《线性代数》电子教案-第三章

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线性代数第三章线性方程组

二、线性方程组解的判定定理
定理3.1,3.2实际上告诉我们要通过求“增广矩阵”的秩来判断解的情况。总结：
设r=秩(A)，n为未知量的个数.
（1）若 r 秩( A) 秩( A),则方程组无解。（2）若 r 秩( A) 秩( A) 则方程组有解。
（2.1）若r = n 就有唯一解；（2.2）若r < n 就有无穷多解。
5x3 0, 5,
4x3 3,
4x1 5x2 7x3 6.
【解】对增广矩阵进行初等行变换，将其化
成行简化阶梯形矩阵，即
2 1 5 0
1 3 0 5
A
1
3
0
5 (①,②)
2
1 5
0
1 1 4 3
1 1 4 3
4
5 7 6
4
5 7 6
②+①(-2) ③+①
第三章线性方程组
本章重点：
•线性方程组的解的判定和求法
本章难点：
•解的判定定理
一、线性方程组的有关概念
1、n元线性方程组为：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21x1 a12x2 a1n xn b2 ,
am1x1 am2 x2 amnxn bm.
aij：第i个方程,
1 3 2
0 1 1 ①+②×3
0 0 0
1 0 1 0 1 1 0 0 0
所以方程组化简为：
x1 x2
x3 x3
0, 0.
得方程组的一般解：
即：xx12
x3 , x3.
其中x3是自由未知量.
A
a21
a2j
a2n
b2

线性代数课件第三章矩阵的初等变换与线性方程组——1

就称这两个线性方程组等价
2021/3/6
线性代数课件
用矩阵的初等行变换解方程组（1）：
2 1 1 1 2
B41
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
r1 r2 r3 2
1 2 2 3
1 1 3
6
2 1
1 9
1 1 1 7
4
2 2
B1
9
2021/3/6
线性代数课件
r2 r31 1 12 12 41 r2 4 r3
或令 x3 c,方程组的解可记作
x1 c 4 1 4
x
x2
x x
3 4
c 3 c 3
c
1 1 0
3 0 3
其中c为任意常. 数
2021/3/6
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矩阵 B4 和B5 都称为行阶梯. 形矩阵
特点：
（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；
（2）、每个台阶只有一行，
(1)
1 2 3 2
2x1 x2 x3 x4 2, 2x1 3x2 x3 x4 2,
2 3
( B1 )
3x1 6x2 9x3 7x4 9, 4
x1 x2 2x3 x4 4,
2 3
4
3 21
31
25xx22
2x3 5x3
2x4 3x4
0, 6,
3x2 3x3 4x4 3,
2021/3/6
线性代数课件
3．上述三种变换都是可逆的．
若(A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若(A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若(A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).

线性代数课件第三章矩阵代数

A。 kI
k
O
k
nn
称为数量矩阵。
对于 s n 矩阵 A有kIn A AkIn kA 。
定义5 设 A为 n 阶方阵，k 是正整数，称 k个 A连乘积为
A 的 k 次幂，记做 Ak 1A4A2L43A ，并约定 A0 I 。
k个A
并且有： Ak Al Akl
Ak l Akl
并求A1 。若条件改为 A2 3A 2I 0 ，结论是否成立？
又已知条件不变，试证：A I 可逆，并求 A I 。 1
Q A I A 2I A2 3A 2I A2 3A I 3I 3I
A I 可逆，且 A I 1 1 A 2I
3
线性代数
第三章矩阵代数
第三章矩阵代数
第2节矩阵的逆
定理2 n 阶矩阵A可逆的充分必要条件为 A 0 ，且A1 A* A
推论设 A、B均为 n 阶矩阵，且满足AB I（或BA I）则 A、B 均可逆，且 B A1, A B1 。
例1
A
1 3
2 9
，验证A是否可逆，若可逆求A1 。
例2 设 n 阶矩阵A满足 A2 3A I 0 ，试证：A 可逆，
第2节矩阵的逆
求解矩阵方程
1、 AX B （其中A为n 阶可逆矩阵，B为 n m 矩阵）
方程两边左乘 A1 ：A1 AX A1B X A1B
从形式上看，逆矩阵起到了“除”的作用。
当 B为n1矩阵时，A 可逆即 A 0，方程组的解X A1B 与克莱姆法则结果是一致的。
但是，若A、B 均为 n 阶方阵： ห้องสมุดไป่ตู้Bk Ak Bk
定理若A、B 均为 n 阶方阵，则 AB A B 。
第二节矩阵的逆

《线性代数》教案

《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。

2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。

二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。

2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。

三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。

2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。

四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。

2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。

五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。

2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。

六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。

2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。

线性代数第三章

补充例题
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铃
矩阵A可逆AP1P2 Pl 其中P1 P2 Pl都是初等矩阵.
求逆矩阵的初等行变换法
设A为n阶可逆矩阵 B为ns矩阵. 显然A1也可逆所以存
在初等矩阵P1 P2 Pl 使 A1P1P2 Pl
于是有
A1AP1P2 Pl A
即
E P1P2 Pl A
及
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r43r1
0 5 0 3
5 3 6 3 4 3
r43r2
0 0
0 0
0 2 6 0 1 3
~ ~ r3r4
r42r3
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r1r2 r2r3
1 0
0 1 1 1
0 0
4 3
0 0 0 1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 20 06
P1P2 Pl (A B)(E A1B). 上式的意义
(i)取BE时上式成为 P1P2 Pl (A E)(E A1).
(ii)当A为可逆矩阵时方程AXB的解为XA1B. 求AXB 的解可以对(A B)进行初等行变换使之成为(E A1B) 此时即得XA1B.
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铃
❖矩阵的等价关系如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B 就称矩阵A
与B行等价记作 A ~r B.
如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称矩阵A 与B列等价记作 A ~c B.
如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B 等价记作 A ~ B.

