有限维线性空间中的一个推论的应用

§4.4-5 线性空间的同构

§4.4 线性空间的同构 下面讨论同构的概念在线性空间中的应用，以便将两个线性空间进行比较。设V 与V '都 是数域P 上的线性空间，在V 与V '上各有加法和数量乘法运算，并且都用普通的加法和乘法符号表示。 定义4.4.1 设V 与V '都是数域P 上的线性空间，如果存在V 到V '上的双映射σ满足 （1） )()()(βσασβασ+=+； （2） )()(ασασk k =， 其中βα,是V 中任意向量，k 是数域P 中任意数，则称σ为V 到V '的同构映射，并且称V 与V '是同构的。 同构的线性空间具有如下性质。 定理4.4.1 设V 与V '是数域P 上的同构线性空间，σ为V 到V '的同构映射，则 （1） )0(σ=0； （2） 对任意V ∈α，)()(ασασ-=-； （3） 如果m αα,,1 是V 的一个向量组，∈m k k ,,1 P ，则 )()()(1111m m m m k k k k ασασαασ++=++ ； （4） V 中向量组m αα,,1 线性相关当且仅当它们的像)(1ασ,)(,m ασ 是V '中线性相关的向量组； （5） 如果V 是n 维的，n εε,,1 是V 的一组基，则V '也是n 维的，并且 )(,),(1n εσεσ 是V '的一组基。 证明 （1）－(3) 由定义4.4.1即得。 （4） 如果向量组m αα,,1 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P 使得 011=++m m k k αα 由（1）和（3）得 0)()(11'=++m m k k ασασ 所以)(1ασ,)(,m ασ 线性相关。 反过来，如果)(1ασ,)(,m ασ 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P ，使得 0)()(11=++m m k k ασασ 即

1-1线性空间解析

第一专题 线性空间和线性变换 矩阵是研究线性模型最基本的工具之一。根据本书的性质，我们假定读者已具备了这方面的基础知识。本书的目的是对本科《线性代数》教材中没有论及或讨论不够充分，而在线性模型讨论中经常用到的一些矩阵知识，给予系统而扼要地叙述。 §1 线性空间 一、线性空间的概念与性质 线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。粗略地说，在一个非空集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集合就成为一个线性空间。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统)，以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。 例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。 例 2 为了解线性方程组，我们讨论过以n 元有序数组)(21n ,a ,,a a 作为元素的n 维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是： ),()()(22112121n n n n b ,a ,b ,a b a ,b ,,b b ,a ,,a a +++=+ ).()(2121n n ,ka ,,ka ka ,a ,,a a k = 从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。抽取它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们可以引入线性空间的概念。

在第一个例子中，我们用实数和向量相乘。在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系。当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。 定义1 设F 是一个数集，其中包含0和1。如果F 中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不是0）仍是F 中的数，那么称F 为数域。 显然，全体实数集R 、全体复数集C 、全体有理数集Q 等都是数域。而全体正实数集+R ，全体整数集Z 等都不是数域。 定义2 设V 是一非空集合,F 是数域（本书特指实数域）,对V 中任意两个元βα,,定义一个加法运算,记为“+”:V ∈+βα（元βα+称为α与β的和）；定义一个数乘运算:F k V k ∈∈ ,α（元αk 称为k 与α的数积）。这两种运算（也称为V 的线性运算）,满足下列规则,则称V 为数域F 上的线性空间（或向量空间）。 加法满足下面四条规则： (1) αββα+=+； (2) )()(γβαγβα++=++； (3) 在V 中存在零元素0；对任何V ∈α，都有αα=+0； (4) 对任何V ∈α，都有α的负元素V ∈β，使0=+βα，记αβ-=； 数量乘法满足下面两条规则： (5) αα=1； (6) αα)()(λμμλ=； 数量乘法与加法满足下面两条规则； (7) μαλααμλ+=+)(；

