四边形典型例题
平行四边形知识点及典型例题
一、知识点讲解：1．平行四边形的性质：四边形ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（2.平行四边形的判定：.3. 矩形的性质：因为四边形ABCD 是矩形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴．4矩形的判定：(1)有一个角是直角的平行四边形； (2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形． ⇒四边形ABCD 是矩形. 两对角线相交成60°时得等边三角形。
5. 菱形的性质：因为ABCD 是菱形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（ 6. 菱形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是菱形.菱形中有一个角等于60°时，较短对角线等于边长；菱形中，若较短对角线等于边长，则有等边三角形；菱形中，两对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边是菱形的边，两直角边分别是两对角线的一半。
菱形的面积等于两对角线长积的一半。
ABDOCABDOCAD BCAD B C OCDB AOCDB A OC DABA BCDO7.正方形的性质：四边形ABCD 是正方形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（8. 正方形的判定：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫++++++对角线互相垂直矩形）（一组邻边等矩形）（对角线相等）菱形（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（54321⇒四边形ABCD 是正方形.9. 1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。
《平行四边形的判定》典型例题知识讲解
《平行四边形的判定》典型例题《平行四边形的判定》典型例题例1如图，△DAB、△EBC、△FAC都是等边三角形，试说明四边形AFED是平行四边形．例2如图，E、F分别是ABCD边AD和BC上的点，并且AE=CF，AF 和BE相交于G，CE和DF相交于H、EF与GH是否互相平分，请说明理由．例3如图，在平行四边形ABCD中，A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4分别是AB和DC的五等分点，C1、C2和D1、D2分别是AD和BC的三等分点，若四边形C1A4D2B1的面积为1，求S平行四边形ABCD.例4已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G.求证：EG=FH.例5如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC=DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形.参考答案例1分析要证四边形AFED是平行四边形，应观察：两组对边是否相等、两组对角是否相等，或一组对边是否平行且相等、对角线是否相互平分．但在本题中没有对角线，也没有明显的对角之间的关系，因此可以先考虑去证明四边形AFED的对边是否相等．事实上，AD=AB=BD，EF是否能等于这三条边中的一条呢？可以看到，∴EF=AB=BD．同理DE=AC=AF，因此，所要证的四边形AFED是平行四边形．证明，∴，且，∴，∴又，同理．∴AFED是平行四边形．例2分析若EF、GH互相平分，那么四边形EGFH应是平行四边形．观察已知条件，可以证明四边形EGFH是平行四边形．证明是平行四边形，∴又，∴，且∴四边形AECF是平行四边形，∴，∴又四边形EDFB是平行四边形，∴，∴在四边形GEHF中，，∴四边形GEHF是平行四边形，∴EF和GH互相平分．说明：本题中多次使用了平行四边形的性质：对边平行且相等以及平行四边形的判断方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形．通过解题应熟悉平行四边形的性质及判别．例3 分析平行四边形ABCD被和分别成15个相等的小平行四边形。
第1章特殊平行四边形《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型-北师大版九年级数学上册
《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】 总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确； （3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。
期末典例专练07：平行四边形、梯形基本题型和周长应用问题-四年级数学上册典型例题系列(原卷版)人教版
四年级数学上册典型例题系列期末典例专练07：平行四边形梯形基本题型和周长应用问题一、填空题。
1．两个完全一样的梯形能拼成( )、( )和( )。
2．把长方形拉成平行四边形它的周长( )（填“变”或“不变”），依据是( )。
3．图中a∥b，两条平行线之间有( )个梯形，( )个平行四边形。
4．平行四边形和梯形都有( )条高，如图的梯形中，高为( )厘米。
5．用一根铁丝围成了平行四边形（如图），这个平行四边形的周长是( )cm，如果用这根铁丝围成一个半圆形，半圆形的周长是( )cm。
