2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第八节曲线与方程 Word版含解析

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2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第六节抛物线解析

课时作业 A 组——基础对点练1、(2017·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A 、(0,a ) B 、(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0),所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ,所以选C.答案：C2、(2017·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦,|AB |＝4,则AB 中点C 的横坐标是( ) A 、2 B.12 C.32D.52解析：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4,又p ＝1,所以x 1＋x 2＝3,所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32. 答案：C3、(2017·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点,A 、B 、C 为抛物线上三点,若F 为△ABC 的重心,则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A 、1 B 、2 C 、3D 、4解析：依题意,设点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3),又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32,则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.选C.答案：C4、已知直线l ：y ＝kx －k 与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ,N 两点,F 为抛物线的焦点,若2FM →＝MN →,则实数k 等于( ) A 、±33 B 、±1 C 、±3D 、±2解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0),直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点,如图、过M 作MM ′⊥准线x ＝－1,垂足为M ′,由抛物线的定义,得|MM ′|＝|MF |,易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等,由2FM →＝MN →,得cos ∠M ′MN ＝|MM ′||MN |＝12,则tan ∠M ′MN ＝±3,∴直线l 的斜率k ＝±3,故选C. 答案：C5、已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点,Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点,那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A 、25－1 B 、25－2 C.17－1D.17－2解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4),半径r ＝1,抛物线的焦点F (1,0)、由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C. 答案：C6、(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,过P 作P A ⊥l 于点A ,当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时,|PF |＝ .解析：设l 与y 轴的交点为B ,在Rt △ABF 中,∠AFB ＝30°,|BF |＝2,所以|AB |＝233,设P (x 0,y 0),则x 0＝±233,代入x 2＝4y 中,得y 0＝13,从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43. 答案：437、(2017·云南检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0),⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0,如果抛物线C 的准线与⊙M 相切,那么p 的值为、解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4,圆心坐标为(－4,0),半径r ＝2,又抛物线的准线方程为x ＝－p 2,∴|4－p2|＝2,解得p ＝12或4. 答案：12或48.如图,过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ,B ,C ,若|BC |＝2|BF |,且|AF |＝3,则抛物线的方程是、解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ,分别交准线于点E 、D (图略),则|BF |＝|BD |,∵|BC |＝2|BF |,∴|BC |＝2|BD |,∴∠BCD ＝30°,又|AE |＝|AF |＝3,∴|AC |＝6,即点F 是AC 的中点,根据题意得p ＝32,∴抛物线的方程是y 2＝3x . 答案：y 2＝3x9、已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ,圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)若直线l 与抛物线交于A 、B 两点,△WAB 的面积为8,求抛物线的方程、解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0),依题意直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为x ＝my ＋p ,因为W (－p,0), 所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋(－m )2＝p ,解得m ＝±3,所以直线l 的斜率为±33. (2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ,由于两条直线关于x 轴对称,不妨取x ＝3y ＋p , 联立⎩⎨⎧x ＝3y ＋p ，y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py －4p 2＝0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝43p ,y 1y 2＝－4p 2, 所以|AB |＝1＋(3)2·(43p )2＋4×4p 2＝16p , 因为△WAB 的面积为8,所以12p ×16p ＝8,得p ＝1, 所以抛物线的方程为y 2＝4x .10、(2017·合肥质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0),O 是坐标原点,点A ,B 为抛物线C 1上异于O 点的两点,以OA 为直径的圆C 2过点B . (1)若A (－2,1),求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)、解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上,∴4＝2p ,p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12,半径为|OA |2＝52,∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.(2)记A (x 1,x 212p ),B (x 2,x 222p )、则OB →＝(x 2,x 222p ),AB →＝(x 2－x 1,x 22－x 212p )、由OB →·AB →＝0知,x 2(x 2－x 1)＋x 22(x 22－x 21)4p 2＝0.∵x 2≠0,且x 1≠x 2,∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2,∴x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4p 2x 2. ∴x 21＝x 22＋16p 4x 22＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2,当且仅当x 22＝16p 4x 22,即x 22＝4p 2时取等号、又|OA |2＝x 21＋x 414p 2＝14p2(x 41＋4p 2·x 21),注意到x 21≥16p 2, ∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·|OA |24,∴S ≥20πp 2,即S 的最小值为20πp 2,当且仅当x 22＝4p 2时取得、B 组——能力提升练1、已知抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ,点A (0,－3)、若射线F A 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点D ,且|FM |∶|MD |＝1∶2,则点M 的纵坐标为( ) A 、－13 B 、－33 C 、－23D 、－233解析：依题意,F 点的坐标为(m4,0),设点M 在准线上的射影为K ,由抛物线的定义知|MF |＝|MK |,因为|FM |∶|MD |＝1∶2,所以|KD |∶|KM |＝3∶1,k FD ＝3,k FD ＝0＋3m 4－0＝43m ,所以43m ＝3,解得m ＝4,所以直线FM 的方程为y ＝3(x －1),与y 2＝4x 联立,解得x ＝3(舍去)或x ＝13,所以y 2＝43,y ＝－233或y ＝233(舍去),故点M 的坐标为(13,－233),故选D. 答案：D2、(2018·石家庄质检)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4,抛物线C 2：y 2＝2px (p >0),C 1与C 2相交于A ,B 两点,且|AB |＝855,则抛物线C 2的方程为( ) A 、y 2＝85x B 、y 2＝165x C 、y 2＝325xD 、y 2＝645x解析：由题意,知直线AB 必过原点,则设AB 的方程为y ＝kx (k >0),圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝2k 2＋1＝22－(455)2＝255,解得k ＝2(k ＝－2舍去)、由⎩⎨⎧y ＝2x x 2＋(y －2)2＝4,可取A (0,0),B (85,165),把(85,165)代入抛物线方程,得(165)2＝2p ·85,解得p ＝165,所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x ,故选C. 答案：C3、已知点P 在抛物线y 2＝x 上,点Q 在圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1上,则|PQ |的最小值为( ) A.352－1 B.332－1 C 、23－1D.10－1解析：设点P (y 2,y )(y ∈R),圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1的圆心为A (－12,4),则|P A |2＝(y 2＋12)2＋(y －4)2＝y 4＋2y 2－8y ＋654,令t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654,则t ′＝4y 3＋4y －8,令m ＝t ′＝4y 3＋4y －8,则m ′＝12y 2＋4>0,所以m ＝t ′＝4y 3＋4y －8在R 上是增函数,因为t ′|y ＝1＝0,所以y ＝1为t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654的极小值点也是最小值点,所以|P A |2＝t 的最小值为454,所以|P A |的最小值为352,所以|PQ |的最小值为352－1,故选A. 答案：A4、(2018·山西八校联考)已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ,过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,F 为抛物线的焦点,若|FB |＝2|F A |,则AB 的长度为、解析：依题意知P (－1,0),F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由|FB |＝2|F A |,得x 2＋1＝2(x 1＋1),即x 2＝2x 1＋1 ①,∵P (－1,0),则AB 的方程为y ＝kx ＋k ,与y 2＝4x 联立,得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0,则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0,即k 2<1,x 1x 2＝1 ②,由①②得x 1＝12,则A (12,2), ∴k ＝2－012－(－1)＝223.∴x 1＋x 2＝52,|AB |＝(1＋89)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝172.答案：1725、(2018·昆明市检测)设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点,曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点A ,直线F A 恰与曲线y ＝k x (k >0)相切于点A ,F A 交C 的准线于点B ,则|F A ||BA |等于、解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝kx，解得⎩⎨⎧x ＝k32pk ，y ＝32pk .由y ＝k x ,得y ′＝－k x 2,所以k F A ＝32pkk32pk －p 2＝－k k 234p 2k 2,化简得k ＝p 242,所以x ＝k 32pk＝p 4,|F A ||AB |＝|x F －x A ||x A －x B |＝p 2－p 4p 4－(－p 2)＝13.答案：136、(2017·唐山统考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0),过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点,坐标原点为O ,OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时,求直线l 的方程、解析：(1)设l ：x ＝my －2,代入y 2＝2px , 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝2pm ,y 1y 2＝4p ,则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12,所以x 1x 2＋y 1y 2＝12,即4＋4p ＝12, 得p ＝2,抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0, y 1＋y 2＝4m ,y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ,则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4,① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|22由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2, 解得m 2＝3,m ＝±3.所以,直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0. 7.如图,由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0,x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 的曲线称为“黄金抛物线C ”,若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0,－1),过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ,P ,B 三点,问是否存在这样的直线l ,使得QP 平分∠AQB ？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,说明理由、解析：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32,∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1,4＝3m ＋1,∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)、(2)假设存在这样的直线l ,使得QP 平分∠AQB ,显然直线l 的斜率存在且不为0, 设直线l ：y ＝kx ＋1,联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1y 2＝x ＋1,消去y ,得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0,∴x B ＝1－2kk 2,y B ＝1－k k ,即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2，1－k k ,∴k BQ ＝k 1－2k , 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＝1,消去y ,得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0,∴x A ＝－2kk 2＋1,y A ＝1－k 2k 2＋1,即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1,∴k AQ ＝－1k , ∵QP 平分∠AQB ,∴k AQ ＋k BQ ＝0, ∴k 1－2k－1k ＝0,解得k ＝－1±2, 由图形可得k ＝－1－2应舍去,∴k ＝2－1, ∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1, 使得QP 平分∠AQB .。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章第三节圆的方程

