1.1.2弧度制
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课件13： 1.1.2 弧度制
跟踪训练 1.将下列角度与弧度进行互化． ①20°＝________；②－15°＝________；③－151π＝________． 解析：①20°＝20×18π0＝π9. ②－15°＝－15×18π0＝－1π2. ③－151π＝－151π×180π°＝－396°. 答案：π9 －1π2 －396°
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心 角的弧度数． 【解】 设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，半径为 r，
l＋2r＝10，① 依题意有12lr＝4，②
①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1，r2＝4. 当 r＝1 cm 时，l＝8 cm，此时 θ＝8 rad>2π rad(舍去)； 当 r＝4 cm 时，l＝2 cm，此时 θ＝24＝12(rad)．
自我尝试
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1 弧度指的是 1 度的角．( × )
(2)弧长为 π，半径为 2 的扇形的圆心角是直角．( √ )
解析：(1)错误.1 弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)正确．若弧长为 π，半径为 2，则|α|＝π2，故其圆心角是直角．
2.85π弧度化为角度是(
c 所以当 l＝2c时，Smax＝1c62 ，此时 α＝rl＝c－2 2c＝2，
2
所以当扇形圆心角为 2 弧度时，扇形的面积有最大值1c62 .
规律方法 (1)求扇形的弧长和面积 ①记公式：弧度制下扇形的面积公式是 S＝12lr＝12αr2(其中 l 是 扇形的弧长，α 是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)． ②找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的 计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵 活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
1.1.2弧度制
3、终边与x轴重合________{__| ___k___, k____} _______；
4、终边与y轴正半轴重合__{__| __ _2k___2_,_k___} ______； 5、终边与y轴负半轴重合___{__| ___2_k___3_,_k__Z_}____； 6、终边与y轴重合_____{_|___k____2 _,k___}_2_________； 7、第一象限内的角___{_a_|_2k____a___2k____2_,_k__Z__} ___； 89、、第第二三象象限限内内的的角角______{{a__a__|| 22__kk______2____a__a____22__kk______32__,__k,k______}}______；； 10、第四象限内的角__{_a_| _2k___3_2__a__2_k___2_,_k___} ___；
1.1.2 弧度制
回顾
1、什么叫角度制？
用"度"作单位来度量角的单位制叫做角度制。周角是360度。 单位为“度”(即“º”)不能省略
2、1º的角是怎样规定的？
规定周角360º的 1 叫做1度的角。
360
3、上节课：任意角(正,零,负)、象限角都是以度数的形式 给出
60kg =120斤 ≈143磅
一、弧度制
S { | k ,k z}
2.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式, 如无特别要求，不用将π化成小数。
测试题
120的弧度数是( C )
A.
B.
C. 2
3
2
3
D. 3
2
180º=π 弧度 弧度(rad)可省略不写，但度(°)不能省
120°∉R 120∈R
4、终边与y轴正半轴重合__{__| __ _2k___2_,_k___} ______； 5、终边与y轴负半轴重合___{__| ___2_k___3_,_k__Z_}____； 6、终边与y轴重合_____{_|___k____2 _,k___}_2_________； 7、第一象限内的角___{_a_|_2k____a___2k____2_,_k__Z__} ___； 89、、第第二三象象限限内内的的角角______{{a__a__|| 22__kk______2____a__a____22__kk______32__,__k,k______}}______；； 10、第四象限内的角__{_a_| _2k___3_2__a__2_k___2_,_k___} ___；
1.1.2 弧度制
回顾
1、什么叫角度制？
用"度"作单位来度量角的单位制叫做角度制。周角是360度。 单位为“度”(即“º”)不能省略
2、1º的角是怎样规定的？
规定周角360º的 1 叫做1度的角。
360
3、上节课：任意角(正,零,负)、象限角都是以度数的形式 给出
60kg =120斤 ≈143磅
一、弧度制
S { | k ,k z}
2.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式, 如无特别要求，不用将π化成小数。
测试题
120的弧度数是( C )
A.
B.