向量空间的基与维数

向量空间的基与维数 结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基. (i)零向量可由唯一地线性表示； (ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示； (iii). 结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则 ，且. 例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间. 域F是F上向量空间，基是{1}，. C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，. R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里. 令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间. 1)1,线性无关： 设，. 则(否则，,矛盾)，因此. 2) 1,,线性无关： 设，，i=1,2,3 . ( 1 ) , 两端平方得 , 由于1,线性无关，故

假如，则，且，即. 矛盾. 因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而 将代入(1)，便得这说明1,,线性无关. 3) 1,,,线性无关： 设，，i=1,2,3,4 . 则有 . ( 2 ) 假如不全为零，则 得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得 又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关. 故{1,,,}是F的一个基.. 例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间. 对任意的正整数n，可证得线性无关： 设，使( 3 ) 取n+1个实数，使 a b. 由(3)知 . 即 其中

而 . 用左乘(4)两端，得 这说明线性无关. 故C[a,b]是R上无限维向量空间. 引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明 证对s作数学归纳. 当s=1 时，结论显然成立. 设，且对个V的不等于V的子空间结论成立. 下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在 1) 当时，，故； 2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在， 使（否则，如果,,…,，, , ,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样 ，故 例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基. 证取V的一个基，令. 对任意从中删 去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则 由引理知, 故存在 令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基. 设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基. 对任意，有 .

线性空间与子空间

第一讲线性空间 一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义： 设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类] ∈时，有唯一的和（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 x y V （1）结合律()() ++=++； x y z x y z （2）交换律x y y x +=+； （3）零元律存在零元素o，使x+o x =；

（4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o

有限维线性空间的分解

毕业论文 题目有限维线性空间的分解 学院数学与统计学院 姓名周吉强 专业班级数学与应用数学 学号 20101010646 指导教师邵海琴教授 提交日期 2014-5-28 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 年月日

论文指导教师签名： 年月日 目录 1引言与预备知识 1 2有限维线性空间的分解 2 2.1按子空间的直和分解 2 2.2按生成子空间分解 3 2.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解 4 2.4按根子空间分解，即准素分解 6 2.5按 循环子空间分解 7 2.6按线性变换的 标准形分解 9 参考文献................. ... ... ... ............. . (12) 有限维线性空间的分解 周吉强

（天水师范学院，数学与统计学院,甘肃，天水，741000） 摘要总结了有限维线性空间按子空间、生成子空间、特征子空间、根子空间、 循环子空间以及线性变换的Jordan标准形等分解方法，并通过具体的例子加以说明. 关键词线性空间;直和分解；子空间；生成子空间；根子空间；循环子空 间；线性变换 Decomposition of finite-dimensional linear space Jiqiang Zhou (School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000) Abstract In this paper, we summary decomposition methods of finite dimensional Linear space by subspace, generating subspace, proper subspace, and root space, - cyclic subspace and standard from of transformation, we explain for the six decomposition methods by concrete examples. Keywords Linear space, straight and decomposition, subspace, generating subspace, root space, cyclic subspace, linear transformation 有限维线性空间的分解

有限维线性空间上线性变换地值域与核

有限维线性空间上线性变换的值域与核 数学系 04数本 410401142 郭文静 摘要： 定义在有限维空间V 上的线性变换的值域与核都是V 的子空间。本文 主要讨论了这两个子空间与大空间的关系。本文还进一步讨论了幂等变换的值域与核的有关性质。简明介绍了用线性变换的值域与核来刻划可逆变换. 关键词：值域、核、直和、幂等变换。 正文： 定义1：设σ是线性空间V 上的一个线性变换，σ的全体象的集合称为的σ 值 域,用()V σ或m I σ表示，所有被σ变成零的向量的集合称为σ核，用 ()10σ-或()Ker σ表示。且记为： ()(){}m V I V σσσαα==∈ ()(){} 1(0)0,Ker V σσασαα-===∈. 不难证明，()V σ与()10σ-都是σ的不变子空间。 一:线性空间V 与ker ,()V σσ的关系 结论1: dim ()dim(ker )V σσ+=σ的秩＋σ的零度＝()dim V . 证明见 《高等代数》大学数学系几何与代数教研代数小组编。 应当指出，虽然子空间()V σ与()Ker σ的维数之和为n ，但是， ()()10V σσ-+不一定是整个子空间，那么当σ满足什么条件时 ()()10V V σσ-=+？若()()10V V σσ-=+成立，σ必须满足什么条件呢？结论2就回答了这个问题. 结论2: σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则 秩2σ=秩σ?()()10V V σσ-=+ 证明：()?设1,2,...,n εεε是V 的一组基，

