数字信号处理_第二章
sin
(n
(n
l l)
)
1 0
nl nl
(n l)
右边
l
x(l) sin (n l) (n l)
l
x(l) (n l)
x(n)
＃
7
DTFT举例
例2.2.1求矩形序列 RN (n) 的傅里叶变换
解：
N 1
X (e j ) DTFT [RN (n)] RN (n)e jn e jn
共轭对称序列
xe (n) xe (n), xer (n) xer (n), xei (n) xei (n)
共轭反对称序列
xo (n) xo (n), xor (n) xor (n), xoi (n) xoi (n)
将序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分
x(n) xe (n) xo (n)
第2章 时域离散信号和系统
的频域分析
Discrete-Time Signals and Systems in the Transform-Domain
本章主要内容
序列的傅里叶变换（DTFT） 离散傅里叶级数（DFS） 周期序列的傅里叶变换 序列的Z变换（ZT） 逆Z变换 时域离散时不变系统的变换域分析
*即满足均匀性与叠加性
3. 时移和频移
如果 X (e j ) FT[x(n)]
则有：
FT[x(n n0 )] e jn0 X (e j ) FT[e j0n x(n)] X (e j(0 ) )
4. 傅里叶变换的对称性
一般，序列 x(n) 为复序列
x(n) xr (n) jxi (n) x (n) xr (n) jxi (n)
频域共轭反对称性
X o (e
j
)
X
o
(e
j
),
X or (e j ) X or (e j ), X oi (e ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ) X oi (e j )
将频域函数分成共轭对称分量和共轭反对称分量
X (e j ) X e (e j ) X o (e j )
因为 有：
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X * (e j )
因为 x (n) xe (n) xo (n) xe (n) xo (n)
有：xe (n)
1 [x(n) 2
x ( n)]
xo (n)
1 [x(n) 2
x ( n)]
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傅里叶变换的对称性（续）
频域共轭对称性
X e (e j ) X e (e j ), X er (e j ) X er (e j ), X ei (e j ) X ei (e j )
X (e j ) X (e j(2 M ) M 为整数
证明： X (e j(2 M ) )
x(n)e j( 2 M )n
n
x(n)e jne j2 Mn
n
x(n)e jn X (e j ) n
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9
周期性的意义
对信号进行频域分析时，只需分析一个周期即可；
在 0, 2 , 4 , 处，表示直流分量；
连续信号的傅里叶变换
连续信号的傅里叶变换定义如下
正变换 X ( j) x(t )ejtdt
反变换 x(t ) 1 X ( j) ejtd
2
时域非周期绝对可积信号，在频域中为连续的频谱
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5
2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换的定义
若 序列 x(n)绝对可和，或者说序列能量有限，即
n
n0
1 e j N e j N /2 (e j N /2 e ) j N /2 1 e j e j /2 (e j /2 e j /2 )
e j( N 1) /2 sin( N / 2) sin( / 2)
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8
2.2.2 时域离散信号傅里叶变换的性质
1. 周期性
时域离散信号的傅里叶变换以 2 为周期
在 0, 2 , 4 , 附近为低频分量
在 , 3 ,
附近为高频分量
X (e j )
-2π -π 0 π 2π
ω
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2.线性
X1(e j ) FT[x1(n)] X 2 (e j ) FT[x2 (n)]
FT[ax1(n) bx2 (n)] aX1(e j ) bX 2 (e j )
X
* e
(e
j
)
X
* o
(e
j
)
X e (e j )
X o (e j )
Xe (e j
)
1 [X(e 2
j
)
X * (e j
)]
X o (e
j
)
1 [ X (e j 2
)
X * (e j
)]
14
序列的对称性与频域的对称性之间的关系？ —— 傅里叶变 换的对称性
序列分解为实部和虚部 x(n) xr (n) jxi (n)
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2
2.1 引言
信号和系统的描述方法和分析工具
时域——信号序列、系统单位脉冲响应、差分方程 直观 求解难，分析困难 特征不易把握 设计难
频域——信号频谱、系统频率响应、离散时间傅里叶 变换（DTFT）、Z变换、 便于求解 分析、设计易
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3
2.2 时域离散信号的傅里 叶变换
x(n)
n
则：时域离散信号 x(n) 的傅里叶变换(离散时间傅立叶变换DTFT)为
正变换（DTFT） X (e j ) x(n)e jn n
其中： T，T是采样间隔。X (e j ) 表示序列的频率特性。
X (e j ) X (e j ) e jarg[ X (e j )]
幅频特性： X(e j ) 相频特性： arg[ X (e j )] 注意：求和上下限、变换的条件、n取整数、DTFT是连续的，
对实部： DTFT[ xr (n)] xr (n)e jn Xe (e j ) n
Xe (e j )
xr (n)e jn
xr
(n)e
j
n
X
e
(e
j
)
n
n
——实部（实序列）的傅里叶变换具有共轭对称性质
考虑到
DTFT[ x*(n)]
x*(n)e jn
x(
n)e
且以2为周期。
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6
