人教版数学八年级上册第十五章分式复习课件
x2
1
4
2
0
有增根x=2,求a的值.
【解析】增根是分式方程化成整式方程的根，是使最简公分母
为0的未知数的值.分式方程
x
a
2
1 x2
4
2Leabharlann 0去分母得
a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若原分式方程有增根x=2,即可求出a.
【答案】原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，把x=2代 入所得方程，得4a+1=0, a= 1 ,
灿若寒星
【归纳拓展】分式有意义的条件是分母不为0；分式无意义的条件 是分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.
【配套训练】如果分式
a 2 a2
的值为零，则a的值为 . 2
灿若寒星
专题二 分式的有关计算
【例2】已知分式x= 1 2 ,y=1 2 ，求 值.
(
x
1
y
x
行程问题、工程问 题、销售问题等
课堂训练
1. 将分式 x + 2 y 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值 (D ) x
A. 扩大10倍
B. 缩小10倍
C. 扩大2倍
D. 不变
x- 5 2.当式子 x2 - 4x - 5 的值为零时，x的值是( B )
A.5 C.-1或5
B.-5 D.-5或5
灿若寒星
3. 2014年3月4日,十二届全国人大二次会议新闻发布会召
开,大会新闻发言人对民众关注度非常高的热词“雾霾”
进行了解读.为了消除百姓的“心肺之患”,与雾霾的天
人交战,关键在人,气象条件不利是雾霾形成的外因,污染
排放增加则是内因.PM2.5是指大气中直径小于或等于
0.0000025m的颗粒物,将0.0000025用科学记数法表示为
11 a(a b) b(a b)
ab ab(a b)
1.
灿若寒星
课堂小结 课堂小结
分式的定义及有意义的条件等 分式
分式的运算及化简求值
分式方程的定义
分
式 分 式 方 程 分式方程的解法
及增根求值问题
分式方程 的应用
步骤
类型
灿若寒星
一审二设三列四解 五检六写，尤其不 要忘了验根
灿若寒星
【配套训练】已知 x 2 ，求 x2 y2 xy y2 的值.
y3
x2 2xy y2 2x2 2xy
【答案】 由 x 2
y3
，得x 2 y ，
3
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
(x y)(x y) 2x(x y)
看作一个整体，再由①+
②
+③可得1x
1 y
1 z
的值，再分别用该值减去①、 ② 、③可求出x、y、z的值.
灿若寒星
【答案】 由①+ ② +③，得 1 1 1 16 ④ ，
xyz
由④- ①， ④- ②， ④- ③分别得
1 7, 1 5, 1 4, zxy
x
1 5
∵
2a b 3 a 2b 14
，
∴ a 4b 5
.
∴
(4 b)2 5
b2
41.
(4 b)2 b2
9
5
灿若寒星
【归纳拓展】已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先 用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系 式代入到分式中即可求出分式的值.这种方法即是主元法，此方 法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元.那么 这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了减元之目 的，或者将题中的几个未知数中，正确选择某一字母为主元， 剩余的字母视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数 字视为主元，字母变为辅元，起到化难为易的作用.
灿若寒星
专题复习 专题复习
专题一 分式的定义
【例1】如果分式 x2 1 的值为0，那么x的值为.
x 1
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，列出关 于x的方程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的分母的对应 值是否为零.由题意可得：x2-1=0, 解得x=±1.当x=-1时， x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0. 【答案】1
1
) y
x2
2x 2xy
y2
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代
入求值.
【答案】原式=
2x
(x y)2 x y ,
(x y)(x y) 2x x y
把x= 1 2 ,y= 1 2 代入得
原式=
1 2 (1 2) 2 2 2. 1 2 1 2 2
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
学练优八年级数学上（RJ） 教学课件
第十五章 分 式
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
灿若寒星
课后训练
知识网络 知识网络
分式的定义
约分
分式的基本性质
通分
分 式 分式的运算
分式的乘方 分式的乘除
分式的加减
分式的混 合运算
零指数幂和负整数指数幂、科学记数法
分式的化 简求值
分式方程的概念 分式方程的解法 分式方程的应用
灿若寒星
【归纳拓展】对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们
可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的
值.但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，
而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具
体情况选择适当的方法.