6．两个完全相同的梯形，上底长3cm，下底长5cm，高4cm，把它们拼成一个平行四边形，则这个平行四边形的底是( )cm，高是( )cm。
7．下图是用两个完全一样的梯形拼成的平行四边形，已知梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，高4厘米，那么平行四边形的底是( )厘米，对应的高是( )厘米。
8．一个等腰梯形的上底是8厘米，下底是12厘米，一条腰长14厘米，它的周长是( )厘米。
9．一个等腰梯形的周长是28厘米，上底与下底的和是14厘米，这个等腰梯形的腰是( )厘米。
10．一个直角梯形的高是20厘米，其中一条腰长25厘米，如果上底增加5厘米，就变成正方形，那么原来梯形的周长是( )厘米。
二、解答题。
11．一根48厘米长的铁丝刚好围成一个平行四边形，其中一条边长15厘米，其他三条边的长度各是多少厘米？12．一面平行四边形镜子的一条边是15厘米，它的一条邻边比它长5厘米。
如果用木条给这面镜子的边缘镶上镜框，至少需要多长的木条？13．劳动教育是五育并举中的重要一环，衡阳市一所小学特地在后山开辟一块等腰梯形的菜地，上底长12米，下底长15米，腰长13米。
这块菜地的周长是多少米？14．一个等腰梯形，它的下底比上底长9厘米，上底和一条腰的长都是6厘米，这个梯形的周长是多少厘米？15．一块菜地是一个等腰梯形，它的腰长7米，上底长12米，下底比上底长4米，如果在菜地四周围上篱笆，至少需要篱笆多少米？16．将一个平行四边形分割成两个完全相同的等腰梯形，如图所示。
四年级数学上册典型例题系列之第5单元：平行与垂直、平行四边形与梯形综合作图专项练习(解析版)人教版
四年级数学上册典型例题系列之第五单元：平行与垂直、平行四边形与梯形综合作图专项练习（解析版）1．过A点分别画已知直线的平行线和垂线。
【答案】见详解【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可。
（2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。
【详解】【点睛】本题考查了平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力。
2．过点A分别画出直线的垂线和平行线。
【答案】见详解【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线，并画上垂直符号。
这条直线就是已知直线的垂线；过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。
固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的A点在三角尺上。
沿直角边画出另一条直线即可。
【详解】【点睛】熟练掌握用三角板画平行线和垂线的方法，是解答此题的关键。
3．小东要去河边画画，请你画出从A点处到河边的最短路线。
【答案】见详解【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。
据此可知，要求从A点处到河边的最短路线，则从A向河边作垂线，这条垂线即为所求。
【详解】【点睛】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。
这个性质常用于解决求最短路线的问题。
4．阳光小区的居民准备安装天然气管道，为了节省安装费用，请帮助工人叔叔设计出安装管道的最短路线。
【答案】见详解【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。
据此可知，要使装管道的路线最短，则从阳光小区向天然气管道作垂线，这条垂线即为所求。
平行四边形的判定例题和练习题
平行四边形的判定【知识要点】平行四边形的边的方面的判定：（1）（3）【典型例题】例1、如图，ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AM=CN，DE=BF.求证：四边形MFNE为平行四边形例2、已知：如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且OA=OC，AB∥DC，求证：四边形ABCD是平行四边形CD【知识要点】平行四边形角的方面和对角线的方面的判定（1）由角方面的判定（2）由对角线方面的判定【经典例题】例1、如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证四边形BEDF是平行四边形。
例2、已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别是OC、OD中点．连接AF、BE，求证：AF//BE.练习1、如图，在 ABCD 中，AE=CG ，求证：GF=HE 。
2、如图，AB//CD ，∠ABC=∠ADC ，AE=CF ，BE=DF ，求证：EF 与AC 互相平分。
3、已知：如图，在平行四边形ABCD 中，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，又M 、N 分别是DC 、AB 的中点。
求证：四边形EMFN 是平行四边形。
·A BCDEFHACNM4、已知：如图，分别以△ABC 的三边为边长在BC 边的同侧面作等边△ABD 、△BCE 、△ACF ，连结DE 、EF 。
求证：四边形ADEF 是平行四边形。
5、如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别为CB 、BA 上的点，且CD=BF ，以AD为一边作等边△ADE 。