而()()()()()()()11,,,,n i is V L L σσεσεσεσε== 这里()()1, ,i is σεσε为()V σ的一组基.于是， ()()()( )2221, ,i is V L σσεσε= 已知 秩2σ=秩σ 则 ()()2dim dim V V σσ= 则()()221,,i is σεσε 为()2V σ的基。 ()()10V ασσ-?∈? 则 ()()11i s is a a ασεσε=+ + 且()()()22110i s is a a σασεσε==++ 从而10s a a === 即0α= 故()()10{0}V σσ-?= 即()()10V σσ-+为直和. 又因为()()() ()()11dim 0dim dim 0V V n σσσσ--+=+= 所以 ()()10V V σσ-=⊕ ； ()?设 ()()10V V σσ-=⊕，任取()()10V ασσ-=⊕ (),.V s t βασβ?∈=， 而 ()()1110,V βσβγ γσβ-=+∈∈ 于是()()221V ασβσ=∈，故()()2V V σσ? 显然，()()2V V σσ? 所以，()()2V V σσ= 得，秩2σ=秩σ. 特别的，如果2σσ=，那么()()10V V σσ-=⊕ 结论3: 数域P 上的n 维线性空间V 的任一子空间W 必为某一线性变换的核。 证明：设V 的任一子空间W 的一组基为12,, ,s ααα 则它可扩充为V 的一组基 121,,,,,,s s n ααααα+ . 作线性变换

线性空间的维数

§3 维数·基与坐标 一、向量的线性相关与线性无关 定义 2 设V 是数域P 上的一个线性空间，r ααα,,,.21 )1(≥r 是V 一组向量,r k k k ,,,21 是数域P 中的数，那么向量 r r k k k αααα+++= 2211. 称为向量组r ααα,,,.21 的一个线性组合，有时也说向量α可以用向量组r ααα,,,.21 线性表出. 定义3 设 r ααα,,,.21 ; (1) s βββ.,,21 (2) 是V 中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的. 定义4 线性空间V 中向量r ααα,,,.21 )1(≥r 称为线性相关，如果在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ，使 0.2211=+++r r k k k ααα . (3) 如果向量r ααα,,,.21 不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组r ααα,,,.21 称为线性无关，如果等式（3）只有在021===r k k k 时才成立. 几个常用的结论： 1. 单个向量α线性相关的充要条件是0=α.两个以上的向量r ααα,,,.21 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合. 2. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，而且可以被s βββ.,,21 线性表出，那么s r ≤. 由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量.

3. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，但βααα,,,,.21r 线性相关，那么β可以由被r ααα,,,.21 线性表出，而且表示法是唯一的. 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性. 定义5 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V 就称为n 维的；如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为无限维的. 定义6 在n 维线性空间V 中，n 个线性无关的向量n εεε,,,21 称为V 的一组基.设α是V 中任一向量，于是αεεε,,,,21n 线性相关，因此α可以被基n εεε,,,21 线性表出： n n a a a εεεα+++= 2211. 其中系数n a a a ,,,21 是被向量α和基n εεε,,,21 唯一确定的，这组数就称为α在基n εεε,,,21 下的坐标，记为),,,(21n a a a . 由以上定义看来，在给出空间V 的一组基之前，必须先确定V 的维数. 定理1 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,.21 ，且V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么V 是n 维的，而n ααα,,,.21 就是V 的一组基. 例1 在线性空间n x P ][中， 12,,,,1-n x x x 是n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于n 的数域P 上的多项式都可以被它们线性表出，所以n x P ][是n 维的，而12,,,,1-n x x x 就是它的一组基. 例2 在n 维的空间n P 中，显然