C. 2
3
2
3
D. 3
2
180º=π 弧度 弧度(rad)可省略不写，但度(°)不能省
120°∉R 120∈R
1.1.2弧度制
圆心角和弧长的关系
正角的弧度数是正数， 负角的弧度数是负数，
零角的弧度数零。
如果半径为r的圆的圆心角a所对的弧的长为L，那 么角a的弧度数的绝对值是
l a r
a的正负由角a的终边的旋转方向决定。
思考：
周角的弧度数是2π，角度制下的度数是360°， 所以360°=2πrad 180°=πrad 1度角等于多少弧度？
探究新知
度量长度有哪些单位？米、英尺、码 度量重量又有哪些单位？千克、磅
问题一：
问题二：
什么叫1度角？是圆周的 所对的圆 心角的大小。
1 360
1o为圆周的
1 360
。
这种用度为单位来度量角的制度叫做角度制。
定义：
1rad
L
r
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角，记作1rad.
用弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
3.用弧度制表示各种类型的角； 4.用弧度制表示各种与角相关的公式； 5.用弧度制表示角并求角的三角函数值。
0
2 3 5
4 3 2 3 4 6
6
3 2
2
一一对应
1、角度制与弧度制：
正角
零角 负角
正实数
零 负实数
l 2、求弧长： R
3、求扇形的面积：
1 S扇 l r 2 S扇 S圆 2 1 1 2 2 r r l r 2 2 2
弧度制
思考：
(3)将终边在坐标轴上的角用弧度来表示； (4)将四个象限的角用弧度来表示； (5)将第一或第三象限角平分线上的角用弧度来表 示； (6)将第一或第三象限的角用弧度来表示； (7) 用弧度来表示终边在直线 y 集合。
1.1.2弧度制
一、角度制: 角度制
1.定义：是用“度”作单位来度量角 定义：是用“ 定义 的单位制叫做角度制. 的单位制叫做角度制 2.角度制的单位：度、分 角度制的单位： 角度制的单位 1 0 0 即周角为360 规定 : 周角的 为1 , 即周角为360 360
二、弧度制: 弧度制
1.定义：是用“弧度”作单位来度量 定义：是用“弧度” 定义 角的单位制叫做弧度制. 角的单位制叫做弧度制 2.1弧度的角：长度等于半径的弧所对 弧度的角： 弧度的角 的圆心角叫做1弧度的角 的圆心角叫做 弧度的角. 弧度的角 在弧度制下， 弧度记做1rad. 弧度记做 在弧度制下，1弧度记做 在实际运算中，常常将 单位省略 单位省略． 在实际运算中，常常将rad单位省略．
例3、利用弧度制证明下列关于扇形面积的公 式： 1 1 2 (1)l = α ⋅ R (2) S = α ⋅ R (3) S = l ⋅ R 2 2
四、弧长及扇形面积公式: 弧长及扇形面积公式
(1)弧长公式： 弧长公式： 弧长公式
l = α ⋅r
(2)扇形面积公式 扇形面积公式: 扇形面积公式
1 1 2 S = l ⋅r = α ⋅r 2 2
B O
1rad
C
l=r
A
2rad
l=2r
O A
l 3.角α的弧度数的绝对值： α = 角 的弧度数的绝对值： r π 0 0 ad r 180 = πr 3600 = 2 r ad π ad 90 =
2
B O
1rad
“弧度 不是弧长， 弧度” r 注： 弧度”不是弧长，它 A 是一个比值， 是一个比值，与半径大 小无关，值有正负. 小无关，值有正负
其中l是扇形弧长， 是圆的半径 其中 是扇形弧长，r是圆的半径 是扇形弧长
1.定义：是用“度”作单位来度量角 定义：是用“ 定义 的单位制叫做角度制. 的单位制叫做角度制 2.角度制的单位：度、分 角度制的单位： 角度制的单位 1 0 0 即周角为360 规定 : 周角的 为1 , 即周角为360 360
二、弧度制: 弧度制
1.定义：是用“弧度”作单位来度量 定义：是用“弧度” 定义 角的单位制叫做弧度制. 角的单位制叫做弧度制 2.1弧度的角：长度等于半径的弧所对 弧度的角： 弧度的角 的圆心角叫做1弧度的角 的圆心角叫做 弧度的角. 弧度的角 在弧度制下， 弧度记做1rad. 弧度记做 在弧度制下，1弧度记做 在实际运算中，常常将 单位省略 单位省略． 在实际运算中，常常将rad单位省略．
例3、利用弧度制证明下列关于扇形面积的公 式： 1 1 2 (1)l = α ⋅ R (2) S = α ⋅ R (3) S = l ⋅ R 2 2
四、弧长及扇形面积公式: 弧长及扇形面积公式
(1)弧长公式： 弧长公式： 弧长公式
l = α ⋅r
(2)扇形面积公式 扇形面积公式: 扇形面积公式
1 1 2 S = l ⋅r = α ⋅r 2 2
B O
1rad
C
l=r
A
2rad
l=2r
O A
l 3.角α的弧度数的绝对值： α = 角 的弧度数的绝对值： r π 0 0 ad r 180 = πr 3600 = 2 r ad π ad 90 =
2
B O
1rad
“弧度 不是弧长， 弧度” r 注： 弧度”不是弧长，它 A 是一个比值， 是一个比值，与半径大 小无关，值有正负. 小无关，值有正负
