2021-2022年高一数学下学期周练试题
吉林省长春市2021-2022学年高一数学下学期第一学程考试试题(原卷版)
吉林省长春市2021-2022学年高一数学下学期第一学程考试试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. ，则实数=a （ ）A. 1C. 2D. 2-2. 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第1个零件编号是（ ）034743738636964736614698637162332616804560111410A. 36B. 16C. 11D. 143. A. A ，B ，C 三点共线 B. A ，B ，D 三点共线C. A ，C ，D 三点共线 D. B ，C ，D 三点共线､C满足，则cos A =（ ）C. 85. 若z 是复数，且2z =，则A. 12B. 8C. 6D. 36. 已知向量a →，||=2a →，2a b →→-=C. 4π7. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°且A 、B 两点之间的距离为60m ，则树的高度为（ ）A. mB. （mC .mD. m8. 在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，E 是BC 的中点，F 是ABB.35-二､多选题（本大题共4小题，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分）9. 已知i 22iz =-，则下列结论正确的是（ ）B.2z1i--10. 下列命题正确的是（ ）B.C. 向量()11,2e =-D.11. 法为（ ）μa 与b共线B.C.D. b 在a 上的投影向量为为与向量a同向的单位向量），12. 在ABC中，角B，C，b ，c，下列命题中正确的是（ ）A.B. 20b =，则满足条件的ABC有且仅有一个C.D. 若ABC 为锐角三角形，且ABC 外接圆面积的最小值三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共共20分.13. 计算：112i 2i -=+___________.14. ，C 所对的边分别为若，，则b =_____________．15. 某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑a b c 剪纸xyz其中x ∶y ∶z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．16. 已知在边长为2的正三角形、N分别为边、AC上的动点，且_________．四､解答题：本题共4小题，每小题题10分17. B 、C 、D 为平面内的四点，且()1,3A ()4,1C .（1，求D 点的坐标；（2，b BC = ，若.18.（1（2.19. 是邛海水面上位于东西方向相距公、B点西北方向的D点有一艘渔船发出求救信号，位于B点南偏且与B C 点的救援船立即前往营救，其航行速/小时.求：（1）观测点B 与D 点处的渔船间的距离；（2到达D点需要多长时间？20. 如图：某公园改建一个三角形池塘，2AB =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.（1）若在ABC内部取一点P，游客观赏，如图①，使得点P是等腰顶连廊AP PC PB ++的长（单位为百米）；（2D，F，并连建造连廊，使得DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使或者如图③，使种方案，3S ，则一个更小？。
2021-2022年高一数学下学期周练试题3理2-613-16班
2021-2022年高一数学下学期周练试题3理2-613-16班一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、幂函数()()226844mm f x m m x -+=-+在为减函数，则的值为（ ）.A ．1或3B ．1C ．3D ．2 2、三个数的大小关系为（ ）. A ． B ． C ． D ．3、方程(0x =表示的曲线为（ ）.A ．一条直线和一个圆B ．一条线段与半圆C ．一条射线与一段劣弧D ．一条线段与一段劣弧 4、函数图像上的动点到直线的距离为，点到轴的距离为，则=（ ）. A.5 B. C. D.不确定的正数.5、已知圆，从点发出的光线，经轴反射后恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（ ）.A ．B ． C. D ．6、一个多面体的直观图和三视图如图所示，点是边上的动点，记四面体的体积为，多面体的体积为，则（ ）.A ．B ．C ．D ．不是定值，随点的变化而变化7、下列说法中正确的个数是（ ）. ①若两个平面，， ，则； ②若两个平面，，，则与异面；③若两个平面，，，则与一定不相交；④若两个平面， ，，则与平行或异面；A.0B.1C.2D.38、定义：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度叫做这两点的球面距离．已知长方体的8个顶点在同一球面上，且12,1AB AD ===，则顶点间的球面距离是（ ）.A ．B ．C ．D ．9、在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，， ．若是钝角三角形，则正实数的取值范围是（ ）.A ．B ．C ．或D ．或10、设直线：，圆：，若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）.A ．B ．C ．D ．11、正方体的棱长为，半径为的圆在平面内，其圆心为正方形的中心， 为圆上有一个动点，则多面体的外接球的表面积为（ ）.A ．B ．C ．D ． 12、 已知函数，且，则下列结论中，一定成立的是（ ）. A ． B ． C ． D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13、空间直角坐标系中点关于原点的对称点为B ，则是 .14、在空间直角坐标系O-xyz 中,满足条件x 2+y 2+z 2≤1的点(x,y,z)构成的空间区域的体积为V,则V= .15、已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .16、如图，在三棱锥 中，2,2BC DC AB AD BD =====，平面 平面为中点， 分别为线段 上的动点（不含端点），且 ，则三棱锥 体积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、（本小题满分10分）计算：（1）31log 2013823log 643(32)()(3).38-++-+-- （2）已知，求的值.18、（本小题满分12分）已知函数2()(43)3f x x a x a =+-+（1）当，时，求函数的值域；（2）已知且，若函数(),0()log (1)1,0af x xg x x x <⎧=⎨++≥⎩为R上的减函数，求实数的取值范围。
高一数学 周练18 试题
卜人入州八九几市潮王学校涟水县第一高一数学周周练〔十八〕班级学号一、填空题〔每空5分，一共7题〕1、在分层抽样、系统抽样、简单随机抽样中，属于不放回抽样的有个2、某橘子园有平地和山地一共120亩，如今要估计平均亩产量，按一定比例用分层抽样的方法抽取10亩进展调查，假设所抽山地是平地的2倍多1亩，那么这个橘子园的平地与山地的亩数分别为3、某校有教师200人，男同学1200人，女同学1000人。
现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本。
从女学生中抽取的人数为80人，那么n=4、为了理解1206名学生对某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，现采用选取的号码间隔一样的系统抽样方法来确定所选取样本，那么抽样间隔k=5、某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为调查他们的身体状况的某项指标。
需从他们中抽取一个容量为36的样本，那么可在老年人中剔除人，然后进展抽样。
6、以下列图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图中的数据填空。
0．0．0．0．⑴样本数据落在6,10)范围内的频率为⑵样本数据落在10,14)范围内的频数为⑶总体在2,6)的概率约为7、在总体密度曲线中，总在区间〔a,b〕内取值的概率就是，，，和总体密度曲线围成的图形的面积。
二、解答题〔每一小题20分，一共两题〕8、为了考察某校的教学程度，将抽查这个高三年级局部学生的本考试成绩进展考察。
为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进展〔该校高三年级一共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都一样〕。
①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；②每个班中抽取1人，一共计14人，考察这14个学生的成绩；③把高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进展考察〔假设按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生420名，普通学生有175名〕。
四川省成都市新都一中2021-2022学年高一下学期期中联考模拟数学试卷(二)
四川省成都市新都一中高2021级第二期期中联考模拟02数学试卷一、单选题1．已知04πα<<，且1sin ,cos ,tan a b c ααα===，则（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．c a b>>2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若10b =，6A π=，且ABC 有唯一解，则a 的取值情况是（）A ．5a =B ．5a =或者10a ≥C ．510a ≤≤D ．不确定3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弧长等于8m 3π的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据3 1.73≈）（）A ．26m B ．29m C ．212m D ．215m 4．用分期付款的方式购买一件电器，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元及欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实际花（）．A ．1105元B ．1255元C ．1305元D ．1405元5．数列{}n a 中，12a =，21n n a a +=，则下列结论中正确的是（）A ．数列{}n a 的通项公式为2n n a =B ．数列{}n a 为等比数列C ．数列{}ln n a 为等比数列D ．数列{}ln n a 为等差数列6．已知向量a ，b 的夹角为120︒，1a b ==r r ，c 与a b +同向，则a c - 的最小值为（）A ．1B ．12C ．34D ．327．如图，在ABC 中，2AD DB =，AE EC =，CD 交BE 于F ，设AB a =，AC b = ，则AF =（）A ．1133a b+ B ．1255a b+C ．2355a b+ D ．1134a b+ 8．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+，7a =，则该三角形的外接圆直径为（）A ．14B ．7CD9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，满足121,3,2)a a n ===≥，则2022a =（）A ．4043B ．4042C ．4041D ．404010．在数列{}n a 中，11a =，142n n S a +=+，则2019a 的值为()A ．20207572⨯B ．20197572⨯C ．20187572⨯D ．无法确定11．