现代控制理论 4-2 非奇异线性变换的不变特性

c⎡ 1
⎢ ⎢
s
−
λ1
y ( ) sI
−
A
−1 b
=
⎢ ⎢
⎢
⎢
tc ⎢
⎢⎣
1 s − λ2
O
1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡α1 ⎢⎢α 2 ⎢M ⎢⎣α n
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
α1
s − λ1 α2
s − λ2 M αn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
y = CPP−1(sI − A)−1PP−1B + D tc = C(sI − A)−1B + D = G(s)
A = P−1AP, B = P−1B, C = CP, D = D
系统可控性 不变！
e[ ] rank S′ = rank B AB A2B L An−1B [ a ] ( ) ( ) = rank P−1B P−1APP−1B P−1AP 2 P−1B L P−1AP n−1P−1B c[ ] = rank P−1B P−1AB P−1A2B L P−1An−1B y [ ] = rank P−1 B AB A2B L An−1B tc [ ] = rank B AB A2B L An−1B = rank S
a 可控、可观性、传递函数 不变！ 不可控！
前页
c( ) sI − A −1b
返回
tcy =
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
s
α01 − λ1 α2
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
s
− λ2 M αn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
=
提取最小公分母
(s −1λ1) (s − λ11)(s − λ2 )L(s − λn
零极点对消
)
⎡
00
⎤
c系统可观 ⇔ c(sI－A)-1 不存在零极点对消/
1× n 列线性无关
y 系统可控可观 ⇔ c(sI－A)-1b 不存在零极点对消 tc 1×1 G(s) 传递函数不可约！
返回
单输入单输出
可控 u ⇒ x 令初态为零
⎧x& = Ax + bu
⎨ ⎩
y
=
cx
e sX (s) = AX (s)+ bU (s) ⇒ X (s) = (sI − A)−1bU (s) 前页
⇒ Y (s) = cX (s) = c(sI − A)−1bU (s)
4
⎧x& = Ax + bu
⎨ ⎩
y
=
cx
e向量动态方程的系统结构图 a 前页
cu(t) b
x& (t )
x(t )
y(t )
∫
c
tcy A
返回
P变换
⎧x& = Ax + bu
⎨ ⎩
y
=
cx
x = Px
⇒
⎧x& ⎨ ⎩y
= =
⎢ ⎢
α
2
(s
−
λ1
)(s
−
λ3
)L(s
−
λn
)
⎥ ⎥
⎢⎢⎣ααnn((ss−−λλ11))((ss−−MλλM22))LL((ss−−λλnn−−11))⎥⎥⎦
⎢⎣ s − λn ⎥⎦
6
可可控控性性
⎡λ1
⎢
A = P−1AP = ⎢ ⎢
⎢
e⎣
λλ21
O
⎤
⎡α1 ⎤
⎥ ⎥
b
=
P −1b
=
⎢⎢α 2
零极点 对消
e消去 s－λ1 ⇒ α1β1 = 0
aα1 = 0 β1 ≠ 0 不可控、可观
cβ1 = 0 α1 ≠ 0 可控、不可观
α1 = 0 β1 = 0 不可控、不可观
y 无零极点对消 可控、可观 tc 传递函数不可约
例：判断下列系统的可控、可观性。
e x&
=
⎡− 4 ⎢⎣ 1
5⎤ 0⎥⎦x
− 5⎤ 5 ⎥⎦
=
1
返回
例：判断下列系统的可控、可观性。
e x&
=
⎡− 4 ⎢⎣ 1
5⎤ 0⎥⎦x
+
⎡− 5⎤ ⎢⎣ 1 ⎥⎦u,
y = [1 －1]x + u
解:
aY(s)
U (s)
=
c(sI − A)−1b
=
(s
+
1
5)(s
−1)