其中l是扇形弧长， 是圆的半径 其中 是扇形弧长，r是圆的半径 是扇形弧长
1.1.2 弧度制
0 ’
角度与弧度之间的换算
填写下列特殊角的度数和弧度数的对应表。
角 度 弧 度
0
30 45
60 90 120 135 150 180 270 360
0 6 4
2 3 5 3 2 3 4 6
3 2 2
例３．利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
其中R是半径 ，l 是弧长 ， （0 2）为圆心角 ，S 是扇形的面积 .
1 2 1 （1）l aR;（2）S aR ;（3）S lR ; 2 2
l 且0 2 R
l R
（1） 证明：
(2) 由于半径为 R， 圆心角为 n0的扇形的面积公式： nR 2 S 360 180 n , 1 nR 2 R 2 180 R 2 R 2 S n 2 360 360 360
注意：1、可以证明，一定大小的圆心角所对应的弧长与
半径的比 值是唯一确定的，与半径大小无关.
2、用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”
通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.
如α=2表示α是2rad的角.
2、角度与弧度之间的换算
把角度换算成弧度：
3600 2 rad 1800 rad 0 1 rad 180
又 l R
1 1 1 2 S R (R ) R lR 2 2 2
4、课时小结：
1．什么叫1弧度角?
2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别：
l a r
角度
3.“角度制”与“弧度制”下的扇形弧长和面积公式：
nR R ; 弧 长l 180
1 nR 2 1 2 lR R 面 积S 2 2 360
角度与弧度之间的换算
填写下列特殊角的度数和弧度数的对应表。
角 度 弧 度
0
30 45
60 90 120 135 150 180 270 360
0 6 4
2 3 5 3 2 3 4 6
3 2 2
例３．利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
其中R是半径 ，l 是弧长 ， （0 2）为圆心角 ，S 是扇形的面积 .
1 2 1 （1）l aR;（2）S aR ;（3）S lR ; 2 2
l 且0 2 R
l R
（1） 证明：
(2) 由于半径为 R， 圆心角为 n0的扇形的面积公式： nR 2 S 360 180 n , 1 nR 2 R 2 180 R 2 R 2 S n 2 360 360 360
注意：1、可以证明，一定大小的圆心角所对应的弧长与
半径的比 值是唯一确定的，与半径大小无关.
2、用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”
通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.
如α=2表示α是2rad的角.
2、角度与弧度之间的换算
把角度换算成弧度：
3600 2 rad 1800 rad 0 1 rad 180
又 l R
1 1 1 2 S R (R ) R lR 2 2 2
4、课时小结：
1．什么叫1弧度角?
2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别：
l a r
角度
3.“角度制”与“弧度制”下的扇形弧长和面积公式：
nR R ; 弧 长l 180
1 nR 2 1 2 lR R 面 积S 2 2 360
笔记 1.1.2 弧度制
6.弧度制与角度制的换算方法：
（1）弧度化角度-----设一个角的弧度数为α ，
则αrad =
180
×α
（2）角度化弧度-----设一个角的度数为n°，
则n°=
180
×n
7 .特殊角度与弧度的对应表:（P8）
度
弧 度
0
30 45
60
90 120 135 150 180 270 360
如果圆的半径为r，圆心角是α， 所对的弧长为 l ，那么，角α的弧度 数的绝对值是
|α| = — r
l
4. 弧长计算公式： l = |α| r
5.角度制与弧度制的换算:
360º = 2π rad,
180º = π rad
1 0.01745 rad 180
180 1rad 57.30 57 18
0
6
4
3
2
2 33 4Fra bibliotek5 6
3 2 2
背下来
1.1.2
弧度制
1.角的单位制：
用度作单位来度量角的单位制叫做角度制 用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制
2.弧度的定义及符号:
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角.用符号rad表示。
（2）符号：
正角的弧度数是一个正数，
负角的弧度数是一个负数，
零角的弧度数是零.