数列{}n a 中，11a =，10(2)n n a a n n ---=≥，12111222n n S a a a =+++ .当99100n S =时，n 等于（）A ．98B ．99C ．100D ．10112．设数列{}n a 满足15a =，213a =，2126n n n na a a +++=，则下列说法不正确的是（）A ．2156n n na a a ++=-B ．n a 都是整数C ．4nn a >D ．{}n a 中与2019最接近的项是7a 二、填空题13．非零向量(sin ,2)a θ= ，(cos ,1)b θ= ，若a 与b 共线，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．14．已知数列{}n a的通项公式为n a n =n a 的最小值为___________.15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若222S =，5100S =，则10S =______.16．已知A ，B ，C ，D 是平面内四点，且(2,1),(2,1)AC BD ==- ，则AB CD ⋅的最小值为___________.三、解答题17．已知cos 410x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求sin x 的值；(2)求tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18．已知等差数列{}n a 为递减数列，且132a a +=-，133a a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值.19．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年比上一年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设()f n 表示前n 年的纯利润（()f n =前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额）．(1)从第几年开始获得纯利润？(2)若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．问哪种方案较合算？20．已知等差数列{}n a 为3，7，11，15，….(1)求{}n a 的通项公式；(2)135，()*419N m m +∈是数列{}n a 中的项吗？为什么？(3)若m a ，()*N ,t a m t ∈是{}n a 中的项，那么23m t a a +，是数列{}n a 中的项吗？请说明理由.21．已知函数()()()()cos 0,0,f x A x A ωϕϕπ=+>∈，同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期T π=；②()f x 的图像可以由sin cos y x x =+的图像平移得到；③函数()f x 的最大值为2；④()0f =(1)请选出这三个条件并说明理由，再求出函数()f x 的解析式；(2)若曲线()y f x =的图像只有一个对称中心落在区间[]0,a 内，求a 的取值范围.22．如图，在ABC 中，1CA =，2CB =，60ACB ∠=︒．(1)求||AB uu u r ；(2)已知点D 是AB 上一点，满足AD AB λ=uuu r uu u r，点E 是边CB 上一点，满足BE BC λ= ．①当12λ=，求AE CD ⋅ ；②是否存在非零实数λ，使得AE CD ⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.四川省成都市新都一中高2021级第二期期中联考模拟02数学参考答案1．C∵04πα<<，1cos sin 0∴>>>αα，∴1cos 1tan sin c ==>ααα，∴c b a >>，故选：C 2．B由正弦定理得，sin 5sin sin b A a B B==，由ABC 有唯一解，当sin 1B =时，即90B = ∠，ABC 唯一，符合条件，可得5a =；当1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,B Ð有两个值，ABC 不唯一，不符合条件；当1sin 0,2B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，5sin a b B =≥，故B A ∠≤∠，ABC 唯一，符合条件，可得10a ≥，故选：B 3．B如图，由题意可得：823=43AOB ππ∠=，4OA =，在Rt AOD 中，可得：3AOD π∠=，6DAO π∠=，114222OD AO ==⨯=，可得：矢422=-=，由sin43AD AO π=== 可得：弦2AD ==所以：弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)22)292=⨯+=+≈平方米．故选：B4．B购买时付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清．设每月付款数构成数列{}n a ，则15010001%60a =+⨯=，()2501000501%59.5600.51a =+-⨯==-⨯，()35010005021%59600.52a =+-⨯⨯==-⨯，…∴()()600.510.560.5120n a n n n =--=-+≤≤，∴{}n a 是以60为首项，0.5-为公差的等差数列，∴()20201915020600.515012552S ⨯+=⨯+⨯-+=，∴买这件电器实际花1255元．故选：B 5．C数列{}n a 中，12a =，21n n a a +=，则22212a a ==，222432(2)2a a ===，显然123,,a a a 不成等比数列，A ，B都不正确；依题意，1ln ln 20a =>，由21n n a a +=两边取对数得：1ln 2ln n n a a +=，因此，数列{}ln n a 是首项为ln 2，公比为2的等比数列，C 正确，D 不正确.故选：C 6．D1a b ==r r Q ，向量a ，b 的夹角为120︒，c 与a b +同向，a ∴r 与c的夹角为60︒．又a c -=故mina c-=．故选；D 7．B因为2AD DB =，AE EC =，所以11,32AD AB AE AC == ，因为,,D F C 三点共线，所以1(1)(1)3AF AD AC AB AC λλλλ=+-=+- ，因为,,E F B 三点共线，所以1(1)(1)2AF AB AE AB AC μμμμ=+-=+- ，所以1311(1)2λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得31,55λμ==，所以1255AF AB AC =+，故选：B8．D由已知，()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+，由正弦定理可得：()()()a b a b b c c +-=+，化简得：222b c a bc +-=-，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又因为ABC 中，(0,π)A ∈，所以2π3A =，所以2πsin sin3A =设三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：2sin 3a r A ==，故选：D.9．A由2)n =≥知：为等差数列，1==2==，则公差1d =，n =，故2n S n =，则21(1)n S n -=-(2)n ≥，可得221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，而11a =也满足，所以21n a n =-，则20222202214043a =⨯-=.故选：A 10．A∵11a =，142n n S a +=+，∴212142S a a a =+=+，解得25a =.∵142n n S a +=+，∴2142n n S a ++=+，两式相减得，2144n n n a a a ++=-，∴()211222n n n n a a a a +++-=-，∴{}12n n a a +-是以212a a -＝3为首项，2为公比的等比数列，∴11232n n n a a -+-=⨯，两边同除以12n +，则113224n n n n a a ++-=，∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以34为公差，11122a =为首项的等差数列，∴()133112244n n a n n -=+-⨯=，∴()23123124nn n n a n --=⨯=-⨯，∴()20172020201932019127572a =⨯-⨯=⨯.故选：A.11．B由10(2)n n a a n n ---=≥，得1(2)n n a a n n --=≥，()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-21213431 ()n n n =+++++=+1123412.当1n =时，此式也满足1a ，故数列{}n a 的通项公式为：()n a n n =+112.()n a n n n n ∴==-+⨯+1111121212121111111112222231n n S a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++.又因为99100n S =，所以991100n n =+，解得99n =.故选：B.12．C易知当2n =时，22134a =<，可知C 不正确.依题意，可得2216nn n n a a a ++-=，则335a =.所以2312+++-n n n a a a ()122166+++==-n n n n a a a ，223112266n n n n n n a a a a a a ++++++=+，()()1312266++++++=+n n n n n n a a a a a a ，又0n a ≠，所以3122166n n n nn n a a a a a a +++++++=，令216n nn n a a b a +++=，所以{}n b 为常数列，又31265a a a +=，即2156n n n a a a ++=-，所以A ，B 正确.由2156n n n a a a ++=-，()211232n n n n a a a a +++-=-或()211323n n n n a a a a +++=--，又2123a a -=，2132a a -=-，所以{}12n n a a +-是首项为3，公比为3的等比数列，{}13n n a a +-是首项为2-，公比为2的等比数列.故123n n n a a +-=，132+-=-nn n a a ，所以两式相减得23n nn a =+，所以6793a =，72315a =，D 正确.故选：C.13．13解：∵非零向量a 与b共线，∴sin 2cos θθ=，显然cos 0θ≠，所以tan 2θ=，∴tan 11tan()41tan 3πθθθ--==+．故答案为：1314．1因为n n n a n+===易知数列{}n a为递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1a，即最小值为1故答案为：115．350方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则2151222,510100,S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得18,6,a d =⎧⎨=⎩所以10110810963502S =⨯+⨯⨯⨯=.方法二：设2n S An Bn =+，则254222,255100,S A B S A B =+=⎧⎨=+=⎩解得3,5,A B =⎧⎨=⎩所以210310510350S =⨯+⨯=.故答案为：350．16．4-设(,)A x y ，(,)B m n ，则(2,1)C x y ++，(2,1)D m n -+，所以(,)AB m x n y =-- ，(4,)CD m x n y =---，则2222()4()()(2)()4AB CD m x m x n y m x n y ⋅=---+-=--+--，当2m x -=，n y =时AB CD ⋅的最小值为4-.