE，∴∠DAE＝∠ADE，∠BAE＝∠ABE，∴∠ADE+∠ABE＝∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝56°，∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∴∠DEC+∠BEC＝∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABE，∴∠BED＝∠BAD+∠ADE+∠ABE＝56°+56°＝112°．故答案为：112°．17．（2分）（2023•镇江二模）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAB＝45°，M、N分别是AC、BD中点，若AC＝10，则MN＝ ．解：连接BM，DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，AC＝10，∴AM＝BM＝AC＝5，AM＝DM＝AC＝5，∴∠MAB＝∠MBA，∠MAD＝∠MDA，∵∠BMC＝∠MAB+∠MBA，∠DMC＝∠MAD+∠MDA，∴∠BMD＝∠BMC+∠DMC＝2∠BAM+2∠DAM＝2∠BAD＝90°，∵BM＝DM＝5，∴BD＝BM＝5，∵N是BD的中点，∴MN＝BD＝，故答案为：．18．（2分）（2023春•恩施市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD．分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝12，AC＝16，则DF的长为 ．解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD＝CD，AE＝EC＝AD，AE＝EC＝AD＝CD，∴四边形ADCE是菱形，如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝12，AC＝16，∴BC＝＝20，∴AH＝＝＝，∵四边形ADCE是菱形，∴CD＝CE，＝EC•DF＝CD•AH，∴S菱形ADCE∴DF＝AH＝．故答案为．19．（2分）（2022•南岗区模拟）如图，点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝BD＝CF，连接DE、DF，若DE＝7，DF＝10，则线段BE的长为 13 ．解：如图，延长FD至点P，使得DP＝DF，连接BP，EP，过点E作EQ⊥FD于点Q，在△BDP和△CDF中，，∴△BDP≌△CDF（SAS），∴BP＝CF，∠PBD＝∠C，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠PBD+∠ABC＝90°，即∠ABP＝90°，∵BE＝CF，∴BE＝BP，∴△BEP为等腰直角三角形，∴EP＝BE，∵∠ABC+∠C＝90°，BD＝BE，CD＝CF，∴∠BDE+∠CDF＝135°，∴∠EDQ＝45°，∵ED＝，∴EQ＝DQ＝7，∴EP＝＝，∴BE＝13．故答案为：13．20．（2分）（2018•青山区模拟）如图，在以AB为斜边的两个直角△ABD和△ABC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，CD＝m，AB＝2m，则∠AEB＝ 120° ．解：如图所示，取AB的中点F，连接CF，DF，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴CF＝AB＝DF，又∵CD＝m，AB＝2m，∴CD＝AB，∴CF＝DF＝CD，∴△CDF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，∴∠AFC+∠BFD＝120°，∵CF＝BF，AF＝DF，∴∠AFC＝2∠ABE，∠BFD＝2∠BAE，即∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD，∴∠ABE+∠BAE＝∠BFD+∠AFC＝（∠BFD+∠AFC）＝×120°＝60°，∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120°．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2022•茂南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，BE∥CD，CE∥AB．试判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．解：四边形CEBD为菱形，证明如下：∵BE∥CD，CE∥AB，∴四边形CEBD是平行四边形，在Rt△ACB中，D为AB中点，∴CD为Rt△ACB斜边上的中线，∴CD＝BD，∴四边形CEBD为菱形．22．（6分）（2021秋•仁寿县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，DE⊥AB，AD＝2DE．①求证：∠B＝∠AED；②若CD＝，求CE的值．①证明：∵DE⊥AB，∴∠ACB＝∠ADE＝90°，∴∠A+∠B＝∠AED＝90°，∴∠B＝∠AED；②解：∵D为Rt△ABC斜边AB上的中点，∴AD＝BD＝CD＝，即AB＝2，设DE＝x，则AD＝2DE＝2x，∴AE＝，则sin B＝sin∠AED＝；则AC＝AB sin B＝＝4，AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．23．（8分）（2021•蚌埠模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．（1）若AB＝6，当AD＝2DM时，求DE的值；（2）连接OD，OE，当∠A的度数为多少时，四边形ODME是菱形．（1）解：∵∠ABC＝90°，点M是AC的中点，∴AM＝CM＝BM，∴∠A＝∠ABM，∵四边形DEBA为⊙O的内接四边形，∴∠ADE+∠ABM＝180°，又∵∠ADE+∠MDE＝180°，∴∠ABM＝∠MDE，∴∠A＝∠ABM＝∠MDE，∴DE∥AB，∴△MDE∽△MAB，∴＝，∵AD＝2DM，∴AM＝3DM，∵AB＝6，∴＝，∴DE＝2．（2）解：当∠A的度数为60°时，四边形ODME是菱形，理由如下：由（1）知∠A＝∠ABM＝∠MDE，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠ABM＝∠MDE＝60°，∴∠AMB＝60°，又∵OA＝OD＝OE＝OB，∴△AOD、△OBE都是等边三角形，∴∠ADO＝∠AMB＝∠OEB＝60°，∴OD∥BM，AM∥OE，∴四边形ODME是平行四边形，又∵OD＝OE，∴四边形ODME是菱形．24．（8分）（2019秋•浦东新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．（1）求∠B的度数：（2）求证：BC＝3CE．