高等数学第八章习题解答

习题8.1

1. 设有一平面薄板（不计其厚度），占有Oxy 平面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q 。

解：据题意，薄板区域D 是Oxy 平面上的有界闭域，(,)x y μ是定义在D 上的面密度函数，那么用任意曲线把D 分成n 个可求面积的小区域12,,n σσσ ，以i σ?表示小区域的面积，这些小区域构成了D 的一个分割T ，在每个i σ上任取一点

(,)i i εη，那么电荷Q 即为D 上的一个积分和1

(,)n

i i i i Q u εησ==?∑。当d 足够小时，

1

(,)(,)n

i i i i D

Q u u x y d εησσ==?=∑??

2. 下列二重积分表达怎样的空间立体的体积？试画出下列空间立体的图形：

（1）()221D

x y d σ++??，其中区域D 是圆域221x y +≤；

解：（1）在圆域221x y +≤上以抛物面2221z x y =++为顶的曲顶柱体的体积。 （2）D

yd σ??，其中区域D 是三角形域0,0,1x y x y ≥≥+≤；

解： 在三角形域D 上以平面z y =为顶的柱体的体积。

z 轴

x 轴

y 轴

（1） （2） 3. 设1

2231()D I x y d σ=+??, 其中D 1={(x , y )|-1≤x ≤1, -2≤y ≤2 ;

又2

2232()D I x y d σ=+??, 其中D 2={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤2}.

试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2的关系.

解 I 1表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =±1, y =±2以及z =0围成的立体V 的体积.

I 2表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =0, x =1, y =0, y =2以及z =0围成的立体V 1的体积.

显然立体V 关于yOz 面、xOz 面对称, 因此V 1是V 位于第一卦限中的部分, 故 V =4V 1, 即I 1=4I 2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1)D

d σσ=?? (其中σ为D 的面积;

证明 由二重积分的定义可知,

1

(,)lim (,)n

i i i i D

f x y d f λσξησ→==?∑??

其中?σi 表示第i 个小闭区域的面积. 此处f (x , y )=1, 因而f (ξ, η)=1, 所以 0

1

lim lim n

i i D

d λλσσσσ→→==?==∑??.

(2)(,)(,)D

D

kf x y d k f x y d σσ=???? (其中k 为常数);

证明 0

1

1

(,)lim (,)lim (,)n n

i i i i i i i i D

kf x y d kf k f λλσξησξησ→→===?=?∑∑??

1

lim (,)(,)n

i i i i D

k f k f x y d λξησσ→==?=∑??.

(3)1

2

(,)(,)(,)D

D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+??????,

其中D =D 1?D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域.

证明 将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域1i σ?和2i σ?,

n 1+n 2=n , 作和

1

2

111222121

1

1

(,)(,)(,)n n n

i i i i i i i i i i i i f f f ξησξησξησ===?=?+?∑∑∑.

令各1i σ?和2i σ?的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1，λ2), 则有

1

lim (,)n i i i i f λξησ→=?∑12

11122212120

1

1

lim (,)lim (,)n n i i i i i i i i f f λλξησξησ→→===?+?∑∑,

即 1

2

(,)(,)(,)D

D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+??????.

4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小:

(1)2()D

x y d σ+??与, 3()D

x y d σ+?? 其中积分区域D 是由x 轴, y 轴与直线

x +y =1所围成;

解 区域D 为: D ={(x , y )|0≤x , 0≤y , x +y ≤1}, 因此当(x , y )∈D 时, 有(x +y )3

≤(x +y )2

, 从而

3()D

x y d σ+??≤2()D

x y d σ+??.

(2)2()D

x y d σ+??与3()D

x y d σ+??其中积分区域D 是由圆周(x -2)2+(y -1)2=2

所围成;

解 区域D 如图所示, 由于直线x +y =1与圆(x -2)2+(y -1)2=2相切，故D 位于直线x +y =1的上方, 所以当(x , y )∈D 时, x +y ≥1, 从而(x +y )3≥(x +y )2, 因而 23()()D

D

x y d x y d σσ+≤+????.