故答案为：4-17．(1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)，于是sin(x －π4)，则sin x ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x－π4)sin π4＝10×2＋10×2＝45．(2)由(1)知，4sin 5x =，因为x ∈(π2，3π4)，所以cos x35，所以tan x =43-，则22tan 24tan 21tan 7x x x ==-，所以tan 2tan314tan(24171tan 2tan 4x x x πππ++==--⋅.18．(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=，且0d <.由132a a +=-，133a a =-，解得11a =，33a =-（13a =-，31a =不合题意，舍去）.由3123a d =+=-，解得2d =-.从而()()11232n a n n =+-⨯-=-.(2)由（1）可知32n a n =-，所以()213222n n n S n n +-⎡⎤⎣⎦==-.由35k S =-，可得2235k k -=-，即22350k k --=，解得7k =或5k =-.又*k N ∈，故7k =.19．(1)由题意，知每年的经费构成了以12为首项，4为公差的等差数列，则()()215012472240722n n f n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦，获得纯利润就是要求()0f n >，即2240700n n -+->，解得218n <<．又*n N ∈，故从第三年开始获得纯利润；(2)①年平均利润为()23640216216f n n n n ⎛⎫=-+=-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当6n =时取等号，故此方案获利61648144⨯+=（万美元），此时6n =．②()()2224072210128f n n n n =-+-=--+，当10n =时，()max 128f n =．故此方案共获利12816144+=（万美元）．比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需六年，第②种方案需要十年，故选择第①种方案．20．(1)设数列{}n a 的公差为d ，依题意有13a =，734d =-=，∴()34141n a n n =+-=-.(2)令41135n a n =-=，得34n =，∴135是数列{}n a 的第34项；∵()419451m m +=+-，且*N m ∈，∴419m +是数列{}n a 的第()5m +项.(3)∵m a ，t a 是数列{}n a 中的项，∴41m a m =-，41t a t =-，∴()()()2324134142311m t a a m t m t +=-+-=+--，∵*231N m t +-∈，∴23m t a a +是数列{}n a 的第()231m t +-项.21．(1)由题意知条件②：sin cos )4y x x x π=+=+，与③矛盾，故②③不能同时成立，则①④必满足，所以T π=，所以22πωπ==，故排除②，所以()cos()(0,2f x A x A πωϕϕ=+><同时满足①③④．所以2A =，2ω=，此时()2cos(2)f x x ϕ=+，因为(0)f =，所以2cos ϕ=即cos 2ϕ=，因为(0,)ϕπ∈，所以6π=ϕ，所以()2cos(2)6f x x π=+；(2)令262x k πππ+=+，k Z ∈，解得26k x ππ=+，所以()f x 的对称中心是(,0),26k k Z ππ+∈，因为曲线()y f x =只有一个对称中心落在区间[0，]a 内，所以263a ππ< ，所以a 的取值范围是2[,)63ππ．22．(1)解：∵AB CB CA =- ，且24CB = ，21CA = ，21cos 601CB CA ⋅=⨯⨯︒= ，∴||||AB CB CA =-=(2)解：①12λ=时，12AD AB = ，12BE BC = ，∴D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，∴12AE AC CE AC CB =+=+ ，1()2CD CA CB =+ ，∴11()22AE CD AC CB CA CB ⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭ 211112244AC CA AC CB CB CA CB =⋅+⋅+⋅+ 211112cos12022=-⨯+⨯⨯⨯︒211121cos602444+⨯⨯⨯︒+⨯=；②存在．理由如下：假设存在非零实数λ，使得AE CD ⊥ ，由AD AB λ=uuu r uu u r ，得()AD CB CA λ=- ，∴()CD CA AD CA CB CA λ=+=+- (1)CB CA λλ=+- ．又BE BC λ= ，∴()AE AB BE CB CA BC λ=+=-+ (1)CB CA λ=-- ，∴AE CD ⋅= 2(1)CB CB CA λλλ--⋅+ 22(1)(1)CB CA CA λλ-⋅-- 24(1)(1)(1)λλλλλ=--+---2320λλ=-+=，解得23λ=或0λ=（不合题意，舍去），所以存在非零实数23λ=，使得AE CD ⊥ .。
2021-2022学年浙江省杭州市临平区杭州二中树兰高级中学高一下学期数学周末练习卷(一)
2021-2022学年浙江省杭州市临平区杭州二中树兰高级中学高一下学期数学周末练习卷（一）1. 若不等式|x −1|<a 成立的充分条件为0<x <4，则实数a 的取值范围是( ) A. {a|a ≥3}B. {a|a ≥1}C. {a|a ≤3}D. {a|a ≤1}2. 若实数a ，b 满足a 2<ab <a ，则( ) A. 1a <1b B. √b +1<√a +1 C. (12)a <(12)b D. 0<b −a <13. 若对于正实数x ，y ，有x 2+4xy +y 2≤a (x 2+3xy +y 2)，则实数a 的取值范围是( )A. a ≥65B. a >65C. a <65D. a ≤654. 将函数f(x)=sin2x 的图象向左平移φ(|φ|≤π2)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(π3−x)=−g(π3+x)，则φ的值可以为( )A. −π6 B. −π12 C. π6 D. π3 5. 若存在x ∈(−∞,0]满足x 2−2x +a <0(a ∈R)，则a 的取值范围是.( ) A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (−∞,−1)D. (−1,+∞)6. 将函数f(x)=cos ωx 2(2sin ωx 2−2√3cos ωx2)+√3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y =g (x )的图像，若y =g (x )在[0,π4]上为增函数，则ω的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 在边长为1的正三角形ABC 中，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为.( ) A. 1B. 2C. √32D. √38. 复数(1+2i)23−4i= ( )A. −1B. 1C. −iD. i9. 下列函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A. f (x )=|x −1|，g (x )=√x 2−2x +1 B. f (x )=x ，g (x )=x 2x C. f (x )=x ，g(x)=√x 33D. f (x )=x 2−4x−2，g (x )=x +210. 某学生在复习整理做过的题目中，发现有错题，请你帮忙找出，错误的有( ) A. y =√x 2+2+√x 2+2有最小值2B. ab <0时，y =ba +ab 有最小值2C. 若集合A={x|mx2+4x+1=0}仅有一个元素，则m=4D. 设a，b为非零实数，且a<b，则1ab2<1a2b11. 下列说法正确的是( )A. 命题p:∀x，y∈(0,1)，x+y<2，则命题p的否定：∃x0，y0∈(0,1)，x0+y0≥2.B. “a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分不必要条件.C. “|x|>|y|”是“x>y”的必要条件.D. “m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件.12. 关于函数f(x)=3sin (2x−π3)+1(x∈R)的下述四个结论，正确的有( )A. 若f(x1)=f(x2)=1，则x1−x2=kπ2(k∈Z)B. y=f(x)的图象关于点(2π3,1)对称C. 函数y=f(x)在[0,π2]上单调递增D. y=f(x))的图象向右平移π12个单位长度后所得的图象关于y轴对称13. 已知函数f(x)=ax+2(a<0)，若∃x0∈[−2,2]，使f(x0)<0成立，则实数a的取值范围是__________.14. 已知关于x的一元二次不等式mx2+mx+m−1>0的解集为R，则实数m的取值范围是__________.15. 若函数f(x)=sinωx−√3cosωx(ω>0)的图象的一条对称轴为x=π3，则ω的最小值为__________16. 如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC，若AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n∈R)，则m−n=__________17. 已知集合A={x|−6<x<10}，B={x|3m−1<x<2m+1}.(1)若A∪B=A，求实数m的取值范围；(2)若A∩B={x|a<x<b}且b−a=2，求实数m的取值范围．18. 当m为何实数时，复数z=(2+i)m2−3(i+1)m−2(1−i)满足下列条件．(1)是实数；(2)虚数；(3)纯虚数．19. 已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<π)的图象如图所示：(1)求函数f (x )的解析式；(2)首先将函数f (x )的图象上每一点横坐标缩短为原来的12，然后将所得函数图象向右平移π8个单位，最后再向上平移1个单位得到函数g(x)的图象，求函数g (x )在[0,π2]内的值域.20. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=x 2−2x.(1)求f(x)的解析式；(2)求x ∈[−2,2]时f(x)的最值； (3)求不等式f(m)>3的解集．21. 设O 为△ABC 内任一点，且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.(1)若D ，E 分别是边BC ，CA 的中点，求证：D ，E ，O 三点共线； (2)求△ABC 与△AOC 的面积之比．22. 已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)+B (A >0,ω>0,|φ|<π2)的某一周期内的对应值如下表： x −π6 π35π64π311π6 f (x )−1131−1(2)根据(1)的结果，若函数y =f (nx )(n >0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0,π3]时，方程f (nx )=m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】本题考查充分条件的判断，考查集合中参数的取值问题，属于基础题．由已知不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，令不等式的解集为A ，可得{x|0<x <4}⊆A ，可以构造关于a 的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【解答】解：∵不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4， 设不等式的解集为A ，则{x|0<x <4}⊆A ， 当a ≤0时，A =⌀，不满足要求； 当a >0时，A ={x|1−a <x <1+a }， 若{x|0<x <4}⊆A ，则{1−a ≤01+a ≥4，解得a ≥3. 