解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AFC＝∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，∴∠ECF＝∠CAF，∵∠EAD＝∠DCB，∴∠CAD＝2∠DCB，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠DCB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠B＝30°；（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，∴AE＝BE，CE＝AE，∴BC＝3CE．25．（8分）（2019春•赫山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，求CD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝3，∴DE＝5﹣3＝2，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD＝＝＝．26．（8分）（2019秋•北碚区校级期中）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC 的中点，AE∥BC交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD．（1）求∠EDC的度数．（2）求证：BF＝AE．解：（1）∵∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∵∠FBC＝2∠FBD．∴∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，∵∠ABC＝90°，点F是AC中点，∴AF＝BF＝CF，∴∠C＝∠FBC＝30°，∴∠EDC＝∠C+∠DBC＝75°；（2）∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝2AB，∴AB＝AF＝BF，∵AE∥BC，∴∠E＝∠DBC＝45°＝∠ABD，∴AB＝AE，∴AE＝BF．27．（8分）（2023•温州模拟）如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．（1）证明：CG＝EG．（2）若AB＝10，AD＝6，求CE的长．（1）证明：连接DE，如图．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，又E为AB中点，∴DE＝AE＝BE，∵CD＝AE，∴DE＝CD，又DG⊥EC，∴EG＝CG；（2）解：过E作EM⊥BC于M，如图．∵AD⊥BC，EM⊥BC，∴EM∥AD，∵E为AB中点，∴EM是△ABD的中位线，∴EM＝AD＝3．∵AB＝10，∵DE＝AB＝5，∴DM＝4，∵CD＝AE＝DE＝5，∴CM＝CD+DM＝9，∴CE＝＝3．28．（8分）（2022秋•顺德区期末）如图1，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线．（1）求证：BD＝AC；（2）如图2，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一个点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F．当P 在BC上移动时，求PE+PF的值．（1）证明：如图，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E，连接CE，∴∠DAE＝∠BCD，∵∠ADE＝∠BDC，AD＝CD，∴△ADE≌△CDB（AAS），∴DE＝BD，∴四边形ABCE是平行四边形，∴，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCE是矩形，∴AC＝BE，∴；（2）解：如图，连接DP，作BG⊥AC，于点G，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，根据勾股定理得：，∴．可知，即，∴，则，即，解得：．。
三角形培优精选题大全
周六培优训练1——三角形1、已知a、b、c是ΔABC的三边长，化简|a+b-c|-|a-b-c|2、如图、已知直线a和直线外同侧两点M、N。
请在直线a上找一点P，使|PM-PN|的值最大，并简要说明理由。
3、如图，∠A＝50°∠ABC与∠ACB的角平分线交于点O，求∠O的度数。
\4、如图，∠A＝50°∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P，求∠P的度数。
^5、如图，ΔABC的中线AD与CE交于点F，ΔABC的面积为100cm2,求ΔAEF的面积。
)6、不等边ΔABC的两条高分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，试求它的长。
aMNBB C~10、“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题。
（1） 根据已经学过的知识求知道星形（图1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ，若对图1中星形截去一个角，如图2，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数。
（需要写出解题过程）（2）若再对图2中的角进一步截去，你能由题1中所得的方法或规律，猜想出图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N 的度数吗（只要写出结论，不需要写出解题过程。
）|1、①求下图各角度数之和。
②如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________．]3、如图△ABC 中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°，∠ACB=62°,求∠DFE 的大小。
EDCBA FMK N7、三角形的最大角与最小角之比是4：1，则最小内角的取值范围是多少）9.如图，在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB ，∠A = 40°，P 是△ABC 内一点，且∠1 = ∠2．则∠BPC =________。