[s
−1
1− s]⎢⎣⎡−15⎥⎦⎤
c可控、不可观
=
− 6s +
不变！
tc ( ) sI−A −1b
可控、可观性
( ) ( ) c sI − A −1 c sI − A −1b
传递函数
5
可可控控性性
⎡λ1
⎢
A = P−1AP = ⎢ ⎢
⎢
e⎣
λ2
O
⎤
⎡α1 ⎤ α1 = 0
⎥ ⎥ ⎥
b
=
P −1b
=
⎢⎢α 2
⎥ ⎥
⎢M⎥
全零行
λn
⎥ ⎦
⎢⎣α
n
⎥ ⎦
a 可控、可观性、传递函数 不变！ 不可控！ 返回
2
A = P−1AP, B = P−1B, C = CP, D = D
系统可观测性 不变！
[ e ] ( ) ( ) rank V′ = rank CT AT CT AT 2 CT L AT C n−1 T
a ( ) ( ) = rank ⎢⎣⎡(CP)T P−1AP T (CP)T
c( ) ( ) ( ) L
5⎤ ⎥ ⎦
=
(s
(s −1) + 5)(s −
1)
⎡− 5⎤
⎢ ⎣
1
⎥ ⎦
tc 不可控！
rank[b
Ab]
=
rank
⎡− 5
⎢ ⎣
1
25 ⎤ − 5⎥⎦
=
1
判据 返回
10
例：判断下列系统的可控、可观性。
e x&
=
⎡− 4
⎢ ⎣
1
5⎤ 0⎥⎦x
+
⎡− 5⎤
⎢ ⎣
1
⎥u, ⎦
y = [1 －1]x + u
第四章 线性定常系统的线性变换
ae §1 状态空间表达式的线性变换 c§2 非奇异线性变换的不变特性 tcy §3 线性定常系统的结构分解
以P变换 ⎧x& = Ax + Bu 为例 ⎩⎨y = Cx + Du
x = Px
⇒
⎧x& ⎨ ⎩y
= =
P y
−1APx + P−1Bu = CPx + Du
e 对角标准形 a 约当标准形
−
λn
)
[0
L
β2 (s − λ1)(s − λ3 )L(s − λn ) βn (s − λ1 )(s − λ2 )L(s − λn−1 ) ]
可可观观性性 ⎡λ1
⎤
⎢ A = P−1AP = ⎢
λλ21
⎥ ⎥
⎢
O⎥
e⎢
⎣
λn
⎥ ⎦
可控、可观性 传递函数
不变！
a c = cP = [β1 β2 L βn ] 不可观！
ca =
α1β1
(s
−
λ2
)(s
−
λ3
)
+ α2β2 (s − λ1 )(s − λ3 ) (s − λ1)(s − λ2 )(s − λ3
+
)
α
3β
3
(s
−
λ1
)(s
−
λ2
)
tcy 何时消去 s－λ1？⇒α1β1 = 0
9
∑ ( ) Y (s)
U (s)
=
c
sI − A
−1 b
=
n i =1
αiβi s − λi
λ2
O
⎤
⎥
⎥
⎥
λn
⎥ ⎦
⎡α1 ⎤
b
=
P −1b
=
⎢⎢α 2
⎥ ⎥
⎢M⎥
前页 返回
⎢⎣α
n
⎥ ⎦
ac = cP = [β1 β2 L βn]
c可控、可观性 不变！ ⎡ 1
传递函数
⎢ ⎢
s
−
λ1
y ( ) c sI − A −1b = [β1 β2 L βn ]⎢⎢ ⎢
tc ∑ Y(s)
U (s)
=
n i =1
αiβi s − λi
⎢ ⎢ ⎢⎣
1 s − λ2
⎤
O
1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡α1 ⎢⎢α 2 ⎢M ⎢⎣α n
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
s − λn ⎥⎦
∑ ( ) Y (s)
U (s)
=
c
sI − A
−1 b
=
n i =1
αiβi s − λi
零极点 对消
前页
返回
e∑ 例如 3 αiβi = α1β1 + α2β2 + α3β3 i=1 s − λi s − λ1 s − λ2 s − λ3
1
A = P−1AP, B = P−1B, C = CP, D = D
系统传递矩阵 不变！
e G′(s) = C(sI − A)−1B + D a( ) = CP sI − P−1AP −1P−1B + D c ( ) = CP P−1sIP − P−1AP −1P−1B + D