高二文科数学数列专题

数列专题

（一）数列求和

1．公式法。（直接用等差、等比数列的求和公式求和）

d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ； ?????≠--==)1(1)1()

1(11q q

q a q na S n n 公比含字母时一定要讨论

例1：已知等差数列．．．．}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和n S ．

例2.已知等比数列．．．．}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和n S ．

练习1.设4

7

10

310

()22222()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于（ ）

A.

2(81)7n - B.12(81)7n +- C.32

(81)7n +- D.

4

2(81)7

n +- 练习2.求和：13579(21)n ++++++-

2．分组求和法 n n n c a b =+，{}n a 、{}n b 是等差或等比数列，则采用分组求和法 例3：)12()1(7531--+?++-+-=n S n n

练习3（1）求数列1，2+

21，3+41，4+81，…，12

1

-+n n 的前n 项和。

练习3（2）已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和Sn ．

姓名：_____________ 学号：_____________

3．错位相减法：（乘以式中的公比q ，然后再进行相减） {}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 例4．求和21123n n S x x nx -=++++ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）

练习4（1）化简：n n n S 2222121?+?+?+?=

练习4(2)．求和：n n a

n a a a S ++++= 32321

练习4(3).设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，

5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）求数列n n a b ??

????

的前n 项和n S ．

4．裂项相消法 (把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项) 常见拆项：

111)1(1+-=+n n n n ；

)211(21)2(1+-=+n n n n ； 1111

()()n n k k n n k =-++

)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ； ]

)2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n

例5．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1

(1)

n a n n =

+，则5S 等于（ ）

A ．1

B ．

56 C ．16 D ．130

练习5（1）．已知数列}{n a 的通项公式为1

(1)

n a n n =+，求前n 项的和．

练习5（2）．若数列1111

,,,,1(12)2(22)3(32)(2)

n n ?????,则此数列的前n 项和为____．

练习5（3）．若数列的通项公式为)

12()12(1

+?-=n n b n ,则此数列的前n 项和为_________．

例6.已知数列}{n a

的通项公式为n a =，求前n 项的和．

练习6（1）．

?则此数列的前n 项和为______

练习6（2）．已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝12n +，设13242111

n n n T a a a a a a +

=+++??? ，求n T ．

练习6（3）．求)(,32114321132112111*N n n

∈+++++++++++++++ 。

5．倒序相加法求和

例7：求22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89n S =+++++ ．

（二）数列求通项

1．公式法（定义法） 根据等差数列、等比数列的定义求通项

例1.已知数列}{n a 满足12,a =11(2)n n a a n --=?，求数列}{n a 的通项公式．

练习1.数列{}n a 满足1a =8，42a =，2120n n n a a a ++-+=且（*

∈N n ）

，求数列{}n a 的通项公式．

例2.已知数列}{n a 满足112,3n n a a a +== ，求数列}{n a 的通项公式．

练习2（1）已知数列}{n a 满足32

1112,8,n n n a a a a a +-===?，求数列{}n a 的通项公式．

练习2（2）已知数列}{n a 满足21

1,21

1=-

=+n

n a a a ，求数列{}n a 的通项公式．

2.作差法 利用1

1(1)(2)

n n n S n a S S n -=?=?

-≥?求通项．

例3.数列{}n a 的前n 项和21n S n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}n a 是等差数列吗？（3）你能写出数列{}n a 的通项公式吗？

练习3(1)．已知数列{}n a 的前n 项和，142+-=n n S n 则

练习3(2)．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，53n n a S =-，求数列{}n a 的通项公式．

练习3(3)．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，111,21n n a a S +==+，求数列{}n a 的通项公式．

练习3(4)．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11

3

n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．

练习3(5)．已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*125()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．

姓名：_____________ 学号：_____________

3. 累加法 1+n a =n a +)(n f 型 n a =（n a －1-n a ）+（1-n a －2-n a ）+…+（2a －1a ）+1a

若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例4．已知数列{n a }满足1a =1，1+n a =n a +n

2（n ∈N +），求n a .

练习4(1)：已知数列{n a }满足1a =1，1+n a =n a +n 2（n ∈N +），求n a

练习4(2)．设数列}{n a 满足21=a ，12123-+?=-n n n a a ，求数列}{n a 的通项公式

4．累乘法（累积法）

)(1n g a a n n =+型n a =1-n n a a .21--n n a a (1)

2a a

·1a 若1()n n a f n a +=，则312

12(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +=== ，，，，

两边分别相乘得111

1()n

n k a a f k a +==?∏

例5．已知数列{n a }满足n a a n

n =+1

（n ∈N +）

，1a =1，求n a .

练习5(1)：已知数列{n a }满足n n

n a a 21

=+（n ∈N +）

，1a =1，求n a .

练习5(2)：已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 1

1+=

+，求n a 。

5．待定系数法 1+n a =p n a +q 型（p 、q 为常数） 令1+n a －n a =)(1--n n a a p ，构造等比数列 例6．已知{n a }的首项1a =a （a 为常数），n a =21-n a +1（n ∈N +，n ≥2），求n a .

练习6（1）．已知{n a }的首项1a =2，n a =21-n a +1（n ∈N +，n ≥2），求n a .

练习6（2）．数列已知数列{}n a 满足111

,41(1).2

n n a a a n -==+>则数列{}n a 的通项公式=

6.倒数变换法，整体代换法（换元法） 例7．已知数列{}n a 满足11

1111,2n n a a a +=-

=，证明1

{}n

a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式．

例8．已知数列{}n a 满足112,12

n

n n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。

练习7（1）.已知数列{a n }中，,21,111n

n

n a a a a +==+求这个数列的第n 项n a

练习7（2）．已知数列{}n a 满足22

111,4n n a a a +=-=，求数列{}n a 的通项公式．

练习8（1）．已知数列{}n a 满足111,2(2)3n n a a a +=+=+?，求数列{}n a 的通项公式．

练习8（2）．已知数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n n n n a a ++-=-（*

∈N n ），求数列{}n a 的通项

公式．

总结：对于特殊的数列关系式，求通项公式n a 的核心思想是变形构造成等差或等比数列．