高三用数学资料 双曲线及其性质
高三用数学资料
第2讲双曲线及其性质
考点一双曲线的标准方程
知识点
1 双曲线的定义
(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹．两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
(2)符号语言：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
2 双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为：
(1)当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为
x2 a2－y2
b2＝1(
a>0，b>0)．
(2)当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为
y2 a2－x2
b2＝1(
a>0，b>0)．
3 双曲线方程的几种常见设法
(1)与双曲线x2
a2－
y2
b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为
x2
a2－
y2
b2＝
λ(λ≠0)．
(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±n
m
x，则双曲线方程可设为
x2
m2－
y2
n2＝
λ(λ≠0)或n2x2－
m2y2＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线x2
a2－
y2
b2＝1共焦点的双曲线方程可设为
x2
a2－k－
y2
b2＋k＝1(－
b2 (4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)． (5)与椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1( a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为 x2 a2－λ＋ y2 b2－λ＝1( b2<λ 注意点双曲线定义的理解当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在. 入门测 1．思维辨析 (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( ) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (3)方程x2 m－ y2 n＝1( mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( ) (4)x2 m＋ y2 n＝1表示双曲线的充要条件是 mn<0.( ) 答案(1)×(2)×(3)×(4)√ 2．与椭圆C：y2 16 ＋ x2 12 ＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( ) A．x2－y2 3 ＝1 B．y2－2x2＝1 C.y2 2 － x2 2 ＝1 D. y2 3 －x2＝1 答案 C 解析椭圆y2 16 ＋ x2 12 ＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为 y2 m－ x2 n＝ 1(m >0，n >0)，则????? 3m －1 n ＝1， m ＋n ＝4， 解得m ＝n ＝2，故选C. 3．双曲线 x 216－y 2 9 ＝1上的点P 到点(5,0)的距离是6，则点P 的坐标是________． 答案 (8，±33) 解析 F (5,0)为双曲线的右焦点，设P (x ，y )，则(x －5)2 ＋y 2 ＝36①，与 x 2 16 －y 2 9 ＝1②，联立①②解得：x ＝8，y ＝±3 3.∴P (8，±33)． 解题法 [考法综述] 高考一般考查双曲线方程 的求法和通过方程研究双曲线的性质．双曲线的定义的考查主要是利用定义求双曲线的方程，或者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题． 命题法 双曲线的定义和方程 典例 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方 程为( ) A. x 2 20 －y 2 5＝1 B.x 25－y 2 20＝1 C. x 2 80 － y 2 20 ＝1 D. x 2 20 － y 2 80 ＝1 (2)已知双曲线x 2 4－y 2＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为左支上一点，且满足∠F 1PF 2＝ 60°，则△F 1PF 2的面积为________． [解析] (1)由2c ＝10，得c ＝5， ∵点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，∴1＝2b a ，即a ＝2b . 又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5. 故双曲线C 的方程为 x 220－y 2 5 ＝1. (2)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， ?? ? m 2＋n 2 －2mn cos60°＝2c 2 ， n －m ＝2a ， 所以??? m 2 ＋n 2 －mn ＝20，m 2＋n 2－2mn ＝16， 所以mn ＝4，所以S △F 1PF 2＝1 2mn sin60°＝ 3. [答案] (1)A (2) 3 【解题法】 双曲线标准方程的求法 (1)一般步骤 ①判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能． ②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程． ③列：根据题意列关于a，b，c的方程或者方程组． ④解：求解得到方程． (2)常见问题形式 ①如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． ②当焦点位置不确定时，有两种方法来解决： 一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的一般方程mx2＋ny2＝1(mn<0)． 对点练 1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( ) A．x2－y2 4 ＝1 B. x2 4 －y2＝1 C.y2 4 －x2＝1 D．y2－ x2 4 ＝1 答案 C 解析双曲线x2 a2－ y2 b2＝1和 y2 a2－ x2 b2＝1的渐近线方程分别为 x2 a2－ y2 b2＝0和 y2 a2－ x2 b2＝0.A、B选 项中双曲线的焦点在x轴上，C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，又令y2 4 －x2＝0，得y＝± 2x，令y2－x2 4 ＝0，得y＝± 1 2 x，故选C. 2．已知双曲线C：x2 a2－ y2 b2＝1的离心率 e＝ 5 4 ，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程 为( ) A.x2 4 － y2 3 ＝1 B. x2 9 － y2 16 ＝1 C.x2 16 － y2 9 ＝1 D. x2 3 － y2 4 ＝1 答案 C 解析由题意得e＝1＋b2 a2＝ 5 4 ，又右焦点为F2(5,0)，a2＋b2＝c2，所以a2＝16，b2 ＝9，故双曲线C的方程为x2 16 － y2 9 ＝1. 3.已知双曲线x2 a2－ y2 b2＝1( a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛 物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x2 21 － y2 28 ＝1 B. x2 28 － y2 21 ＝1 C.x2 3 － y2 4 ＝1 D. x2 4 － y2 3 ＝1 答案 D 解析由题意可得b a＝ 3 2 ，c＝7，又c2＝7＝a2＋b2，解得a2＝4，b2＝3，故双曲线的 方程为x2 4 － y2 3 ＝1. 