《线性代数及其应用》课件-第3章(下)

§3.4 分块矩阵第三章矩阵对于某些规模较大的矩阵A，为了简化运算，经常采用分块法，将大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体来说就是用若干条横线和竖线，将矩阵A形式上分成若干个小矩阵，每一个小矩阵称为原矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为A的分块矩阵.3100270010510149A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦3100270010510149⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1A 2A 3A 即11222,A O E A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦113127A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中 225149A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦3100270010510149A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦常用分块方式[]12n ,，，，ααα=12,1,2,,.⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭j j j mj a a j n a α111212122211A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n m m mn a a a a a a a a a 12m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββ[]12,,,=i i i in a a a 其中，β111212122211A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n m m mn a a a a a a a a a 1,2,,.=i m,,ij ij A B 其中与的行数相同列数相同则11111111.t t s s st st A B A B A B A B A B ++⎡⎤⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦11111111,t t s st s st A A B B A B A A B B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1) 分块矩阵的加法设矩阵A 与B 同型且采用相同的分块方法1111,A A A A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦t s st 1111[].A A A A A A ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎣⎦t ij s st k k k k k k (2) 分块矩阵的数量乘法设矩阵A 的分块矩阵为对，规定k ∀∈T T 111TT T 1.⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则s t st A A A A A (3)分块矩阵的转置1111,A A A A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦t s st 设矩阵A 的分块矩阵为11111111,,t r s st t tr A A B B A B A A B B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B 其中矩阵列的分法与矩阵行的分法相同，则1111r s sr C C AB C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设A 为矩阵，B 为矩阵，分块如下m n ⨯n l ⨯(4)分块矩阵的乘法()11,,;1,,.tij ik kjk C A B i s j r ====∑其中行乘列法则10120111,00120034A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设矩阵解101201110012034A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例12.A 利用分块矩阵乘法计算将矩阵A 做如下分块212E A O A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1012011100120034A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦分块矩阵11222E A EA A OA O A ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦211222.E A A A O A +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦又112A A A +12221135-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122()A E A =+48.57⎡⎤=⎢⎥⎣⎦22A 12123434⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦710.1522⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2A =10480157.00710001522⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以特殊分块矩阵12,s A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O O ()1,2,,.=i A i s 其中都是方阵准对角矩阵主对角线上的所有子块都是方阵，其余子块都是零矩阵的分块矩阵.准对角矩阵的运算性质12(2)diag(,,,);A =mm m m sA A A 1122(1)diag(,,,);AB =s s A B A B A B 命题11212=diag(,,,)diag(,,,)A B =s s A A A B B B 设，，()1,2,,=i n i s 都是阶方阵，则,i iA B 其中准对角矩阵的运算性质1122000000000000A B AB A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦s s .⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11A B 22A B s s A B O O12(2)diag(,,,);A =mm m m sA A A 1122(1)diag(,,,);AB =s s A B A B A B 12(3);s A A A A =(4)可逆均可逆；且A (1,2,,)i i s =⋯A 111112diag(,,,).A ----=sA A A 命题11212=diag(,,,)diag(,,,)A B =s s A A A B B B 设，，()1,2,,=i n i s 都是阶方阵，则,i iA B 其中111122100000000000A AA A A A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦s s 1200000A A A s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦120000610,010200003-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦A A A 设矩阵求证可逆，并求.例2解20000610010200003⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦A 123⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A1111213----⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A AA 100021010.205301003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12361|||| || ||23120,102A A A A ==⨯⨯=-≠--由于所以矩阵A 可逆，且1212111,2106253A -⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎣⎦次准对角矩阵12O O A O A O A A OO ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦s11112-1111O O A OOA O A O O A O A A OO A OO -----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦s s s()1,2,,.=i i A n i s 其中是阶方阵特殊分块矩阵设矩阵,A C P O B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中A ，B 分别是m 阶和n 阶可逆矩阵，证明P 可逆，并求1.P -例3§3.4 分块矩阵分块乘法技巧的应用第三章矩阵设矩阵,A C P O B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中 A ，B 分别是 m 阶和 n 阶可逆矩阵，证明 P 可逆，并求 1.P -例1 证由于A ，B 可逆， ||0,||0,A B ≠≠所以 ||||||0,P A B =≠因此故矩阵 P 可逆.设P 的逆矩阵为 12134,X X P X X -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中 X 1，X 4 分别是 m 阶和 n 阶方阵 .1PP -=1234X X A C XX O B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,mn E O OE ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以132434,,,,m n AX CX E AX CX O BX O BX E +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩11,X A -=14X B -=3,X O =112,X A CB --=-故11111.A A CB P O B -----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦111212122212A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n m m mn a a a a a a a a a ，12⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦m b b b β1、对于非齐次线性方程组其中AX =，β12X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦n x x x 12[,,,]A =n ααα令 12[,,,]=∈mj j j mj a a a α其中为矩阵A 的第 j 个列向量.1212[,,,]⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n x x x ααα1122=+++n n x x x ，ααα该非齐次线性方程组可写成向量方程形式1122.n n x x x +++=αααβ导出的齐次线性方程组可写成向量方程形式AX =，01122.+++=n n x x x ααα0AX2、设 12[],[][,,,]A B ⨯⨯=∈==∈m nn sij ij s a b ，βββAB 12[,,,]=∈nj j j nj b b b β为矩阵B 的第 j 个列向量.