(3)ln()D

x y d σ+??与3()D

x y d σ+??其中D 是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1,

0), (1, 1), (2, 0);

解 区域D 如图所示, 显然当(x , y )∈D 时, 1≤x +y ≤2, 从而0≤ln(x +y )≤1, 故有 [ln(x +y )]2≤ ln(x +y ),

因而 2[ln()]ln()+≤+????D

D

x y d x y d σσ.

(4)ln()D

x y d σ+??与3()D

x y d σ+??其中D ={(x , y )|3≤x ≤5. 0≤y ≤1}.

解 区域D 如图所示, 显然D 位于直线x +y =e 的上方, 故当(x , y )∈D 时, x +y ≥e , 从而

ln(x +y )≥1,

因而 [ln(x +y )]2≥ln(x +y ),

故 2ln()[ln()]D

D

x y d x y d σσ+≤+????.

5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值:

(1)()D

I xy x y d σ=+??, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};

解 因为在区域D 上0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 所以 0≤xy ≤1, 0≤x +y ≤2, 进一步可得

0≤xy (x +y )≤2,

于是 0()2D

D

D

d xy x y d d σσσ≤+≤??????,

即 0()2D

xy x y d σ≤+≤??.

(2)22sin sin D

I x yd σ=??, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤π, 0≤y ≤π};

解 因为0≤sin 2x ≤1, 0≤sin 2y ≤1, 所以0≤sin 2x sin 2y ≤1. 于是可得 220sin sin 1D

D

D

d x yd d σσσ≤≤??????,

即 2220sin sin D

x yd σπ≤≤??.

(3)(1)D

I x y d σ=++??, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤2};

解 因为在区域D 上, 0≤x ≤1, 0≤y ≤2, 所以1≤x +y +1≤4, 于是可得 (1)4D

D

D

d x y d d σσσ≤++≤??????,

即 2(1)8D

x y d σ≤++≤??.

22(49)D

I x y d σ=++??, 其中D ={(x , y )| x 2+y 2 ≤4}.

解 在D 上, 因为0≤x 2+y 2≤4, 所以 9≤x 2+4y 2+9≤4(x 2+y 2)+9≤25.

于是 229(49)25D

D

D

d x y d d σσσ≤++≤??????,

222292(49)252D

x y d πσπ≤++≤????,

即 2236(49)100D

x y d πσπ≤++≤??.

习题8.2

1. 化二重积分(,)D

f x y dxdy ??为二次积分(写出两种积分次序).

(1)D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 D 为矩形区域, 所以

1

1

11(,)(,)D

f x y dxdy dx f x y dy --=????,

1

1

1

1

(,)(,)D

f x y dxdy dy f x y dx --=????.

(2)D 是由y 轴, y =1及y =x 围成的区域; 解 若将D 表示为0≤x ≤1, x ≤y ≤1, 则 1

1

(,)(,)x

D

f x y dxdy dx f x y dy =????.

若将D 表示为0≤y ≤1, 0≤x ≤y , 则 1

(,)(,)y

D

f x y dxdy dy f x y dx =????.

(3)D 是由x 轴, y =ln x 及x =e 围成的区域; 解 若将D 表示为1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x , 则 ln 10

(,)(,)e

x D

f x y dxdy dx f x y dy =????

.

若将D 表示为0≤y ≤1, e y ≤x ≤e , 则 1

(,)(,)y e

e

D

f x y dxdy dy f x y dx =????.

(4)D 是由x 轴, 圆x 2+y 2-2x =0在第一象限的部分及直线x +y =2围成的区域; 解 若将D 表示为

0≤x ≤1,

0y ≤≤1≤x ≤2, 0≤y ≤2-x , 则

1

220

1

(,)(,)(,)x

D

f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy -=+?????

.

若将D 表示为0≤y ≤1; 12x y ≤≤-, 则 120

1(,)(,)y

D

f x y dxdy dy f x y dx -=??

??

(5)D 是由x 轴与抛物线y =4-x 2在第二象限的部分及圆x 2+y 2-4y =0第一象限部分围成的区域. 解 若将D 表示为

-2≤x ≤0, 0≤y ≤4-x 2及0≤x ≤2,

22y ≤≤ 则

2

42

22

2(,)(,)(,

x D

f x y dxdy dx f x y dy dx f x y --=+???

