空间角 课件
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高中数学选修2-1课件：3.2 第3课时 空间向量与空间角
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中
点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分
别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG；
证明 在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，
所以AB∥DE.
又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，
－1)，C→E＝(1，t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1＋t－22·cos 60°，
所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．
解析答案
题型二 直线与平面所成角的向量求法 例2 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a ，侧棱长为 2a ，M为 A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
D.90°
解析 ∵cos〈m，n〉＝ 12＝ 22，
∴二面角的大小为45°或135°.
解析答案
12345
3.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝ 2BB1，则AB1与C1B所成角的大 小为( )
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
解析答案
12345
4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
232Fra bibliotekA. 3
B. 3
C.3
6 D. 3
解析答案
12345
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直 9
线A1B与B1C所成角的余弦值为_2_5__. 解析 如图，建立空间直角坐标系. 由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4，4,0)，C(0,4,3). ∴A→1B＝(0,4,3)，B→1C＝(－4,0,3)， ∴cos〈A—1→B，B—1→C〉＝295.
空间角-课件
在四边相等的空间四边形，所以必须证B′、E、D、
F四点共面. 第(3)小题应用了课本一道习题的结论， 才证明了AD在平面B′EDF内的射影在B′D上
返回
误解分析
1. 求异面直线所成的角，要注意角的范围是 0，
，π 2
，如能力·思维·方法3，平移后得AB1C，计
算得
cosAB1C
5 ，不能说两异面直线成角 5
(A)θ0θ0
(B)θ40θ50
(C)θ40θ90
(D)θ50θ90
5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°， 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A) 30 10
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、 F分别是BC、A′D′
(1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角.
【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由B′E=ED= DF=FB′就断定B′EDF是菱形，那是不对的，因存
设E、F分别为AB、PD的中点.
(1)求证：AF∥平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；
【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.
返回
课前热身
1. 二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面β上的射影，E是棱 AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则( A )
F四点共面. 第(3)小题应用了课本一道习题的结论， 才证明了AD在平面B′EDF内的射影在B′D上
返回
误解分析
1. 求异面直线所成的角，要注意角的范围是 0，
，π 2
，如能力·思维·方法3，平移后得AB1C，计
算得
cosAB1C
5 ，不能说两异面直线成角 5
(A)θ0θ0
(B)θ40θ50
(C)θ40θ90
(D)θ50θ90
5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°， 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A) 30 10
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、 F分别是BC、A′D′
(1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角.
【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由B′E=ED= DF=FB′就断定B′EDF是菱形，那是不对的，因存
设E、F分别为AB、PD的中点.
(1)求证：AF∥平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；
【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而 应首先由题设去分析，题目中是否已有.
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.
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课前热身
1. 二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的 点(不在棱AB上)，D是C在平面β上的射影，E是棱 AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则( A )
【高考】数学空间角线线角与线面角复习ppt课件
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1) 两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．( ) (2) 已知A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量是
n0＝±13，－23，23.( )
(3)已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 a∥c，a⊥b.( )
法二 如图 2，建立空间直角坐标系，
z
则 B(2,0,0)，C(2,2 2，0)，E(1， 2，1)，
A→E＝(1, 2，1)，B→C＝(0,2 2，0)．
设A→E与B→C的夹角为 θ，则
y
→→
cosθ＝|AA→EE|·|BB→CC|＝2×42
＝ 2
22，
x
所以 θ＝π4.
由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π4.
2.空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，
二面角的范围是[0，π]．( ) (5)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，则 l 与 α 所成的角为 150°.( ) (6)在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60°.( )
(思1)想本与题方求程解思时想关．键是结合题设条件设进行A空B间＝联想t，，抓则住垂相直关条件各有目点的的 推理坐论证标，为 在第(A2)问(0中,0，,运0用)，空间B向(t量,0，,将0线)，面角B转1(化t,为0直,3线)的，方C向(向t,量1与,0平)， 面的法向量的夹角，考查化归
利利用用空 空间间向向量量求求直直线线与与平平面面所所成成的的C角角1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
高中数学_专题：向量法求空间角优秀课件
题型突破深化提升
章末整合
例5正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,求BE与平面B1BD所
成角的余弦值.