其中12[,,,]A =s βββ12[,,,].A A A =s βββ(1)AB O=12,,,B s 的各列都是齐次线性方程组βββ12,,,B ⨯∈∈是的列向量组nn ss ，βββ12,,,C ⨯∈∈mm ss 是矩阵的列向量组.γγγA A O ⨯∈≠m n，，设则AX =0.的解⇔例2 (2)AB C=B AX =j j 的列向量是非齐次线性方程组的解,βγ1,2,,=.j s ⇔3312340111,=.1203A =E AB E B --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦设且是3阶单位阵，求满足的所有矩阵43123=[],B X X X ⨯,,设4123X X X B .∈,,其中为矩阵的列向量组3=AB E 11=00AX ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,20=10AX ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,30=0.1AX ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则⇔例3解31234100[]01110101203001A,E =--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦123410001110100431101--⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦123410001110100013141--⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥---⎢⎥⎣⎦100126101021310013141-⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥---⎢⎥⎣⎦1424342,21,31,=-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩x x x x x x 由1424346,23,34,=-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩x x x x x x 由1111122131X -+⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦k k k k 知22222623;34X -+⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦k k k k 知1424341,21,31,=--⎧⎪=+⎨⎪=+⎩x x x x x x 由33333121.31X --⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦k k k k 知123123123123261212321,313431B -+-+--⎡⎤⎢⎥--+⎢⎥=⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦k k k k k k k k k k k k 因此，所求的矩阵123,,k k k 其中为任意常数.矩阵的分块乘法技巧11121212221212[,,,]AB ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦s s n n n ns b b b b b b b b b ααα12[]=[,,],A ⨯⨯=∈m nij m n n a ααα3、设矩阵 12111[,,,]====∑∑∑nnni i i i is i i i i b b b ααα12,,,nααα其中则[]B ⨯=∈n sij b ，为矩阵A 的列向量组.矩阵的分块乘法技巧设均为3元列向量， 123,,ααα123123123[,24,39]C =++++++ααααααααα123123123[,24,39].C =++++++ααααααααα若 ||1A =，||.C 求 123,,],=[A ααα令矩阵例4解 123111[,,]123149=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ααα111123.149S ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中=AS ，|C |=|AS|=|A||S|1(21)(31)(32) 2.=⨯---=§3.5.1 矩阵的秩第三章矩阵111213142122232431323334a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 12143234a a a a =B 定义1在矩阵中, 任取 k 行、 k 列（） ,位于这 m n ⨯A 1min{,}≤≤k m n 2k 个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式些行、列交叉处的 A 称为的一个k 阶子式.规定零矩阵的秩为0. 12340321,0000A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例如, 矩阵设矩阵 A 为非零矩阵，()0r =⇔A A =O.() 2.A =r 记为rank (A ) 或 r (A ). 称 A 的非零子式的最高阶数为矩阵 A 的秩，注1 注2 A 中至少存在一个r 阶非零子式，且 A 中所有r +1阶子式全等于零.矩阵 A 的秩为r定义2矩阵秩的性质(1)(2)(3)(4) 0()min{,};A≤≤r m nT()()A A=r r；()(),0A A=≠r k r k；其中常数11()(),A A A A≤r r其中为的子矩阵;()A A ⨯=m n r m (i)若，则称矩阵是行满秩的；()A A ⨯=m n r n (ii)若，则称矩阵是列满秩的；A n (iii)设为阶方阵，()A A ⨯<n n r n 否则，若，则称是降秩的.()A A ⨯=n n r n 若，则称方阵是满秩的；()A A ⨯=n n r n 满秩（）即⇔方阵可逆（非奇异）A =AX ⇔0 齐次线性方程组仅有零解.A A ⇔≠0（称非退化）()A A ⨯<n n r n （）是的即降秩A ⇔；方阵不可逆（奇异）=⇔0齐次线性方程组有非零解.AX =A A ⇔；0（称退化）矩阵秩的性质(6)(7)(8)(9)++r A B r A r B≤（）（）（）；min{}r A B r A r B⨯⨯≤m n n s（）（），（）；r A B r A r B n⨯⨯≥+-m n n s（）（）（）；.A B O r A r B n⨯⨯=+≤m n n s若，则（）（）2103203125.0004300000B --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦求矩阵的秩解 2130320,004--≠又因为B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行个数为3，所以B 的所有4阶子式全为零.所以 r (B )=3.例1问题：经过初等变换后矩阵的秩变化吗？11121121212i i i j j j A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦设n n n m m mn a a a a a a a a a aa a 1112111221212i ji j i j i j r kr j j j B +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦nn n n m m mn a a a a ka a ka a ka a a a a a a 初等对换变换和初等倍乘变换不改变矩阵的秩；112212sss it jtitjt it jt jt jt jt +++=a ka a ka a ka D a a a 0=(1) 不含行元素，则；D i D (2) 含行也含元素,D i j 1212ssit it it jt jt jt =a a a a a a 0.=B 若有阶数为>阶的子式，则有三种可能情况：s r D ()A =设，r r ()()B B A ≤若没有阶数大于阶的子式，则.r r r11ss it jt it jt =++D a ka a ka (3) 含行元素而不含元素,D i j 11 + s sit it jt jt =a a k a a 0.=()()B B A ≤综上，的一切阶数大于的子式全等于零，所以.r r r ()()B A A B ≤又也可经行的初等倍加变换还原为，所以,r r ()()A B =从而,即初等行倍加变换不改变矩阵的秩.r r问题：经过初等变换后矩阵的秩变化吗？定理1矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.把矩阵化为行阶梯形矩阵来求秩是方便而有效的方法.矩阵的秩132202132015A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求矩阵的秩.1322132202130213,20150000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦显然，非零行的行数为2，所以 r (A )=2.例1解矩阵秩的计算,A P Q ⨯⨯⨯∈∈∈m nm mn n设,则对任意的可逆矩阵,有.r PAQ r PA r AQ r A ===()()()()推论133123021,()2,()0010A B BA ⨯--⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎣⎦r r ？例如 111112,,221134A B P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦()=? ()=?B APB r A r ()BA =r 2.例如 ()0B =r A ，22,44APB --⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦() 1.APB =r§3.5.3-3.5.4 矩阵的相抵第三章矩阵矩阵的相抵定义1,A B A B ⨯设都是矩阵,若可以经过有限次初等变换变成m n ，1A A ≅反身性（）：；2A B B A ≅⇒≅对称性（）：；3.A B B C A C ≅≅⇒≅传递性（）：，注2 相抵的矩阵秩相等.注1 矩阵的相抵关系满足：在数学上称满足以上三条性质的关系为等价关系.矩阵的相抵关系是一个等价关系.则称矩阵A 与B 相抵（或等价）， A B ≅.记为与矩阵A 相抵的形式最简单的矩阵是 0,;==()（）r A A O 1若则(0),A r A ,,⨯∈=≠()m nr r m n （）2若,相抵（等价）标准形.r E O A O O ⎡⎤−−−−−→⎢⎥⎣⎦初等行、列变换则241312403633A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦124000310000⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦41203100130000⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦100000100000⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦列变换10列变换2.E O O O ⎡⎤→⎢⎥⎣⎦与矩阵A 相抵的形式最简单的矩阵是 0,;==()（）r A A O 1若则(0),A r A ,,⨯∈=≠()m nr r m n （）2若,则相抵（等价）标准形.rE O A O O ⎡⎤−−−−−→⎢⎥⎣⎦初等行、列变换,m nn ⨯⎡⎤∈=−−−−→⎢⎥⎣⎦n E A r A A O P ()初等变换（）；3若,则[],.mA r A A E O ⨯∈=−−−−→P()m nm 初等变换（）4若,则相抵标准形只由矩阵的秩和“型” 所确定注:矩阵相抵的条件;A B −−−−→初等变换A 与B 的相抵标准形相同 A 与B 同型，且 r (A ) = r (B ).A 与B 同型，且 r (A ) = r (B ).矩阵A 与B 的相抵矩阵A 与B 的相抵存在m 阶可逆矩阵P ，n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ =B .。