课时作业A组——基础对点练1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是( )11A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆11B．以(1,2)为圆心，为半径的圆11C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆11D．以(－1,2)为圆心，为半径的圆11解析：由x2＋y2＋2x－4y－6＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为.答案：D2．若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( ) A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.答案：A3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5C．x2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5解析：因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆5的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.答案：B4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．解析：如图所示，圆心M(3，－1)到定直线x＝－3上点的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：45．(2018·唐山一中调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则Error!，即Error!，代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝16．已知圆C经过点(0,1)，且圆心为C(1,2)．(1)写出圆C的标准方程；(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．解析：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝＝，(1－0)2＋(2－1)22所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，则＝，|－k －3|1＋k 22所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0.由圆的性质易得所求切线长为＝＝2.PC 2－r 2(2－1)2＋(－1－2)2－227．(2018·南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图像与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图像与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由Error!，解得Error!，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5 y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为(，－)，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不1252过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝－＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综1252上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.B 组——能力提升练1．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，则ab 的最大值是( )A.B.1218C. D.1424解析：由圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，可得圆心(2a ，－b )在直线x －y －1＝0上，故有2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1≥2 ，解得ab ≤，2ab 18故ab 的最大值为，故选B.18答案：B2．(2018·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－＝1的渐y 23，则圆C 的方程为( )3A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －)2＝33C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋)2＝33解析：依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60°，结合图形(图略)3可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，选A.答案：A3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋ (y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为＝2，所以r ＝.又因为y ＝－x |4|222与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：D4．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝3D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37解析：如图，易知AC 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0.点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝＝>1，OA ＝|－4|5455＝，OB ＝＝，OC ＝(－2)2＋3213(－2)2＋(－1)2562＋(－1)2＝，37∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为 (0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径为1或，37则该圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.故选D.答案：D5．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为2，3求圆C 的标准方程．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以2＝2，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)4b 2－b 232＝4.6．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求·的最小值．PQ → MQ → 解析：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则Error!解得Error!则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，·＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)PQ → MQ → ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝cos θ，y ＝sin θ，22所以·＝x ＋y －2＝(sin θ＋cos θ)－2PQ → MQ → 2＝2sin －2，(θ＋π4)又min ＝－1，[sin (θ＋π4)]所以·的最小值为－4.PQ → MQ →。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章第五节椭圆含解析