第七章 三角形7.已知a,b,c 是△ABC 的三边 （1）化简｜a+b-c ｜+｜b-a-c ｜-｜c+b-a ｜ （2）｜a-b+c ｜+｜b-c+a ｜-｜a-b-c ｜8.如图,P 是△ABC 内一点,试证明PA+PB+PC>1/2(AB+BC=AC)9.在△ABC 中,∠A=50°,点D,E 分别在AB,AC 上,EF 平分∠CED,DF 平分∠BDE,则∠F='11.在△ABC 中,AB=AC,AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为12CM 和15CM 两部求三角形的各边长12.五种基本图形(必会)：写出∠BOC 与∠A 之间的数量关系。
等边三角形的培优
等边三角形的培优在数学的世界里，等边三角形是一个既基础又重要的几何图形。
它那三条相等的边和三个相等的角，蕴含着丰富而有趣的知识。
对于想要在数学学习中更上一层楼的同学来说，深入理解和掌握等边三角形的相关知识，进行培优学习是十分必要的。
一、等边三角形的定义与性质等边三角形，顾名思义，就是三条边长度都相等的三角形。
它的三个内角也都相等，且每个角都是 60 度。
这是等边三角形最基本也是最重要的性质。
为什么等边三角形的每个角都是 60 度呢？我们可以通过三角形内角和为 180 度来证明。
因为三条边相等，所以三个角也相等，那么每个角就是 180 度除以 3，等于 60 度。
等边三角形还有很多其他的性质。
比如，它的三条高、三条中线、三条角平分线都重合且相等。
这一性质在解决很多与等边三角形相关的几何问题时非常有用。
另外，等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三条边的中垂线。
二、等边三角形的判定知道了等边三角形的定义和性质，那么如何判定一个三角形是等边三角形呢？第一种判定方法，如果一个三角形的三条边都相等，那么它就是等边三角形，这是最直接的判定方式。
第二种，若一个三角形的三个内角都相等，那么它也是等边三角形。
第三种，如果一个三角形有一个角是 60 度，且它是等腰三角形，那么这个三角形也是等边三角形。
在实际解题中，我们需要根据具体的条件，灵活选择合适的判定方法。
三、等边三角形中的常见题型与解法1、证明题在证明一个三角形是等边三角形时，我们要根据已知条件，选择合适的判定方法进行证明。
例如，已知三角形 ABC 中，AB ＝ AC，且∠A ＝ 60 度，证明三角形 ABC 是等边三角形。
因为 AB ＝ AC，所以三角形 ABC 是等腰三角形。
又因为∠A ＝ 60 度，根据“有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形”，可以得出三角形 ABC 是等边三角形。
2、计算题在计算与等边三角形相关的边长、角度、面积等问题时，要充分利用等边三角形的性质。
相似三角形专题练习(培优)附答案
相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
相似三角形培优训练(含答案)
类似三角形分类进步练习一.类似三角形中的动点问题1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点 B 作射线 BB1∥AC．动点 D 从点 A 动身沿射线 AC 偏向以每秒 5 个单位的速度活动,同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 偏向以每秒 3 个单位的速度活动．过点 D 作 DH⊥AB 于 H,过点 E 作 EF⊥AC 交射线 BB1 于 F,G 是 EF 中点,衔接 DG．设点 D 活动的时光为 t 秒．（1）当 t 为何值时,AD=AB,并求出此时 DE 的长度;（2）当△DEG与△ACB 类似时,求 t 的值．2.如图,在△ABC 中, ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,动点 P 以 2m/s 的速度从 A点动身,沿 AC 向点 C 移动．同时,动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点动身,沿 CB向点 B 移动．当个中有一点到达终点时,它们都停滞移动．设移动的时光为 t 秒．（1）①当 t=2.5s 时,求△CPQ 的面积;②求△CPQ 的面积 S（平方米）关于时光 t（秒）的函数解析式;（2）在 P,Q 移动的进程中,当△CPQ 为等腰三角形时,求出 t 的值．3.如图 1,在 Rt△ABC 中, ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,点 D 在边 AB 上活动,DE 等分 CDB 交边 BC 于点 E,EM⊥BD,垂足为 M,EN⊥CD,垂足为 N．（1）当 AD＝CD 时,求证：DE∥AC;（2）探讨：AD 为何值时,△BME 与△CNE 类似？4.如图所示,在△ABC 中,BA＝BC＝20cm,AC＝30cm,点 P 从 A 点动身,沿着AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点活动;同时点 Q 从 C 点动身,沿 CA 以每秒 3cm的速度向 A 点活动,当 P 点到达 B 点时,Q 点随之停滞活动．设活动的时光为 x．（1）当 x 为何值时,PQ∥BC？（2）△APQ 与△CQB 可否类似？若能,求出 AP 的长;若不克不及解释来由．5.如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点 P 沿 AB 边从 A 开端向点 B 以 2cm/s 的速度移动;点 Q 沿 DA 边从点 D 开端向点 A 以1cm/s 的速度移动．假如 P.Q 同时动身,用 t（s）暗示移动的时光（0＜t＜6）.（1）当 t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似？二.结构类似帮助线——双垂直模子6.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(2,1),正比例函数 y=kx的图象与线段 OA 的夹角是 45°,求这个正比例函数的表达式．7.在△ABC 中,AB= ,AC=4,BC=2,以 AB 为边在 C 点的异侧作△ABD,使△ABD 为等腰直角三角形,求线段 CD 的长．8.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,点 M 是 AC 上的一点,点 N 是 BC 上的一点,沿着直线 MN 折叠,使得点 C 正好落在边 AB 上的 P 点．求证：MC：NC=AP：PB．9. 如图,在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为（1,3）,将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点 落在 D 点的地位,且 AD 交 y 轴于点 E．那么 D 点的坐标为（）A.B.C.D.10..已知,如图,直线 y=﹣2x＋2 与坐标轴交于 A.B 两点．以 AB 为短边在 第一象限做一个矩形 ABCD,使得矩形的双方之比为 1﹕2.求 C.D 两点的坐 标. 三.结构类似帮助线——A.X 字型 11.