2012-2013第二学期概率论与数理统计试卷 参考答案

重庆大学概率论与数理统计课程试卷
2012 ~2013 学年 第 二 学期
开课学院： 数统学院 课程号：10029830 考试日期：
考试方式：
考试时间： 120分钟
分位数：220.005
0.975
(39)20,(39)58.12
χχ==，
0.975 1.96
u =，
(2.68)0.9963,(1.79)0.9633Φ=Φ=，0.025(35) 2.0301t =
一、填空题（每空3分，共42分）
1.
已知()0.3P A =，()0.4P B =，
()0.5P AB =，则()P B A B ⋃= 0.25 。

2.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复），则取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率为 0.602 。

3.从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，则取出的3个数之积能被10整除的概率为 0.214 。

4.一个有5个选项的考题，其中只有一个选择是正确的。

假定应 考人知道正确答案的概率为
p 。

如果他最后选对了，则他确实知
道答案的概率为5
41
p
p +。

5.重复抛一颗骰子5次得到点数为6 的次数记为X ，则(3)P X >
= 13/3888 。

6.设X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则(4)P X ==0.0902 。

7.设圆的直径X 服从区间（0,1）上的均匀分布，则圆的面积Y 的密度函数为1//4()0 ,Y y f y else
π⎧<<⎪=⎨
⎪⎩。

8.已知(,)(1,9;0,16;
0.5) ,3
2
X Y X Y N Z -=+ 且，则Z 的密度函数
2
1()36
z Z f --（z ）。

9.设总体2(,)X N μσ ，其中2σ已知，从该总体中抽取容量为40n = 的样本1,240,,X X X ，则()222110.5 1.453n
i
i P X X n σσ=⎧
⎫≤
-≤⎨⎬⎩⎭∑= 0.97。

10.设1,210,,X X X 是来自总体2(0,)X N σ 的样本，则Y =
服从 t(8) 。

11.设由来自总体(,0.81)X N μ 容量为9的样本，得样本均值为
5x =，则参数μ的置信度为0.95的置信区间为（4.412,5.588）。

12.设12,,,n x x x 是来自(,1)N μ的样本，考虑如下假设检验问题
01=2 vs :3H H μμ=：，若检验由拒绝域为{}2.6W x =≥确定，则当
20n =时检验犯第一、二类错误的概率分别为 0.0037、0.0367。

命
题人：
组题人：
审
题人：
命
题时间：
教务处制
学院 专业、班 年级 学号 姓名
公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊
封
线
密
二、 （18分）设随机变量(),X Y 的联合密度函数为 , 0(,)0 ,y cxe x y f x y else -⎧<<<+∞=⎨⎩
（1）求常数c ；
（2）X Y 与是否独立？为什么？ （3）求Z X Y =+的密度函数 （4）求(min(,)1)P X Y <
解：（1）1=(,)1f x y dxdy c +∞+∞
-∞-∞⇒=⎰⎰ （2）,0
()(,)0 ,0x
X xe x f x f x y dy x -+∞
-∞
⎧>==⎨≤⎩
⎰
21e ,0
()(,)2
0 ,0
y
Y y y f y f x y dx y -+∞
-∞
⎧>⎪==⎨⎪≤⎩⎰
由于0,(,)()()X Y x y f x y f x f y <<<+∞≠⋅，故X 与Y 不独立。

（3）
2
1,0
()(,)20 ,0z
z Z z e e z f z f x z x dx z --+∞
-∞
⎧⎛⎫+-≥⎪ ⎪=-=⎨⎝⎭⎪<⎩
⎰
（4）
1
1
0(min(,)1)1(1,1)
5112
v v P X Y P X Y dv ue du e +∞
--<=-≥≥=-
=-⎰
⎰
三、（10分）设两个随机变量,X Y 相互独立，且它们都服从于均
值为0，方差为0.5的正态分布，求X Y -的数学期望与方差。

解：根据已知条件，可知(0,1)X Y N -
2
2x E X Y dx +∞
--∞
-==
⎰
()()()()22
2
2
()1
2()1E X Y D X Y E X Y D X Y E X Y E X Y π
⎡⎤-=-+-=⎣⎦
⎡⎤⇒-=-+-=-⎣⎦
四、（10分）已知正常男性血液中每毫升白细胞数平均是7300，标准差是700，试估计每毫升血液中白细胞数在5200——9400之间的概率。

解：设每毫升血液中白细胞数为X ， 则7300,700X EX σ== 由切比雪夫不等式，得
()()2
2
8520094002100121009X
P X P X EX σ<<=-<≥-
=
五、（14分） 123
12(,),0,1,2, 0 <;
!
6(,)(),0,,,,,,x X Y n
n e X f x x x y
Y f y x y X X X Y Y Y X Y θ
θθθλλλλ
-==<+∞=
-<< 设总体具有密度函数且总体具有密度函数；及为分别来自于总体和总体的样本。

求
（1）θ的极大似然估计ˆ
θ； （2）λ的矩估计ˆ
λ；
（3）ˆλ的方差。

解： (1)
()111
1
11
1!!
ln ()ln ln(!)
1ln ()01ˆi
i x
n
n
x n i i i i n n
i i i i n i i n i i L e
e x x L n x x d L n x d X X n θ
θ
θθθθθθθθθθ--======∑==⇒=-+-⇒=-+=⇒==∏∏
∑∑∑∑
(2)
2
3
6()()2
ˆ2Y y EY yf y dy y dy Y
Y λ
λ
λλλ
+∞
-∞==-=
=⇒=⎰
⎰
(3)
12
2
14ˆ()(2)4()4()ˆ ()20
5n i i D D Y D Y D Y DY
n n DY D n
λλλλ
======
∴=∑
六、（6分）
假设某次考试的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。

解：假设该次考试的学生成绩为X ，0.05α=，则
2
(,)X N μσ 。

提出检验假设01:70,:70H H μμ=≠
由于2
σ
未知，选择统计量X t =
拒绝域为{}2(1) 2.0301t t n t α⎧⎫>-=>⎨⎬⎩⎭
得 1.4 2.0301t =
=<
所以接受原假设，可以认为全体考生的平均成绩为70分。