2020年中考数学复习 一元二次方程：韦达定理的应用 (无答案)
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版]
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中考数学专题复习 一元二次方程的解法及应用
解：x2＋2 5x－1＝0，
∵a＝1，b＝2 5，c＝－1，
∴Δ＝(2 5)2－4×1×(－1)＝24＞0.
∴x＝－2
5±2 2
6＝－
5±
6，
即 x1＝－ 5＋ 6，x2＝－ 5－ 6.
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一元二次方程根的判别式
3．(2020 攀枝花)若关于 x 的方程 x2－x－m＝0 没有实数根，则 m 的值
共握了 45 次手，求参加这次会议的有多少人？
解：设参加这次会议的有 x 人，则每人将与(x－1)人握手．
依题意可列方程：
12x(x－1)＝45
.
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命题精讲 解一元二次方程
1．(2020 泰安)将一元二次方程 x2－8x－5＝0 化成(x＋a)2＝b(a，b 为常
数)的形式，则 a，b 的值分别是( A )
∵Δ＝9＋4＝13，
∴x＝－3±2
13 .
∴x1＝－3＋2
13，x2＝－3－2
13 .
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三、一元二次方程根的判别式
Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； Δ＜0⇔方程无实数根； Δ≥0⇔方程有实数根.
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3．一元二次方程 x2＋2x－4＝0 的根的情况为( C ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
方程的解
x＝－b±
b2－4ac 2a
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2.解一元二次方程： (1)解方程：(x－1)2＝4(直接开平方法)；
解：两边直接开平方，得 x－1＝±2. ∴x－1＝2 或 x－1＝－2. 解得 x1＝3，x2＝－1.
2020年中考数学专题复习讲义(第二章第七讲一元二次方程及应用)
第七讲 一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆四、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，ac x x =21。
2020年中考数学复习专题——一元二次方程
2020年中考数学复习专题一元二次方程知识点归纳1．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．例1．观察下列一组方程：①x2﹣x＝0；②x2﹣3x+2＝0；③x2﹣5x+6＝0；④x2﹣7x+12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．（1）若x2+kx+56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根．【分析】（1）直接利用连根一元二次方程得出k的值；（2）利用因式分解法得出符合题意的值．【解答】解：（1）由题意可得：k＝﹣15，则原方程为：x2﹣15x+56＝0，则（x﹣7）（x﹣8）＝0，解得：x1＝7，x2＝8；（2）第n个方程为：x2﹣（2n﹣1）x+n（n﹣1）＝0，（x﹣n）（x﹣n+1）＝0，解得：x1＝n﹣1，x2＝n．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义，正确得出规律是解题关键．2．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b 和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．例2．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；（2）利用（1）中所求得出方程的解．【解答】解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0解之，得m＝2或m＝1①，由m﹣1≠0，得：m≠1②，由①，②得：m＝2；（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，得x2+5x＝0，x（x+5）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣5．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．3．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．例3．在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值．（1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是4．（2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值．【分析】（1）根据方程的中点值的定义计算；（2）利用方程的中点值的定义得到m＝6，再把把x＝2代入x2﹣mx+n＝0计算出n的值，然后计算mn．【解答】解：（1）∵（﹣）2﹣3＝13，∴方程x2﹣8x+3＝0的中点值为4；故答案为4；（2）∵＝3，∴m＝6，把x＝2代入x2﹣mx+n＝0得4﹣6×2+n＝0，解得n＝8，∴mn＝6×8＝48．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．估算一元二次方程的近似解用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．例4．可以用如下方法估计方程x2+2x﹣10＝0的解：当x＝2时，x2+2x﹣10＝﹣2＜0，当x＝﹣5时，x2+2x﹣10＝5＞0，所以方程有一个根在﹣5和2之间．（1）仿照上面的方法，找到方程x2+2x﹣10＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；（2）若方程x2+2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．【分析】（1）分别计算出x＝2和x＝3时x2+2x﹣10的值即可得出答案；（2）根据方程x2+2x+c＝0有一个根在0和1之间知或，解之可得．【解答】解：（1）∵当x＝2时，x2+2x﹣10＝﹣2＜0，当x＝3时，x2+2x﹣10＝5＞0，∴方程的另一个根在2和3之间；（2）∵方程x2+2x+c＝0有一个根在0和1之间，∴或，解得：﹣3＜c＜0．【点评】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，并熟练掌握近似解的估算办法．5.解一元二次方程-直接开平方法形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．例5．解方程：（y+2）2﹣6＝0【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．【解答】解：（y+2）2﹣6＝0，（y+2）2＝12，y+2＝±2，y1＝2﹣2，y2＝﹣2﹣2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．例6．