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第二节两直线的位置关系含解析

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第二节两直线的位置关系含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练1．已知直线 (b ＋2)x －ay ＋4＝0 与直线 ax ＋ (b －2)y －3＝0 相互平行，则点 (a ，b)在 ()A ．圆 a 2＋ b 2＝1 上 B ．圆 a 2＋b 2＝2 上 C ．圆 a 2＋ b 2＝4 上D ．圆 a 2＋b 2＝ 8 上分析： ∵直线(b ＋2)x －ay ＋4＝0 与直线 ax ＋(b － 2)y － 3＝ 0 相互平行，∴(b ＋2)(b －2)＝－ a 2，即 a 2＋b 2＝4.应选 C.答案： C2．若直线 l 经过点 (a －2，－ 1)和 (－a －2,1)，且与经过点 (－2,1)、斜率为－ 2 3的直线垂直，则实数 a 的值为 ( ) A ．－ 2 B ．－ 3 3 2 2 3 C.3D.2分析：由题意得，直线 l 的斜率为 k ＝2＝－ 1(a ≠ 0)，因此－21·－－a －2－a ＋2 a a 32＝－ 1，因此 a ＝－ 3，应选 A.答案： A3．已知过点 P(2,2)的直线与圆 (x － 1)2＋ y 2＝5 相切，且与直线 ax － y ＋1＝0 垂直，则 a ＝()1A ．－ 2B ．11C ．2 D.2分析：由切线与直线 ax －y ＋1＝0 垂直，得过点 P(2,2)与圆心 (1,0)的直线与直线 ax － y ＋ 1＝ 0 平行，因此 2－0＝a ，解得 a ＝2.2－1答案： C。

2019版同步优化探究理数练习：第八章第五节椭圆 Word版含解析

课时作业 A 组——基础对点练1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．9解析：由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B. 答案：B2．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4D ．0<k <4解析：方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，可得0<k <4，故选D. 答案：D3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A. 答案：A4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( ) A.12B.55C.14D.5－2解析：由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12. 答案：A5．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.12B.22 C ．1 D. 2解析：如图，假设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4，化简得，(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4，又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22.故选B. 答案：B6．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是．解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k ＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，所以2k >2，解得0<k <1. 答案：(0,1)7．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝.解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8. 答案：4或88．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B .C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C 的值等于．解析：在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3.答案：39．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，过F 2作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|AF 2|＝36c . (1)求椭圆C 的离心率；(2)M ，N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和x 轴相交于R ，Q 两点，O 为坐标原点．若|OR →|·|OQ →|＝4，求椭圆C 的方程．解析：(1)∵点A 的横坐标为c ，代入椭圆，得c 2a 2＋y 2b 2＝1. 解得|y |＝b 2a ＝|AF 2|，即b 2a ＝36c ， ∴a 2－c 2＝36ac .∴e 2＋36e －1＝0，解得e ＝32. (2)设M (0，b )，N (0，－b )，P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为y ＝y 0－bx 0x ＋b .令y ＝0，得点R 的横坐标为bx 0b －y 0. 直线NP 的方程为y ＝y 0＋bx 0x －b .令y ＝0，得点Q 的横坐标为bx 0b ＋y 0. ∴|OR →|·|OQ →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2x 20b 2－y 20＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2b 2－a 2y 20b 2－y 20＝a 2＝4，∴c 2＝3，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．(2018·沈阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中e ＝12，焦距为2，过点M (4,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在A ，M 之间．又线段AB 的中点的横坐标为47，且AM →＝λMB →. (1)求椭圆C 的标准方程． (2)求实数λ的值．解析：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知A ，B ，M 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝4，不合题意．则AB 所在直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0，解得k 2<14，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.由x 1＋x 22＝16k 23＋4k 2＝47，可得k 2＝18，将k 2＝18代入方程①，得7x 2－8x －8＝0. 则x 1＝4－627，x 2＝4＋627.又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →＝(x 2－4，y 2)， AM →＝λMB →，所以λ＝4－x 1x 2－4，所以λ＝－9－427.B 组——能力提升练1．(2018·合肥市质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：由于椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎨⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 答案：D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为 ( )A ．(0，2－1)B ．(22，1) C ．(0，22)D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝ac .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点， F 1，F 2是该椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然，|MF 2|>|MF 1|，∴a －c <|MF 2|<a ＋c ，即a －c <2a 2a ＋c <a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2>0，∴e 2＋2e －1>0，解得e >2－1，又e <1，∴2－1<e <1，故选D. 答案：D3．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝04．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是．解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)．答案：[2,22)5．(2018·保定模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3. (1)求椭圆C 的方程．(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．解析：(1)因为e ＝32＝ca ，所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，① 把①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1. 直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.② ①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1. 由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，得N⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．。

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第九节第三课时定点、定值、探索性问题含解析

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第九节第三课时定点、定值、探索性问题含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练1．已知动点 C 到点 F(1,0)的距离比到直线 x ＝－ 2 的距离小 1，动点 C 的轨迹为 E. (1)求曲线 E 的方程；→ →(2)若直线 l ： y ＝ kx ＋m(km<0)与曲线 E 订交于 A ， B 两个不一样点，且 OA ·OB ＝5，证明：直线 l 经过一个定点．分析： (1)由题意可得动点 C 到点 F(1,0)的距离等于到直线 x ＝－ 1 的距离， ∴曲线E 是以点 (1,0)为焦点，直线 x ＝－ 1 为准线的抛物线，2 p设其方程为 y ＝ 2px(p>0)，∴ ＝1，∴p ＝2，2∴动点C 的轨迹 E 的方程为 y 2＝4x.(2)证明：设 A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)，y ＝kx ＋ m ，得 k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝ 0，由y 2＝ 4x ，∴x 1＋x 2＝ 4－ 2km m 2 k 2 ，x 1·x 2＝ 2 .k→ →m 2＋4km∵OA ·OB ＝5，∴x 1x 2＋y 1y 2＝ (1＋k 2)x 1x 2 ＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝2＝ 5，k∴m 2＋ 4km －5k 2＝0，∴m ＝k 或 m ＝－ 5k.∵km<0，∴m ＝ k 舍去，∴m ＝－ 5k ，知足＝16(1－ km)>0， ∴直线l 的方程为 y ＝k(x －5)， ∴直线l 必经过定点 (5,0)．2．(2018 ·昆明市检测 ) 已知点 A ，B 的坐标分别为 (－ 2，0)，( 2，0)，直线 AM ，1BM 订交于点 M ，且它们的斜率之积是－2，点 M 的轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程；。