故选A.2.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查了利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题.根据已知可推出0<a <b <1，然后由不等式的性质，指数函数以及幂函数的性质逐项判断即可. 【解答】解：因为a 2<ab <a ，所以a 2<a ⇒0<a <1，所以a 2<ab <a ⇒a <b <1， 所以0<a <b <1， 所以1a >1b ，故A 错误，所以√a +1<√b +1，故B 错误， 所以(12)a >(12)b ，故C 错误，因为0<a <b <1，所以0<b −a <1，故选项D 正确. 故选D.3.【答案】A【分析】本题考查利用基本不等式求最值及不等式恒成立问题，考查考生的分析与运算的能力，属于中档题． 令t =x y ，将x 2+4xy+y 2x 2+3xy+y 2化简为t 2+4t+1t 2+3t+1=1+1t+1t +3，然后利用基本不等式求其最大值即可得.【解答】 解：由题意a ≥x 2+4xy+y 2x 2+3xy+y 2对任意x ，y >0成立，令t =xy ，t >0， 则a ≥t 2+4t+1t 2+3t+1=1+1t+1t +3，因为t >0时t +1t≥2，t =1时取等号， 所以1+1t+1t +3≤65，则a ≥65. 故选A.4.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的图象变换以及图象性质的应用，属于基础题.由平移变换求得变换后的图象解析式，根据函数的对称性由正弦函数的性质求φ值. 【解答】解：函数f(x)=sin2x 的图象向左平移φ个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x +2φ)的图象， 又g(π3−x)=−g(π3+x)， 可知g(x)的图象关于点(π3,0)对称， 所以2×π3+2φ=kπ，k ∈Z ， 即φ=−π3+kπ2，k ∈Z ， 因为|φ|<π2， 所以 φ=π6，或φ=−π3 故选C.5.【答案】A【分析】本题考查存在性问题，属于基础题.令f(x)=x 2−2x (x ≤0)，求出f(x)的最小值，即可求得a 的范围. 【解答】解：令f(x)=x 2−2x (x ≤0)，显然f(x)为减函数，则f(x)min =f(0)=−1， 因为存在x ∈(−∞,0]满足x 2−2x +a <0(a ∈R) 则−a >f(x)min ，即−a >−1， 故a <1. 故选A.6.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题. 根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律得到g(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论． 【解答】解：将函数f(x)=cosωx 2(2sin ωx 2−2√3cos ωx2)+√3=sinωx −√3cosωx =2sin(ωx −π3)，(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y =g(x)=2sinωx 的图象，若y =g(x)在[0,π4]上为增函数， 则14⋅2πω≥π4，∴ω≤2，∴ω的最大值为2，故选B.7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查向量的减法和向量的模，属于基础题.作菱形ABCD ，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可求解. 【解答】解：如图，作菱形ABCD ， 则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，由余弦定理得DB =√1+1−2×1×1×cos120∘=√3， 所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，故选D.8.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题. 根据复数的运算法则进行运算即可. 【解答】解：(1+2i)23−4i=12+4i+4i 23−4i=−3+4i 3−4i=−(3−4i)3−4i=−1.故选A.9.【答案】AC【解析】 【分析】本题考查同一函数的判断，属于基础题．利用同一函数的判断条件，即需要定义域相同，对应法则相同才是同一函数，逐个判断即可． 【解答】解：A.g(x)=√x 2−2x +1=|x −1|，f(x)、g(x)的定义域都为R ，所以是同一函数； B .f(x)的定义域为R ，g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，所以不是同一函数； C .f(x)、g(x)的定义域都为R ，且g(x)=x =f(x)，所以是同一函数； D .f(x)的定义域为(−∞,2)∪(2,+∞)，g(x)的定义域为R ，所以不是同一函数． 故选AC.10.【答案】ABC【解析】 【分析】本题考查基本不等式，考查不等式的性质，考查集合元素个数问题，属于中档题.A 选项，由基本不等式判断，B 选项，由ab <0得ba <0,a b<0，进而判断，C 选项，分m =0和m ≠0讨论判断，D 选项，由作差比较判断. 【解答】解：A 选项，由y =√x 2+2√2≥2√√x 2+21√2=2，当且仅当x 2+2=1时取等号，显然取不到，故A 错误；B 选项，由ab <0得b a <0,a b <0，则y =b a +a b =−[(−b a )+(−a b )]≤−2√(−b a )⋅(−ab )=−2，当且仅当a =−b 时取等号，故y 有最小值2不成立，故B 错误； C 选项，若集合A ={x|mx 2+4x +1=0}仅有一个元素， 当m =0时，易得集合A 仅有一个元素，当m ≠0时，由Δ=0⇒42−4m =0，解得m =4， 故m =0或m =4，故C 错误， D 选项，a ，b 为非零实数，且a <b ， 由1ab2−1a 2b =a−b(ab )2<0，故D 正确， 故选ABC.11.【答案】ABD【解析】 【分析】本题考查全称量词命题的否定和充分、必要条件的判断.利用全称量词命题的否定和充分、必要条件的定义逐项判断即可. 【解答】解：由命题p ：∀x,y ∈(0,1)，x +y <2是全称量词命题， 则命题p 的否定：∃x 0,y 0∈(0,1)，x 0+y 0≥2，所以A 正确； 由a >1,b >1时一定有ab >1，充分性成立， ab >1，推不出a >1,b >1，必要性不成立，因此“a >1,b >1”是“ab >1”成立的充分不必要条件，所以B 正确； “x >y ”推不出“|x|>|y|”，所以C 错误；方程x 2 −2x +m =0有一正一负根(设为x 1，x 2)等价于{Δ>0x 1x 2=m <0，即m <0，则“m <0”是“关于x 的方程x 2 −2x +m =0有一正一负根”的充要条件，所以D 正确． 故选ABD.12.【答案】ABD【解析】 【分析】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，属于中档题．A ，根据对称中心性质可得(x 1,1)，(x 2,1)是f(x)=3sin(2x −π3)+1的图像上的两个对称中心，则x 1−x 2=kT2(k ∈Z)，故可判断A 的正误； B ，可根据对称中心对应的函数值特征进行分析； C ，根据三角函数单调性判断即可；D ，求出平移后的解析式并根据偶函数的性质进行判断即可． 【解答】解：由f(x 1)=f(x 2)=1可得(x 1,1)，(x 2,1)是f(x)=3sin(2x −π3)+1的图象上的两个对称中心， 则x 1−x 2=kT2(k ∈Z)，又因为T =2π2=π，∴x 1−x 2=kπ2(k ∈Z)，故A 正确；f(2π3)=3sinπ+1=1，所以(2π3,1)是f(x)的一个对称中心，故B 正确； 由2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12(k ∈Z)， 当k =0时，函数y =f (x )在[−π12,5π12]上单调递增，则f (x )在[0,5π12]上单调递增，在[5π12,π2]上单调递减，故C 错误； y =f(x)的图象向右平移π12个单位长度后所得函数为 y =3sin[2(x −π12)−π3]+1=−3cos2x +1，是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故D 正确.故选ABD.13.【答案】(−∞,−1)【解析】 【分析】本题主要考查了存在量词命题，函数的最值，属于基础题.若∃x 0∈[−2,2]，使f(x 0)<0成立，只需f(x)min <0即可，利用一次函数的单调性求出f(x)的最小值，即可求出a 的取值范围. 【解答】解：因为f(x)=ax +2(a <0)在[−2,2]单调递减， 所以当x =2时，f(x)取最小值2a +2，若∃x0∈[−2,2]，使f(x0)<0成立，只需 f(x)min<0即可，即2a+2<0，得a<−1，满足a<0.所以实数a的取值范围(−∞,−1).故答案为(−∞,−1).14.【答案】(43,+∞)【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，不等式的恒成立问题，属于基础题.转化为不等式恒成立问题，得出{m>0Δ=m2−4m(m−1)<0，求解即可.【解答】解：因为关于x的一元二次不等式mx2+mx+m−1>0的解集为R，则一元二次不等式mx2+mx+m−1>0对于x∈恒成立，所以{m>0Δ=m2−4m(m−1)<0，解得m>43，所以实数m的取值范围是(43,+∞).故答案为(43,+∞).15.【答案】52【解析】【分析】本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，辅助角公式的应用，属于中档题.根据辅助角公式化简函数，由条件得π3ω−π3=π2+kπ,k∈Z，结合ω>0即可求出ω的最小值．【解答】解：f(x)=sin ωx−√3cos ωx=2sin (ωx−π3)，因为x=π3是函数图像的一条对称轴，则有π3ω−π3=π2+kπ,k∈Z，解得ω=52+3k，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为52.故答案为52.16.【答案】−2【解析】【分析】本题考查向量加减和数乘的混合运算，平面向量基本定理，属于基础题.根据向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可由BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得到AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，这便可得到m =−12,n =32，从而可以求得结果． 【解答】解：∵BD =2DC ； ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m =−12,n =32，∴m −n =(−12)−32=−2. 故答案为−2.17.【答案】(1)解：∵A ∪B =A ，∴B ⊆A ，当B =⌀时，即3m −1≥2m +1时， 解得m ≥2，此时满足题意， 当B ≠⌀时，即3m −1<2m +1时， 解得m <2，则{3m −1≥−62m +1≤10，解得−53≤m ≤92，即−53≤m <2；综上所述m 的取值范围为[−53,+∞)；(2)解：因为A ={x|−6<x <10}，B ={x|3m −1<x <2m +1}①A ∩B ={3m −1<x <2m +1}时，{2m +1−(3m −1)=23m −1≥−62m +1≤10，解得m =0； ②A ∩B ={x |3m −1<x <10}时，{10−(3m −1)=22m +1>1010>3m −1>−6，此时满足条件的m 不存在；③A ∩B ={x |−6<x <2m +1}时，{2m +1−(−6)=23m −1<−6−6<2m +1<10，解得m =−52，综上得，m 的取值范围为{−52,0}.