自考线性代数第三章向量空间

2
1 1
x1 x2 x3 2 2x2 3x3 1 （4）
回代：
x3 1
1 1 1 2
0 0
2 0
3 1
1 1
x1 x2 2 x2
3 4
原方程组（5）有唯一解.
x3 1 r(A)r(A)3n
x1 x2 x2
3 2
（6）
x3 1
x
1
x2
1 2
x3 1
（7）
0
1
0
0
0 0
0 0
0 k1r1 0 k 2r1
1 k rr1 00
00
(1)若r=n，则有
唯一解： x 1 k 1
x
2
k2
x n k n
k1n k1
k2n
k2
x1
x2
k rn
kr
0
0
k1r1xr1 k1nxn k1 k2r1xr1 k2nxn k2
xr krr1xr1 krnxn kr
第三章向量空间
第一节线性方程组的消元解法(§) 第二节 n维向量及其线性运算第三节线性相关与线性无关第四节向量组的秩第五节向量空间
第一节线性方程组的消元解法
a11x1 a12x2
一般形式：
a21x1
a22 x2
am1x1 am2x2
a1nxn b1 a2nxn b2
0 0 (2)若r<n，则有无穷多解：
x1 k1 k1r1xcr11
x2
k2
k2 r 1 xcr11
xr kr krr1xcr11
k1n xcnn-r k2n xcnn-r
krn xcnn-r