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第五节椭圆解析

课时作业A组——基础对点练1、已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0),则m＝()A、2B、3C、4D、9解析：由4＝25－m2(m>0)⇒m＝3,故选B.答案：B2、方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A、k>4B、k＝4C、k<4D、0<k<4解析：方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆,即方程x24＋y2k＝1表示焦点在x轴上的椭圆,可得0<k<4,故选D. 答案：D3、已知椭圆的中心在原点,离心率e＝12,且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合,则此椭圆方程为()A.x24＋y23＝1 B.x28＋y26＝1C.x22＋y2＝1 D.x24＋y2＝1解析：依题意,可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0),由已知可得抛物线的焦点为(－1,0),所以c＝1,又离心率e＝ca＝12,解得a＝2,b2＝a2－c2＝3,所以椭圆方程为x24＋y23＝1,故选A.答案：A4、椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等差数列,则此椭圆的离心率为()A.12 B.55C.14 D.5－2解析：由题意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|,即4c＝a－c＋a＋c＝2a,故e＝ca＝12.答案：A5、已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2＝π4,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.12 B.22 C 、1 D. 2解析：如图,假设F 1,F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点,P 是第一象限的点,设椭圆的长半轴长为a 1,双曲线的实半轴长为a 2,则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1,|PF 1|－|PF 2|＝2a 2,∴|PF 1|＝a 1＋a 2,|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ,又∠F 1PF 2＝π4,则在△PF 1F 2中,由余弦定理得,4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4,化简得,(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2,设椭圆的离心率为e 1,双曲线的离心率为e 2,∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4,又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2, ∴22e 1·e 2≤4,即e 1·e 2≥22,即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22.故选B. 答案：B6、若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是、解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k ＋x 22＝1,因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆,所以2k >2,解得0<k <1. 答案：(0,1)7、若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1,且此椭圆的焦距为4,则实数a ＝ .解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时,10－a －(a －2)＝22,解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时,a －2－(10－a )＝22,解得a ＝8.故实数a ＝4或8. 答案：4或88、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13,其焦点分别为A ,B .C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC 中,sin A ＋sin Bsin C 的值等于、解析：在△ABC 中,由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |,因为点C 在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ,而|AB |＝2c ,所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3.答案：39、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左,右焦点分别为F 1(－c,0),F 2(c,0),过F 2作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,满足|AF 2|＝36c . (1)求椭圆C 的离心率；(2)M ,N 是椭圆C 短轴的两个端点,设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点),直线MP ,NP 分别和x 轴相交于R ,Q 两点,O 为坐标原点、若|OR →|·|OQ →|＝4,求椭圆C 的方程、解析：(1)∵点A 的横坐标为c , 代入椭圆,得c 2a 2＋y 2b 2＝1. 解得|y |＝b 2a ＝|AF 2|,即b 2a ＝36c , ∴a 2－c 2＝36ac .∴e 2＋36e －1＝0,解得e ＝32.(2)设M (0,b ),N (0,－b ),P (x 0,y 0), 则直线MP 的方程为y ＝y 0－bx 0x ＋b .令y ＝0,得点R 的横坐标为bx 0b －y 0. 直线NP 的方程为y ＝y 0＋bx 0x －b .令y ＝0,得点Q 的横坐标为bx 0b ＋y 0. ∴|OR →|·|OQ →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2x 20b 2－y 20＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2b 2－a 2y 20b 2－y 20＝a 2＝4,∴c 2＝3,b 2＝1,∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10、(2018·沈阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),其中e ＝12,焦距为2,过点M (4,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ,B ,点B 在A ,M 之间、又线段AB 的中点的横坐标为47,且AM →＝λMB →. (1)求椭圆C 的标准方程、 (2)求实数λ的值、解析：(1)由条件可知,c ＝1,a ＝2,故b 2＝a 2－c 2＝3,椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知A ,B ,M 三点共线, 设点A (x 1,y 1),点B (x 2,y 2)、若直线AB ⊥x 轴,则x 1＝x 2＝4,不合题意、则AB 所在直线l 的斜率存在,设为k , 则直线l 的方程为y ＝k (x －4)、由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0, 解得k 2<14,且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.由x 1＋x 22＝16k 23＋4k 2＝47,可得k 2＝18, 将k 2＝18代入方程①,得7x 2－8x －8＝0. 则x 1＝4－627,x 2＝4＋627.又因为AM →＝(4－x 1,－y 1),MB →＝(x 2－4,y 2), AM →＝λMB →,所以λ＝4－x 1x 2－4,所以λ＝－9－427.B 组——能力提升练1、(2018·合肥市质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1,圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ,设圆C在点P 处的切线斜率为k 1,椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2,则k 1k 2的取值范围为( )A 、(1,6)B 、(1,5)C 、(3,6)D 、(3,5)解析：由于椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1,圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ,所以⎩⎨⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0,y 0),则椭圆M 在点P处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y ＝1,圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2,所以k 1＝－x 0y 0,k 2＝－x 0a 2y 0,k 1k2＝a 2,所以k 1k 2∈(3,5),故选D.答案：D2、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且|F 1F 2|＝2c ,若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c,则该椭圆离心率的取值范围为 ( )A 、(0,2－1)B 、(22,1)C 、(0,22)D 、(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中,|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1,而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c, ∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝ac .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点, F 1,F 2是该椭圆的焦点, ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得,|MF 1|＝2ac a ＋c ,|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然,|MF 2|>|MF 1|,∴a －c <|MF 2|<a ＋c ,即a －c <2a 2a ＋c<a ＋c ,整理得c 2＋2ac －a 2>0,∴e 2＋2e －1>0, 解得e >2－1,又e <1,∴2－1<e <1,故选D. 答案：D3、已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点,经过P 引一条弦,使此弦被P 点平分,则此弦所在的直线方程为、解析：易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k ,弦的端点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 214＋y 212＝1,① x 224＋y 222＝1,② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0,∵x 1＋x 2＝2,y 1＋y 2＝2, ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0,∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1), 即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝04、已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1,F 2,点P (x 0,y 0)满足0<x 202＋y 20<1,则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是、解析：由点P (x 0,y 0)满足0<x 202＋y 20<1,可知P (x 0,y 0)一定在椭圆内(不包括原点),因为a ＝2,b ＝1,所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22,当P (x 0,y 0)与F 1或F 2重合时,|PF 1|＋|PF 2|＝2,又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2,故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)、答案：[2,22)32,a ＋b ＝3.5、(2018·保定模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝(1)求椭圆C 的方程、(2)如图,A ,B ,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点,直线DP 交x 轴于点N ,直线AD 交BP 于点M ,设BP 的斜率为k ,MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值、3c所以a ＝23c ,b ＝13c .代入a ＋b ＝3得,c ＝3,a ＝2,b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：因为B (2,0),P 不为椭圆顶点,则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12,① 把①代入x 24＋y 2＝1,解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1. 直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1. 由D (0,1),P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1,N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0,得N⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14, 则2m －k ＝2k＋12－k＝12(定值)、。