【解析】本题考查了集合关系中的参数取值问题、交集及其运算和并集及其运算，属于中档题. (1)由A ∪B =A ，得B ⊆A ，分B =⌀和B ≠⌀两种情况研究即可；(2)分A ∩B ={3m −1<x <2m +1}、A ∩B ={x |3m −1<x <10}和A ∩B ={x |−6<x <2m +1}三种情况，求解即可.18.【答案】解：z =(2+i)m 2−3(i +1)m −2(1−i)=2m 2+m 2i −3mi −3m −2+2i =(2m 2−3m −2)+(m 2−3m +2)i.(1)由m 2−3m +2=0得m =1或m =2， 即m =1或m =2时，z 为实数．(2)由m 2−3m +2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数． (3)由{2m 2−3m −2=0,m 2−3m +2≠0,得m =−12，即m =−12时，z 为纯虚数．【解析】本题考查复数运算及基本概念的应用，考查计算能力，属于基础题. 根据复数运算化简，再利用复数的基本概念，求解即可．19.【答案】解：(1)由图象得A =2，13π12−π3=34T =34⋅2πω,ω=2，由2×13π12+φ=π2+2kπ,φ=−5π3+2kπ(k ∈Z).∵0≤φ<π,∴φ=π3，∴f(x)=2sin (2x +π3);(2)g(x)=2sin [4(x −π8)+π3]+1=2sin (4x −π6)+1， 当x ∈[0,π2]时，4x −π6∈[−π6,11π6]，sin (4x −π6)∈[−1,1]，∴g(x)∈[−1,3].【解析】本题考查了y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，属于中档题． (1)由图得到A 及周期，进一步得到ω，再由f(13π12)=2求得φ，则函数解析式可求；(2)利用函数的图象平移求得g(x)的解析式，再由x 的范围求得函数y =g(x)的值域．20.【答案】解：(1)因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2−2x ，所以当x <0时，−x >0，则f (x )=−f (−x )=−(x 2+2x )=−x 2−2x ，f (0)=0，故f (x )={x 2−2x,x ≥0−x 2−2x,x <0.(2)当x ∈[0,2]时，f(x)=x 2−2x =(x −1)2−1，f (x )min =f (1)=−1， f (x )max =f (0)=f (2)=0，故f (x )∈[−1,0]；当x ∈[−2,0)时，f(x)=−x 2−2x =−(x +1)2+1，f (x )min =f (−2)=0， f (x )max =f (−1)=1，故f (x )∈[0,1]. 综上所述：函数的最大值为1，最小值为−1.(3)当m ≥0时，f(m)=m 2−2m >3，解得m >3或m <−1，故m >3； 当m <0时，f(m)=−m 2−2m >3，无解. 综上所述：m >3，即{m |m >3}.【解析】本题考查函数的解析式 、函数的最值和函数的奇偶性，属于中档题； (1)当x <0时，−x >0，代入函数根据函数的奇偶性结合f (0)=0得到函数解析式. (2)分别计算x ∈[0,2]和x ∈[−2,0)的最值，比较得到答案. (3)考虑m ≥0和m <0两种情况，代入函数解不等式得到答案.21.【答案】解：(1)证明：如图：因为D ，E 分别是边BC ，CA 的中点， 所以OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 即2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．又OD 与OE 有公共点O ，所以D ，E ，O 三点共线； (2)由(1)知2|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以S △AOC =2S △COE =2×23S △CDE =2×23×14S △ABC =13S △ABC ， 所以S△ABC S △AOC=3.【解析】本题考查了平面向量共线的应用，属于中档题.(1)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即可证明； (2)由(1)知2|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则S △AOC=2S △COE =2×23S △CDE =13S △ABC ，即可求解.22.【答案】解：(1)设f(x)的最小正周期为T ，得T =11π6−(−π6)=2π，由T =2πω，得ω=1，又{B +A =3B −A =−1，解得{A =2B =1， 令ω⋅5π6+φ=π2+kπ,k ∈Z ，即φ=−π3+kπ,k ∈Z ， ∵|φ|<π2，解得φ=−π3，∴f(x)=2sin(x −π3)+1.(2)∵函数y =f(nx)=2sin(nx −π3)+1的周期为2π3， 又n >0，∴n =3，令t =3x −π3，∵x ∈[0,π3]，∴t ∈[−π3,2π3]， 由2sint +1=m ，得sint =m−12， 故y =sint 的图象如图：若sint =m−12在[−π3,2π3]上有两个不同的解，则m−12∈[√32,1),即√32≤m−12<1，解得√3+1≤m <3，∴方程f (nx )=m 在x ∈[0,π3]恰有两个不同的解时，m ∈[√3+1,3), 即实数m 的取值范围是[√3+1,3).【解析】本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查作图能力，属于中档题．(1)根据表格提供的数据，求出周期T ，解出ω，利用最小值、最大值求出A 、B ，结合对称轴求出φ，可求函数f(x)的解析式．(2)函数y =f(nx)(n >0)周期为2π3，求出n ，x ∈[0,π3]，推出3x −π3的范围，画出图象，数形结合容易求出m 的范围．。
2021-2022年高一数学下学期周测试题(II)
2021-2022年高一数学下学期周测试题(II)一．选择题（每小题5分）1.已知，且是第二象限角，那么的值为（ ）A.B.C.D.2.已知，那么角是（ ）A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角3.cos 43cos77sin 43cos77⋅-⋅=（ ）A. B. C.D. 4.化简所得的结果是 （ ） A. B. C. D. 5.已知正方形边长为，，则等于 （ ）A. B. C. D.6.为非零向量，且，则 （ ） A.与方向相同 B. C. D.与方向相反7.在平行四边形中，若，则必有 （ ） A.为菱形 B.为矩形 C.为正方形 D.以上皆错8.设()()AB CD BC DA a +++=，而是一非零向量，则下列个结论：(1) 与共线（2） (3) (4) 中正确的是 （ ）A. B. C. D.9.若, ,且,则四边形是 （ ）A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.不等腰梯形 10.有下列四种变换方式:①向左平移,再将横坐标变为原来的; ②横坐标变为原来的,再向左平移; ③横坐标变为原来的,再向左平移; ④向左平移,再将横坐标变为原来的; 其中能将正弦曲线的图像变为的图像的是（ ）A.①和② B .①和③ C.②和③ D.②和④ 11.已知向量, 其中不共线，则与的关系为（ ）A.不共线B.共线C.相等D.无法确定12.已知向量不共线，实数1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+,则的值等于 （ ）A. B. C. D. 二．填空题（每小题5分） 13.已知，，则 .14.已知,则222sin 3sin cos 2cos αααα--= ; 15.在平行四边形中，，则_________，_______．16.是两个不共线的向量，且2,3,2AB a kb BC a b CD a b =+=+=-,若三点共线，则实数的值可为三．解答题17.（10分）已知 ,.（1）求的值； （2）求的值.18.（12分）已知函数.1cos sin 32sin 2)(2++=x x x x f 求： （1）的最小正周期；（2）的单调递增区间；（3）在上的最值.19．（12分）已知函数，（1）求的定义域； （2）设是第四象限的角，且，求的值.20.（12分）（12分）设两个非零向量不共线,⑴若,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=-,求证：三点共线; ⑵试确定实数，使和共线.21.（12分）已知四边形ABCD ，E 、F 分别是AD 、BC求证：=（+）.22.（12分）如图，在中，、分别是、的中点，，，， （1）用、分别表示向量；AB（2）求证：、、三点共线.周考数学答案1.A2.C3.A4.C5.C6.A7.B8.D9.C 10.A 11.B 12.A 13.-13 14.0 15. ； 16. 17.18. (1)()2sin(2)26f x x π=-+ ,63ππππ∈(2)单调递增区间为[-+2k +2k ](k Z)min min (3)()4,()1f x f x ==19. (1)(){,Z}2f x x x k k ππ≠+∈的定义域为20.,55,5,AB a b BD a b BD AB BD AB =+=+∴=∴（1）与共线； 21. 证：()BC AD F E +=∴+=++=++==+++=+=+∴212以上两式相加得：同理：又的中点，、分别是、EDF AC22. （1）()()()()ab AB AF BF b AF 22123121313221-=-=-=-==+==+=(2).321三点共线、、，有公共点、）得由（F E B B BE BF ∴= z32527 7F0F 缏38694 9726 霦20387 4FA3 侣 $P39056 9890 颐22342 5746 坆 D24575 5FFF 忿D。
2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期数学检测试题(解析版)
2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期数学检测试题一、单选题 1．若复数21iz =-+，则z =（ ）A ．2BC ．1D 【答案】B【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可. 【详解】因为22(1)11(1)(1)i z i i i i ⋅--===---+-+--，所以z ==故选：B2．在ABC 中，已知6a =，4b =，c =C =（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．120︒【答案】C【分析】利用余弦定理的推论计算cos C 的值，进而求出C 的值.【详解】因为6a =，4b =，c = 所以2223616281cos 22642a b c C ab +-+-===⨯⨯， 又()0,180C ︒∈，所以60C ︒=.故选：C .3．已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =．若λ为实数，(a λb +)∥c ，则λ＝（ ）. A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【分析】先求出a λb +的坐标，再由(a λb +)∥c ，，列方程可求得结果 【详解】因为向量(1,2)a =，(1,0)b =， 所以(1,2)(1,0)(1,2)a b λλλ+=+=+， 因为(a λb +)∥c ，(3,4)c =， 所以1234λ+=，解得12λ=，4．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为182，那么原正方形的面积为（ ） A ．36 B ．362C ．72D ．722【答案】C【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积． 