?

??

,

若将D 表示为

0≤y ≤4, x ≤ 则 4

0(,)(,)D

f x y dxdy dy f x y dx =???.

2. 交换二次积分的次序:

(提示: 交换二次积分的次序, 要先根据原积分写出积分区域不等式, 再根据不等式画出积分区域, 然后根据图形写出另一种形式的积分区域不等式, 最后由不等写出二次积分)

(1)2

2

8

8

1

2

(,)(,)x x

x

dx f x y dy dx f x y dy +????.

解 积分区域为

D ={(x , y )|1≤x ≤2, x ≤y ≤x 2}?{(x , y )|2≤x ≤8, x ≤y ≤8}. 积分区域还可以表示为

D ={(x , y )|1≤y ≤4,x ≤y }?{(x , y )|4≤y ≤8, 2≤x ≤y }, 于是 原式=481

4

2

(,)(,)y y

dy f x y dx dy f x y dx +???.

(2)1

2

20

1

(,)(,)y

y

dy f x y dx dy f x y dx -+????.

解 积分区域为

D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }?{(x , y )|1≤y ≤2, 0≤x ≤2-y }.

积分区域还可以表示为

x

O y

281

D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤2-x }, 于是 原式=1

20(,)x x

dx f x y dy -??

. （3） 1

4

(4)

(,)y dy f x y dx -??

；

解：积分区域{}

2442,20|),(x y x x y x D -≤≤+≤≤=，

2

1

4

(4)0

4

02

24

(,)(,)(,);y x D

x f x y d dy f x y dx dx f x y dy σ---+∴==????

??

（4） 1

1

(,)dx f x y dy ?；

解：积分区域

{}{

212(,)|01,0(,)|12,0D x y y x y D x y y x =≤≤≤≤?=≤≤≤≤

2

1

2

1

2

00

1

(,)(,)(,)(,)y D D f x y d f x y d dy f x y dx dy f x y dx

σσ=+=+??????

?原式

（5）22

4

(,)x x f x y dy -?

?

。

解：积分区域

{{

12(,)|02,(,)|24,D x y y x D x y y x =≤≤≤≤?=≤≤≤

1

2

240

2

(,)(,)=(,)(,)D D f x y d f x y d dy f x y dx dy f x y dx

σσ=++??????原式

3. 求证: 2

1

1

()()()y x dy f x dx e e f x dx =-??.

解 二重积分中的积分区域为

{(,)|01, 0D x y y x =≤≤≤≤, 区域D 还可以表示为

2{(,)|1, 01}D x y x y x =≤≤≤≤,

于是 21

1

1

()()y

y x

dy f x dx dx e f x dy =???

211

()y x

f x dx e dy =??

2

1

()()x e e f x dx =-?,

即

2

11

()()()y x dy f x dx e e f x dx =-??.

4. 计算下列曲线所围成的面积: (1)y =x 2, y =x +2;

解 由y =x 2, y =x +2所围成的区域可表示为 -1≤x ≤2, x 2≤y ≤x +2. 由y =x 2, y =x +2所围成的面积为

22

2

2

21

1

(2)x x

D

dxdy dx dy x x dx +--==+-?????

2321

119

[2]232

x x x -=+-=. (2)y =sin x , y =cos x , x =0.

解 由y =sin x , y =cos x , x =0所围成的第一象限区域D 1可表示为 04

x π

≤≤

, sin x ≤y ≤cos x .

区域D 1的面积为

1

cos 440

sin 0

(cos sin )x

x

D dxdy dx dy x x dx π

π

==-????

?

40[sin cos ]1x x π

=+=.

由y =sin x , y =cos x , x =0所围成的第二、三象限区域D 2可表示为 304

x π

-

≤≤, sin x ≤y ≤cos x . 区域D 2的面积为 2

0cos 033sin 4

4

(cos sin )x x

D dxdy dx dy x x dx ππ-

-

==-???

??

34

[sin cos ]1x x π-=+=.

5. 计算下列曲面所围成立体的体积: (1)z =1+x +y , z =0, x +y =1, x =0, y =0.