【配套训练】已知x2-5x+1=0,求出的x4值.
1 x4
【答案】 因为x2-5x+1=0,得即x 5 1 0,
又因为
x4
1 x4
(x2
1 )2 x2
2
x
[(x 1 )2 2]2 2 x
(25 2)2 2
527.
灿若寒星
x 1 5. x
专题三 分式方程的增根
【例3】若分式方程
a x2
(x y)2
y(x y)
2x .
把x2y
y
代入可得原式=
4 3
y
4
.
3
y3
本题还可以由已 知条件设 x=2m,y=3m.
灿若寒星
整体代入法
1
x
1 y
9
,
①
【例5】解方程组：
1 y
1 z
11
,
②
1
x
1 z
12
.
③
【解析】将
111 xyz
灿若寒星
5. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 5 倍，
4
购进数量比第一次少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少
元？
解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得
600 x
600 5x
30.
4
解得 x=4.
经检验，故x=4原分式方程的解.
答：第一次每支铅笔的进价为4元.
灿若寒星
( D) A. 0.25×10-5
B. 0.25×10-6
C. 2.5×10-5
D. 2.5×10-6
灿若寒星
4.化简求值：
(
aa2 +
2 2a
a- 1 - a2 + 4a + 4
) ÷ a- 4 a+ 2
，其中a满足：a2+2a-1=0.
解：原式=［
］×
=
×
=
×
=
=
又∵a2+2a-1=0，∴a2+2a=1, ∴原式=1.
x=3.原方程可化为2（x-1)=m2,把x=3代入得m=±2.
灿若寒星
专题四 本章数学思想和解题方法
主元法
2a b 【例4】已知：a 2b
3 14
，求 a2 b2 a2 b2
的值.
【解析】由已知可以变形为用b来表示a的形式，可得 a 4 b ，
5
代入约分即可求值.
【答案】
,
所以
y
1 4
,
z
1 7
.
灿若寒星
【归纳拓展】分式方程组的解法也有一定的灵活性，关键是根
据每个问题的特点，选择适当的解答方法，特别提倡“一看，
二慢，三通过”的好习惯.
【配套训练】若ab=1,求
1 1 a2
1
1 b2
的值.
【答案】 ∵ab=1, 1
1
∴原式= ab a2 ab b2
4
∴当a=时，1 x=2.
4
灿若寒星
【归纳拓展】分式方程的增根必须满足两个条件：第一能使原
分式方程的最简公分母的值为0；第二是原分式方程去掉分母后
得到的整式方程的解.
【配套训练】关于x的方程
x 1 m2 x 3 2x 6
有增根，求m的值.
【答案】若分式方程有增根，则增根必须使2x-6=0,所以增根为
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人教版八年级上册第十五章分式全章复习课件
分式方程的解法
例
解分式方程：x+1 x2
5 1= x2 4
.
例
解分式方程：x+1 x2
5 1= x2 4
.
解：原方程变形为 x+1 x2
5 1= (x+2)(x
2)
.
去分母，得 (x+1)(x+2) (x+2)(x 2)=5.
确定最简公分母 不要漏乘
整理，得 x2+3x+2 (x2 4)=5 . 去括号注意负号要变号
m1
若关于x的分式方程 求m的取值范围.
x
1 =2的解为正数，
解：去分母，得 m 1=2(x 1) . m+1
解得 x= 2 .
∵原方程解为正数，
∴ x＞0且x≠1 .
∴
m+1 2 ＞0
且
m+1 2 ≠1
.
∴ m＞ 1 且 m≠1 .
例
若关于x的分式方程 求m的取值范围.
m x
1 1
=2
的解为正数，
；
x 1 5x 5 去分母，得
.
x=2是否为方程
的解？答：
.
x x 1 因此
是原分式方程的解，并符合题意.
（3） x 2 x 4 1 已车知方小 式王所家用距时上间班是地自点驾车18方千式米所．用他时用间乘的公交车.2 的方式平均每小.时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交
答：小王自驾车方式上班平均每小时行驶27千米.