解方程：（1）（2）2x2﹣4x+1＝0【分析】（1）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；（2）移项，系数化成1，配方，开方，即可的两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）方程两边都乘以x（x﹣4）得：3x﹣4+x（x﹣4）＝x（x﹣2），解得：x＝4，检验：当x＝4时，x（x﹣4）＝0，所以x＝4不是原方程的解，即原方程无解；（2）2x2﹣4x+1＝0，2x2﹣4x＝﹣1，x2﹣2x＝﹣，x2﹣2x+1＝﹣+1，（x﹣1）2＝，x﹣1＝，x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能正确配方是解（2）的关键．（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．例7．解方程：（1）2x2+4x﹣1＝0（2）（x﹣3）2＝2（4﹣3x）【分析】（1）根据公式法即可求出答案．（2）先将方程化为一般式，然后根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵2x2+4x﹣1＝0，∴a＝2，b＝4，c＝﹣1，∴△＝16+8＝24，∴＝；（2）原方程化为：x2+1＝0，∴原方程无解．【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．8.解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．例8．用合适的方法解方程：4x2﹣x＝3．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：4x2﹣x＝3．4x2﹣x﹣3＝0，（4x+3）（x﹣1）＝0，4x+3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．9.换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．例9．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．已知实数x，y满足（4x2+4y2+3）（4x2+4y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．【分析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（4t+3）（4t﹣3）＝27，然后解该方程即可．【解答】解：设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（4t+3）（4t﹣3）＝27，整理，得16t2﹣9＝27，所以t2＝．∵t≥0，∴t＝．∴x2+y2的值是．【点评】考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．10.根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．例10．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0，当b＝a+3时，请判断此方程根的情况．【分析】先计算出判别式的值，再把b＝a+3代入得到△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：△＝b2﹣4a×3＝b2﹣12a，而b＝a+3，所以△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0，所以方程有两个实数根．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．11.根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．例11．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根．（1）无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k＝2时，请判断△ABC的形状并说明理由；（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；（2）将k的值代入原方程并求解后，根据勾股定理逆定理即可求出答案；（3）根据等腰三角形的性质即可求出k的值．【解答】解：（1）△＝（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）＝1＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k＝2时，∴原方程化为：x2﹣7x+12＝0，解得：x＝3或x＝4，∴32+42＝52，∴△ABC是直角三角形；（3）当BC是等腰三角形的腰时，∴x＝5是方程的x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0解，∴25﹣5（2k+3）+k2+3k+2＝0，解得：k2﹣7k+12＝0，∴k＝3或k＝4，若k＝3时，则方程为：x2﹣9x+20＝0，∴x＝4或x＝5，满足三角形三边关系，此时周长为14；若k＝4时，则方程：x2﹣11x+30＝0，∴x＝5或x＝6，满足三角形三边关系，此时周长为16；当BC是等腰三角形的底边时，此时方程的x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0有两个相等的解，不满足题意，综上所述，△ABC的周长为14或16；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．12.由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．例12．南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240；方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240．（2）请你选择一种方法，写出充整的解答过程．【分析】（1）方法1：设每千克特产应降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；方法2：设每千克特产降价后定价为y元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可．（2）利用（1）中所列方程求出答案．【解答】解：（1）方法1：设每千克特产应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；（2）方法1：设每千克特产应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，解得x1＝4，x2＝6．要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6，60﹣6＝54元，答：每千克特产应定价54元．方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240解得x1＝54，x2＝56．要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54，答：每千克特产应定价54元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．13.一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．例13．随着夏季的到来，各类水果自然也成了大众喜爱的消费产品．已知某水果店第一次售出苹果和芒果共200千克，其中苹果的售价为24元/千克，芒果的售价为20元/千克，总销售额为4320元．（1）求水果店第一次售出苹果和芒果各多少千克；（2）通过最近的调查发现消费者更加青睐于购买芒果，经销售统计发现与第一次相比，芒果的售价每降低1元，销量就增加20千克，苹果的售价和销量均保持不变，如果第二次的苹果和芒果全部售完比第一次的总销售额多980元，求第二次芒果的售价．