如图：△ABC 中,D 是 AB 上一点,AD=AC,BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F.求证：12.四边形 ABCD 中,AC 为 AB.AD 的比例中项,且 AC 等分∠DAB.求证：13.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E 为 AD 边上的随意率性 一点,EF∥AB,且 EF 交 BC 于点 F,某同窗在研讨这一问题时,发明如下事实：(1)当 时,EF= ;(2)当 时,EF= ;(3)当时,EF= ．当 时,参照上述研讨结论,请你猜测用a.b 和 k 暗示 EF 的一般结论,并给出证实． 14.已知：如图,在△ABC 中,M 是 AC 的中点,E.F 是 BC 上的两点,且 BE＝EF ＝FC.求 BN：NQ：QM． 15.证实：（1）重心定理：三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 ．（注：重心是三角形三条中线的交点） （2）角等分线定理： 三角形一个角的等分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比 例． 四.类似类定值问题 16.如图,在等边△ABC 中,M.N 分离是边 AB,AC 的中点,D 为 MN 上随意率性一点,BD.CD 的延伸线分离交 AC.AB 于点 E.F．求证：．17.已知：如图,梯形 ABCD 中,AB//DC,对角线 AC.BD 交于 O,过 O 作 EF//AB分离交 AD.BC 于 E.F.求证：．18.如图,在△ABC 中,已知 CD 为边 AB 上的高,正方形 EFGH 的四个极点分离在△ABC 上.求证：．19.已知,在△ABC 中作内接菱形 CDEF,设菱形的边长为 a．求证：．五.类似之共线线段的比例问题20.（1）如图 1,点 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上,一向线过点 P 分离交BA,BC 的延伸线于点 Q,S,交于点 ．求证：（2）如图2, 图 3, 当 点 在 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 或 的 延 伸 线 上时,是否仍然成立？若成立,试给出证实;若不成立,试解释来由（请求仅以图 2 为例进行证实或解释）;21.已知：如图,△ABC 中,AB＝AC,AD 是中线,P 是 AD 上一点,过 C 作CF∥AB,延伸 BP 交 AC 于 E,交 CF 于 F．求证：BP2＝PE·PF ．22.如图,已知△ABC 中,AD,BF 分离为 BC,AC 边上的高,过 D 作 AB 的垂线交AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延伸线于 H.求证：DE2=EG•EH23.已知如图,P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点,过 P 的直线与AD.BC.CD 的延伸线.AB 的延伸线分离订交于点 E.F.G.H.求证：24.已知,如图,锐角△ABC 中,AD⊥BC 于 D,H 为垂心（三角形三条高线 的交点）;在 AD 上有一点 P,且∠BPC 为直角．求证：PD2＝AD·DH. 六.类似之等积式类型分解 25.已知如图,CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高,E 为 BC 的中点,ED 的延伸线交 CA 于 F.求证： 26 如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,点 M 在 CD 上,DH⊥BM 且 与 AC 的 延 伸 线 交 于 点 E. 求 证 ： （ 1 ） △AED∽△CBM; （ 2 ）27.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点,ED 的延伸线与 CB 的延伸线交于点 F.（1）求证：.（2）若G 是 BC 的中点,衔接 GD,GD 与 EF 垂直吗？并解释来由.28.如图,四边形 ABCD.DEFG 都是正方形,衔接 AE.CG,AE 与 CG 订交于点M,CG 与 AD 订交于点 N．求证：．29.如图,BD.CE 分离是△ABC 的双方上的高,过 D 作 DG⊥BC 于 G,分离交 CE 及 BA 的延伸线于F.H.求证：（1）DG2＝BG·CG;（2）BG·CG＝GF·GH七. 类似根本模子运用30.△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF 的极点 E 位于边 BC 的中点上．（1）如图 1,设 DE 与 AB 交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,求证：△BEM∽△CNE;（2）如图 2,将△DEF 绕点 E 扭转,使得 DE 与BA 的延伸线交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,于是,除（1）中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论．31.如图,四边形ABCD 和 四 边 形ACED 都是平行四边形,点 R 为 DE 的中点,BR 分离交 AC.CD 于点 P.Q．（1）请写出图中各对类 似三角形（类似比为 1 除外）;（2）求 BP：PQ：QR． 32.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F.求证： 答 案 ： 1. 答 案 ： 解 ： （ 1 ） ∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4∴AB=5 又∵AD=AB,AD=5t∴t=1,此时 CE=3,∴DE=3+3-5=1（2）如图当点 D 在点 E 左侧,即：0≦t≦ 时,DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG 与△ACB类似,有两种情况：①△DEG∽△ACB,此时,即：,求得：t= ;②△DEG∽△BCA, 此 时,即：,求得：t= ;如图,当点 D 在点 E 右侧,即：t> 时,DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG 与△ACB 类似,有两种情况：③△DEG∽△ACB,此时,即：,求得：t= ;④△DEG∽△BCA,此时,即：,求得：t= ．综上,t 的值为 或 或 或 ．3.