概念
分式方程定义 分式方程的解
分
化 去分母转化为整式方程
式 方
八年级上册数学人教版 第15章 分式章节复习 课件
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式
方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审:清题意，并设未知数；
(2)找:相等关系；
(3)列:出方程；
(4)解:这个分式方程；
(5)验:根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
11.已知关于x的方程
无解，求m的值．
解：去分母，整理得
（m+3）x=4m+8，①
由于原方程无解，故有以下两种情况：
（1）程①无实数根，即m+3=0，
而4m+8≠0，此时m=-3．
（2）方程①的根是增根，增根是x=3，把x=3代入方程①解得m=1．
积作公分母，叫做最简公分母.
二、分式的运算
1.分式的乘除法则：
b c bc
a d ad
2.分式的乘方法则：
n
a n a
( ) n.
b
b
b c b d bd
a d a c ac
3.分式的加减法则：
(1)同分母分式的加减法则：
a b a b
.
c c
c
(2)异分母分式的加减法则：
分化简，最后从x的取值范围内选取一数值代入即可．
【点睛】把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本
环节，注意选数时，要求分母不能为0.
【例4】
1
1
2
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式
方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审:清题意，并设未知数；
(2)找:相等关系；
(3)列:出方程；
(4)解:这个分式方程；
(5)验:根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
11.已知关于x的方程
无解，求m的值．
解：去分母，整理得
（m+3）x=4m+8，①
由于原方程无解，故有以下两种情况：
（1）程①无实数根，即m+3=0，
而4m+8≠0，此时m=-3．
（2）方程①的根是增根，增根是x=3，把x=3代入方程①解得m=1．
积作公分母，叫做最简公分母.
二、分式的运算
1.分式的乘除法则：
b c bc
a d ad
2.分式的乘方法则：
n
a n a
( ) n.
b
b
b c b d bd
a d a c ac
3.分式的加减法则：
(1)同分母分式的加减法则：
a b a b
.
c c
c
(2)异分母分式的加减法则：
分化简，最后从x的取值范围内选取一数值代入即可．
【点睛】把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本
环节，注意选数时，要求分母不能为0.
【例4】
1
1
2
人教版初中数学八年级上册《第15章分式复习课》
4
＋
－
抽取若干 定义 (可重复) 分母中含有未知数的方 程叫做分式方程.
组分式
1
x 1
1 x2
x 1
4
解分式方程， 并归纳步骤.＋Leabharlann －
小结
去分母，化成整式方程 检验 解整式方程 写出原方程的解.
话分式
通过本节课的学习，你收获了什么？
知识
分数
类 比
注意事项
数学思想
分式
约 分
{
转 化
2 2
针对其中一个， 设计问题考大家
小结
2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式．
A A 1.若分式 B 有意义，则 B≠0； 若分式 B 无意义，则 A 若分式 B 的值为零，则 A=0且 B≠0.
B=0；
3.分式的基本性质：分子与分母乘(或除以)同一个不 等于0的整式，分式的值不变.
玩分式
任选两个
＋
－
任选一个
同桌两人互相出 题解答并评判， 交流归纳注意点.
玩分式
2 1 x
x 1 x
1 x x2 1
－
已知 x =
2
x x2 1
2 2 选一个你喜欢的 x 1
1 x x
＋
整数 x 代入求值.
组分式
1
组成分式方程
x 1
1 x2
x 1
得分式
小明回家复习分式的运算，在 整理笔记时发现一道题，
1 x2 x 1 1 x
“ ”处的运算符号和括号里 的式子都被墨水遮住了，你能将这 道题补充完整吗？
人教版八年级数学上册课件：15章 分式--知识点复习(共48张PPT)
贵了8元，商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩
下10件按8折销售，很快售完.设第一批进货单价为x元，根据
题意得到的方程是
;在这两笔生意中，商家
共盈利
元.