【分析】（1）设水果店第一次售出苹果x千克，售出芒果y千克，根据某水果店第一次售出苹果和芒果共200千克且总销售额为4320元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设第二次芒果的售价为m元/千克，则第二次售出芒果[120+20（20﹣m）]千克，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设水果店第一次售出苹果x千克，售出芒果y千克，依题意，得：，解得：．答：水果店第一次售出苹果80千克，售出芒果120千克．（2）设第二次芒果的售价为m元/千克，则第二次售出芒果[120+20（20﹣m）]千克，依题意，得：24×80+m[120+20（20﹣m）]＝4320+980，整理，得：m2﹣26m+169＝0，解得：m1＝m2＝13．答：第二次芒果的售价为13元/千克．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．14.配方法的应用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．3、配方法的综合应用．例14．已知：等腰△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣4b+13＝0，求等腰△ABC 的周长．【分析】根据配方法可求出a与b的值，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案．【解答】解∵a2+b2﹣6a﹣4b+13＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣2）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，解得a＝3，b＝2，∵1＜c＜5，且c为整数，∴c＝2、3、4，∵△ABC是等腰三角形∴c＝2或3故△ABC的周长为：7或8．【点评】本题考查配方法，解题的关键是熟练运用配方法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．15.高次方程（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．（2）高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理．换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．例15．解方程组【分析】由方程②可得x+y＝0或x﹣2y＝0，据此可得两个关于x、y的方程组，再分别求解可得．【解答】解：由②得（x+y）（x﹣2y）＝0，则x+y＝0或x﹣2y＝0，所以方程组可变形为或，解得或．【点评】本题主要考查高次方程，解高次方程的关键是利用合适的方法将方程中未知数的次数降低．16.无理方程（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例16．解方程：【分析】先移项，再先后两次两边平方，将原方程转化为整式方程，解之求出x的值，检验即可得．【解答】解：移项，得＝1+，两边平方，得2x+1＝1+2+x+4，化简，得x﹣4＝2，两边平方，海，x2﹣8x+16＝4（x+4），化简整理，得，x2﹣12x＝0，解这个方程，得x1＝0，x2＝12，经检验：x＝0不是原方程的根舍去，x＝12是原方程的根，所以原方程的根是x＝12【点评】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．。
一元二次方程、韦达定理及应用
专题 一元二次方程及韦达定理【基本知识】1．一元二次方程符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为；③整式方程。
任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax 2＋bx ＋c = 0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）2．了解形如（x ＋m ）2= n （n ≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程右边；（2）在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；（3）利用直接开平方法解之。
4．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：242b b ac x a -±-= （240b ac -≥） 5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b 2－4ac 来判定：当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根。
我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0的根的判别式。
6． 设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系： 12b x x a +=-，12c x x a⋅=； 7、用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？（一审、二找、三设、四列（列代数式、列方程）、 五解、六验、七答）8． 用一元二次方程解决问题的关键是什么？（寻找题中的等量关系）巩固练习1．关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A ．0p >且0q >B ．0p >且0q <C ．0p <且0q >D ．0p <且0q < 2．若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足1212x x x x +=⋅。
2020中考数学专题复习课件-6 一元二次方程
＋2ba)2－b2－4a42ac＝0.
移项，得(x＋2ba)2＝b2－4a42ac，
∵a≠0，∴4a2＞0.
当b2－4ac≥0时，b2－4a42ac 是一个非负数，此时两边开平方，得
x＋2ba＝±
b2－4ac， 4a2
x＝－ b ± 2a
b2－4ac 4a2
＝－b± b2－4ac. 2a
典例“串”考点
，且便于配方
方法解方程
返回思维导图
解法
适用方程类型
方法或步骤
(1)缺少常数项，即方程 (1)移项：将方程的一边化为0；(2)化积：把方程的 因式 ax2＋bx＝0(a≠0)；(2)方 另一边分解为两个一次因式的积；(3)转化：令每个
分 程一边为0，另一边易于 因式分别为0，转化为两个一元一次方程；(4)求解 解法 分解成两个一次因式的乘 ：解这两个一元一次方程，它们的解就方程的概念
一元二次方程 的一般形式
一元二次方 程的解法
一元二次方程 及其解法
一元二次方程 根的判别式
一元二次方程
一元二次方程 的实际应用
平均增长 （下降）率问题
面积问题
考点 1 一元二次方程及其解法
1. 一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 ____2____的整式方程． 2. 一元二次方程的一般形式：
中(1)当二次项系数化为1 x2＋px＋q＝0；(2)把常数项移到方程的另一边，即
配方法
后，一次项系数为偶数 时，使用配方法较简便 ；(2)各项的系数比较小
x＋__2＋_pp2_xp_＋x_＝)_2_＝－_(_－p2q＝)；2q－＋(3q)_＋在_(_p2_方_)__2_程_(_p2的；两)2形(边4式)同把；时方(5加程)运上整用_理_直_成_(接p2，()x2开即＋平x2
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版]
中考数学专题提高专题4：韦达定理应用探讨(28页)