答案：解：（1）证实：∵AD=CD∴∠A=∠ACD∵DE 等分 CDB 交边 BC 于 点 E∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB 为 △CDB 的 一 个 外 角 ∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE ∴DE∥AC （ 2 ） ①∠NCE=∠MBE∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△CNE, 如 图∵∠NCE=∠MBE∴BD=CD又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD= AB∵ 在Rt△ABC 中 ,ACB ＝ 90°,AC ＝ 6,BC ＝8∴AB=10∴AD=5②∠NCE=∠MEB∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△ENC, 如 图∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB∵ 在 Rt△ABC中,ACB ＝ 90°,AC ＝ 6,BC ＝8∴AB=10∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC∴∴综上：AD=5 或 时,△BME 与△CNE 类似．4. 答 案 ： 解 （ 1 ） 由 题 意 ： AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x,当 PQ∥BC时,,即：解得：（ 2 ） 能 ,AP= cm 或AP=20cm①△APQ∽△CBQ, 则,即解得： 或（舍）此时：AP= cm②△APQ∽△CQB, 则,即解得：（相符题意）此时：AP= cm 故 AP= cm 或 20cm 时,△APQ 与△CQB 能类似． 5.答案：解：设活动时光为 t,则 DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t．（1）若 △QAP 为等腰直角三角形,则 AQ=AP,即：6-t=2t,t=2（相符题意）∴t=2 时,△QAP 为等腰直角三角形．（2）∠B=∠QAP=90°①当△QAP∽△ABC时,,即：,解得： （相符题意）;②当△PAQ∽△ABC时,,即：,解得： （相符题意）．∴ 当 或 时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似．6. 答 案 ： 解 ： 分 两 种 情 况 第 一 种 情 况 , 图 象 经 由 第 一 . 三 象 限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模子知：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝ 45°∴OC ＝ 2,AC ＝ 1,AO ＝ AB∴AD ＝ OC ＝ 2,BD ＝ AC ＝ 1∴D 点 坐 标 为 （2,3）∴B 点坐标为（1,3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况,图象经由第二.四象限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：＝ 90° 由 双 垂 直 模 子 知 ：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝45°∴OC＝1,AC＝2,AO＝AB∴AD＝OC＝1,BD＝AC＝2∴D 点坐标为（3,1）∴B 点坐标为（3,﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y＝ x 7. 答 案 ： 解 ： 情 况 一 ：情况二：情况三：8.答案：证实：办法一：衔接 PC,过点 P 作 PD⊥AC 于D, 则PD//BC依据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC ： CN=PD ： DC∵PD=DA∴MC ： CN=DA ：DC∵PD//BC∴DA ： DC=PA ： PB∴MC ： CN=PA ： PB 办 法 二 ： 如图,过 M 作 MD⊥AB 于 D,过 N 作 NE⊥AB 于 E 由双垂直 模 子 , 可 以 推 知 △PMD∽NPE, 则,依据等比性质可知,而 MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN, ∴MC：CN=PA：PB 9.答案：A解题思绪：如图过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延伸线于点 M,交 x 轴于点 N,则∠M=∠DNA=90°,因为折叠,可以得到△ABC≌△ADC,又由 B（1,3）∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90°∴ ∠1+∠2=90°∵∠DNA=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∴△DMC∽△AND,∴设 CM=x, 则 DN=3x,AN=1 ＋ x,DM ＝∴3x＋ ＝3∴x＝ ∴,则. 答案为 A10.答案：解：过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G,过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F,交 GC 的延伸线于 E.∵直线 y=﹣2x＋2与坐标轴交于 A.B 两点∴A（1,0）,B（0,2）∴OA=1,OB=2,AB= ∵AB：BC=1:2∴BC=AD= ∵∠ABO+∠CBG=90°,∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBG=∠BAO又∵∠CGB=∠BOA=90°∴△OAB∽△GBC∴∴GB=2,GC=4∴GO=4∴C（4,4）同理可得△ADF∽△BAO,得 （5,2）∴DF=2,AF=4 ∴OF=5 ∴D11.答案：证实：（办法一）如图衔接延伸 AE 到 M 使得 EM=AE, CM∵BE=CE,∠AEB=∠MEC∴△BEA≌△CEM∴CM=AB,∠1=∠B∴AB∥CM∴∠M=∠MAD,∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF∴∵CM=AB,AD=AC∴（办法二）过 D 作 DG∥BC 交 AE 于 G 则△ABE∽△ADG,△CEF∽△DGF∴,∵AD=AC,BE=CE∴12.答案：证实：过点 D 作 DF∥AB 交 AC 的延伸线于点F,则∠2=∠3∵AC等分∠DAB∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴AD=DF∵∠DEF=∠BEA,∠2=∠3∴△BEA∽△DEF∴∵AD=DF∴∵AC 为 AB.AD 的比例中项∴即又∵∠1=∠2∴△ACD∽△ABC∴∴∴13.