4.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos ∠AF2F1＝( ) A.1 4 B. 1 3 C. 2 4 D. 2 3 答案 A 解析∵双曲线的离心率为2，∴c a＝2， ∴a∶b∶c＝1∶3∶2. 又∵?? ? |AF 1|－|AF 2|＝2a ， |F 1A |＝2|F 2A |， ∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ， ∴|F 1F 2|＝2c ＝4a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|2 2|AF 2||F 1F 2| ＝4a 2＋16a 2－16a 22×2a ×4a ＝4a 216a 2＝14 ，选A. 5．设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 2 4－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐 近线方程为________． 答案 x 2 3 － y 2 12 ＝1 y ＝±2x 解析 双曲线y 2 4 －x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x . 设与双曲线y 24－x 2＝1有共同渐近线的方程为y 2 4－x 2＝λ(λ≠0)，又(2,2)在双曲线上，故2 24 － 22＝λ，解得λ＝－3. 故所求双曲线方程为y 24－x 2 ＝－3，即x 23－y 2 12 ＝1. 所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 6．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________． 答案 x 2 －y 2 3 ＝1 解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)， ∴???? ? 4＝a 2＋b 2，4a 2－9 b 2＝1，解得??? a 2 ＝1， b 2＝3， ∴双曲线的标准方程为x 2 －y 2 3 ＝1. 7．已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且焦距是213，则双曲线方程为________． 答案 x 29 －y 2 4＝1或y 24－x 2 9 ＝1 解析 设双曲线方程为x 29－y 2 4＝λ(λ≠0)． 若λ>0，则a 2＝9λ，b 2＝4λ， c 2＝a 2＋b 2＝13λ. 由题设知2c ＝213，∴λ＝1， 故所求双曲线方程为x 29－y 2 4＝1； 若λ<0，则a 2＝－4λ，b 2＝－9λ， c 2＝a 2＋b 2＝－13λ.由2c ＝213，∴λ＝－1， 故所求双曲线方程为y 24－x 2 9 ＝1. 综上，所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 24－x 2 9 ＝1. 考点二双曲线的几何性质 知识点 1 双曲线的几何性质 标准方程x2 a2－ y2 b2＝1( a>0，b>0) y2 a2－ x2 b2＝1( a>0，b>0) 图形 2 等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－ y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线?离心率e ＝2?两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 3 点P (x 0，y 0)和双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的关系 (1)P 在双曲线内(含焦点部分)?x 20a 2－y 20 b 2>1； (2)P 在双曲线上?x 20a 2－y 20 b 2＝1； (3)P 在双曲线外(不含焦点部分)?x 20a 2－y 20 b 2<1. 注意点双曲线的离心率与曲线开口大小的关系 离心率e的取值范围：e>1，当e越接近于1时，双曲线开口越小；e越接近于＋∞时，双曲线开口越大. 入门测 1．思维辨析 (1)双曲线方程x2 m2－ y2 n2＝ λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是 x2 m2－ y2 n2＝0，即 x m± y n＝0.( ) (2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) (3)若双曲线x2 a2－ y2 b2＝1( a>0，b>0)与 x2 b2－ y2 a2＝1( a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则 1 e21＋ 1 e22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( ) (4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k＝±e2＋1.( ) 答案(1)√(2)√(3)√(4)× 2．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x －2y＝0，则它的离心率为( ) A. 5 B. 5 2 C. 3 D．2 答案 A 解析依题意设双曲线的方程是y2 a2－ x2 b2＝1(其中 a>0，b>0)，则其渐近线方程是y＝± a b x， 由题知a b＝ 1 2 ，即b＝2a，因此其离心率e＝ a2＋b2 a＝ 5a a＝ 5. 3．以椭圆x2 4 ＋ y2 3 ＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为________． 答案y＝±3x 解析椭圆x2 4 ＋ y2 3 ＝1的焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，顶点坐标为(2,0)，(－2,0)． 则双曲线的顶点为(1,0)，(－1,0)，焦点为(2,0)，(－2,0)． 则双曲线的标准方程为：x2－y2 3 ＝1. 其渐近线为y＝±3x. 解题法 [考法综述] 高考对于双曲线的几何性质的考查以理解和运用为主，双曲线独有的渐近线是高频考点，常与其他圆锥曲线综合考查，难度较大． 命题法双曲线的几何性质 典例(1)已知F1、F2分别是双曲线x2 a2－ y2 b2＝1( a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2与双曲 线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( ) A．(1，2) B．(2，3) C ．(3，2) D ．(2，＋∞) (2)过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ， B ，双曲线左顶点为 C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝± 33x C ．y ＝±2x D ．y ＝± 22 x [解析] (1) 如图所示，过点F 2(c,0)且与渐近线y ＝b a x 平行的直线为y ＝b a (x －c )，与另一条 渐近线y ＝－b a x 联立得 ????? y ＝b a x －c ， y ＝－b a x ， 解得????? x ＝c 2，y ＝－bc 2a ， 即点M ? ????c 2 ，－bc 2a . ∴|OM |＝ ? ????c 22＋? ????－bc 2a 2＝c 2 1＋? ?? ??b a 2 . ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外， ∴|OM |>c ， 即c 2 1＋ ? ? ? ? ?b a2>c，得1＋? ? ? ? ?b a2>2. ∴双曲线离心率e＝c a＝1＋? ? ? ? ?b a2>2. 