专题4：韦达定理应用探讨韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b c x +x =x x =a a -⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212b c x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b 4ac 0∆-≥。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
我们将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题：例1：（湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】A ．－2B ．2C ．3D ．1【答案】C 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝3。
故选C 。
例2：（湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是【 】A.4.B.3.C.－4.D.－3.【答案】B 。
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版]
两侧肾图曲线对比异常，一侧为小肾图，另一侧曲线形态正常，可见于()A.单侧肾动脉狭窄B.肾结石C.肾积水D.多囊肾E.肾肿瘤 把可燃物迅速从火灾区域移走，此方法叫隔离法.A.正确B.错误 根据外商投资企业法律制度的规定，下列关于外商投资企业合并与分立的表述中，不正确的是。A.在投资者按照合同、章程的规定缴清出资、提供合作条件并且实际开始生产、经营之前，外商投资企业不得合并、分立A.外国投资者的股权比例不得低于合并后注册资本的25%B.外商投资企业与境内 下列各项中，不属于个人所得税中居民纳税人的是。A.在中国境内无住所，但一个纳税年度内在中国境内居住满1年的个人B.在中国境内无住所，而在境内居住超过90天但不满1年的个人C.在中国境内有住所的个人D.在中国境内无住所，并在境内居住满1年不满5年的个人 不适合做DSA检查的疾病是A.血管性疾病血管瘤、血管畸形B.血管疾病的介入治疗C.血管手术后随访D.血管痉挛E.肿瘤性疾病了解肿瘤的血供 下列预防措施属于被动免疫的是A.口服小儿灰质炎疫苗B.注射卡介苗C.注射丙种球蛋白D.注射麻疹疫苗E.注射流脑疫苗 血管造影术后的护理，下列正确的是A.减少饮水量和患肢活动B.半卧位以利呼吸C.穿刺局部加压包扎2小时D.嘱病人多饮水E.术后8小时内下地活动，避免深静脉血栓形成 天津市人民政府制定的规章不得称A.条例B.规定C.办法D.实施细则 按照《担保法》的规定，下列财产中可以作为抵押物的是。A.抵押人依法有权处分的国有土地使用权B.抵押人使用的宅基地C.抵押人拥有的股票D.学校设施 急性肾衰竭并发心力衰竭的患者，最有效的治疗措施是A.强心治疗B.利尿治疗C.扩血管治疗D.透析治疗E.镇静治疗 债券到期收益率被定义为使债券的与债券价格相等的贴现率，即内部收益率。A．面值B．支付现值C．到期终值D．本息和 关于天疱疮的描述，不正
2020年中考数学复习专题——一元二次方程知识点及习题
2020年中考数学复习专题一元二次方程知识点及习题一、知识点1：一元二次方程的概念只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应先将方程化为一般形式。
2：一元二次方程的解法1. 直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x +a =±b ∴1x =-a +b 2x =-a -b2. 配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方(配完全平方)，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式； ⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3. 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．求根公式a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac≥0)备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24b ac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,22b x a-=4. 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0步骤是：① 将方程右边化为0；② 将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③ 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
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一元二次方程:韦达定理的应用
1.①.x1x2是关于x的方程x2-2（m+1)x＋m2+5=0的两实根，且x12-x22=0,求m的值。
②.关于x的方程x2-5x＋m=0有两实根x1，x2，①x12-x22=10,求m的值。
①x1+3x2=6,求m的值。
①.关于x的一元二次方程25(5)0
-+-=的两个正实数根分别为x1，
x mx m
x2，且2x1+x2=7，求m的值．
④.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+1）x+m 2－2=0的两根x 1和x 2，且（x 1－2）（x 1－x 2）=0，求m 的值。
2.已知关于x 的方程x 2-2（k-1）x+k 2=0的两根x 1，x 2 ①若5-x x x x 2121=+，求k 值。
②若12121-=+x x x x ，求k 值。
③若1-x x x x 2121=+，求k 值。
④若2221=-x x ，求k 值。
3. 实数k 取何值时，方程04-2k 3)x -(2k -x 2=+，满足：①有两个正根？①有两个异号根，且正根的绝对值较大？①一根大于3，另一根小于3？
4.①已知m,n是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两个实数根，那么当a为何值时m2+n2有最小值，最小值是多少?
②.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两个实数根，那么(m+2)(n+2)的最小值是多少?
③.如果关于x的一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?
5.平行四边形ABCD 的两边AB 、AD 的长是关于x 的方程x 2－mx+2
1
m-4
1=0的两根. m 为何值，平行四边形ABCD 为菱形。
②AB=2，求平行四边形ABCD 的周长。
6.已知关于x 的方程 x 2－(2a －1)x+4(a －1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长， 求这个直角三角形的面积。
7.菱形ABCD 的边长为5，两对角线交于点O ，且OA 、OB 的长是关于x 的方程 x 2+（2m-1）x+ m 2+3=0的两根. 求m 的值。
8.已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k+）=0，等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c是这个方程的两根，求△ABC的周长．
9.等腰△ABC的三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b=0有两
个相等的实数根，求△ABC的周长。
10.已知△ABC三边长a,b,c，且b+c=8,bc=a2-12a+52.试判断△ABC 的形状。