3.弧度数的计算公式：
§1.1.2 弧度制(一)
π/3
课堂讲练
③ 练习2：用弧度制表示下列角的集合： 终边在x轴上； {α|α= kπ,k∈Z} 终边在y轴上： {α|α= (2k+1)π/2,k∈Z} y 5π/2 π/2 4π 2π x
3π π
④练习3：用弧度制表示下列角的集合：
o 3π/2 7π/2
终边在第一象限：
{α|2kπ＜α＜2 kπ+π/2 , k∈Z}
o
x
终边在第三象限； {α|2kπ+π＜α＜2 kπ+3π/2 , k∈Z} 终边在第四象限. {α|2kπ+3π/2 {α|2kπ- π/2 ＜＜ α＜ α＜ 22 kπ+2π kπ , k, ∈ kZ} ∈Z} ②用弧度制表示与下列角的终边相同的角的集合： 0° 30° {α|α= 2kπ , k∈Z}
l r
⑥ 探究：完成书P6表1.1-1后，讨论：半径为r的圆心角α所对弧 长为l，则α弧度数=？
AB 的长
πr 2πr r 2r -πr 0
OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数 逆时针方向 逆时针方向 逆时针方向 顺时针方向 顺时针方向 不转动
π 2π
1 -2 -π 0
180 360
练习：已知 限。
是第二象限角，求 所在的象 2
探究1：弧度的概念 思考1：在平面几何中，1°的角是怎 样定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧 所对的圆心角就是1°的角. 思考2：在半径为r的圆中，圆心角n° 所对的圆弧长如何计算？
2r l n 360
思考3：如图，把长度等于半径长的 圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度 圆心角的大小与所在圆的半径的大小是 否有关？为什么？ r
1.1.2弧度制
o
3 2k 0 2 270 +K·3600
0 0 +K · 360 0 2 k x 0＋ K · 0 或 360 360 2 2k
终边在y轴上： {β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
例3:用弧度制表示
（1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合 （2）第Ⅱ象限角的集合
一一对应
1.1.2弧度制
复习：
按逆时针方向旋转所形成的角叫做 正角； 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 ；
如果射线没有旋转，那么也把它看成一个角， 叫做 零角 。
角的终边（除端点外）在第几象限，就说 这个角是第几 象限角 。
与角 终边相同的角的集合是
{ | k 360 , k Z }
用弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
一一对应
正角 零角
正实数 零 负实数
负角
思考：
弧度制
1度角等于多少弧度？
1
180
rad 0.01745rad
1弧度角等于多少度？
1rad
180
度 57.30
2、例题： （1）把67 30化为弧度； 3 （2）把 π 化为角度； 5 (3)把下列特殊角化为弧度数
o
度
0 0 300 450 600 900 1200 1350 1500 2 3 5
4 3 2 3 4 6
3 2
2
例2：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，
直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°} 0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
1.1.2弧度制
弧度的概念
思考：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心 角就是1°的角.
即：规定把周角的
1 360 作为1度的角，
用度做单位来度量角的制度叫做角度制．
弧度制定义：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。 用弧度来度量角的单位制叫做弧度制． rad 符号： 读作：弧度。
π ∴ 1°= —— rad ≈ 0．01745 rad 180
周角的弧度数是2π 角度制下的度数是360° ∴ 360°= 2π rad； 180°= π rad.
180 1 rad =（——）°≈ 57．30°= 57°18′ π
常规写法 ① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
写成多少的形式，不必写成小数．
练习：将弧度转化为角度，角度转化为弧度
7 （ 1） = 15 ° （2） =－157° 30 ′； 8 12
13 （ 3） = 390 ° （4）36°= 6 5
7π （6）37°30′= （5）－105°= 12
5π 24
练习：与角－1825º 的终边相同，且绝对值最
5 － 25º 小的角的度数是＿＿＿，即＿＿＿弧度。 36
随堂练习
1、 直径为20cm的圆中，求下列各圆
4π 心所对的弧长⑴ 3
⑵ 165o
解： r = 10cm
4π 40π （1）l = α ×r = ´ 10 = (cm) 3 3
π 11π （2） 165 = ´ 165(rad) = rad 180 12
o
11π 55π 所以l = ´ 10 = (cm) 12 6
② 弧度与角度不能混用．
特殊角的弧度数
1.1.2弧度制
9.已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角为多
大时，它有最大面积，最大面积是多少?