答案：解：证实：过点 E 作 PQ∥BC 分离交 BA 延伸线和 DC 于点 P 和点 Q∵AB∥CD,PQ∥BC∴四边形 PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形∴PB＝EF＝CQ,又∵AB＝b,CD＝a∴AP＝PB-AB＝EF-b,DQ＝DC-QC＝a-EF∴∴14. 答 案 ： 解 ：衔 接 MF∵M 是 AC 的 中 点 ,EF ＝FC∴MF∥AE 且 MF＝ AE ∴△BEN∽△BFM ∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF ∴BN：BM＝NE：MF＝1:2 ∴BN：NM＝1:1 设 NE＝x,则 MF＝ 2x,AE＝4x ∴AN＝3x ∵MF∥AE ∴△NAQ∽△MFQ ∴NQ：QM＝AN：MF ＝3:2 ∵BN：NM＝1:1,NQ：QM＝3:2 ∴BN：NQ：QM＝5:3:215.答案：证实：（1）如图 1,AD.BE 为△ABC 的中线,且AD.BE 交于点 O 过点 C 作 CF∥BE,交 AD 的延伸线于点 F∵CF∥BE 且 E 为 AC中 点 ∴∠AEO ＝ ∠ACF,∠OBD ＝ ∠FCD,AC ＝ 2AE∵∠EAO ＝∠CAF∴△AEO∽△ACF∴∵D 为 BC 的 中 点 ,∠ODB ＝∠FDC∴△BOD≌△CFD∴BO＝CF∴∴同理,可证别的两条中线∴三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 （2）如图 2,AD 为△ABC 的角等分线过点 C 作 AB 的平行线 CE 交 AD的 延 伸 线 于 E 则 ∠BAD=∠E∵AD 为 △ABC 的 角 等 分 线∴∠BAD=∠CAD∴∠E=∠CAD∴AC＝CE∵CE∥AB∴△BAD∽△CED∴∴16.答案：证实：如图,作 DP∥AB,DQ∥AC 则四边形MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且△DPQ 是等边三角形∴BP+CQ＝MN,DP ＝ DQ ＝ PQ∵M.N 分 离 是 边 AB,AC 的 中 点 ∴MN ＝ BC ＝PQ∵DP∥AB,DQ∥AC∴△CDP∽△CFB,△BDQ∽△BEC∴,∴∵DP ＝ DQ ＝ PQ ＝ BC ＝ AB∴ AB（）＝ ∴17.答案：证实：∵EF//AB,AB//DC∴EF//DC∴△AOE∽△ACD,△DOE∽△DBA∴,∴∴18.答案：证实∵EF∥CD,EH∥AB∴,∵,： ∴△AFE∽△ADC,△CEH∽△CAB∴,∵EF ＝EH∴∴19.答案：∵EF∥AC,DE∥BC∴,证实：∵,∴△BFE∽△BCA,△AED∽△ABC∴,∴∵EF＝DE＝a∴ 20. 答 案 ： （ 1 ） 证 实 ： 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠DRP=∠S,∠RDB=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴同来由AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴（2）证实 ： 成 立 , 来 由 如 下 ： 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠PRD=∠S,∠RDP=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴同来由21. 答 案 ： 证 实 :∵AB ＝ AC,AD 是 中线,∴AD⊥BC,BP=CP∴∠1=∠2又∵∠ABC=∠ACB∴∠3=∠4∵CF∥AB∴∠3=∠F,∠4=∠F又∵∠EPC=∠CPF∴△EPC∽△CPF∴∴BP2＝PE·PF 即证所求22. 答 案 ： 证 实 ： ∵DE⊥AB∴＝ 90°∵＝90°∴ ∵BF⊥AC∴∵∴△ADE∽△DBE∴∴DE2=＝ 90°∵＝ 90° 且∴∵∴△BEG∽△HEA∴∴＝∴DE2=EG•EH23.答案：证实： 形∵四边形 ABCD 为平行四边∴AB∥CD,AD∥BC∴∠1=∠2,∠G=∠H,∠5=∠6∴△PAH∽△PCG∴又∵∠3=∠4∴△APE∽△CPF∴∴24.答案：证实：如图,衔接 BH 交 AC 于点 E,∵H为垂心∴BE⊥AC∴∠EBC+∠BCA=90°∵AD⊥BC于D∴∠DAC+∠BCA=90°∴∠EBC=∠DAC又∠BDH=∠ADC=90°∴△BDH∽△ADC∴,即∵∠BPC 为直角,AD⊥BC ∴PD2＝BD·DC ∴PD2＝AD·DH25. 答 案 ： 证 实 ：∵CD 是 Rt△ABC 斜 边 AB 上 的 高,E 为 BC 的 中 点∴CE=EB=DE∴∠B=∠BDE=∠FDA∵∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°∴∠B=∠ACD∴∠FDA=∠ACD∵∠F=∠F∴△FDA∽△FCD∴∵∠ADC=∠CDB=90°,∠B=∠ACD∴△ACD∽△CBD∴∴即26.答案：证实：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90°∴∠A＋∠ACD＝90°∠BCM＋∠ACD＝90°∴∠A＝∠BCM 同理可得：∠MDH＝∠MBD∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD ＝ 90° ＋ ∠MBD∠ADE ＝ ∠ADC ＋ ∠MDH ＝ 90° ＋ ∠MDH∴∠ADE ＝∠CMB∴△AED∽△CBM（2）由上问可知：,即故只需证实即 可 ∵∠A ＝ ∠A,∠ACD ＝∠ABC∴△ACD∽△ABC∴,即∴27. 答 案 ： （ 1 ） 将 结 论 写 成 比 例 的 情 势 ,,可以斟酌证实△FDB∽△FCD （ 已 经 有 一 个 公 共 角 ∠F ） Rt△ACD 中 ,E 是 AC 的 中 点∴DE=AE∴∠A=∠ADE∵∠ADE=∠FDB∴∠A=∠FDB而∠A+∠ACD=90°∠FCD+∠ACD=90°∴∠A=∠FCD∴∠FCD=∠FDB而∠F=∠F∴△FBD∽△FDC∴∴（2）断定：GD 与 EF 垂直 Rt△CDB 中 ,G 是 BC 的 中 点 , ∴GD ＝ GB ∴∠GDB=∠GBD 而∠GBD+∠FCD=90° 又∵∠FCD=∠FDB（1 的结论） ∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD⊥EF28.答案：证实：由四边形 ABCD.DEFG 都是正方形可知,∠ADC=∠GDE=90°,则 ∠CDG=∠ADE=∠ADG+90° 在和中∴≌则 ∠DAM=∠DCN 又∵∠ANM=∠CND∴△ANM∽△CND 则∴29. 答 案 ： 证 实 ： 找 模 子 . （ 1 ） △BCD.△BDG,△CDG 组 成 母 子 型 类似.∴△BDG∽△DCG∴∴DG2 ＝ BG·CG （ 2 ） 剖 析 ： 将 等 积式转化为比例式.BG·CG＝GF·GH∵∠GFC=∠EFH,而∠EFH+∠H=90°,∠GFC+∠FCG=90°∴∠H=∠FCG而∠HGB=∠CGF=90°∴△HBG∽△CFG∴∴BG·CG ＝GF·GH．