线性代数第三章课件：线性方程组

章
有无穷多解 R(A) R(A, b) n
线
(2)无解 R(A) R(A,b)
性
方由定理1容易得出：
程
组
定理 2 n元齐次线性方程组 Ax 0有非零解
R(A) n 进一步，由定理1还可以推广得到：
定理 3 矩阵方程AX B有解 R(A) R(A,B)
例1 设A是一个 mn 阶矩阵,且 R(A) r, 则 (a)
1. 多元线性方程组
第一般地，n 个未知数 x1, x2, , xn 的如下形式的方程
三
章
a1x1 a2 x2 an xn b
线
性称为n元一次方程，也称为n元线性方程，其中
方
程组
a1, a2 , , an , b是已知常数，a1, a2 , , an是一次项系数,
b是常数项。
具有同样n个未知数 x1, x2, , xn 的若干个一次方程组成的方程组：
x2
0
0
所有满足x1 x2 的数都是它的解
所以该方程组有无数多解。
程
组
x1 x2 0
③
x1
x2
1
x1 x2 2
显然不存在 x1, x2 , 使 x1 x2 1
和 x1 x2 2同时成立故该方程组无解。
第
④
x1 x1
x2 x2
0 2
系数行列式 D 1
1 0
11
由Cramer法则知其有唯一解 x1
a21
a22
组
am1
am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
,
xn
b1
b