故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选D. (2)如图所示，设双曲线x2 a2－ y2 b2＝1( a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a，0)，F(－c,0)． 由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝1 2 ∠ACB＝ 1 2 × 120°＝60°. ∵|OA|＝|OC|＝a，∴△ACO为等边三角形，∴∠AOC＝60°. ∵FA切圆O于点A，∴OA⊥FA， 在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°， ∴|OF|＝2|OA|，即c＝2a，∴b＝c2－a2＝2a2－a2＝3a，故双曲线x2 a2－ y2 b2＝ 1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±b a x，即y＝±3x. [答案](1)D (2)A 【解题法】求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法 (1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的 方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝c a转化为关于 e的方程或不等式，通过解方程或不等式求 得离心率的值或取值范围． (2)求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系． 对点练 1．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ) A. 5 B．2 C. 3 D. 2 答案 D 解析设双曲线方程为x2 a2－ y2 b2＝1( a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝3a， 所以M(2a，3a)．将点M的坐标代入双曲线方程x2 a2－ y2 b2＝1，得 a＝b，所以e＝ 2.故选D. 2.若双曲线E ：x 29－y 2 16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3， 则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 答案 B 解析 解法一：依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9，故选B. 解法二：根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)，故选B. 3．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a C ．对任意的a ，b ，e 1 D ．当a >b 时，e 1 解析 依题意，e 1＝ a 2＋ b 2 a ＝1＋? ?? ?? b a 2，e 2＝ a ＋m 2 ＋b ＋m 2 a ＋m ＝ 1＋? ?? ??b ＋m a ＋m 2 .因为b a －b ＋m a ＋m ＝ab ＋bm －ab －am a a ＋m ＝m b －a a a ＋m ，由于m >0，a >0，b >0， 且a≠b，所以当a>b时，0 a<1,0< b＋m a＋m<1， b a< b＋m a＋m，? ? ? ? ?b a2 ? ? ? ? b＋m a＋m2，所以e1 时，b a>1， b＋m a＋m>1，而 b a> b＋m a＋m，所以? ? ? ? ?b a2>? ? ? ? ? b＋m a＋m2，所以e1>e2.所以当a>b时，e1 a 4．过双曲线x2－y2 3 ＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B 两点，则|AB|＝( ) A.43 3 B．2 3 C．6 D．4 3 答案 D 解析由双曲线的标准方程x2－y2 3 ＝1得，右焦点F(2,0)，两条渐近线方程为y＝±3x， 直线AB：x＝2，所以不妨取A(2，23)，B(2，－23)，则|AB|＝43，选D. 5.已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B．3 C.3m D．3m 答案 A 解析由题意，可得双曲线C为x2 3m － y2 3 ＝1，则双曲线的半焦距c＝3m＋3.不妨取右焦 点(3m＋3，0)，其渐近线方程为y＝±1 m x，即x±my＝0.所以由点到直线的距离公式 得d＝3m＋3 1＋m ＝ 3.故选A. 6．若实数k满足0 25 － y2 9－k ＝1与曲线 x2 25－k － y2 9 ＝1的( ) A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等答案 A 解析因为0 25 － y2 9－k ＝1与 x2 25－k － y2 9 ＝1均表示焦点在x轴上的双曲 线．双曲线x2 25 － y2 9－k ＝1中，其实轴长为10，虚轴长为29－k，焦距为225＋9－k＝ 234－k；双曲线 x2 25－k － y2 9 ＝1中，其实轴长为225－k，虚轴长为6，焦距为225－k＋9 ＝234－k.因此两曲线的焦距相等，故选A. 7．已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2 a2＋ y2 b2＝1，双曲线 C2的方程为 x2 a2－ y2 b2＝1， C1与C2 的离心率之积为 3 2 ，则C2的渐近线方程为( ) A．x±2y＝0 B.2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 答案 A 解析由题意，知椭圆C1的离心率e1＝a2－b2 a， 双曲线C2的离心率为e2＝a2＋b2 a. 因为e1·e2＝ 3 2 ，所以 a2－b2a2＋b2 a2＝ 3 2 ， 即a2－b2a2＋b2 a4＝ 3 4 ， 整理可得a＝2b. 又双曲线C2的渐近线方程为bx±ay＝0，所以bx±2by＝0，即x±2y＝0. 8.设F1，F2分别为双曲线x2 a2－ y2 b2＝1( a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得 |PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝9 4 ab，则该双曲线的离心率为( ) A.4 3 B. 5 3 C.9 4 D．3 答案 B 解析根据双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝2a，可得|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2.而由已知可得|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝9b2，两式作差可得－4|PF1||PF2|＝ 4a 2－9b 2.又|PF 1||PF 2|＝9 4 ab ，所以有4a 2＋9ab －9b 2＝0，即(4a －3b )(a ＋3b )＝0，得4a ＝3b ，平方得16a 2 ＝9b 2 ，即16a 2 ＝9(c 2 －a 2 )，即25a 2 ＝9c 2 ，c 2a 2＝259，所以e ＝5 3 ，故选B. 9．点P 在双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，∠F 1PF 2 ＝90°，且△F 1PF 2的三条边长之比为3∶4∶5.则双曲线的渐近线方程是( ) A ．y ＝±23x B ．y ＝±4x C ．y ＝±25x D ．