43
知识点六：分式方程的应用
巩固练习
分式方程的应用
4.某工厂对产品进行包装，引进了包装机器.已知台包装机的 工作效率相当于一名包装员的20倍若用这台包装机包装900件 产品要比15名包装员包装这些零件少3小时. (1)求一台包装机每小时包装产品多少个? (2)现有一项包装任务，要求不超过7小时包装完成3450个零 件.该厂调配了2台包装机和30名包装员，工作3小时后又调配 了一些包装机进行支援，则该厂至少再调配几台包装机才能
38
知识点五：分式方程及解法
合作探究
先独立完成导学案专题五，再同桌相互交流， 最后小组交流；
39
知识点六：分式方程的应用
知识回顾
分式方程的应用
请说出列分 式方程解应 用题的一般 步骤？
审找设列解 验 答
40
知识点六：分式方程的应用
巩固练习
分式方程的应用
1.“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的
知识回顾
分式的基本性质：
分式的基本性质用式子表示为： 其中A,B,C是整式.
11
知识点二：分式的基本性质
知识回顾
分式的符号法则:
分式的分子、分母与分式本身 这三处的正负号，同时改 变两处，分式的值不变 .
或
12
知识点二：分式的基本性质
巩固练习
1.写出下列分式中未知的分子或分母：
(1)
(2) 4n
3
知识点一：分式及其相关概念
人教版八年级数学上册15.2.1分式的乘除ppt精品课件
大拖拉机工作效率：
a
mb
小拖拉机工作效率：
n
工作效率倍数：
a b
mn
复习 1.计算：
(1) 3 15 52
(2) 3 15 52
你能说出分数的乘除法法则吗？
探究
Ⅰ.根据分式乘法变形：
ac bd
Ⅱ.根据分式除法法变形：[来源:]
ac a d b d bc
归纳
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
15.2.1.1分式的乘除一
导入
1.一个长方体容器的容积为V，底面 的长为a，宽为b，当容器的水占容器
的 m 时，水的高是多少？[来源:学_科_网] n
容器高： V ab
水高： V m ab n
导入
2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉
机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效
率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
归纳
分式相乘方法：
1. (多项式)先分解因式； 2.再约分； 3.后相乘。
分式相除方法：
除法转化为乘法。
巩固
2.计算：
(1)3a3b 25a2b3 10ab a2 b2
人教版八年级数学上册第十五章分式PPT
A
A
式子 B 叫做分式. 分式 B 中，A叫做分子，B叫做分母.
分式必须满足三个条件：①形如 A 的式子；②A、B都是整式；③分母B
B
中含有字母. 三个条件缺一不可.
判断一个式子是否为分式，不能将其化简后再判断，只需看原式的本 来“面目”是否符合分式的概念.
2022/1/9
新课讲解
知识点1 分式的概念
整式：x ，2a 5 , 3 x y , 2x y
334
π
两类式子的区别在于整式的分母中不含字母，而分式的分母中含有字母.
2022/1/9
当堂小练
新课导入
思 考 式子 S 、V
90 、 60 有什么共同点？它们与分数有什么
a S 30 V 30-V
相同点和不同点？
归纳
以上式子与分数一样都是 A（即A÷B）的形式，分数的分子A与
B
分母B都是整数，而这些式子中的A与B都是整式，并且B中都含
有字母.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么
；x 1 ；b 5
3 ；x y
2022/1/9
新课讲解
练一练 2
当x取何值时，分式
x2 2x x2 4
的值为0？
解：分式的值为0则分母不为0且分子为0 x 时，2分式有意义；
x=2或0时，分子为0. 当同时满足两个条件时， x 0 所以 x时，0分式的值为0.
2022/1/9
课堂小结
b
车行驶a km比这辆汽车少用1h，则它的平均速度为（a
）km/h.
b -1
2022/1/9
当堂小练
下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？
人教版八年级上册数学15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除课件
分数
概念 意义
基本 性质
加减乘 除运算
应用
数
般
类
类
类
类
类式
方 法
比
一 般
分式
比
概念 意义
比
基本 性质
比
加减乘 除运算
比通 性
应用
探究新知
知识点1 分式的乘法 问题1 一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，
当容器内的水占容积的 m 时，水面的高度为多少？ n
V 长方体容器的高为___a_b_____.
b
C. ab
D. a
知识点2 分式的除法 问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
大拖拉机的工作效率为 a hm2/天； m
小拖拉机的工作效率为 b hm2/天. n
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 a b 倍. mn
例2 计算（1）：
a2 4a 4
a2 2a 1
a 1 a2 4
a 22 a 12
a
a 1
2 a
2
分子、分母是多 项式时，先分解 因式便于约分.