最新高等代数北大版教案-第3章线性方程组

第三章线性方程组§1消元法一授课内容：§1消元法二教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组.三教学重难点：用消元法解线性方程组.四教学过程：所谓的一般线性方程组是指形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ....................................................22112222212111212111 （1）的方程组，其中n x x x ,,,21 代表n 个未知量，s 是方程的个数，ij a （s i ,,2,1 =，n j ,,2,1 =）称为方程组的系数，j b （s j ,,2,1 =）称为常数项.所谓方程组（1）的的一个解就是指由n 个数组成的有序数组（n k k k ,,,21 ），当 n x x x ,,,21 分别用 n k k k ,,,21 代入后，（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它的全部解，或则说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sn s s n n b b b a a a a a a a a a 21212222111211 来表示.在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元，三元线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复的对方程组进行变换，而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1．用一非零的数乘某一方程.2．把一个方程的倍数加到另一方程.3．互换两个方程的位置.定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程.可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.对于线性方程组反复的施行初等变换，一步一步做下去，最后就得到一个阶梯形方程组.⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++=++++=++++++000001222222111212111 r r n rn r rr n n r r n n r r d d x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c （5）显然（5）与（1）是同解的.考察（5）的解的情况.如（5）中的方程10+=r d ，而01≠+r d 这时不管 n x x x ,,,21 取什么值都不能使它成为等式，故（5）无解，因而（1）也无解.当 01=+r d ，或（5）中根本没有“00=”的方程时，分两种情况：1）n r =，这时阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n d x c d x c x c d x c x c x c 2222211212111 有唯一解.例解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-622452413231321321x x x x x x x x .解上述方程有唯一的解 )6,1,9(--.2）n r <，这时阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=+++++++n n nn r r r r rr n n r r n n r r d x c x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c 11,222222********* 其中0≠ii c ，s i ,,2,1 = ，把它改写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+---=++---=+++++++++++n nn r r r n r r r r rr n n r r r r n n r r r r x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c 11,11,211,222222111,111212111 （7）由（7）我们可以把 r x x x ,,,21 通过 n r x x ,,1 + 表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而 n r x x ,,1 + 称为一组自由未知量.例解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+-1424524132321321321x x x x x x x x x .解一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2)7(21321x x x . 定理1 在齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0........................................0......0......221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 中，如果n s <，那么它必有非零解.把矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sn s s n n b b b a a a a a a a a a 21212222111211称为线性方程组（1）的增广矩阵，显然，用初等变换花线性方程组（1）成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵.例解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0424524132321321321x x x x x x x x x .解: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0412********→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---110021001312→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100021001312从最后一行可以看出原方程组无解.§2 n 维向量空间一授课内容：§2 n 维向量空间二教学目的：理解和掌握n 维向量空间的概念，掌握n 维向量空间的两种运算及八条运算律三教学重难点： n 维向量空间的概念.四教学过程：定义2 所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数组成的有序数组),,,(21n a a a （1） i a 称为向量（1）的分量.定义 3 如果n 维向量 =α),,,(21n a a a ，=β),,,(21n b b b 的对应分量都相等，即i a i b = n i ,,2,1 =.就称这两个向量是相等的，记作=αβ定义4 向量=γ),,,(2211n n b a b a b a +++ 称为向量=α),,,(21n a a a ，=β),,,(21n b b b 的和，记为βαγ+=.由定义立即推出（1）交换律：βα+αβ+=.（2）结合律：)(γβα++γβα++=)(.定义 5 分量全为零的向量)0,,0,0( 称为零向量，记为0，向量),,,(21n a a a --- 称为向量=α),,,(21n a a a 的负向量，记为α-.显然对于所有的α，都有αα=+0,0)(=-+αα.定义6 )(βαβα-+=-.定义7 设k 为数域P 中的数，向量),,,(21n ka ka ka 称为向量=α),,,(21n a a a 与数k 的数量乘积，记为αk .由定义立即推出βαβαk k k +=+)(αααl k l k +=+)(ααkl l k =)(αα=1定义8 以数域P 中的数作为分量的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P 上的n 维向量空间.向量通常是写成一行 =α),,,(21n a a a有时候也可以写成一列 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α 前者称为行向量，后者称为列向量.§3线性相关性一授课内容：§3 线性相关性二教学目的：理解和掌握以下概念：线性组合、线性表出、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的秩.三教学重难点：线性相关与线性无关的概念.四教学过程：定义9 向量α称为向量组s βββ,,,21 的一个线性组合，如果有数域P 中的数s k k k ,,,21 ，使α=s s k k k βββ+++ 2211.任何一个n 维向量α都是向量组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==)1,,0,0()0,,1,0()0,,0,1(21 n εεε 的一个线性组合，因为n n a a a εεεα+++= 2211向量n εεε,,,21 称为n 维单位向量.当向量α是向量组的一个线性组合时，我们也说α可以线性表出. 定义10 如果向量组 t ααα,,,21 中的每一个向量i α(t i ,,2,1 =)都可以由向量组s βββ,,,21 线性表出，那么向量组t ααα,,,21 就称为可以由向量组s βββ,,,21 线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.由定义知，向量组之间的等价有以下性质1．反身性每一个向量组与它自身等价.2．对称性如果向量组t ααα,,,21 与s βββ,,,21 等价，那么向量组s βββ,,,21 也与t ααα,,,21 等价.3．传递性如果向量组t ααα,,,21 与s βββ,,,21 等价，向量组s βββ,,,21 与t γγγ,,,21 等价，那么向量组t ααα,,,21 与t γγγ,,,21 等价.定义11 如果向量组s ααα,,,21 （2≥s ）中有有一向量可以经其余的向量线性表出，那么向量组s ααα,,,21 称为线性相关的.显然，因为零向量可以被任一个向量组线性表出，那么任意一个包含零向量的向量组必线性相关.定义11' 向量组s ααα,,,21 （1≥s ）称为线性相关，如果数域P 中不全为零的数s k k k ,,,21 ，使02211=+++s s k k k ααα定义12 一向量组不线性相关，即没有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使02211=+++s s k k k ααα 就称为线性无关，或者说，一向量组s ααα,,,21 称为线性无关，如果由02211=+++s s k k k ααα 可以推出021====s k k k .由定义立即得出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换个说法，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.显然，由n 维单位向量 n εεε,,,21 组成的向量组是线性无关的.定理2 设 r ααα,,,21 与s βββ,,,21 是两个向量组，如果1)向量组r ααα,,,21 可以经s βββ,,,21 线性表出.2)s r >.那么向量组r ααα,,,21 必线性相关.推论1 如果向量组可以经s βββ,,,21 线性表出，且r ααα,,,21 线性无关，那么s r ≤.推论2 任意1+n 个n 维向量必线性相关.推论3 两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量.定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.显然，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价，向量组的两个极大线性无关组是等价的.定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.由定义立即得出，一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.显然，等价的向量组有相同的秩.§4矩阵的秩一授课内容： §4矩阵的秩二教学目的：理解和掌握行秩、列秩、矩阵的秩，掌握矩阵的秩与k 级子式的关系，会求矩阵的秩.三教学重难点：定理4的证明.四教学过程：如果我们把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以看作由这些行向量所组成的，同样的，如果我们把矩阵的每一列看成一个向量，那么矩阵就可以看作由这些列向量所组成的.定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩.引理如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0........................................0......0......221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211 的行秩n s <，那么它有非零解.定理4 矩阵的行秩与列秩相等.因为矩阵的行秩与列秩相等，所以下面就统称为矩阵的秩.定理5 n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .推论齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0........................................0......0......221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 的行列式等于零.定义16 在一个n s ⨯矩阵A 中任意选定k 行和k 列，位于这些选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序所组成的k k ⨯矩阵的行列式，称为A 的一个k 级子式.定理 6 一矩阵的秩是r 的充分必要条件为矩阵中有一r 级子式不为零，同时所有的1+r 级子式全为零.怎样计算矩阵的秩，可以用初等变换化矩阵为阶梯形矩阵，其中非零行的数目就是原矩阵的秩.§5线性方程组有解的判定定理一授课内容： §5线性方程组有解的判定定理二教学目的：理解和掌握线性方程组有解判定定理，利用克兰姆法则写出一般解三教学重难点：判定定理的证明.四教学过程：线性方程组有解的判定定理线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211 与增广矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s sn s s n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211 有相同的秩.§6线性方程组解的结构一授课内容： §6线性方程组解的结构二教学目的：理解和掌握基础解系的概念，掌握方程组解的性质，掌握一般线性方程组解的结构.三教学重难点：基础解系，解的结构.四教学过程：对于齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0........................................0......0......221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）它的解构成的集合具有下面两个重要性质： 1．两个解的和还是方程组的解. 2．一个解的倍数还是方程组的解. 综上，解的线性组合还是方程组的解.定义17 齐次线性方程组（1）的一组解t ηηη,,,21 称为（1）的一个基础解系，如果1）（1）的任何一个解都可以表示为t ηηη,,,21 的线性组合. 2）t ηηη,,,21 线性无关.定义7 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且它所含解的个数就等于r n -，这里r 表示系数矩阵的秩.（以下将看到，r n -也是自由未知量的个数）由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.对于一般的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212********* （9）如果把常数项换成零，就得到齐次线性方程组（1），方程组（1）称为方程组（9）的.方程组（9）的解与它的导出组（1）的解有密切的关系： 1．方程组（9）的两个解的差是它的导出组（1）的解.2．方程组（9）的一个解与它的导出组（1）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.由这两点容易证明定理8 如果0γ是方程组（9）的一个特解，那么方程组（9）的任一个解γ都可以表成ηγγ+=0 （10）中η是导出组（1）的一个解.因此，对于方程组（9）的任一个特解0γ，当η取遍它的导出组的全部解时，（10）就给出（9）的全部解. 推论在方程组有解的情况下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组（1）只有零解.例用消元法解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-++=-++-=+----=--++=-++6223432212231453543215432154321543215321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 例把向量组β表示为向量组4321,,,αααα的线性组合：)1,1,2,1(=β，)1,1,1,1(1=α，)1,1,1,1(2--=α,)1,1,1,1(3--=α,)1,1,1,1(4--=α.例证明如果向量组r ααα,,,21 线性无关，而r ααα,,,21 ，β线性相关，则向量β可以由r ααα,,,21 线性表出.例设r t t t ,,,21 是互不相同的数，n r ≤，证明：),,,1(1-=n i i i t t αr i ,,2,1 =是线性无关的.例证明如果向量组)1(可以由向量组（2）线性表出，那么（1）的秩不超过（2）的秩.例设r ααα,,,21 是一组n 维向量，证明：r ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可以被它们线性表出.例证明⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212********* 对任何的n b b b ,,,21 都有解的充分必要条件是系数行列式0≠ij a .例计算矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----63789770057878421110的秩.。