y ＝±26x 答案 D 解析 设△F 1PF 2的三条边长为|PF 1|＝3m ，|PF 2|＝4m ，|F 1F 2|＝5m ，m >0，则2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝m,2c ＝|F 1F 2|＝5m ，所以b ＝6m ，所以b a ＝6m 1 2 m ＝26，所以双曲线 的渐近线方程是y ＝±26x . 10．设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆交双曲线于A 、B 、 C 、 D 四点，则|F 1A |＋|F 1B |＋|F 1C |＋|F 1D |＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32 答案 A 解析 依题意，设题中的双曲线方程是x 2－y 2＝1，不妨设点A 、B 、C 、D 依次位于第一、二、三、四象限，则有 ??? |AF 1|－|AF 2|＝2 |AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2 ＝8 ，由此解得|AF 1|＝3＋1，|AF 2|＝3－1，同理|DF 1|＝|AF 1|＝ 3＋1，|CF 1|＝|BF 1|＝|AF 2|＝ 3－1，|AF 1|＋|BF 1|＋|CF 1|＋ |DF 1|＝43，选A. 11．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右 焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若 成立，则双曲线的离心率为( ) A ．4 B.52 C ．2 D.53 答案 C 解析 12．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为 其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________． 答案 5 解析 由已知不妨设F (－c,0)，虚轴的一个端点为B (0，b )，B 恰为线段PF 的中点，故 P (c,2b )，代入双曲线方程，由c 2a 2－ 2b 2 b 2 ＝1得c 2 a 2＝5，即e 2＝5，又e >1，故e ＝ 5. 13．已知双曲线x 2a 2－y 2 ＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________. 答案 33 解析 因为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为y ＝－3x ，即y ＝±1a x ，所以1 a ＝3， 故a ＝ 3 3 . 14．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点 A ， B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________． 答案 52 解析 由???? ? x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x 得A ? ?? ??am 3b －a ，bm 3b －a ， 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2O M A B b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 2．方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1- 第51讲 双曲线 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F 1，F 2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__． 集合P ＝{}M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a ，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当__a ＜c __时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当__a ＝c __时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当__a ＞c __时，点P 不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R 3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线x a 2－y b 2＝0(a ＞0，b ＞0)的距离为b .如右图△OFH 是分别以边a ，b ，c 为边长的直角三角形． (2)如下图： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 则有：P 1，P 2两点坐标都为????c ，b 2 a ，即||FP 1＝||FP 2＝b 2 a . 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)平面内到点F 1 (0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (3)方程x 2m －y 2 n ＝ 1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝ 0.( √ ) 解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部． (2)错误．因为||||MF 1－||MF 2＝8＝||F 1F 2，表示的轨迹为两条射线． (3)错误．当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线． 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积 为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆 准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于 点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 双曲线 1．双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2－ y2 b2＝1 (a>0，b>0) y2 a2－ x2 b2＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a 2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双 曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做 双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 概念方法微思考 1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？ 提示 不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在； 当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？ 提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0. 3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0b >0时，1 9.6 双曲线 一、选择题 1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正 三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12 D.3＋1 解析 (数形结合法)因为MF 1的中点P 在双曲线上， |PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ， 所以e ＝c a ＝2 3－1＝3＋1，故选D. 