解:如图所示建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2,
则 D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1),
=(-2,-2,0),1 =(0,0,2),=(-2,0,1).
·
||| |
1
= .
7
1
所以二面角 A-A1B1-C1 的余弦值为 .
7
-6-
知识网络系统构建 题型突破深化提升
题型突破深化提升
章末整合
专题一
专题二
专题三
方法技巧1.线线角
(1)用“平移法〞作出异面直线所成角(或其补角),解三角形求角.
(2)用“向量法〞求两直线的方向向量所成的角.
2.线面角
设侧面 ABB1A1 的法向量 n=(λ,x,y),
∴n·=0,且 n·1 =0,
∴ax=0,且 2ay=0.∴x=y=0,故 n=(λ,0,0).
∵1 = -
3
2
, 2 , 2 ,
∴cos<1 ,n>=
·1
|||1 |
-
3
2
= ||
1
=- =±2.
3 2||
(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
-10-
知识网络系统构建 题型突破深化提升
题型突破深化提升
章末整合
专题一
专题二
专题三
解:(1)如图,连接 BD 交 AC 于 O,因为 BC=CD,即△BCD 为等腰三角
形.
又 AC 平分∠BCD,故 AC⊥BD.以 O 为坐标原点,, , 的方向
章末整合
例5正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,求BE与平面B1BD所
成角的余弦值.
解:如图所示建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2,
则 D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1),
=(-2,-2,0),1 =(0,0,2),=(-2,0,1).
·
||| |
1
= .
7
1
所以二面角 A-A1B1-C1 的余弦值为 .
7
-6-
知识网络系统构建 题型突破深化提升
题型突破深化提升
章末整合
专题一
专题二
专题三
方法技巧1.线线角
(1)用“平移法〞作出异面直线所成角(或其补角),解三角形求角.
(2)用“向量法〞求两直线的方向向量所成的角.
2.线面角
设侧面 ABB1A1 的法向量 n=(λ,x,y),
∴n·=0,且 n·1 =0,
∴ax=0,且 2ay=0.∴x=y=0,故 n=(λ,0,0).
∵1 = -
3
2
, 2 , 2 ,
∴cos<1 ,n>=
·1
|||1 |
-
3
2
= ||
1
=- =±2.
3 2||
(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
-10-
知识网络系统构建 题型突破深化提升
题型突破深化提升
章末整合
专题一
专题二
专题三
解:(1)如图,连接 BD 交 AC 于 O,因为 BC=CD,即△BCD 为等腰三角
形.
又 AC 平分∠BCD,故 AC⊥BD.以 O 为坐标原点,, , 的方向
利用空间向量研究角度问题-高考数学复习课件
∵ OB ⊂平面 ABCD ，∴ OP ⊥ OB ，∴ PB ＝
在△ C 1 BP 中， cos
2 ＋
2 ＋12 −12
3
∠ C 1 BP ＝
＝ ，
2·1
2
π
π
∴∠ PBC 1＝ ，即直线 PB 与 AD 1所成的角为 .
6
6
2
2
2
＝
6
a.
2
法二：以 D 为原点， DA ， DC ， DD 1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴
2
A. 30°
由于 cos<
B. 60°
C. 120°
A )
D. 150°
1
m ， n >＝－ ，所以< m ， n >＝120°，所以直线 l 与平面α
2
所成的角为30°.
3. 平面α的一个法向量为 m ＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为 n ＝
(2，2，1)，则平 C 为原点， CA ， CB 所在直线分别为 x ， y 轴，建立如图所示的空间
3
π
，∴直线 PB 与 AD 1所成的角为 .
2
6
方法总结
向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点
1. 两种方法：
(1)基向量法：利用线性运算；
(2)坐标法：利用坐标运算.
2. 一个注意点：
注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围.
跟踪训练
1. 在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中，∠ BCA ＝90°， M ， N 分别是 A 1 B 1，
.