30.答案：（1）证实：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝135°＝∠MEB＋∠EMB ∴∠NEC ＝ ∠EMB 又 ∵∠B=∠C ∴△BEM∽△CNE （ 2 ）△COE∽△EON证 实 ： ∵∠OEN=∠C ＝ 45°,∠COE ＝ ∠EON∴△COE∽△EON31.答案：解：（1）△BCP∽△BER,△CQP∽△DQR,△ABP∽△CQP,△DQR∽△ABP （ 2 ）∵AC∥DE∴△BCP∽△BER∴∵四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形∴AD=BC,AD=CE∴BC=CE,即点 C 为 BE 的中点∴又 ∵AC∥DE∴△CQP∽△DQR∴∵ 点 R 为 DE 的 中 点∴DR=RE∴综上：BP：PQ：QR＝3：1：232. 答 案 ： 证 实 ： ∵AD⊥BC,DE⊥AB∴△ADB∽△AED∴ AE AB 同理可证：AD²＝AF AC∴AE AB＝AF AC∴AD² ＝。
全等三角形经典培优题型(含标准答案)
三角形培优练习题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C78.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABCDBA BC DEF 2 1ADBCA B CD ABACDF2 1 E9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F点在AM 上，BE∥CF ，BE=CF 。
求证：AM 是△ABC 的中线。
13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。
求证：BE =CD ．14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。
全等三角形大题专练(培优强化40题)
专题-2022-2023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.1全等三角形大题专练（培优强化40题）一．解答题（共40小题）1．（2021秋•六合区期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠C、∠F都是锐角且∠C＞∠B，∠F＞∠E，AB＝DE，AC＝DF，∠C＝∠F，△ABC≌△DEF吗？说明理由．2．（2021秋•高淳区期中）如图，AB＝CD，∠B＝∠C，点F、E在BC上，BF＝CE．求证：AE＝DF．3．（2021秋•溧水区期中）如图，已知AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，点E在BC 上．（1）求证：AE＝AC；（2）若∠B＝20°，∠C＝65°，求∠DFA的度数．4．（2021秋•江宁区期中）如图，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，∠B＝∠C．求证：BE＝CD．5．（2021秋•江宁区期中）如图，点B、C、E、F在同一条直线上，AF、DE相交于点G，∠B＝∠C＝∠AGD＝90°，BF＝CD．求证：AF＝DE．6．（2021秋•玄武区期中）如图，点C、E在BF上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．求证：BE＝CF．7．（2020秋•鼓楼区校级期中）如图，点B、D、C在一条直线上，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC．（1）求证：BC＝DE；（2）若∠B＝70°，求∠EDC．8．（2021秋•鼓楼区期中）已知：如图，∠ABC＝∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB 的平分线，求证：AB＝DC．9．（2021秋•南京期中）已知：如图，AB∥ED，AB＝DE，点F，点C在AD上，AF＝DC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）求证：BC∥EF．10．（2021秋•镇江期中）已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且AB＝CD．求证：△ABC≌△CDE．11．（2021秋•徐州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠CAD＝50°，求∠B的度数；（2）如图，若点E在边AC上，过点E作EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF．12．（2022春•清江浦区校级期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）继续测量得∠AMC＝50°，∠MCN＝30°，求∠AOB的度数．13．（2020春•江阴市期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．14．（2021秋•盐都区期中）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD．（2）若AC＝AE，∠ACD＝80°，求∠DEC的度数．15．（2018秋•锡山区校级期中）如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC＝BD，AE∥DF，∠1＝∠2．求证：BE＝CF．16．（2021秋•海安市期中）如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB＝DC．求证：∠ABD＝∠ACD．17．（2022•姑苏区校级二模）已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，AD，BC相交于点O，过点O作OE⊥AB，垂足为E．求证：（1）△ABC≌△BAD．（2）AE＝BE．18．（2022春•泗阳县期末）如图，AB＝AE，AC＝DE，AB∥DE．（1）求证：AD＝BC；（2）若∠DAB＝70°，AE平分∠DAB，求∠B的度数．19．（2022春•泰兴市期末）已知，如图，点A、B、C、D在同一直线上，AC＝DB，BE∥CF．从①BE＝CF；②AE∥DF；③AE＝DF中选择一个作为条件，使得△ABE≌△DCF 成立．请写出你选择的条件，并证明．你选择的条件是 （填序号）．20．（2022春•海陵区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，BC、DE交于O，BC＝ED．（1）求证：∠B＝∠E；（2）求证：OE＝OB．21．（2022春•建邺区校级期末）已知：如图，AD、BF相交于O点，OA＝OD，AB∥DF，点E、C在BF上，BE＝CF．