求证：（1）△ACD ≌△CBF ；（2）四边形CDEF 为平行四边形。
6、如图，以ABCD 的边AD 、BC 为一边向外作等边△ADE 和等边△BCF ，连结AC 、EF 求证：AC 和EF 互相平分EFCB。
等底等高的三角形和平行四边形问题-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列(教师版)苏教版
第二单元专练篇·06：等底等高的三角形和平行四边形问题一、填空题。
1．一个长方形的面积是50平方厘米，从中剪出一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )平方厘米。
【答案】25【分析】在这个长方形中剪下的最大三角形的底等于长方形的长（或宽），高等于长形的宽（或长），根据等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，用长方形的面积除以2解答。
【详解】50÷2＝25（平方厘米）所以这个三角形的面积是25平方厘米。
2．一个平行四边形的面积是72cm2，与它等底等高的三角形的底是18cm，这个三角形中与这条底对应的高是( )cm。
【答案】4【分析】等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，用平行四边形面积÷2，求出三角形面积；再根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，高＝面积×2÷底，代入数据，即可解答。
【详解】72÷2×2÷18＝36×2÷18＝72÷18＝4（cm）一个平行四边形的面积是72cm2，与它等底等高的三角形的底是18cm，这个三角形中与这条底对应的高是4cm。
3．一个三角形和一个平行四边形的面积和底都相等，如果平行四边形的高是3厘米，那么三角形的高是( )厘米。
【答案】6【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高；一个三角形和一个平行四边形的面积和底相等，设三角形和平行四边形的面积均为12平方厘米，计算出平行四边形的底；用12乘2，再除以平行四边形的底，所得结果即为三角形的高。
【详解】设三角形和平行四边形的面积均为12平方厘米。
12÷3＝4（厘米）这个三角形的底为4厘米。
12×2÷4＝24÷4＝6（厘米）因此这个三角形的高是6厘米。
4．一个三角形的底是8分米，高是6分米，和它等底等高的平行四边形的面积是( )平方分米。
数学 四边形之长方形知识点总结 附典型例题
数学四边形之长方形知识点总结附典型例题
长方形是四边形的一种，它的对边相等，并且每个角都是直角。
以下是一些关于长方形的基本知识点，以及一些例题。
知识点总结：
1. 定义：长方形是一个四边形，其中对边相等且每个角都是直角。
2. 性质：
对边相等：长方形的对边长度相等。
四个直角：长方形的每个角都是直角。
对角线相等：长方形的对角线长度相等。
3. 周长和面积公式：
周长公式：P = 2(l + w)，其中l是长度，w是宽度。
面积公式：A = l × w，其中l是长度，w是宽度。
典型例题：
1. 题目：一个长方形的周长是20厘米，长是a厘米，则宽是 ( )
A. (20 - a)厘米
B. (20 - 2a)厘米
C. (10 - a)厘米
D. 10 - a厘米
答案：C
2. 题目：已知一个长方形的周长是20厘米，则这个长方形的面积最大是多少平方厘米．
答案：解：假设这个长方形的长为a厘米，宽为b厘米．
由题意得：2（a+b）=20，
a+b=10；
长方形的面积=长×宽，所以要求长方形的面积最大就是要用长和宽的积最大，所以当a=5时，b=5时，面积最大．
即：5×5=25（平方厘米）．
答：这个长方形的面积最大是25平方厘米．。
北京市2013届中考数学二轮专题突破《四边形中档解答题》(知识概括+典型例题点拨)
在 Rt△AFB 中， BF 1 ∵cosB＝AB＝ ， 2 ∴∠B＝60°. ∵BF＝1， ∴AF＝ 3. ∵FC＝3，由勾股定理，得 AC＝2 3. ∴∠B＝60°，AC＝2 3.
方法二：过 A 点作 AE∥DC 交 BC 于点 E. ∵AD∥BC， ∴四边形 AECD 是平行四边形． ∴AD＝EC，AE＝DC. ∵AB＝DC＝AD＝2，BC＝4， ∴AE＝BE＝EC＝AB. 可证△BAC 是直角三角形，△ABE 是等边三角形． ∴∠BAC＝90°，∠B＝60°. 在 Rt△ABC 中，AC＝AB· tan60°＝2 3. ∴∠B＝60°，AC＝2 3.
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热考一
四边形中有关计算
例 1 四边形 ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠CAB＝30°，DE⊥AC 于 E， 且 AE＝CE， 若 DE＝5， EB＝12， 求四边形 ABCD 的周长．
解：∵∠ABC＝90°，AE＝CE，EB＝12， ∴EB＝AE＝CE＝12. ∴AC＝AE＋CE＝24. ∵在 Rt△ABC 中，∠CAB＝30°， ∴BC＝12，AB＝AC· cos30°＝12 3. ∵DE⊥AC，AE＝CE，∴AD＝DC. 在 Rt△ADE 中， 由勾股定理得 AD＝ AE2＋DE2＝ 122＋52＝13. ∴DC＝13. ∴四边形 ABCD 的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝38＋12 3.