【详解】解：设原正方形的边长为a ，根据斜二测画法的原则可知O C a ''=，1122O A OA a ''==，高122sin 452A D O A a '''=︒==， ∴对应直观图的面积为222182a ==即272a =，故原正方形的面积为72. 故选：C.5．已知点D 是ABC 所在平面上一点，且满足12BD BC =-，则AD =（ ）A ．1122AB AC -B ．1122AB AC +C ．1322AB AC -+D ．3122AB AC -【答案】D【分析】根据向量的加法、减法法则运算即可得到答案． 【详解】解：由题意：D 为ABC 所在平面内的一点， 12BD BC =-，所以32CD CB =所以()33312222AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-故选：D ．6．瑞士著名数学家欧拉发现公式i cos isin x x x e =+（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.根据欧拉公式可知，2021i4πe 表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由欧拉公式并结合三角函数的诱导公式进行计算，并结合复数的几何意义进行判断即可. 【详解】∵2021i 420212021cossin i cos 505sin 505i 4444πππππe ππ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22cossin i i 4422ππ=--=--， ∴2021i4πe表示的复数在复平面内对应的点22,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第三象限. 故选：C.7．已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC ++=，则G 点是三角形ABC 的（ ） A ．垂心 B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G 是△ABC 的重心. 【详解】因为0GA GB GC ++=，所以 GA GB GC CG +=-=.以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG GD =，所以13GO CO =，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC 的重心.故选：D8．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（ ）A 2310 B ．298aC 232 D 210 【答案】B【分析】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，证明出1//EF BC ，故四点B 、1C 、E 、F 共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ，根据已知，即可求解.【详解】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，因为11//AB C D 且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，E 、F 分别为1AA 、11A D 的中点，所以，1//EF AD 且11222EF AD a ==， 所以，1//EF BC ，故B 、1C 、E 、F 四点共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ， 其中22EF a =，12BC a =，22152BE C F AB AE a ==+=， 过点E 、F 在平面1BC FE 内分别作1BC 的垂线，垂足点分别为G 、H ，因为1BE C F =，1EBG FC H ∠=∠，12EGB FHC π∠=∠=，所以，1Rt EBG Rt FHC ≅△△，故1BG C H =，在平面1BC FE 内，因为1EG BC ⊥，1FH BC ⊥，1//EF BC ， 所以，四边形EFHG 为矩形，则2GH EF ==， 所以，1122BC EF BG C H -==， 所以，梯形1BC FE 的高22225232244a a h BE BG ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 梯形1B CFE 的面积223219228a S a ⎫=⨯=⎪⎪⎭.故选：B.9．已知非零向量a ，b ，下列说法正确的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．若a ，b 为单位向量，则a b =C ．若a b >且a 与b 同向，则a b >D ．a b a b +≥+【答案】A【分析】根据平面向量的定义依次判断选项即可得到答案.【详解】对于A ，若a b =，则两向量的大小相等，方向相同，故a b =成立，故A 对， 对于B ，若a ，b 都是单位向量，两向量的方向不定，故a b =不成立，故B 错， 对C ，因为两向量不能比较大小，故C 错，对于D ，根据平面向量的三角形法则a b a b +≤+成立，故D 错， 故选：A二、多选题10．下列命题正确的是（ ）A ．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内B ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线C ．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行D ．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 【答案】BC【分析】由公理1判断A ，由公理3判断B ，由空间中点、线、面的位置关系判断C 和D .【详解】由公理1可知，如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A 错误；由公理3知，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故B 正确；因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行，即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故C 正确； 一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故D 错误. 故选：BC .11．已知△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，2BD DC =，下列结论正确的是（ ） A ．sin 2sin C B =B ．若30B ∠=︒，则△ABC 为直角三角形C ．若60BAC ∠=︒，则△ADC 为等边三角形D ．若30BAD ∠=︒，则△ABD 为等腰三角形【答案】ABD【分析】由已知设22BD DC x ==，BAD CAD α∠=∠=，利用正弦定理即可判断A ； 若30B =︒，结合已知得sin 2sin 1C B ==，可求得角C ，即可判断B ；若30BAD ∠=︒，则60BAC ∠=︒，结合sin 2sin C B =，求得△ABC 的内角，即可判断CD. 【详解】解：做出图形：由已知设22BD DC x ==，BAD CAD α∠=∠=， 在△ABD ，△CAD 中，由正弦定理得sin sin AD BDB α=，sin sin AD CDC α=， 两式相除得sin 2sin C BDB CD==，所以sin 2sin C B =. 对于A ，由以上可知，A 正确；对于B ，若30B =︒，结合已知得sin 2sin 1C B ==，故90C =︒，故B 正确； 对于D ，若30BAD ∠=︒，则60BAC ∠=︒，所以120C B =︒-，代入sin 2sin C B =得()sin 1202sin B B ︒-=，即sin120cos cos120sin 2sin B B B ︒-︒=，即33cos sin 22B B =，所以3tan 3B =，所以30B =︒，90C =︒，故△ABD 为等腰三角形，△ADC 为直角三角形，故C 错误，D 正确. 故选：ABD.12．如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCD A B C D -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（ ）A ．水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状B ．水面四边形EFGH 的面积不改变C ．棱11AD 始终与水面EFGH 平行 D ．当1E AA ∈时，AE BF +是定值 【答案】ACD【分析】从棱柱的特征平面可判断A ；由水面四边形EFGH 的面积是改变的可判断B ；由11//////A D AD CB EH ，11A D ⊄水面EFGH ，EH ⊂水面EFGH ，可判断C ；由体积是定值，高BC 为定值，则底面积EABF 为定值，可判断D .【详解】根据面面平行性质定理，可得BC 固定时，在倾斜的过程中，始终有//////AD EH FG BC ， 且平面//AEFB 平面DHGC ，故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A 正确； 水面四边形EFGH 的面积是改变的，故B 错误；因为11//////A D AD CB EH ，11A D ⊄水面EFGH ，EH ⊂水面EFGH ， 所以11//A D 水面EFGH 正确，故C 正确；由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE 面积不变， 即当E 在1AA 时，AE BF +是定值.故D 正确. 故选：ACD .三、填空题13．已知复数z 满足2z =，则34z i +-的最小值是______． 【答案】3【分析】根据绝对值不等式a b a b a b -≤+≤+，求出34z i +-的最小值即可． 【详解】∵复数z 满足2z =， ∴3434523z i i z +-≥--=-=， ∴34z i +-的最小值是3． 故答案为3．【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题，也考查了复数的运算问题，是基础题目． 14．已知向量(),1a x =，()1,2b =-，且a b ⊥，则a b -=___________.【答案】10【分析】由垂直的坐标表示求得x ，再由模的坐标运算求解． 【详解】由a b ⊥得20a b x ⋅=-=，2x =，则(1,3)a b -=，所以221310a b -=+=．故答案为：10．15．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=__________．21. 【分析】利用余弦定理求出BC 的数值，正弦定理推出ACB ∠的余弦值，利用()cos cos 30ACB θ=∠+︒展开求出cos θ的值．【详解】解：如图所示，在ABC 中，40AB =，20AC =，120BAC ∠=︒， 由余弦定理得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒=， 所以7.BC =由正弦定理得21sin sin AB ACB BAC BC ∠∠=⋅=． 由120BAC ∠=知ACB ∠为锐角，故227cos 1sin ACB ACB ∠=-∠ 故()21cos cos 30cos cos30sin sin3014ACB ACB ACB θ∠∠∠=+=-=． 21.四、双空题16．球面几何是几何学的一个重要分支，在刚海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.如图，A ，B ，C 是球而上不在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB ，BC ，CA ，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC .已知地球半径为R ，北极为点N ，P ､Q 是地球表面上的两点.①若P ，Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经100°，则球面△NPQ 的面积为___________.