线性代数第三章第2讲

行阶梯形矩阵中非零行的行数. 因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初
等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过变换矩阵的秩变吗？
定理
如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B,
则A的行向量组与B的行向量组等价,而A的任意k 个列向量与 B 中对应的 k 个列向量有相同的线性关系。
若 A 经有限次初等变换变为B( 即 A ~ B),则 R( A) R( B).
阶梯形矩阵：解对A作初等行变换，变成行
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 1 6 4 1 4 r1 r4 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
~ ~ ~ 解分析：设 B 的行阶梯形矩阵为B ( A, b ), ~ 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵， ~ ~ ~ 故从 B ( A, b ) 中可同时看出R( A) 及 R( B).
1 2 2 1 0 2 4 8 B 2 4 2 3 3 6 0 6
1 2 3 4 1 0 5 1
r2 2r1 r3 2r1
r4 3r1
1 2 2 1 4 2 0 0 0 0 2 1 0 0 6 3
r2 2 r3 r2
r4 3r2
1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0
（1）反身性 A A；
（2）对称性若 A B , 则 B A; （3）传递性若 A B, B C．例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
对矩阵B使用矩阵的初等行变换：

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前面第二个问题的一种解答
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
对上例的行最简形矩阵再施以初等列变换
1 0 0 0
c4 0 2 0 1 c3 c4+2c1-3c2 1 3 0 2 0 0 1 0 c5-c1+2c2 0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
行最简形
特点：非零行的第一个非零元素为1，这些非零元所在列的其他元素都为0
标准形
特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
3. 若mn矩阵 A经过有限次初等变换化为 Er Or(nr) (r ) Emn O(mr)r O(mr)(nr)
( 的形式, 则称 Emr)n 为A的(等价)标准形.
注: 标准形是所有与原矩阵等价的矩阵中形状最简单的一个。可以证明: 任何一个矩阵都可以经过有限次初等变换化为标准形.
前面第二个问题的另一种解答。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
我们知道，线性方程组与线性变换是一一对应，下面我们给初等变换建立相对应的概念。
刚才的第一个问题得到了回答。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
2. 行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
如果矩阵A满足如下条件若A有零行(元素全为零的行), 且零行位于最下方, 非零行的非零首元 (自左至右第一个不为零的元)的列标随行标的递增而递增, 则称A为行阶梯形矩阵。这时称 A 中非零行的行数为A的阶梯数。例如 1 0 0 0 1 2 0 1 3 2 0 0 2 0 0 0 4 1 1 2 , 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 4 2 3 4
x1+2x2 x3 = 3 2 (1) 2x13x2+4x3 = 4 x1 + x23x3 = 1 x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 1 x22x3 = 2
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 0=0 轻装上阵
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
如果行阶梯阵A还满足如下条件各非零首元全为1, 非零行首元所在列的其余元素全为0, 则称A为行最简形矩阵. 例如
1 0 0 0
0 2 0 1 1 3 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0
注: 用数学归纳法可以证明: 任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵.
1 0 5 1 0 1 2 2 0 0 0 0
线性方程组的消元过程与其增广矩阵的化简过程是一一对应的。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
1.下面三种变换称为矩阵的初等行变换.
(1) 对调两行(对调i, j两行记为ri rj), (2) 以非零的数k乘某一行中的所有元素 (第i行乘以k记为ri k), (3) 把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行记为ri+krj). 把上述定义中的 “行” 换成 “列”, 即得到初等列变换的定义 (相应的记号是把“r”换成 “c”).思考：我们在解上面的方程组时只使用了行变换，为什么没有使用列变换？
1 E(i(k)) =