答案 D 【点评】 本题利用双曲线的定义列出关于a 、c 的等式，从而迅速获解. 2. 已知双曲线C ：22x a -2 2y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上， 则C 的方程为（ ） A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220 y =1 D.220x -2 80y =1 答案 A 3．设双曲线x 2a 2－y 2 9＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析 双曲线x 2a 2－y 2 9 ＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2. 4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ， B 两点，|AB |为 C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )． A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2 b 2＝1 可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2 a ＝2×2a ，∴ b 2＝2a 2， c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a ＝ 3. 答案 B 5．设F 1、F 2是双曲线x 2 3 －y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为 2时，1PF ·2PF 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析 设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4， S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y 0|＝2|y 0|＝2，|y 0|＝1，x 2 03 －y 20＝1，x 20＝3(y 2 0＋1)＝6， 1PF ·2PF ＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 2 0－4＝3. 答案 B 6．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的 距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )． A ．2 3 B ．2 5 C ．4 3 D ．4 5 解析 由题意得????? a ＋p 2＝4， －p 2 ＝－2， －1＝ －2 ·b a ???? p ＝4，a ＝2，b ＝1 ? c ＝a 2＋b 2＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5. 椭圆与双曲线性质--（重要结论） 清华附中高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程 是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点 角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 2 2 22 1x y a b + =（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆 222 2 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22 O M AB b k k a ?=- ， 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. 6. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b -=. 7. 双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=， 则双曲线的焦点角形的面积为1 2 2 t 2 F P F S b co γ ?=. 8. 双曲线 2 2 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于 点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 02y a x b K K AB OM = ?，即0 2 02 y a x b K AB = 。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 13. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 双曲线的简单几何性质 山丹一中周相年 教学目标: (1 知识目标 能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 . (2能力目标 通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 . (3 情感目标 通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 . 教学难点:双曲线的渐近线 . 教学方法:启发诱导、练讲结合 教学用具 :多媒体 教学过程: 一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程? 问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究? 二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1. 范围: 双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 . 2. 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是 双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称 中心叫双曲线中心 . 3.顶点: (1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点 . (2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 . 二、双曲线 1、（21）（本小题满分14分）08天津 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是()0,3 1 - F，一条渐近线的方程是0 2 5= -y x. （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）若以()0≠k k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐 标轴围成的三角形的面积为 2 81 ，求k的取值范围. （21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分． （Ⅰ）解：设双曲线C的方程为 22 22 1 x y a b -=（0,0 a b >>）．由题设得 229 a b b a ?+= ? ? = ? ? ，解得 2 2 4 5 a b ?= ? ? = ?? ，所以双曲线方程为 22 1 45 x y -=． 的方程为y kx m =+（0 k≠）．点 11 (,) M x y， 22 (,) N x y的坐标满足方程组（Ⅱ）解：设直线l 22 1 45 y kx m x y =+ ? ? ? -= ?? 