②若26NP NQ PQ ===，则球面NPQ △的面积___________. 【答案】23R π 2R π【分析】利用PQ 所在的经度求出球面三角形PNQ 面积，再利用已知可得三角形PNQ 为等边三角形，进而可以求解．【详解】解：PQ 在赤道上，且经度分别为40︒和100︒，上半球面面积为221422R R ππ⨯⨯=，球面PNQ 面积为226023603R R ππ︒⨯=︒， 当26RNP NQ PQ ==PNQ 为等边三角形， 根据题意构造一个正四面体N PQS -，如图所示： 其中心为O ，O 是高NH 的靠近H 的四等分点， 则1cos cos 3OH OH NOP HOP OP ON ∠=-∠=-=-=-， 由余弦定理可得：22222221cos 223ON OP PN R PN NOP ON OP R +--∠===-⋅， 解得26PN ，正好为题目所给的长度， 所以球面PNQ 的面积为22144PNQS R R ππ=⨯=， 故答案为：23R π；2R π．五、解答题17．如图所示，在三棱柱111ABC A B C －中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面1EFA ∥平面BCHG ． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析【分析】（1）通过证明//BC GH 来证得,,,B C H G 四点共面. （2）通过面面平行的判定定理来证得平面1EFA ∥平面BCHG . 【详解】（1）由于,G H 分别是1111,A B AC 的中点，所以11//GH B C ， 根据三棱柱的性质可知，11//BC B C ， 所以//BC GH ，所以,,,B C H G 四点共面.（2）由于,E F 分别是,AB AC 的中点，所以//BC EF ，由于EF ⊂/平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，所以//EF 平面BCHG .根据三棱柱的性质可知11//,AG BE AG BE =， 所以四边形1BEA G 是平行四边形，所以1//A E BG ，由于1A E ⊂/平面BCHG ，BG ⊂平面BCHG ，所以1//A E 平面BCHG . 由于11,,EF A E E EF A E ⋂=⊂平面1EFA ，所以平面1EFA ∥平面BCHG .18．已知复数()()2204332i z a a a a =-++-+（i 为虚数单位，a R ∈）为纯虚数，0z 和实数b 是关于x 的方程()232i 6i 0x x -++=的两个根.（1）求a ，b 的值；（2）若复数z 满足i z a b =+，说明在复平面内z 对应的点Z 的集合是什么图形？并求该图形的面积.【答案】（1）3a =，3b =；（2）在复平面内z 对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为圆，18S π=.【分析】（1）根据纯虚数的定义求得a ，再根据0z 和实数b 是关于x 的方程()232i 6i 0x x -++=的两个根结合韦达定理即可求得b ；（2）设()i,,z x y x y R =+∈，根据i z a b =+，即可求得在复平面内z 对应的点Z 的轨迹，从而得出答案.【详解】解：（1）∵复数()()2204332i z a a a a =-++-+（i 为虚数单位，a R ∈）为纯虚数，∴22430320a a a a ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得3a =， ∴02i z =，由韦达定理可得，0032i 6i z b z b +=+⎧⎨=⎩，解得3b =； （2）∵复数z 满足i z a b =+，∴z =设()i,,z x y x y R =+∈，则有2218x y +=，∴在复平面内z 对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为∴218S πr π==.19．已知ABC的面积为①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，1cos 3=-C ；条件②：A C =，7cos 9B =-. (1)b 和c 的值.(2)sin()A B -的值.【答案】(1)若选①：2b =，c =②：8b =，c =(2)若选①；若选②：2327-.【分析】若选择条件①：(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，利用三角形的面积公式可求a ，b 的值，进而根据余弦定理可求c 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，sin B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，cos B 的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．若选择条件②：(1)由题意可得a c =，利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用三角形的面积公式可求a ，c 的值，根据余弦定理可求b 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，利用两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．【详解】（1）若选择条件①：在ABC 中，∵1cos 3=-C ，∴(,)2C ππ∈，sin C∵1sin 2S ab C ==6a =，∴2b =，由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=， ∴c =若选择条件②：在ABC 中，∵A C =，∴a c =．∵7cos 9B =-，∴(,)2B ππ∈，sin B ==，∵211sin 22S ac B c ===∴a c ==由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，∴8b =；（2）若选择条件①：由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可得62sin sin A B =，∴sin A =sin B ， ∵,(0,)2A B π∈，∴cos Acos B ，∴sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-. 若选择条件②： 由正弦定理得sin sin a b A B =，∴1sin sin 3aA B b ==， ∵(0,)2A π∈，∴cos 3A ==∴1723sin()sin cos cos sin ()3927A B A B A B -=-=⨯-=-． 20．已知向量a 与b 的夹角为34πθ=，且3a =，22b =. （1）若2ka b +与34a b +共线，求k ；（2）求a 与a b +的夹角的余弦值.【答案】（1）32；（2. 【分析】（1）可设()234ka b a b λ+=+，可得出关于λ、k 的方程组，解出这两个未知数即可得解；（2）计算出()a a b ⋅+、a b +的值，利用平面向量的数量积可求得a 与a b +的夹角的余弦值.【详解】（1）若2ka b +与34a b +共线，则存在λ，使得()234ka b a b λ+=+即()()3240k a b λλ-+-=， 又因为向量a 与b 不共线，所以30240k λλ-=⎧⎨-=⎩，解得1232k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以32k =； （2）cos 36a b a b θ⎛⋅=⋅=⨯=- ⎝⎭， 222912a b a a b b +=+⋅+=- ()296cos ,35a ab a a ba ab a a b a a b ⋅++⋅-<+>====⋅++21．如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r .（1）试确定R 与r 的关系；（2）若小圆锥､大圆锥的侧面积为1S ､2S ，球的表面积为3S ，求123::S S S ；（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比.【答案】（1）3R r =；（2）123::3S S S =；（3）3:8. 【分析】（1）根据题意分析出△ABC 为直角三角形，及30ABC ∠=︒，进而得到答案；（2）由题意，求出大小圆锥的母线长，进而算出它们的侧面积，再求出球的表面积，最后得到答案；（3）根据（1），求出圆锥体积之和与球的体积，进而得到答案.【详解】（1）由几何体的特征，得到△ABC 为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形， 故30ABC ∠=︒，所以：AC R =，3BC R ，所以32BC R r == （2）球心到圆锥底面的距离12R OO =，所以小圆锥的高为22R R R -=， 故小圆锥的母线长为R 3R ，所以213πS R =，2232πS R =⋅，234S πR =⋅，故123::3S S S .（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为321232R r R ππ⋅⋅⋅=，球的体积为343R π. 故两个圆锥的体积和为32πR ；体积之比为：334:3:823R R ππ=. 22．如图，某市政府计划在长为1km 的道路AB 一侧的一片区域内搭建一个传染病预防措施宣传区.该区域由直角三角形区域ABC （ACB ∠为直角）和以BC 为直径的半圆形区域拼接而成.点P 为半圆弧上的一点（异于B ､C ），CH AB ⊥.设,62ππA θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭.（1）为了让更多的市民看到宣传内容，达到最佳宣传效果，需满足CAB PBC ∠=∠，且CA CP +达到最大值.求θ为何值时，CA CP +最大，最大值为多少？（2）为了让宣传栏达到最佳稳定性，更加耐用，需满足π3PBA ∠=，且CH CP +达到最大值.问当θ为何值时，CH CP +取得最大值.【答案】（1）3πθ=时，AC CP +的最大值为54；（2）512πθ=. 【分析】（1）由题意得BAC PBC θ∠=∠=，则cos AC θ=，2sin PC θ=，再结合平方关系及二次函数的最值即可出答案；（2）在直角△ABC 中，由1122ABC S CA CB AB CH =⋅⋅=⋅，得sin cos CH θθ=，在直角△PBC 中，sin sin 6πPC θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角恒等变换结合正弦函数的性质即可得出答案. 【详解】解：（1）由题意得BAC PBC θ∠=∠=，1AB =千米，则在直角△ABC 中，cos AC θ=，sin BC θ=，在直角△PBC 中，2sin sin PC BC θθ=⋅=，2cos cos 1AC CP θθ+=-++，,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以当1cos 2θ=，即3πθ=时，AC CP +的最大值为54； （2）在直角△ABC 中，由1122ABC SCA CB AB CH =⋅⋅=⋅， 解得sin cos sin cos 1θθCH θθ==， 在直角△PBC 中，sin sin sin 326πππPC BC θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以31sin cos sin cos 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故23131cos 21sin cos sin cos 222θCH CP θθθθθ-++=+11sin 22sin 2423πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以当512πθ=时，CH CP +.。
2021-2022学年浙江省金华第一中学高一下学期开学摸底考检测数学试卷含详解
【详解】因 ，则 ，而 ，
所以 .