反变换（IDTFT）定义：
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
证明： 右边 1
2
l
x(l
)e
jl
e
jnd
1
x(l)
e jle jnd x(l ) sin (n l )
l
2
l
(n l)
由于
于是
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数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
数字信号处理第三版第2章.ppt
| z | 2
试利用部分分式展开法求其Z反变换。
解：
X (z)
A1 1 2z 1
1
A2 0.5
z
1
4 1 1 1 3 1 2z1 3 1 0.5z1
x(n)
4 3
2n
1 3
(0.5)n
u(n)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例： 设
X (z)
7）终值定理：设x(n)为因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的全部
极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位
圆内，则 ： lim x(n) lim[(z 1)X (z)]
n
z1
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
8）序列卷积（卷积定理）
若： y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
3z (z 3)2
z2
3z , 6z 9
试利用长除法求其Z反变换。
解：
| z | 3
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.4 Z 变换的性质和定理
1）线性性质
Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z)
2）序列的移位 Z[x(n m)] zm X (z) Rx | z | Rx
2 j c
c (Rx , Rx )
直接利用围线积分的方法计算逆Z变换比较麻烦。 下面介绍几种常用的逆Z变换计算方法： 1）用留数定理求逆Z变换（了解） 2）部分分式展开法（掌握） 3）幂级数展开法（长除法）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例： 设
1
《数字信号处理》(2-7章)习题解答
第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。
(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。
(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。
(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。
(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。
(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。
(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。
(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。
数字信号处理第2章 Z变换综述
例4：求序列 x(n) a u (n)的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
n n n n 1 n a u ( n ) z a z ( az ) n 0 n 0
1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
1 — 64
Z -
-2
-3 1 —— Z 256
1 -3 —— Z 256
...
极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
例：
z 1 z z X ( z) 2 1 2 1 z z z z 1 ( z 1 )2 ( 3 j)2 2 2
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
§2.3
z变换性质1
一、线性: Z[a x (n)+a x (n)]=a Z[x (n)]+a Z[x (n)]
1 1 2 2 1 1 2 2
二、时移： Z[x(n)]=X(z)
Z[x(n-m)]=z-m· X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
x(n) h(n) y(n)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ ( z 1) 2
作业2.1(2)(6)
z 2 sin z sin(0 ) sin(n0 )u (n) ~ z 2 2 z cos0 1 sin z 1 sin(0 ) 1 2 z 1 cos0 z 2
z z 1 z z X ( z) 2 z 4 z 3 ( z 1)(z 3) 2 z 1 z 3
数字信号处理课件第二章--离散时间信号与系统(ppt文档)
• 2.2.4 因果性（Causality） 系统在n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以 前的输入，而与n时刻以后的输入无关。 y[n] x[n], x[n-1], x[n-2], … 因果系统---- 物理可实现性 x[n+1], x[n+2], … 非因果系统---- 物理不可实现性
一个非因果系统的例子： y[n]=x[n+1]-x[n]
2.2离散时间系统
离散系统可以定义为一种变换或一个算子，即：
用公式表示为：
y[n] T x[n]
2.2.1 无记忆系统（Memoryless Systems）
y[n]x[n] 例： y[n] x[n]2
2.2.2 线性系统（Linear Systems） 满足叠加原理的系统称为线性系统
y[n] x[k]h[n-k]
k
一个线性时不变（LTI）系统完全可以由它的单位脉冲 响应来表征。
• 卷积和（Convolution）
x1[n] x2[n] x1[k]x2[n k] k
系统输出可表示为：
y[n] x[k]h[n k] x[n] h[n] k