将①式代入②式，得 22 () 1 45 x kx m + -=，整理得222 (54)84200 k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2 50 4k -≠，且222 (8)4(54)(420)0 k m k m ?=-+-+>．整理得22 540 m k +->．③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 00 (,) x y满足 12 02 4 254 x x km x k + == - ， 002 5 54 m y kx m k =+= - ． 从而线段MN的垂直平分线方程为 22 514 () 5454 m km y x k k k -=-- -- ． 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为 2 9 (,0) 54 km k - ， 2 9 (0,) 54 m k - ．由题设可得22 19981 |||| 254542 km m k k ?= -- ．整理得 22 2 (54) || k m k - =，0 k≠． 将上式代入③式得 22 2 (54) 540 || k k k - +->，整理得22 (45)(4||5)0 k k k --->，0 k≠． 椭圆的定义、性质及标准方程 高三数学备课组 刘岩老师 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 )10(< 双曲线的简单几何性质 一．基本概念 1 双曲线定义： ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹 （21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+ ⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+ ⑷焦点到准线的距离：22 11221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2 122a K K c = ⑹21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将 有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122 12 2 PF F F PF S b ?∠= ⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a （通径长的一半）其中 22b a c +=a PF 221=- 3 双曲线标准方程的两种形式： ①22 a x －22 b y =1， c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22 b x =1， c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a b y ±= ②若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） 高三数学（理科）金太阳联考补考试卷（2020.9.29） 一、选择题（45分） 1.设集合{}1,2A =，则满足{}1,2,3A B =的集合B 的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．4 D ．8 2.命题“关于x 的方程220ax x --=在(0,)+∞上有解”的否定是( ) A.2(0,),20x ax x ?∈+∞--≠ B.2(0,),20x ax x ?∈+∞--≠ C.2(,0),20x ax x ?∈-∞--= D.2(,0),20x ax x ?∈-∞--= 3.已知 5.10.90.90.9, 5.1,log 5.1m n p ===，则这三个数的大小关系是( ) A ．m n p << B ．m p n << C ．p m n << D ．p n m << 4.已知:p 存在2,10x R mx ∈+≤；:q 对任意2,10x R x mx +∈+>，若p 或q 为假，则实数m 的取值范围为( ) A.2m ≤- B.2m ≥ C.2m ≥或2m ≤- D.22m -≤≤ 5. 已知sin cos αα+=，则cos tan sin α αα + 的值为( ) A ．1- B ．2- C ．1 2 D ． 2 6.如图是导函数'()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数( ) A. 13(,)x x B. 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x 7.角α的终边在直线2y x =上，则sin(π)cos(π) sin(π)cos(π) αααα-+-=+--（ ） A.13 B. 1 C. 3 D. 1- 8．若函数f (x )＝sin ? ????ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为???? ?? －12，1，则ω的最小值为( ) A.23 B ．34 C.4 3 D ．32 9.已知在实数集R 上的可导函数()f x ,满足(2)f x +是奇函数,且12()f x '>,则不等式()1 12 f x x >-的解集是（ ） A.(),1-∞ B.()2,+∞ C.()0,2 D.(),2-∞ 二、填空题（15分） 【学习目标】 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程以及它的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的实际背景及其简单应用. 【高考模拟】 一、单选题 1．设、分别是双曲线C：的左右焦点，点在双曲线C的右支上，且，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的性质求出c的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可． 【详解】 【点睛】 本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键． 2．设是双曲线的左右焦点，为左顶点，点为双曲线右支上一点， ， ，， 为坐标原点，则 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出双曲线的方程为，再求出点P 的坐标，最后求 . 【详解】 【点睛】 （1）本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些 知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 双曲线的通径为. 3．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率. 【详解】 直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴， 根据双曲线的对称性，设点，， 则，即，且， 又直线的倾斜角为， 直线过坐标原点，， ，整理得，即，解方程得，（舍） 故选D. 【点睛】 本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题. 圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法： 1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出. 