3.3 紧集与有限维赋范线性空间

3.3 紧集与有限维赋范线性空间 3.3.1 致密集的概念 实数直线上的Bolzano-Weierstrass 致密性定理 (compactness theorem)：任一有界数列必有收敛子列。 定义3.3.1 设(,)X ρ是度量空间，A X ?. 若在A 中的任何点列必有在X 中收敛的子点列，则称A 是(X 中的)致密集。 若X 自身是致密集，则称X 是致密空间。 性质1 有限点集是致密集。 注 点集和点列不一样，点列是取点集中的元素构成的，其各项可以重复，但点集中的元素却不能一样。因此，由于有限点集中的元素有限，所以要想构成点列，必然有同一个元素无数次重复，这样，这些重复的元素构成的子点列必然收敛。 性质2 有限个致密集的并是致密集。 证 设12,,,m A A A 是度量空间(,)X ρ的致密集，往证1 m k k A A == 也是(,)X ρ的致密集。 任取一点列{}n x A ?，则存在(1)A m ≤≤ ，{}n x 有无限多项属于A ， 记其为{}k n x ，即{}k n x A ? . 而A 是致密的，所以必有在X 中收敛的子点列{}k h n x ，使得 ()k h n x x X h →∈→∞, 即{}n x 在X 中收敛的子点列{}k h n x ，故A 也是(,)X ρ的致密集。证毕！ 性质3 致密集的任何子集是致密集。因此，任何一族致密集的交是致密集。 证 只要证明“致密集的任何子集是致密集”即可，而“任何一族致密集的交是致密集”则是前者的直接推论。 设A 是度量空间(,)X ρ的致密集，B 是A 的任一子集。 任取一点列{}n x B ?，因为B A ?，所以{}n x A ?. 而A 是致密的，因此点列{}n x 必有在X 中收敛的子点列{}k n x ，使得 ()k n x x X k →∈→∞,

有限维线性空间中的一个推论的应用

目录 有限维线性空间中的一个推论的应用 (1) 摘要 (1) 关键词 (1) 1商空间的概念和维数公式 (1) 2线性空间的同态基本定理 (1) 3推论2.6的应用 (3) 参考文献.............................. 错误！未定义书签。英文摘要.............................. 错误！未定义书签。

有限维线性空间中的一个推论的应用 摘 要 文献应用线性空间的同态基本定理，给出了有限维线性空间中的一个维数公式，且由这个维数公式得到了它的一个推论，本文主要验证了这个推论的应用。 关键词 商空间、线性变换、维、数核、象 高等代数中线性空间的同态基本定理和由此得到的维数公式是抽象代数里面很重要的结果，如果我们将线性空间看成加群，利用同态定理来考察有限维线性空间及子空间的维数之间的关系，我们将能够收到事半功倍的效果。 1商空间的概念和维数公式 设V 是数域F 上的向量空间，则V 对向量的加法做成Abel 群，若W 是V 的子空间，则W 可视为V 的不变子群，因此，商群V /W {|}W V αα=+∈有意义，其中加法为： ()()(),W W W V αβαβαβ+++=++ ∈ 如果再定义数乘为：()K W K W F αα?+=+, K ∈ 则容易验证V W /对上述加法及数乘做成F 上的向量空间，称此空间为V 关于W 的商空间。 关于商空间的维数公式有： 命题1.1 V 是数域F 上的有限维向量空间，W 是V 的子空间，则V 关于W 的商空间的维数为：dim /dim dim V W V W =- 2线性空间的同态基本定理 定义2.1 设V 与1V 是数域P 上两个线性空间，1f V V →：是一个映射，若满足： （1）V αβ? ∈，有()()()f f f αβαβ+=+ （2）k p V α?∈ , ∈，有()()f k kf αα= 则称f 是线性空间V 到1V 的一个同态映射。 当f 又是满射时，则称V 与1V 同态，记为1V V ~。 当f 是一个双射时，称f 为V 到1V 的一个同构映射。