解 这是求以z =1+x +y 为顶的曲顶柱体的体积. 积分区域为D : 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x . 所求体积为

110

(1)(1)x

D

x y dxdy dx x y dy -++=++????

1

2100

1()|2

x

y xy y dx -=++

? 12031

()22

x x dx =--?

2310

3115

()|2266

x x x =--=. (2)z =x 2+y 2 , y =1, z =0, y =x 2. 解 D : -1≤x ≤1, x 2≤y ≤1. 所求体积为

21

1

2

2

221

()()x

D

x y dxdy dx x y dy -+=+????

2123111

()|3

x x y y dx -=+? 1

246111

()33

x x y dx -=+--?

35710

111188

2()|33521105

x x x y =+--=.

6. 计算下列二重积分:

(1)xy D

xe d σ??, D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1}.

解 积分区域为矩形, 所以

xy D

xe d σ??1

1

1

100

|xy xy dx xe dy e dx ==???

1

100

(1)()|2x x e dx e x e =-=-=-?.

错误解法:

xy D

xe d σ??1

1

1

1

1

100

[]xy xy xy dx xe dy dx e dxy dx e ===?????.

(2)223/2

(1)D

y

d x y σ++??

, D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1}.

解 积分区域为矩形, 所以

11223/2223/200(1)(1)D

y y d dx dy x y x y σ=++++??

?? 1

1

22

12

00

[(1)]|x y dx -=-++?

1

dx =?

10[ln(ln(x x =+-

=. (3)2D

xy d σ??, D 是由抛物线y 2=2px 和直线2

p

x =

(p >0)围成的区域. 解 区域D 可表示为 -p ≤y ≤p ,

2122

p y x p ≤≤. 2

D

xy d σ??2

2212p

p

p

y p

dy xy dx -=??

2

2

22122

p

p

p y p

x y dy -=??

24

221()244p p p y y dy p -=-?

2375

2

11()|2122821

p p p y y p p -=-=. (4)(6)D

x y d σ+??, D 是由y =x , y =5x , x =1所围成的区域.

解 区域D 可表示为: 0≤x ≤1, x ≤y ≤5x . (6)D

x y d σ+??1

50

(6)x

x

dx x y dy =+??

1

250(3)|x

x xy y dx =+?

1

23100

7676

76|33

x dx x ==

=?.

(5)22()D

x y d σ+??, D 是由y =x , y =x +a , y =a ,

y =3a (a >0)所围成的区域.

解 D 可表示为: a ≤y ≤3a , y -a ≤x ≤y . 22()D

x y d σ+??322()a y

a y a

dy x y dx -=+??

3321

()|3

a

y y a a x y x dy -=+? 333211

[()]33

a a y y a ay dy =--+? 4433111[()]|12123

a

a y y a ay =--+=14a 4.

习题8-3

1. 求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积． 解 所求立体在xOy 面上的投影区域为

22{(,)|2}D x y x y =+≤

所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：

22222222π20

(62)d (2)d (633)d (63)d d d 3)d 6π.

D

D

D

D

V x y x y x y σσ

σρρθθρρρ=---+=--=-=-=?????????

2. 画出积分区域，把积分(,)d D

f x y σ??表示为极坐标形式的二次积分，其中

积分区域D 是：

(1) 222{(,)|}(0)x y x y a a +≤>； (2) 22{(,)|2}x y x y x +≤； (3) 2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，其中0a b <<； (4) {(,)|01,01}x y y x x ≤≤-≤≤． 解 (1) 在极坐标中，{(,)|0,02π}D a ρθρθ=≤≤≤≤，故

2π0

(,)d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .a

D

D

f x y f f σρθρθρρθθρθρθρρ==??????

(2) 在极坐标中，ππ{(,)|02cos ,}22

D ρθρθθ=≤≤-≤≤，故

π2cos 2π0

2

(,)d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .D

D

f x y f f θ

σρθρθρρθθρθρθρρ-==??

????

(3) 在极坐标中，{(,)|,02π}D a b ρθρθ=≤≤≤≤，故

2π0

(,)d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .b

a

D

D

f x y f f σρθρθρρθθρθρθρρ==??

????