故选：C
2.已知函数 为偶函数，则 的取值可以为（）
A. B. C. D. 0
A
【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性列式，计算判断作答.
【详解】因函数 为偶函数，则 ，显然 时， ，即A满足，B，C，D都不满足.
故答案为：
14.已知 中， ，一直线分 为面积相等的两个部分，且夹在 之间的线段为 ，则 长度的最小值为____________．
2
【分析】设 .利用面积关系得到 .在 中，利用余弦定理和基本不等式求出 长度的最小值.
【详解】
由勾股定理,得 .
设 则 . .由题意,知 ,所以 .
而 ， 所以 .
在△BNM中,由余弦定理得：
（2）根据（1）结论及同角三角函数的商数关系即可求解；
（3）根据（2）的结论及基本不等式，再利用两角和的正切公式即可求解；
【小问1详解】
因为 ，所以 ,
由 ，得 ，即 ，于是有 ，
即证 .
【小问2详解】
由（1）可知， ，
【小问3详解】
因为 ，所以 ，
由（2）可知， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 的最大值为 .
A.向右平移 个单位B.向左平移 个单位
C 向右平移 个单位D.向左平移 个单位
8.已知 ，角 所对应的边分别为 ，且 ，则 是（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.锐角三角形
9.已知 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
10.已知函数 在R上满足 ，且 时， 对任意的 ，都有 恒成立，则实数 的取值范围为（）
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2021年高一数学下学期周练试题
一、选择题
1．正方形绕某一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是（）
A．圆柱 B．圆锥
C．圆台 D．两个圆锥
2．如图是由哪个平面图形旋转得到的（）
A. B. C. D.
3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱
C.两个圆台、一个圆锥
D.一个圆柱、两个圆锥
4．下列结论正确的是（）
A．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
5．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）．
A．（1）是棱台 B．（2）是圆台
C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱
6．下列命题中正确的个数是（）
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．
A．0个 B．1个
C ．2个
D ．3个
7．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）．
A ．（1）是棱台
B ．（2）是圆台
C ．（3）是棱锥
D ．（4）不是棱柱
8．如下图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A ．，，，
B
．，，，，:] C ．，，，，，
D ．，，
9．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体
积为（ ）
A. B. C. D.
10
．在正方体中，M 是棱的中点，点O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任一点，则异面直线OP 与AM 所成的角的大小为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知地球的半径为，球面上两点都在北纬45°圈上，它们的球面距离为，点在东
经30°上，则两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为，则此球的体积
为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ．
14．平面截半径为2的球所得的截面圆的面积为，则球心到平面的距离为 ．
15．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为 ．
16．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点。
三、解答题
17．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，分别为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线与所成的角的大小.
18．设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥.
考点：旋转体.
【易错点晴】一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.等腰三角形绕过底边上的高的直线旋转一周构成的图形性就是一个旋转体——圆锥.还有圆柱、圆台、球等都是旋转体.圆绕过圆心的直线旋转一周所成的球.
2．D
【解析】
试题分析：A.应旋转为中间是圆柱，上下是圆锥，B.应旋转为上下同底的两个圆锥，C.应旋转为上面是圆柱，线面是圆锥，只有D旋转后是如图的几何体，故选D.
考点：旋转体
3．D
【解析】
试题分析：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥.故选D.
考点：旋转体.
4．A
【解析】
试题分析：如图2，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥,B错误；若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥，易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾,C错误；如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥，D错误；易知A正确,故选A.
考点：锥体及其性质.
5．C
【解析】
试题分析：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；
图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；
图③是棱锥．
图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱考点：几何体的结构特征
6．A
【解析】
试题分析：①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以不正确；②中，用一个平行于底面的
平面截棱锥才能得到一个棱台；③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱；④中，有一个个面是多边形，其余各面是三甲型的几何体不一定是棱锥，如三棱台，所以选A．
考点：多面体的特征．
7．C
【解析】
试题分析：根据几何体的结构特征可知，（1）不是棱台，棱台的侧棱延长后应交于一点，（2）不是圆柱，圆柱的上下底面互相平行，（3）为棱锥，（4）是棱柱。
考点：几何体的结构特征。
8．C
【解析】
试题分析：根据棱台是由棱锥截成的，A、，故A不正确；B、，故B不正确；C、，故C正确，D、满足这个条件的是一个三棱柱，不是三棱台，故选C．
考点：棱台的结构特征．
9．D
【解析】
试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故
，即得，所以该球的体积，故选D.
考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.
10．C
【解析】
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
不妨设，则A(1，0，0)，，，P(1，y，1)，则，，∴，∴OP⊥AM．选C．
11．C
【解析】
如图，设球心为，北纬45°圈的中心为，
由两点的球面距离为，所以=，
为等边三角形．于是．
由，
．即=．
两点在其纬线圈上所对应的劣弧．选C．
12．B
【解析】由勾股定理可得球的半径为，从而根据球的体积公式可求得该球的体积为：
．故选B．
13．
【解析】
试题分析：因为圆柱的表面积为，所以圆柱的表面积为
考点：圆柱的侧面积
14．
【解析】
试题分析：由题意得：截面圆的半径为1.截面圆圆心与球心距离、截面圆的半径1及球的半径2构成直角三角形三边，利用勾股定理可得距离为．
考点：球的相关知识．
15．
【解析】
试题分析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△及其内切圆和外切圆，且两圆同圆心，即△的内心与外心重合，易得△为正三角形，由题意的半径为，∴△的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．考点：圆锥的体积.
16．5，4，3
【解析】
试题分析：面最少的三棱柱是三棱柱，它有五个面；面数最少的棱锥是三棱椎，它有4个顶点；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有三条侧棱．故答案为：5，4，3.
考点：棱锥的结构特征.
17．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，要证明平面，则可证明；（2）通过外接球的表面积为可求出四棱柱的高，再通过平移找出异面直线与所成的平面角，从而求解.
试题解析：（1）连接，在中，分别为线段的中点，∴为中位线，
∴，而面，面，∴平面.
（2）由（1）知，故即为异面直线与所成的角.
∵四棱柱的外接球的表面积为，
∴四棱柱的外接球的半径，
设，则，解得，
在直四棱柱中，∵平面，平面，
∴，在中，，
∴，
∴异面直线与所成的角为.
考点：1.直线与平面平行的判定；2.异面直线所成的夹角.
18．
【解析】
试题分析：本题实质是体积问题，我们知道题中球取出前后水的体积是不变的，通过开始时的圆锥体积减去球的体积得出水的容积，球取出后，水变成了圆锥，圆锥的高就是我们要求的水面高度. 试题解析：如图为圆锥轴截面，球心为，可得
（3分）
（5分）
设取出球后，水面高为，则
（8分）
因为（10分）
所以（12分）
考点：圆锥的体积与圆锥的性质.。