6
方法总结
利用平面的法向量求线面角的两个注意点
在△ C 1 BP 中， cos
2 ＋
2 ＋12 −12
3
∠ C 1 BP ＝
＝ ，
2·1
2
π
π
∴∠ PBC 1＝ ，即直线 PB 与 AD 1所成的角为 .
6
6
2
2
2
＝
6
a.
2
法二：以 D 为原点， DA ， DC ， DD 1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴
2
A. 30°
由于 cos<
B. 60°
C. 120°
A )
D. 150°
1
m ， n >＝－ ，所以< m ， n >＝120°，所以直线 l 与平面α
2
所成的角为30°.
3. 平面α的一个法向量为 m ＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为 n ＝
(2，2，1)，则平 C 为原点， CA ， CB 所在直线分别为 x ， y 轴，建立如图所示的空间
3
π
，∴直线 PB 与 AD 1所成的角为 .
2
6
方法总结
向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点
1. 两种方法：
(1)基向量法：利用线性运算；
(2)坐标法：利用坐标运算.
2. 一个注意点：
注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围.
跟踪训练
1. 在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中，∠ BCA ＝90°， M ， N 分别是 A 1 B 1，
.
6
方法总结
利用平面的法向量求线面角的两个注意点
高考数学专题：空间角——线线角与线面角专题复习
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称
A→B为直线 l 的方向向量，与A→B平行的任意 非零向量 也是直线 l 的方 向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 α 内两不共线向量，
n
为平面
α
的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0， n·b＝0.
n0＝±13，－23，23.( )
(3)已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 a∥c，a⊥b.( )
2.空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，
二面角的范围是[0，π]．( ) (5)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，则 l 与 α 所成的角为 150°.( ) (6)在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60°.( )
优秀课件PPT公开课优质课PPT课件20 20届 高考数 学专题 ：空间 角—— 线线角 与线面 角专题 复习(共1 7张PPT)来自一种方法两种关系
利用空间向量求空间角， 避免了寻找平面角和垂线 段等诸多麻烦，使空间点 线面的位置关系的判定和 计算程序化、简单化．主 要是建系、设点、计算向 量的坐标、利用数量积的 夹角公式计算．
一、异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当 异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就 是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异 面直线所成的角.如(1)(6) 二、直线和平面所成的角与其向量的夹角：当斜 线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角或直 角时，取其余角就是斜线和平面所成的角；否则 将向量夹角减去90°是斜线和平面所成的角.如(5)
利用空间向量求空间角PPT教学课件
澶渊之盟
宋真宗赵恒 1004年，辽军大举南征时，亲自领兵到澶 渊抵御，并与辽签订了“澶渊之盟”。
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寇准
寇准
北宋宰相。1004年，辽军大举南征时， 主战。
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西夏武士
西夏的建立
1038年，党项族首领元昊建立西夏 国。图为李元昊之墓
下一页
党项人
女男供供养养人人
下一页
西夏铜牛
下一页
西夏飞天壁画
nn
α
与平面垂直的直线叫做平面
的法线．因此平面的法向量
就是平面法线的方向向量
异面直线所成角
a, b分别是两直线l1 , l2的方向向量,
l1, l2的所成的角为 ,则
cos | a b |
|a||b|
l2
b a
l1
巩固性训练1
1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱
长为2,底面连长为1.求异面直线AB1与
BC1夹角的余弦值.
解：取的中点O建立如图 所示的空间直角坐标系O-XYZ。
1
A(
2
,0,2)
3
B(0, 2
,2)
B1 (0,
3 2
,0)
C1
1(-
,0 ,0)
2
A
BC ∴
1 AB1 ( 2 ,
3 ,2) 2
1
=（-
1 2
，-
3 ，-2） 2
X
∴cos = AB1 • BC1 = 7
AB1 • BC1 10
m 设 =(x,y,z) 是平面PBC的一个法向量
∴ PB ⊥ m
PC ⊥ m
∴ PB • m =x-z=0
y
PC • m =x+y-z=0
高考数学一轮复习第八章立体几何第六节利用空间向量求空间角课件理
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成 的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选 择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范] 1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间 角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同． 2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
答案：13
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平 面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．
解析：以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长 为 1，
则 A1(0,0,1)，E1，0，12，D(0，1,0)，
以 B 为原点，分别以
的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的
正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，
F(2,2,1)．
因为 AB⊥平面 BEC，所以 ＝(0,0,2)为平面 BEC 的法向量． 设 n＝(x，y，z)为平面 AEF 的法向量．
所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23.