xx
a 22 a 1
a 12 a 2 a 2
a
a2
1 a
2
< 针对训练 >
计算 a2
b a3
的结果为（
D）
A. b B. -b
【选自教材P138 练习 第2题】
(2)12xy 8x2 y 5a 3 10ax
(4) x y y x x y x y
1
3. 计算：
【选自教材P138 练习 第3题】
新人教版八上第15章分式总复习课件
(A) –无法确定
分式的基本性质
A A M A M (M 0) B BM BM a a, a a a b b b b b
1、下列等式从左到右的变形一定正确的是（ ）
( A) a a m (B) a ac
b bm
b bc
(C) ak a bk b
x≠1且x≠3
；
值为零的条件是 x 1 。
x
1 2、若分式 x 1 无意义，则x=
。
2 x 2
若分式 x2 x 2 的值为0，则x=
。
ax 1 2
3、在代数式 、 3 、x y、 x 中，分式共有 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
x x
4、当x<0时，化简
的结果是（ ）
1.审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位. 3.列:根据等量关系正确列出方程. 4.解:认真仔细. 5.验:有二次检验. 6.答:不要忘记写.
(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单 独做要n小时完成，如果两人合做，完成这
件工作的时间是 mn 小时； mn
新人教版八(上)第15章分式课件
总复习课件
A
的形式
B
{ { 概念 B中含有字母B≠0
分式有意义 分式的值为0
同分母相加减
分
分式的加减
通分
{ 式
异分母相加减
同分母相加减
{ 分式的乘除
约分
最简分式
去分母
解分式方程
解整式方程
验根
分式方程应用
分式的概念问题
1、分式 (x
x2 1 1)( x 3)有意义的条件是
4 44xx2x2=
人教版八年级上册数学《整数指数幂》分式研讨说课复习课件
同底数幂的除法 a m a n a m-n（m、n是整数，a≠0）
分数的乘方
a n an
( ) n （n是整数）
b
b
新知探究 跟踪训练
例 （2021·开封模拟）计算：
3
b
(1) a -2 a 5 ； (2) ( 2 ) - 2 ； (3) (a -1b 2 ) 3 ； (4) a -2b 2 (a 2b -2 ) -3 .
第15章 分式
整数指数幂
课件
学习目标
1.理解并掌握负整数指数幂的运算性质.（重点）
2.理解整数指数幂的性质并应用其解决实际问题．（难点）
回顾旧知
说一说正整数指数幂的运算法则有哪些？
(1) am·
an=am+n ( m、n都是正整数) ；
(2) (am)n=amn ( m、n都是正整数) ；
(3) (ab)n=anbn
(a ≠0)
运用分式的约分
0
÷
0
=
=
1
探究新知
一般地，我们规定：当n是正整数时，a n 1n (a 0)
a
这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数.
那么计算：
2
∙
−3
(2 )−3 =
1
= ____ =
−1
1
−6
_______ = 6
课堂练习
例1 （1）-22=
a
6
1
b
解：(3) (a -1b 2 ) 3 a -3b 6 3 b 6 3 ；
a
a
8
1
b
(4) a -2b 2 (a 2b - 2 ) -3 a - 2b 2 a -6b 6 a -8b8 8 b8 8 .
八年级数学上册 第十五章 分式本章整合课件 (新版)新
.
原 =������式+������ ������=. ������������++2������������ ·������+������2������
������ ������ + ������
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关闭
解析 答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
9.(2017·山东泰安中考)分式������7-2
A.
关闭
Ａ
解析 答案
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8
9 10 11 12 13 14 15
4.(2017·河北中考)若3������--21������=
A.-1
B.-2
+������1-1,则
中的数是( ).
C.-3
D.任意实数
∵3-2������
������-1
=
+������1-1,
∴3-2������
������-1
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
10.(2017·湖南永州中考)某水果店搞促销活动,对某种水果打8折出 售,若用60元钱买这种水果,可以比打折前多买3斤.设该种水果打折 前的单价为x元,根据题意可列方程为 .
60 ������
=
06.80������ -3
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答案
1
2
3
4
5
6
7
8
−
1 ������-1
=3-���2���-���1���-1