1
k
1
第i行 rik

1
第 i cik 列
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
1

1……k ……
第i行
ri+krj
E(i, j(k)) =

1
第j行

1
第第 i cj+kci j 列列
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
二. 初等矩阵
1. 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 按定义, 初等矩阵共有如下3类:
(1) E (2) E (3) E
ri rj rik
E(i, j) E(i(k))
E E
ci cj cik
E(i, j)
行（列）对调行（列）数乘
E(i(k))
ri+krj
E(i, j(k)) E
P2P1(A E)
Pl-1… P2P1(A E)
Pl Pl-1…P2P1(A E)
? = A1 (Pl Pl-1…P2P1A, Pl Pl-1…P2P1)
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.2 方阵的逆矩阵
例. 设 A = 1 2 3 解: 2 2 1 3 4 3 故A1 =
1 2 3 2 2 1 , 求A1. 3 4 3 1 0 0 1 3 2 1 0 0 初等 0 1 0 3/2 3 5/2 0 1 0 行变换 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 3 2 3/2 3 5/2 . 1 1 1
§3.1 初等变换与初等矩阵
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 (2) 0=0 其中c为任意实数. 1 2 1 3 0 1 2 2 (2) 0 0 0 0
x1
5x3 = 1 x2+2x3 = 2 0=0
x1 = 5c + 1 x2 = 2c 2 x3 = c
思考：将方阵通过初等行变换化为单位阵的有限个初等矩阵的乘积是什么？
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.2 方阵的逆矩阵
我们来讨论上面的问题
设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ阵A可逆，则根据定理2的推论1：A经过有限次初等行变换可化为单位阵.
若设这有限次初等行变换对应的初等矩阵依次为：P1P2…Ps。则有 Ps…P2P1A =E 设Q = Ps…P2P1，则根据上式QA=E 根据上一章的定理推论：A，B是n阶方阵，若 AB=E，则B=A-1 因此可得：Q=A-1 这说明：通过初等行变换将可逆方阵化为单位阵的初等矩阵的乘积就是该可逆矩阵的逆阵！
采用我们代数中的消元法求解该方程组
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
2x13x2+4x3 = 4 x1+2x2 x3 = 3 2x1+2x2 6x3 = 2 1/2
2 3 4 4 1 2 1 3 2 2 6 2 1/2 1 2 1 3 2 (1) 2 3 4 4 1 1 3 1 1 2 1 3 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 2 1 3 0 1 2 2 0 0 0 0
初等行变换与初等列变换统称为初等变换.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
初等变换具有可逆性：任何初等变换都可以通过同一类型的逆变换化为原来的形式。
请思考：经过初等变换的矩阵和原矩阵有什么关系？矩阵经有限次初等变换最终可以得到什么？
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
a b c a b c a x 1 x y z = x y z , b y 2 k 2k 3k c z 3 1 2 3
a x k 1 0 0 0 1 0 = b y 2k , c z 3k 0 0 k
a b c a+kx b+ky c+kz x y z = x y z , 1 2 3 1 2 3 a ak+x 1 1 k 0 0 1 0 = b bk+y 2 . c ck+z 3 0 0 1
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第三章
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
§3.1 初等变换与初等矩阵
前面我们已经看到，无论是采用克拉默法则求解线性方程组或者是采用逆矩阵的定义法求解逆矩阵都需要很大的计算量，因此我们迫切需要新的计算方法。
一. 初等变换
已知线性方程组
2x1 3x2 + 4x3 = 4 x1 + 2x2 x3 = 3 2x1 + 2x2 6x3 = 2
因此得证
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
定理二的证明过程表明
可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵；可逆矩阵的行（列）最简形也是单位阵。定理二的推论推论1. 方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价。推论2. m×n阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得 PAQ=B。
请思考：使用初等列变换能否求逆矩阵？
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.2 方阵的逆矩阵
四. 用初等变换解线性方程或矩阵方程
依据：若A可逆, 则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形——单位矩阵E.（定理2的推论1）
下面用初等变换解矩阵方程AX = B. 注意到X = A1B. （考虑一下定理一和前面通过初等变换求逆阵
充分性
若设方阵A=P1P2…Pl。因初等矩阵可逆，由方阵行列式运算性质可知|A| = |P1||P2|…|Pl|可逆.
必要性
设可逆方阵A的标准形为F，显然A ~ F 因此，存在初等矩阵P1，P2，…，Pl满足 A=P1…PsFPs+1…Pl。 A可逆初等矩阵P1，P2，…，Pl可逆，F可逆且F=E A=P1P2…Pl。
2. 初等矩阵的性质
定理1. 对mn矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的初等矩阵; 对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的初等矩阵.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 初等变换与初等矩阵
A的初等行变换
A的初等列变换
第三章矩阵的初等变换与线性方程组