2019版理数(北师大版)练习：第八章第七节双曲线含解析

课时作业A组——基础对点练1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. 3 B．3C.3m D．3m解析：双曲线方程为x23m－y23＝1，焦点F到一条渐近线的距离为 3.选A.答案：A2．已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )A．2 B.6 2C.52D．1解析：因为双曲线的方程为x2a2－y23＝1，所以e2＝1＋3a2＝4，因此a2＝1，a＝1.选D.答案：D3．双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为( )A．x±2y＝0 B．y±2x＝0 C．x±4y＝0 D．y±4x＝0解析：依题意，题中的双曲线即y214－x2＝1，因此其渐近线方程是y214－x2＝0，即x±2y＝0，选A. 答案：A4．已知双曲线x23－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝25，则△PF1F2的面积为( ) A．1 B. 3C. 5D.12解析：在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A.答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( )A ．1B ．2 C. 5D ．4解析：根据题意，双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知b a＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( )A.5＋12B ．2 C. 2D ．2 2解析：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为a ，所以bc a 2＋b2＝a ，即bc c ＝a ，所以ba ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b a2＝2，故选C.答案：C7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1. 答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 答案：A9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( )A. 2B. 3 C ．23＋1 D.3＋1解析：∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a＝c3c －c 2＝3＋1，选D. 答案：D10．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案：A11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1解析：依题意⎩⎨⎧a 2＋b 2＝251＝ba×2，解得⎩⎨⎧a 2＝20b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1. 答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－32b 2＝1，b a ＝12，，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝113．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝abx ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5bc＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：814．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为．解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝5，ba ＝2，∴a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.答案：x 2－y 24＝115．(2018·合肥市质检)双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin ∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率为．解析：不妨设P 为直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点坐标为(a ，b )，因为sin ∠PF 1F 2＝13，所以|PF 1|＝3b ，所以(a ＋c )2＋b 2＝9b 2，即9a 2＋2ac －7c 2＝0,7e 2－2e －9＝0，又e >1，解得e ＝97.答案：97B 组——能力提升练1．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，2] B ．(1,2] C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|⇒4|OP →|≤2c ⇒|OP →|≤c 2，又|OP →|≥a ，∴a ≤c 2，即c ≥2a ，∴e ＝ca≥2.故选D.答案：D2．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k＝1与曲线x 225－k－y 29＝1的( ) A ．离心率相等 B ．虚半轴长相等 C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D3．(2018·云南五市联考)设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6，故选C. 答案：C4．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233B. 2 C ．2D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C. 答案：C5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b 4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1. 答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：不妨设B (x ，－b a x )，|OB |＝x 2＋－bax2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A (c －a 2，b2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a2＝b2，c ＝2a ，e ＝2. 答案：C8．若直线l 1和直线l 2相交于一点，将直线l 1绕该点逆时针旋转到与l 2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就称为l 1到l 2的角，tan θ＝k 2－k 11＋k 1k 2，其中k 1，k 2分别是l 1，l 2的斜率，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线x ＝a 2c 上的一点，e 是双曲线的离心率，直线PA 到PF 的角为θ，则tan θ的最大值为( ) A.1eB.e 1＋eC.e21＋eD.e2解析：设PA ，PF 的斜率分别为k 3，k 4，由题意可知tan θ＝k 4－k 31＋k 3k 4，不妨设P (a 2c ，y )(y >0)，则k 3＝y a 2c －a ，k 4＝y a 2c －c .令m ＝a 2c －a ，n ＝a 2c－c ，则tan θ＝y n －ym 1＋y n ×y m ＝m －n mn y ＋y ，由m －n ＝c －a >0，得当mny ＋y 取得最小值时tan θ取最大值，又y >0，m <0，n <0，所以mny＋y ≥2mn ，当且仅当y ＝mn 时等号成立，此时tan θ＝m －n2mn＝c －a2a 2c－a a 2c－c ＝e 21＋e，故选C.答案：C9．(2018·淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( ) A ．b －a ＝|MO |－|MT | B ．b －a >|MO |－|MT | C ．b －a <|MO |－|MT | D ．b －a ＝|MO |＋|MT |解析：如图，连接OT ，则OT ⊥F1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝b ，连接PF 2， ∵M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－|F 1T |＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A. 答案：A10．(2018·昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，以点F 为圆心的圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A ，B 两点，若AF ⊥x 轴，则C 的离心率为．解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F (c,0)，易知双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，所以圆F 的半径为b .在双曲线方程中，令x ＝c ，得y ＝±b 2a ，所以A (c ，±b 2a )．因为点A 在圆F 上，所以b 2a ＝b ，即a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝2a ，所以e ＝ca＝ 2.答案： 211．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为．解析：不妨设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(c,0)关于渐近线y ＝ba x 对称的点在双曲线上，则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y －0＝－ab (x －c )，即y ＝－a b(x －c )．联立可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝－a b x －c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2c ，y ＝abc ，由中点坐标公式可得F 2关于渐近线对称的点的坐标为(2a 2c－c ，2abc)，将其代入双曲线的方程可得a 2－c 22a 2c 2－4a 2c2＝1，化简可得c 2＝5a 2，c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，所以b 2＝4a 2.因为M (－3，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以9a 2－16b 2＝1，9a 2－164a 2＝1，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1. 答案：x 25－y 220＝112．设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)13．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，求PA →·PB →的值．解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x 3＋y ＝0，所以可取|PA |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos∠APB ＝|x 203－y 20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38.。