（1）求证：△ABO≌△DFO；（2）判断线段AC、DE的关系，并说明理由．22．（2022春•相城区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF，连接BE，DF．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若∠AEB＝85°，求∠AFD的度数．23．（2022•丰县二模）如图，点F是△ABC的边AC的中点，点D在AB上，连接DF并延长至点E，DF＝EF，连接CE．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的长．24．（2022•工业园区模拟）已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝∠CAD．求证：∠D ＝∠E．25．（2022•江阴市模拟）如图，在△ABC中，O为BC中点，BD∥AC，直线OD交AC于点E．（1）求证：△BDO≌△CEO；（2）若AC＝6，BD＝4，求AE的长．26．（2022•宜兴市校级二模）已知：如图，在△ABC中，D是BC边中点，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若AD＝5，CE＝2，求△ABC的面积．27．（2022春•亭湖区校级期末）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AD、AG．（1）求证：∠ABE＝∠ACG；（2）试判：AG与AD的关系？并说明理由．28．（2022•南通模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点O，且∠BAE＝∠CAD．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．29．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD ＝∠CAE．求证：∠ABD＝∠ACE．30．（2021秋•溧阳市期末）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，∠C ＝∠F．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AD＝BE，BC∥EF．31．（2021秋•如皋市期末）如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．（1）求证CD＝EC；（2）连接DE，若∠DCE＝60°，DC＝4，求DE的长．32．（2022•宿城区校级开学）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．（1）求证：△ABD≌△BAC；（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．33．（2021秋•盱眙县期末）如图，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝FC．（1）求证：∠D＝∠B；（2）若∠A＝20°，∠D＝110°，求∠BEC的度数．34．（2021秋•大丰区期末）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当∠AEB＝68°，求∠EBC的度数．35．（2021秋•句容市期末）如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC＝BE，∠ABC＝∠E．（1）求证：△ABC≌△DEB；（2）若BE＝9，AC＝4，则CD＝ ．36．（2021秋•江阴市期末）如图，点A、D、B、E在一条直线上AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O．（1）求证：△ABC≌△EDF；（2）若∠A＝60°，∠F＝65°，求∠ABC的度数．37．（2021秋•新吴区期末）如图，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE．38．（2021秋•崇川区期末）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D，BC与EF交于点H．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）FH＝CH．39．（2021秋•江都区期末）如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，AD∥BC，AE＝CF，AD＝CB．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）判断BE与DF的位置关系，并说明理由．40．（2021秋•滨湖区期末）已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE∥BF，且AE＝BF．求证：（1）△ADE≌△BCF；（2）AC＝BD．。
三角形培优训练100题集锦(一)2024
三角形培优训练100题集锦（一）【引言概述】三角形是数学中的一个重要几何概念，对于学生的数学培优训练具有重要意义。
本文整理了一份包含一百道三角形相关题目的训练集锦，旨在帮助学生系统地掌握三角形的性质、定理和计算方法，提高解题能力。
以下将从五个大点来阐述这份题集的内容。
【大点1：三角形基础知识】1. 三角形的定义及分类2. 三角形内角和的性质3. 三角形边长关系：三角不等式定理4. 三角形的周长和面积计算公式5. 三角形的特殊点：重心、垂心、外心、内心、费马点等【大点2：三角形的相似与全等】1. 相似三角形的性质2. 判定三角形相似的方法3. 三角形的全等的条件4. 利用相似三角形或全等三角形解题的方法5. 实际问题中的应用：测量、定位、相似比例等【大点3：三角形的角与线段关系】1. 角的平分线与垂直平分线的特点2. 三角形的角平分线定理3. 三垂线定理与垂心定理4. 外角与内角的关系5. 角与弧的关系及其应用：圆周角、弦切角、弧度制等【大点4：三角形的特殊性质与定理】1. 等腰三角形的性质与判定2. 直角三角形的性质与判定3. 正三角形的性质及计算4. 等边三角形的性质及计算5. 锐角三角形和钝角三角形的性质及判定【大点5：三角形的应用问题】1. 三角形的角度测量与边长测量2. 三角形在建筑工程中的应用：测量高度、角度与距离3. 三角形在地理学中的应用：测量地底深度、地图测量等4. 三角形在航空航天领域的应用：导航、角度计算等5. 三角形在日常生活中的应用：地理问题、旅行导航、地震角度计算等【总结】通过对本文中所整理的三角形培优训练100题集锦的学习，同学们将能够掌握三角形的基础知识，灵活运用三角形的相似与全等等性质和定理，熟练解决三角形的角与线段关系问题，理解各种特殊三角形的性质，并能够应用三角形的知识解决实际问题。
这将为学生的数学学习和思维能力的提高提供坚实的基础。