因果序列: x[n] 0, n 0
因果稳定的线性时不变系统：h[n]单边且绝对可和
例：
h[n] anu[n]
a 1
h[n]有限长非零样本-------- 有限冲击响应系统（finite-duration impulse response，FIR）------- 系统总是稳定的
h[n]无限长非零样本-------- 无限冲击响应系统（infinite-duration impulse response，IIR）
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓
z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)
m 0
bm x (n m )
k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述 用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]
X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
第二章 时域离散信号和系统(数字信号处理)
第二章 时域离散信号和系统
6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n 式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式： x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立： e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
第二章 时域离散信号和系统
图1.2.5 正弦序列
第二章 时域离散信号和系统
则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取
值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。
正弦序列有以下三种情况：
(1)当2π/ ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
例 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照公式，
y (n )
m
R ( m) R ( n m)
4 4
上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩
形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非
令n-k=m，代入上式得到
u( n )
n
( m)
n
第二章 时域离散信号和系统
u(n) 1 „ n 0 1 2 3
单位阶跃序列
第二章 时域离散信号和系统
3. 矩形序列RN(n) 1, RN(n)= 0， 0≤n≤N-1 其它n
上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的
第二章 时域离散信号和系统
第2章 时域离散信号和系统
数字信号处理 第二章 DFT
~ N=16：x (4) x((4))16 x((12 16))16 x(12)
例2：
x (n ) x (n ) 0
~ 1 X (k ) k 0 N ~ X (r )
e
j
15
周期序列的傅里叶级数表示：
正变换：
2 N 1 N 1 j nk ~ ~(n) ~(n)e N ~(n)W nk X (k ) DFS x x x N n 0 n 0
反变换：
~ ~(n) IDFS X (k ) 1 x N
j
2 kN N
k mN , m为整数 其他k
W
n 0
N 1
( m k ) n N
1W 1W
( k m ) N N ( k m ) N
1 e
j
1 e
N m k rN 0 mk
此外，复指数序列还有如下性质：
0 WN 1, W N 2 N r 1 1, WN WN r
ek (n)
ek (n) 是以N为周期的周期序列，所以基序
列 {e }（k=0,…,N-1) 只有N个是独立 的，可以用这N个基序列将 ~ ( n) 展开。 x
j 2 nk N
12
复指数序列 ek (n) e
周期性:
j
2 nk N
W
nk N
的性质：
无论对k还是n，复指数序列都具备周期性。
时间函数 连续和非周期 连续和周期(T0) 离散(Ts)和非周期 离散(Ts)和周期(T0) 非周期和连续 非周期和离散(Ω 0=2π /T0) 周期(Ω s=2π /Ts)和连续 周期(Ω s=2π /Ts)和离散(Ω 0=2π /T0) 频率函数
现代数字信号处理-第二章-2017
Rvv=q1.^2;
q2=std(x);
Rxx=q2.^2;
q3=std(w);
Rww=q3.^2;
44
c=0.2;
%c为方程中H(k)
45
46
Blending Factor
• If we are sure about measurements:
– Measurement error covariance (R) decreases to zero – K decreases and weights residual more heavily than prediction
Estimator
Optimal Estimate of System State
40
问题小结
起始条件( k-1 and
预测( - , k
-k)
k-1)
用起始条件和模型(例如匀速率)作预测
测量 (zk)
修正 ( k , k)
用测量值修正预测
最佳估计
41
Kalman 滤波器
42
应用1
假设房间的真实温度为25度，模拟了200个测量值输入，测量值的平均值为25度 ，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。 为了令卡尔曼滤波器开始工作，设卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0) 。因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这 样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。 设X(0|0)=1度，P(0|0)=10。 该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最 优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。