A(0，－ 3，0)，E(1,0， 2)，F－1，0， 22，C(0， 3，0)，
所以直线
AE
与直线
CF
所成角的余弦值为
3 3.
[解题模板] 利用向量法求异面直线所成角的步骤
直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，
A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )
接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3.
空间角的求解课件
Z
D1
C1
A1
D
B1
O C y
A
B
X
例3:如图,正方体棱长为1, B1C BC1 O , 求:
(1)AO与 A1C1 所成的角 (2)AO与平面AC所成的角
D1
C1
(3)求二面角O—AB—C的大小
(1)解:∵ A1C1 ∥AC
A1
D
B1
Oo
C
∴AO与A1C1 所成的角就是∠OAC A
B
∵OC⊥OB,AB⊥面 BC1
CF (
3 , 1 , 32
6) 6
cos AE,CF
11 63
1 2 111
12 3 3 4 6
2
所以，AE与CF所成的角为arccos
2 3
3
例3:如图,正方体棱长为1, B1C BC1 O ,求
(1)AO与A1C1 所成的角
(2)AO与平面AC所成的角
(3)求二面角O—AB—C的大小
空间角的求解
授课人：朱才迅
授课班级：高二(1)班 时间：2007年4月20日
知识结构：
a定义：b范围：
空
异面直线所成的角： 求法向 平量 移法 法
a定义：b范围：
间
直线与平面所成的角： 求法三 直余 接弦 法公式：
角
向量法：
c os AF1 BD1 30
| AF1 | | BD1 | 10
3、如图，E为正方体 ABCD A1B1C1D1的棱CC1 的中点，求平
面 AB1E 和底面 A1C1 所成角的余弦值 。
解：设正方体棱长为1，
新高考数学空间角精品课件
课前基础巩固
课堂考点探究
第42讲 空间角
作业手册
能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
课标要求
1. 异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的 叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围: . (3)求法: ①几何法:平移补形法.②向量法:若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cos θ= |cos<u,v>|==.
图7-42-9
课堂考点探究
证明:如图①,连接CP,∵AE⊥平面 ABC,CP⊂平面ABC,∴AE⊥CP.∵△ABC是正三角形,∴CP⊥AB,又AB∩AE=A,∴CP⊥平面ABE.∵PQ⊂平面ABE, ∴CP⊥PQ.易知PQ∥BE∥CD,PQ=BE=CD,∴四边形CDQP为平行四边形,∴DQ∥CP,∴DQ⊥PQ.
课前基础巩固
②向量法:如图7-42-1,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|==.
课前基础巩固
图7-42-1
3. 二面角(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角(如图7-42-2). (2)范围:[0,π].
图7-42-4
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ,二面角B-A1C1-D1的余弦值为 .
课堂考点探究
第42讲 空间角
作业手册
能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
课标要求
1. 异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的 叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围: . (3)求法: ①几何法:平移补形法.②向量法:若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cos θ= |cos<u,v>|==.
图7-42-9
课堂考点探究
证明:如图①,连接CP,∵AE⊥平面 ABC,CP⊂平面ABC,∴AE⊥CP.∵△ABC是正三角形,∴CP⊥AB,又AB∩AE=A,∴CP⊥平面ABE.∵PQ⊂平面ABE, ∴CP⊥PQ.易知PQ∥BE∥CD,PQ=BE=CD,∴四边形CDQP为平行四边形,∴DQ∥CP,∴DQ⊥PQ.
课前基础巩固
②向量法:如图7-42-1,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|==.
课前基础巩固
图7-42-1
3. 二面角(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角(如图7-42-2). (2)范围:[0,π].
图7-42-4
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ,二面角B-A1C1-D1的余弦值为 .