(4) 在极坐标中，直线1x y +=的方程为1

sin cos ρθθ

=

+，故

1π

{(,)|0,0}sin cos 2

D ρθρθθθ=≤≤

≤≤+，

于是

π12sin cos 0

(,)d (cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .D

D

f x y f f θθσρθρθρρθθρθρθρρ+==?????

?

3. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：

(1) 1

1

00d (,)d x f x y y ?? ； (2) 20d (,)d x x f x y y ? ；

(3) 1

01d (,)d x

x f x y y -? ； (4) 2

1

d (,)d x x f x y y ??

．

解 (1) 用直线y x =将积分区域D 分成1D 、2D 两部分：

1π

{(,)|0sec ,0}4D ρθρθθ=≤≤≤≤，

2ππ

{(,)|0c ,}.42

D cs ρθρθθ=≤≤≤≤，

于是

原式sec csc 4

20

4

d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d .f f ππ

θ

θ

πθρθρθρρθρθρθρρ=+????

(2) 在极坐标中，直线2,x y x ==和y 的方程分别是π2sec ,4

ρθθ==

和3πθ=

。因此ππ{(,)|02sec ,}43

D ρθρθθ=≤≤≤≤，又()f f ρ=，于是 原式π

2sec 3π0

4

d ()d .f θ

θρρρ=??

(3) 在极坐标中，直线1y x =-的方程为1

sin cos ρθθ

=

+，圆y 程为1ρ=，因此1π

{(,)|1,0}sin cos 2

D ρθρθθθ=≤≤≤≤+，故

原式π1

210

sin cos d (cos ,sin )d .f θθ

θρθρθρρ+=??

(4) 在极坐标中，直线1x =的方程为sec ρθ=，抛物线2y x =的方程为

22sin cos ρθρθ=，即tan sec ρθθ=；两者的交点与原点的连线的方程是π

4

θ=

。因此π{(,)|tan sec sec ,0}4

D ρθθθρθθ=≤≤≤≤，故

原式πsec 40

tan sec d (cos ,sin )d .f θ

θθθρθρθρρ=??

4. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值

(1) 22200

d )d a

x x y y +? ；

(2) 0

d a x y ??

；

(3) 2

11

2

2

2

0d ()d x

x x x y y -

+?? ；

(4) 2200

d )d a

y x y x +? ．

解 (1) 在极坐标中，π{(,)|02cos ,0}2

D a ρθρθθ=≤≤≤≤，故 原式π2cos 2420

3d d π.4

a a θ

θρρρ=?=??

(2) 在极坐标中，π{(,)|0sec ,0}4

D a ρθρθθ=≤≤≤≤，故

原式π3

sec 40

d d 1)].6

a a θ

θρρρ=?=??

(3) 在极坐标中，抛物线2y x =的方程为22sin cos ρθρθ=，即t a n s e c ρθθ=；直线y x =的方程是π4θ=，故π{(,)|0tan sec ,0}4

D ρθρθθθ=≤≤≤≤，故

原式πtan sec 40

1

d d 1.θθ

θρρρ

=?=??

(4) 在极坐标中，积分区域

π

{(,)|0,0}2

D a ρθρθ=≤≤≤≤，

于是

原式π2420

0πd d .8

a

a θρρρ=?=?? 5. 利用极坐标计算下列各题.

(1) 2

2

e d x y D

σ+??，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域；

(2) arctan d D

y x

σ??，其中D 是由圆周224x y +=，221x y +=及直线0y =，y x

=

所围成的在第一象限内的闭区域.

解 (1) 在极坐标中，{(,)|02,02π}D ρθρθ=≤≤≤≤，故 原式2

2π

2

400d e d π(e 1).ρθρρ=?=-??

(2) 在极坐标中，π{(,)|12,0}4

D ρθρθ=≤≤≤≤，故 原式π2

2

40

13d d π.64

θρρ==

?? 6. 选用适当的坐标计算下列各题： (1) 2

2

d D

x y σ??

，其中D 是由直线2x =，y x =及曲线1xy =所围成的闭区域；

(2) D

σ，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；

(3) 22()d D

x y σ+??，其中D 是由直线y x =，y x a =+，y a =，3(0)y a a =>所

围成的闭区域；

(4) D

σ，其中D 是圆环形闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤．

解 (1) 选用直角坐标，1{(,)|,12}D x y y x x x

=≤≤≤≤，故

22

212219d .4x x D

x x dx dy y y

σ==??