2019北师大版同步优化探究理数练习：第八章第六节抛物线含解析

课时作业A 组——基础对点练1．(2017·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( )A ．(0，a ) B ．(a,0)C. D.(0，116a )(116，0)解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝y (a ≠0)，所以焦点坐标为，14a (0，116a )所以选C.答案：C2．(2017·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12C.D.3252解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是＝.x 1＋x 2232答案：C3．(2017·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则||＋||＋||的值为( )FA → FB → FC→ A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ，x 1＋x 2＋x 3＝3×＝，则||＋||＋||＝(x 1＋)＋(x 2＋)(12，0)1232FA → FB → FC → 1212＋＝(x 1＋x 2＋x 3)＋＝＋＝3.选C.(x 3＋12)323232答案：C4．已知直线l ：y ＝kx －k 与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若2＝，则实数k 等于( )FM→ MN → A ．± B ．±133C ．±D ．±23解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点，如图．过M 作MM ′⊥准线x ＝－1，垂足为M ′，由抛物线的定义，得|MM ′|＝|MF |，易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等，由2＝，得cos ∠M ′MN ＝＝，则tan ∠M ′MN ＝±，∴直线l 的FM → MN→ |MM ′||MN |123斜率k ＝±，故选C.3答案：C5．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．2－1 B ．2－255C.－1D.－21717解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝－1＝－1.选C.1＋1617答案：C6．(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝ .解析：设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝，设P (x 0，y 0)，则x 0＝±，代入x 2＝4y 中，得y 0＝，从而23323313|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝.43答案：437．(2017·云南检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为．解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r ＝2，又抛物线的准线方程为x ＝－，∴|4－|＝2，解得p ＝12或4.p2p2答案：12或48.如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D (图略)，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝，∴抛物线的32方程是y 2＝3x .答案：y 2＝3x9．已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)若直线l 与抛物线交于A 、B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程．解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0)，依题意直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)，所以点W 到直线l 的距离为＝p ，解得m ＝±，所以直线l 的斜率|－p －p |1＋(－m )23为±.33(2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取3x ＝y ＋p ，3联立Error!消去x 得y 2－4py －4p 2＝0，3设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4p ，y 1y 2＝－4p 2，3所以|AB |＝·＝16p ，1＋(3)2(43p )2＋4×4p 2因为△WAB 的面积为8，所以p ×16p ＝8，得p ＝1，12所以抛物线的方程为y 2＝4x .10．(2017·合肥质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B .(1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程；(2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)．解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为，(－1，12)半径为＝，∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋2＝.|OA |252(y －12)54(2)记A (x 1，)，B (x 2，)．则＝(x 2，)，＝(x 2－x 1，)．x 212p x 22p OB → x 22p AB→ x 2－x 212p 由·＝0知，x 2(x 2－x 1)＋＝0.OB → AB→ x 2(x 2－x 21)4p 2∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x ＋x 1·x 2＝－4p 2，∴x 1＝－.2(x 2＋4p 2x 2)∴x ＝x ＋＋8p 2≥2＋8p 2＝16p 2，当且仅当x ＝，即x ＝4p 2时21216p 4x 216p 4216p 4x 22取等号．又|OA |2＝x ＋＝(x ＋4p 2·x )，注意到x ≥16p 2，21x 414p 214p 2412121∴|OA |2≥(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·，∴S ≥20πp 2，14p 2|OA |24即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x ＝4p 2时取得．2B 组——能力提升练1．已知抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ，点A (0，－)．若射线FA 与抛物3线C 相交于点M ，与其准线相交于点D ，且|FM |∶|MD |＝1∶2，则点M 的纵坐标为( )A ．－B ．－1333C ．－D ．－23233解析：依题意，F 点的坐标为(，0)，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线m4的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MD |＝1∶2，所以|KD |∶|KM |＝∶1，k FD ＝，k FD ＝＝，所以＝，解得m ＝4，330＋3m4－043m 43m 3所以直线FM 的方程为y ＝(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3(舍去)或x ＝，313所以y 2＝，y ＝－或y ＝(舍去)，故点M 的坐标为(，－)，故选D.4323323313233答案：D2．(2018·石家庄质检)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝，则抛物线C 2的方程为( )855A ．y 2＝xB ．y 2＝x85165C ．y 2＝xD ．y 2＝x325645解析：由题意，知直线AB 必过原点，则设AB 的方程为y ＝kx (k >0)，圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝＝＝，解得k ＝2(k ＝－2舍2k 2＋122－(455)2255去)．由Error!，可取A (0,0)，B (，)，把(，)代入抛物线方程，得()85165851651652＝2p ·，解得p ＝，所以抛物线C 2的方程为y 2＝x ，故选C.85165325答案：C3．已知点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x ＋)2＋(y －4)2＝1上，则|PQ |的最12小值为( )A.－1 B.－1352332C ．2－1D.－1310解析：设点P (y 2，y )(y ∈R)，圆(x ＋)2＋(y －4)2＝1的圆心为A (－，4)，则1212|PA |2＝(y 2＋)2＋(y －4)2＝y 4＋2y 2－8y ＋，令t ＝y 4＋2y 2－8y ＋，则12654654t ′＝4y 3＋4y －8，令m ＝t ′＝4y 3＋4y －8，则m ′＝12y 2＋4>0，所以m ＝t ′＝4y 3＋4y －8在R 上是增函数，因为t ′|y ＝1＝0，所以y ＝1为t ＝y 4＋2y 2－8y ＋的极小值点也是最小值点，所以|PA |2＝t 的最小值为，所654454以|PA |的最小值为，所以|PQ |的最小值为－1，故选A.352352答案：A4．(2018·山西八校联考)已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FB |＝2|FA |，则AB 的长度为．解析：依题意知P (－1,0)，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|FB |＝2|FA |，得x 2＋1＝2(x 1＋1)，即x 2＝2x 1＋1　①，∵P (－1,0)，则AB 的方程为y ＝kx ＋k ，与y 2＝4x 联立，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0，即k 2<1，x 1x 2＝1　②，由①②得x 1＝，则A (，)，12122∴k ＝＝.∴x 1＋x 2＝，2－012－(－1)22352|AB |＝＝.(1＋89)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]172答案：1725．(2018·昆明市检测)设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线y ＝(k >0)与kx C 交于点A ，直线FA 恰与曲线y ＝(k >0)相切于点A ，FA 交C 的准线于点B ，kx 则等于．|FA ||BA |解析：由Error!解得Error!由y ＝，得y ′＝－，kx kx 2所以k FA ＝＝－，化简得k ＝，32pk k32pk－p2k k 234p 2k 2p 242所以x ＝＝，k32pk p 4＝＝＝.|FA ||AB ||xF －xA ||xA －xB |p 2－p 4p4－(－p2)13答案：136．(2017·唐山统考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，·＝12.OA→ OB → (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝＝4.y 21y 24p 2因为·＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，OA→ OB → 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，①又|AB |＝|y 1－y 2|1＋m 2＝，②(1＋m 2)(16m 2－32)由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝±.3所以，直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0或x －y ＋2＝0.337.如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和.(－12，32)(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解析：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和，(－12，32)∴r 2＝2＋2＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.(－12)(32)∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y ＝kx ＋1，联立Error!，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0，∴x B ＝，1－2kk 2y B ＝，即B，∴k BQ ＝，1－kk (1－2k k 2，1－k k )k1－2k 联立Error!，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－，y A ＝，2kk 2＋11－k 2k 2＋1即A，∴k AQ ＝－，(－2kk 2＋1，1－k 2k 2＋1)1k ∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0，∴－＝0，解得k ＝－1±，k 1－2k 1k 2由图形可得k ＝－1－应舍去，∴k ＝－1，22∴存在直线l ：y ＝(－1)x ＋1，2使得QP 平分∠AQB .。