根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率. 8.6双_曲_线 1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x 2a 2－y 2 b 2 ＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2 b 2 ＝1(a >0，b >0) 图形 性 质 范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线 y ＝±b a x y ＝±a b x 离心率 e ＝c a ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2 叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实 半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长． a 、 b 、 c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0) 1．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|则轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ， b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2. 3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2. 4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±b a ， 当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a b . 『试一试』 1. 双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是________． 『解析』由题意知y 22－x 2 2＝1，y ＝±x . 『答案』y ＝±x 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为 ________． 『解析』由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝52＝25，排除C ，D ，又由渐近线方程为y ＝b a x ＝12x ，得12＝b a ，解得a 2＝20，b 2＝5. 『答案』x 220－y 2 5 ＝1 1．待定系数法求双曲线方程的常用方法 (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)； (2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)； (3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2 n ＝1(mn <0)． 2．等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e ＝2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 4．渐近线与离心率 x 2a 2 －y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a ＝ b 2 a 2＝ c 2－a 2 a 2＝e 2－1.可以看出， 第2讲椭圆、双曲线、抛物线 考情解读 1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大． 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 若椭圆C ：x 29＋y 2 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° (2)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－1 2的一个焦点重合，且在抛物线上有一 动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________． 思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值． 答案 (1)C (2)5－1 解析 (1)由题意得a ＝3，c ＝7，所以|PF 1|＝2. 在△F 2PF 1中， 由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－(27)22×4×2＝－12. 又因为cos ∠F 2PF 1∈(0°，180°)，所以∠F 2PF 1＝120°. (2)易知x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，故p ＝2， 因此抛物线方程为x 2＝4y . 根据抛物线的定义可知m ＝|PF |－1， 设|PH |＝n (H 为点P 到直线l 所作垂线的垂足)， 因此m ＋n ＝|PF |－1＋|PH |. 易知当F ，P ，H 三点共线时m ＋n 最小， 因此其最小值为|FH |－1＝|－1－4| 5 －1＝5－1. 思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图． (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 2 .双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭 圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 2 2＝1 B.x 212＋y 2 6＝1 C.x 216＋y 2 4 ＝1 D.x 220＋y 2 5 ＝1 双曲线的简单几何性质 在人教版《普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-1）》中，针对双曲线的简单几何性质第一课时内容，笔者从教材分析、学生分析、目标分析、过程分析、板书设计等方面设计这一节课的教学. 一、教材分析 （一）教材的地位与作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，利用双曲线的标准方程研究其几何性质.它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个重要的考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质. （二）教学重点与难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，双曲线有特殊的性质，而学生对双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法接受、理解和掌握有一定的困难.因此，在教学过程中我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地导出了双曲线的简单几何性质.这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受.因此，我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点.根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的难点. 教学重点:双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法. 解决办法： 1.欣赏优美的几何画板图形，以激发学生强烈的学习兴趣； 2.利用“几何画板”进行数学问题的探索以培养学生的创新能力. 教学难点:双曲线渐近线概念与性质. 解决办法：本节课我先选择由教师借助“几何画板”，利用描点法画出较为准确的图形，由学生先观察它的直观性质，然后再从方程出发给予证明. 二、学情分析与学法指导 学情分析：由于刚学习了椭圆有关问题，学生已经熟悉了图形——方程——性质的研究过程，学生已基本具有由方程研究曲线性质的能力.高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条技巧归纳总结
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