?? (2) 选用极坐标，π

{(,)|01,0}2

D ρθρθ=≤≤≤≤，故

π2

0d d d d ππ

d (π2).28

D

D

σρρθθρρρρ===

?=-???

(3) 选用直角坐标，

3

332

2

22

2

2

40

()d d ()d (2)d 14.3

a y a

y a

D

a x

y y x y x ay a y y a σ-+=+=-+=????

?

(4) 选用极坐标，π{(,)|01,0}2

D ρθρθ=≤≤≤≤，故

2π2330

2

d d d d π().3

b

a

D

D

b a σρρρθθρρ=?==

-????

7. 求由平面0y =，(0)y kx k =>，0z =以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积． 解

3

arctan 0

d d d d arctan .3

====

?

?

D

D

k

V R

k σρρθ

θρρ

习题8.5

1.

求圆锥面z =被柱面22x y x +=所割下部分的曲面面积； 解：

曲面面积公式S =??

，其中{}x y x y x D ≤+=22|),(，所

求曲面方程22y x z +=，得：2

2

2

2

,y

x y z y

x x z y x +=

+=

4

S D ∴====

??

??

2. 求由旋转抛物面22z x y =+与平面1z =所围成立体在第一卦限部分的质量，假定其密度为x y μ=+；

解：已知积分区域{}2222(,,)|1,0,0,1x y z x y x y x y z Ω=+≤>>+≤≤，

211

20

4(,,)(cos sin )15

r

m x y z dxdydz d dr r r rdz π

μθθθΩ

∴==+=

?????? 3. 求圆222x y a +=与2224x y a +=所围的均匀环在第一象限部分的重心； 解：由于是均匀圆环，即p 是一个常数，由重心坐标公式知

?????=?=

D D yd D

y xd D x σσ1

,1，由于在第一象限，故其中 2224

3

41)2(41a a a D πππ=-=?，令θθsin ,cos r y r x ==，知此时有

????

??

≤≤≤≤=20,2|),(πθθa r a r D ，得

32032

022

3

7

cos 37cos a d a drd r xd a

a

D

===???

??ππ

θθθθσ

同理得320223

7

sin a drd r yd a a D ==????θθσπ

128128,99D D a a x xd y yd D D σσππ∴=

===∴??????，重心坐标为2828,99a a ππ??

???

4. 求椭圆抛物面22z x y =+与平面1z =所围成的均匀物体的重心； 解：由于是均匀物体，p 是一个常数，由重心坐标公式知

??????

????=

?=

?=

V

V

V zdV V

ydV V

xdV V

1,1,1

?????+-==?D

V

dxdy y x dV V ))(1(22，令θθsin ,cos r y r x ==代入题给条件得

{}πθθ20,10|),(≤≤≤≤=r r D ，故

2)1(20

1

2π

θπ

=

-==??

?

???drd r r dV V V

用柱面坐标可得

0cos 20101

22

==???

???θθπdzdrd r xdV r

V

，

同理可得0sin 20

101

22==?

?

????θθπ

dzdrd r ydV r

V

，

3

20

101

2π

θπ

=

=?

?

????dzdrd zr zdV r

V

1

1120,0,3

V

V

V

x xdV y ydV z zdV V

V

V

∴=

==

==

=

??????

???

???

5. 求半径为a ，高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量。（设密度为1ρ=）。

解：根据题意知转动惯量是物体对于过中心平行于母线的轴的转动惯量，建立坐标系，以圆柱底面圆重心为坐标原点则由转动惯量公式可知

???+=V

dV y x J )(22，根据柱面坐标公式令z z r y r x ===,sin ,cos θθ

420

3

2

22

1)(ha dzdrd r dV y x a

h

V

πθπ

=+?

?

????

6. 在均匀的半径为R 的半圆形薄板的直径另一边要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄板，为了使整个均匀薄板的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄板另一边的长度应是多少？

解：设均匀矩形薄板另一边的长度是a ，以半圆圆心O 建立坐标系，则由重