2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第三章第八节解三角形应用举例

课时作业 A 组——基础对点练1、一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A 、50 mB 、100 mC 、120 mD 、150 m解析：设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m. 答案：A2.如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A 、北偏东10° B 、北偏西10° C 、南偏东80°D 、南偏西80°解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°. 答案：D3.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°， ∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( ) A 、50 2 m B 、50 3 m C 、25 2 mD.2522 m解析：由正弦定理得AB sin ∠ACB＝AC sin B ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502，故A ，B 两点的距离为50 2 m.答案：A4、(2018·昆明市检测)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A 、1 B.2 C.3 D 、2 解析：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×(－110)＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABCBC ＝2×323＝1，故选A.答案：A5.(2018·西安模拟)游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路、线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处、经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于、解析：依题意，设乙的速度为x m/s ，则甲的速度为119x m/s ，因为AB ＝1 040，BC ＝500，所以AC x ＝1 040＋500119x，解得：AC ＝1 260，在△ABC 中由余弦定理可知cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝8491＝1213，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513. 答案：5136、如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得 ∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝ .解析：由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DB sin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin 45°＝252(3－1)sin (90°＋θ)，即25sin 45°＝252(3－1)cos θ，得到cos θ＝3－1. 答案：3－17.知在岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇、岛A 处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314解析：如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5海里，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°，所以BC 2＝49，BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14. 又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314，所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船、8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解析：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.故P A ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α. 在△PBA 中，由正弦定理得，3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.B 组——能力提升练1、一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A 、102海里 B 、103海里 C 、203海里D 、202海里解析：如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)、答案：A2、如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α＝30°，沿倾斜角β＝15°的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角γ＝60°，则山高h ＝( )A.22a 米B.a 2米C.32a 米D 、a 米解析：在△P AB 中，∠P AB ＝α－β＝15°，∠BP A ＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，所以a sin 30°＝PB sin 15°，所以PB ＝6－22a ，所以PQ ＝PC ＋CQ ＝PB ·sin γ＋a sin β ＝6－22a ×sin 60°＋a sin 15°＝22a (米)、答案：A3、如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)( ) A 、8.4 km B 、6.6 km C 、6.5 kmD 、5.6 km解析：因为AB ＝1 000×160＝503 km ，所以BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝5032(km)、所以航线离山顶的高度h ＝5032×sin 75°＝5032×sin(45°＋30°)≈11.4 km.所以山高为18－11.4＝6.6(km)、答案：B4.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ) ①测量A ，C ，b ②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为( ) A 、3 B 、2 C 、1 D 、0解析：对于①，利用内角和定理先求出B ＝π－A －C ，再利用正弦定理b sin B ＝csin C 解出c ，对于②，直接利用余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 即可解出c ，对于③，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理a sin A ＝csin C 解出c . 答案：A5、(2018·福州市质检)在距离塔底分别为80 m,160 m,240 m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为、解析：设塔高为h m 、依题意得，tan α＝h 80，tan β＝h 160，tan γ＝h240.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝sin (90°－γ)sin γcos (90°－γ)cos γ＝cos γsin γsin γcos γ＝1，所以tan α＋tan β1－tan αtan β·tan γ＝1，所以h 80＋h 1601－h 80·h 160·h240＝1，解得h ＝80，所以塔高为80 m.答案：80 m6、(2018·遂宁模拟)海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A 处北偏东45°的方向，且与A 相距10海里的C 处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时、解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x 小时，如图，则由已知得△ABC 中，AC ＝10，AB ＝21x ，BC ＝9x ，∠ACB ＝120°，由余弦定理得：(21x )2＝100＋(9x )2－2×10×9x ×cos 120°，整理，得36x 2－9x －10＝0，解得x ＝23或x ＝－512(舍)、所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时、答案：237、如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S . (1)求S 关于θ的函数关系式、 (2)求S 的最大值及相应的θ角、解析：(1)分别过P ，Q 作PD ⊥OB 于点D ，QE ⊥OB 于点E ，则四边形QEDP 为矩形、由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ. 在Rt △OEQ 中， OE ＝33QE ＝33PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ， S ＝MN ·PD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－33sin θ·sin θ＝sin θcos θ－33sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. (2)S ＝12sin 2θ－36(1－cos 2θ)＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36＝33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－36，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.当θ＝π6时，S max ＝36(m 2)、8、(2018·宜宾模拟)一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)n mile 到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile 到达海岛C . (1)求AC 的长；(2)如果下次航行直接从A 出发到达C ，求∠CAB 的大小、解析：(1)由题意，在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，AB ＝23－2，BC ＝4，根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC ＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24，所以AC＝2 6.(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝4×3226＝22，所以∠CAB＝45°.。

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课时作业 A组——基础对点练 1．(2017·南昌模拟)方程(x2＋y2－2x)x＋y－3＝0表示的曲线是( ) A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线

解析：依题意,题中的方程等价于①x＋y－3＝0或② x＋y－3≥0，x2＋y2－2x＝0. 注意到圆x2＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－3＝0的左下方区域,即圆x2＋y2－2x＝0上的点均不满足x＋y－3≥0,②不表示任何图形,因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3＝0. 答案：D 2．(2018·呼和浩特调研)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线解析：设椭圆的右焦点是F2,由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＞2c,所以|PF1|＋

|PO|＝12(|MF1|＋|MF2|)＝a＞c,所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆．答案：B 3．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a＞0)且与y轴相交于点A,B,若△ABP为正三角形,则点P的轨迹为( ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线解析：设P(x,y),动圆P的半径为R, ∵△ABP为正三角形, ∴P到y轴的距离d＝32R, 即|x|＝32R. 而R＝|PF|＝x－a2＋y2, ∴|x|＝32·x－a2＋y2. 整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2, 即x＋3a212a2－y24a2＝1. ∴点P的轨迹为双曲线．故选D. 答案：D 4．已知动点P(x,y)与两定点M(－1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为．

