高考数学一轮复习课时训练 不等关系与不等式 北师大版

A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的( )． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 “a ＋c ＞b ＋d ”/⇒“a ＞b 且c ＞d ”， ∴“充分性不成立”，“a ＞b 且c ＞d ”⇒“a ＋c ＞b ＋d ”． ∴必要性成立． 答案 A2．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( )． A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a解析 由－1＜b ＜0，可得b ＜b 2＜1，又a ＜0，∴ab ＞ab 2＞a . 答案 D3．(2011·全国)下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )． A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3解析 A 项：若a ＞b ＋1，则必有a ＞b ，反之，当a ＝2，b ＝1时，满足a ＞b ，但不能推出a ＞b ＋1，故a ＞b ＋1是a ＞b 成立的充分而不必要条件；B 项：当a ＝b ＝1时，满足a ＞b－1，反之，由a ＞b －1不能推出a ＞b ；C 项：当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2＞b 2，但a ＞b 不成立；D 项：a ＞b 是a 3＞b 3的充要条件，综上知选A. 答案 A4．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0.那么下列选项中一定成立的是( )． A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＜0 C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＞0解析 由a ＞b ＞c 且ac ＜0，得a ＞0，c ＜0，b ∈R .所以可得ab ＞ac . 答案 A5．(2012·福州模拟)若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x＜a 等价于( )．A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a解析 由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0，(1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1a；(2)当x ＜0时，－b ＜1x＜a ⇔x ＜－1b.综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1a.答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知M ＝2(a 2＋b 2)，N ＝2a －4b ＋2ab －7且a ，b ∈R ，则M ，N 的大小关系为________． 解析 M －N ＝2(a 2＋b 2)－(2a －4b ＋2ab －7) ＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋4b ＋4)＋(a 2－2ab ＋b 2)＋2 ＝(a －1)2＋(b ＋2)2＋(a －b )2＋2＞0，∴M ＞N . 答案 M ＞N7．下列四个不等式：①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a ，其中能使1a ＜1b成立的充分条件有________(填序号)．解析 1a ＜1b ⇔b －a ab＜0⇔b －a 与ab 异号，因此①②④能使b －a 与ab 异号．答案 ①②④8．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．解析 ∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z ∈[3,8]． 答案 [3,8] 三、解答题(共23分)9．(11分)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e a －c2＞e b －d2.证明 ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0. ∴0＜1a －c2＜1b －d2.又∵e ＜0，∴e a －c2＞e b －d2.10．(12分)已知f (x )＝ax 2－c 且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝f 1，4a －c ＝f 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13[f 2－f 1]，c ＝－43f1＋13f2.所以f (3)＝9a －c ＝－53f (1)＋83f (2)．因为－4≤f (1)≤－1，所以53≤－53f (1)≤203，因为－1≤f (2)≤5，所以－83≤83f (2)≤403.两式相加，得－1≤f (3)≤20， 故f (3)的取值范围是[－1,20]．B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知ab ≠0，那么a b ＞1是b a＜1的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 a b ＞1即a －b b ＞0，所以a ＞b ＞0，或a ＜b ＜0，此时ba ＜1成立； 反之b a＜1，所以a －ba＞0，即a ＞b ，a ＞0或a ＜0，a ＜b ， 此时不能得出ab＞1. 答案 A2．(2011·上海)若a 、b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )． A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2 ab C.1a ＋1b＞2abD.b a ＋a b≥2解析 对A ：当a ＝b ＝1时满足ab ＞0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错；对B 、C ：当a ＝b ＝－1时满足ab ＞0，但a ＋b ＜0，1a ＋1b＜0，而2ab ＞0，2ab＞0，显然B 、C 不对；对D ：当ab＞0时，由均值定理b a ＋ab ＝2 b a ·ab＝2. 答案 D二、填空题(每小题4分，共8分)3．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则2α－β的取值范围是________．解析 ∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π＜2α＜π，－π2＜－β＜π2，∴－3π2＜2α－β＜3π2，又∵2α－β＝α＋(α－β)＜α＜π2，∴－3π2＜2α－β＜π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π24．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能推出log b 1b ＜log a1b＜log a b 成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号)． 解析 ∵log b 1b＝－1.若1＜a ＜b ，则1b ＜1a＜1＜b ，∴log a 1b ＜log a 1a＝－1，故条件①不可以；若0＜a ＜b ＜1，则b ＜1＜1b ＜1a，∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b，故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则0＜1b＜1，∴log a 1b＞0，log a b ＜0，条件③不可以．答案 ②三、解答题(共22分)5．(10分)已知a ∈R ，试比较11－a与1＋a 的大小．解 11－a －(1＋a )＝a 21－a .①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a . ②当a ＜1且a ≠0时，a 21－a ＞0，∴11－a ＞1＋a .③当a ＞1时，a 21－a ＜0，∴11－a＜1＋a . 综上所述，当a ＝0时，11－a ＝1＋a ；当a ＜1且a ≠0时，11－a ＞1＋a ；当a ＞1时，11－a＜1＋a .6．(12分)(2011·安徽)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c . 解 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．。