例 3 如图 Z3－3，在梯形 ABCD 中， AD∥BC， ∠B＝90°， ∠C＝45°， AD＝1，BC＝4，E 为 AB 的中点， EF∥Dຫໍສະໝຸດ 交 BC 于点 F，求 EF 的长.
解： 方法一：如图，过点 D 作 DG⊥BC 于点 G. ∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝90°.∴四边形 ABGD 为矩形． ∴BG＝AD＝1，AB＝DG. ∵BC＝4，∴GC＝3. ∵∠DGC＝90°，∠C＝45°， ∴∠CDG＝45°.∴DG＝GC＝3. ∴AB＝3. 又∵E 为 AB 的中点，∴BE＝ ∵EF∥DC，∴∠EFB＝45°. 在△BEF 中，∠B＝90°. ∴EF＝ BE 3 2 ＝ . 2 sin45° 1 3 AB＝ . 2 2
特殊平行四边形典型例题
特殊的平行四边形复习几种特殊的平行四边形的特征及识别方;去一览表边4角4对角线Q对称性2识别方迭Q口P P P矩形|护菱形0.正方形P1.Mffl； BUftAABC 中zTABC 的平弁堀DE//BC交AB 于E, DF AB交BC于斷四边形BFDE的形状并说明理由屮例2.已知如虱平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分W垢边AEk BC分别交于臥F。
试判断四边形AFCE的形状并说明理由.屮T例3.如亂点\【是矩形ABCD的边AD中点，点P是B6 边上一动点，PE丄\IC, PF丄BM,垂足分别为E、F。
*（1〉当四边形PEXff为矩形时，矩形ABCD的长与宾应满足什么条件？"＜2＞在（1＞中，当点卩运动至卅么位羞时，四边形PEX1F 变为正方形？为什么？ 2例4.已知妇图'奏形ABCD中，E是BC上一点'AE、BD交干M,若AB=AE,"iZEAI>2ZBAEo 求证：卩（-）迭择1•对为线相竽的四边形星（HA.矩形B.正方形C.等脖梯形D.矩形、正方形、等腰佛形作为结论都不对a2.下面几种说法：①正方形是有一组对边平行的四丈形;②矩形是菱形;③矩形是正方形④正方邢是矩形•那么（戸A.①②©④都不正确；B.只有②是错误的；C只有④是正确的；D.只有②③是错的。
3.有三个角相等的四边形是（〉aA•矩形 D.菱形C.正方形D-矩形、菱形、正方形作沟结论都不只扣4.下面几种说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行一组邻边相等的四边是菱形；③两条对角线相等的平行四边形定矩形；④对角线互相平分耳垂直的四边形是菱形，那么正确的i兑法是（〉和A.①②③B.②③C.③④D.②④a5 .下列團形既是中心对称又是轴对称團形的是（*A•平行四边形不或巨形； B.矩形和菱形屮C.正三角形和正方形；D.平行四边形和正方形a<5.矩形两杂对角絃文点到V、边距离比到大边距离多4厘米，若矩形周长为50厘米，贝U矩形两邻边长九（”A.18相10厘米B. 1（5相12厘米C.8相10厘米D.5和9厘抹>*（二）解翻"1.菱形ABCD中，ZA=60° ,对角线BD=2,求菱形的周长。
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如图：在梯形ABCD中，
21．已知：在△ABC中，∠ABC=-90°，点B在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，
且点M为EC中点，连接BM，DM．
(1)如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关
系，并直接写出你得到的结论；
(2)如图2，若点E在BA延长线上，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想
并加以证明：
20．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M从D点出发，以1个单位／秒的速度
沿DA向终点A运动，同时动点N从A点出发，以2个单位／秒的速度沿AB向终点B
运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N作NP⊥AB，交AC于点P1连结MP．已
知动点运动了x秒．
(1)试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S
的最大值；
(2)在这个运动过程中，△MPA能否为一个等腰三角形．若能，求出所有x的对应值；
若不能，请说明理由．