解析：由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,所以kPM·kPN＝yx＋1·yx－1＝

λ, 整理得x2－y2λ＝1(λ≠0,x≠±1)．

即动点P的轨迹C的方程为x2－y2λ＝1(λ≠0,x≠±1) 答案：x2－y2λ＝1(λ≠0,x≠±1) 5．在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B－a2，0,Ca2，0(a＞0),且满足条件sin C－sin B＝12sin A,则动点A的轨迹方程是．解析：由正弦定理得|AB|2R－|AC|2R＝12×|BC|2R, 即|AB|－|AC|＝12|BC|, 故动点A是以B,C为焦点,a2为实轴长的双曲线右支．即动点A的轨迹方程为16x2a2－16y215a2＝1(x＞a4且y≠0)．答案：16x2a2－16y215a2＝1(x＞a4且y≠0) 6．(2018·杭州市质检)在平面直角坐标系内,点A(0,1),B(0,－1),C(1,0),点P满足AP→·BP→＝k|PC→|2. (1)若k＝2,求点P的轨迹方程；

解析：(1)由题意,得|MP||MQ|＝5,

即x－262＋y－12x－22＋y－12＝5, 化简,得x2＋y2－2x－2y－23＝0, 所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25. 轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆． (2)当直线l的斜率不存在时,l：x＝－2, 此时所截得的线段长度为252－32＝8, 所以l：x＝－2符合题意．当直线l的斜率存在时,设l的方程为y－3＝k(x＋2),

即kx－y＋2k＋3＝0,圆心(1,1)到直线l的距离d＝|3k＋2|k2＋1,

由题意,得(|3k＋2|k2＋1)2＋42＝52,解得k＝512. 所以直线l的方程为512x－y＋236＝0,即5x－12y＋46＝0. 综上,直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0. B组——能力提升练 1．(2017·深圳调研)已知点F(0,1),直线l：y＝－1,P为平面上的动点,过点P作直

线l的垂线,垂足为Q,且QP→·QF→＝FP→·FQ→,则动点P的轨迹C的方程为( ) A．x2＝4y B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x 解析：设点P(x, y),则Q(x,－1)． ∵QP→·QF→＝FP→·FQ→, ∴(0,y＋1)·(－x,2)＝(x,y－1)·(x,－2), 即2(y＋1)＝x2－2(y－1),整理得x2＝4y, ∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y. 答案：A 2．已知两定点A(－2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|＝2|PB|,则动点P的轨迹是( ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

解析：设P(x,y),则x＋22＋y2＝2x－12＋y2, 整理得x2＋y2－4x＝0, 又D2＋E2－4F＝16＞0,所以动点P的轨迹是圆．答案：B 3．已知过点A(－2,0)的直线与x＝2相交于点C,过点B(2,0)的直线与x＝－2相交于点D,若直线CD与圆x2＋y2＝4相切,则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为．解析：设点M(x,y),C(2,m),D(－2,n),则直线CD的方程为(m－n)x－4y＋2(m＋n)＝

0,因为直线CD与圆x2＋y2＝4相切,所以2|m＋n|m－n2＋16＝2,所以mn＝4,又直线AC与BD的交点为M,

所以 yx＋2＝y－mx－2，yx－2＝y－nx＋2，所以 m＝4yx＋2，n＝－4yx－2，所以－16y2x2－4＝4,所以点M的轨迹方程为x24＋y2＝1(y≠0)．答案：x24＋y2＝1(y≠0) 4．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点M作x轴的垂线,垂足为N,则线段MN中点的轨迹方程为．解析：设MN的中点P(x,y),则点M(x,2y)在椭圆上,

∴x2a2＋2y2b2＝1,即所求的轨迹方程为x2a2＋4y2b2＝1. 答案：x2a2＋4y2b2＝1 5．在△ABC中,|BC→|＝4,△ABC的内切圆切BC于D点且|BD→|－|CD→|＝22,求顶点A的轨迹方程．

解析：以BC的中点为原点,中垂线为y轴建立如图所示的坐标系,E、F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|,|CD|＝|CF|, |AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝22＜|BC|＝4, ∴点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支(y≠0),且a＝2,c＝2,∴b＝2, ∴轨迹方程为x22－y22＝1(x＞2)． 6．(2017·唐山统考)已知动点P到直线l：x＝－1的距离等于它到圆C：x2＋y2－4x＋1＝0的切线长(P到切点的距离)．记动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)点Q是直线l上的动点,过圆心C作QC的垂线交曲线E于A,B两点,设AB的

中点为D,求|QD||AB|的取值范围．解析：(1)由已知得,圆心为C(2,0),半径r＝3.设P(x,y),依题意可得|x＋1|＝ x－22＋y2－3,整理得y2＝6x. 故曲线E的方程为y2＝6x. (2)设直线AB的方程为my＝x－2, 则直线CQ的方程为y＝－m(x－2), 可得Q(－1,3m)．将my＝x－2代入y2＝6x并整理可得y2－6my－12＝0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1＋y2＝6m,y1y2＝－12,D(3m2＋2,3m),|QD|＝3m2＋3. |AB|＝231＋m23m2＋4，

所以|QD||AB|2＝3m2＋343m2＋4＝ 14

1－13m2＋4∈316，14,

故|QD||AB|∈34，12. 7．定圆M：(x＋3)2＋y2＝16,动圆N过点F(3,0)且与圆M相切,记圆心N的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)设点A,B,C在E上运动,A与B关于原点对称,且|AC|＝|BC|,当△ABC的面积最小时,求直线AB的方程．解析：(1)∵F(3,0)在圆M：(x＋3)2＋y2＝16内, ∴圆N内切于圆M. ∵|NM|＋|NF|＝4＞|FM|, ∴点N的轨迹E为椭圆,且2a＝4, c＝3,∴b＝1,

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