本节课到此结束！
1号骰子
2号骰子
1
2
3
4
5
6
1 2
（ 1， ） （ 1， 5） （ 1， 6） （ 1， 1） （ 1， 2） （ 1， 3） （1 ， 44 ） 2， ） （2，4）（2，5） （2，6） （2，1） （2，2）（（ 2， 33 ） 3， ） （ 3， 3） （ 3， 4） （ 3， 5） （ 3， 6） （3，1）（（ 3， 22 ） （ 4， 1） ） （4，2） （4，3） （4，4）（4，5） （4，6） （ 4， 1
o o
（2）把112º30′化成弧度（用π 表示）。
8 （ 3） 把 化成度。 5
5 解： . 8
解： 288 。
o
例2
用弧度制表示
（ 1 ）终边在x轴上的角的集合
（2）终边在 y轴上的角的集合
4、圆的弧长公式及扇形面积公式
由︱α︱= l
l r
得 r
O
α
=︱ α ︱ r
l
S
=— l r 2
n i 1 i
i
i
2 x i
i
2 ( x x ) i i 1
n
i 1 n
i i
2 2 x nx i i 1
, a y bx
量数也不同。
3、弧度与角度的换算
若l=2 π r，
l 则∠AOB= = 2π rad r
此角为周角 即为360°
l=2 π r
O r A(B)
360°= 2π rad
180°= π rad
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π 11π （2） 165 = ´ 165(rad) = rad 180 12
o
11π 55π 所以l = ´ 10 = (cm) 12 6
随堂练习
4 已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心 角是1弧度,求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为R，弧长为l
∵ 弧长 ∴
l = a R= R
3R = 6, R = 2
5 － 25º 小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 36
解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .
5 合 36
课堂小结 弧度制 度量单位 弧度
圆弧所对应的圆 心角叫1 rad 的角
角度制 角度
单位规定 等于半径的长的
【例2】将下列各角转化为另一种表示形式：
1 300； 2
180 【审题指导】解答本题可直接利用1 rad， 1rad ( ) 180
8 . 5
进行转化. 【规范解答】(1)-300°= 300 rad 5 rad. (2) 8 ( 8 180 ) 288.
练习： 在半径为R的圆中，240º的中心角所
4 对的弧长为 R 3
，面积为2R2的扇
4
形的中心角等于
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
4 l R 3
所以 α=4.
练习：与角－1825º 的终边相同，且绝对值最
∠AOB的弧 ∠AOB的度 度数 数
2r
r
2
1 -2
0
180° 360° 57.3° -114.6° -180° 0° 180°
r r
0
r 2r
顺时针
顺时针 未旋转 逆时针
2r
逆时针
2
360°
3．弧度制与角度制的换算公式：
角度化弧度 360° ＝ 2π rad 角度化弧度 180° ＝ π rad 弧度化角度 2π rad＝ 360° 弧度化角度 π rad＝ 180°
1 周角的 360为1度的角
换算关系
π =180° 180 1rad= 57.30 57°18′，
(1)l=α·r=
2、67°30′化成弧度。 解：
π 1 3 ∴67 30' = rad ´ 67 = πrad 180 2 8
o
3 3、 把 πrad 化成度。 5
解： 3 πrad = 3 ´ 180o = 108o
5 5
4 例2：把 rad 5
化成度．
4 4 解： rad 180 144 5 5
)
4.把90°化为弧度是______. 【解析】90 90 . 答案:
2 180 2
5.若α是第四象限的角，则π－α是第______象限的角. 【解析】∵α是第四象限的角，即2kπ- ＜α＜2kπ， ∴-2kπ+π＜π－α＜-2kπ+
3 ，k∈Z,即π－α是第三象 2 2
)
(B) rad 6 D rad 12
【解析】选B.顺时针方向旋转形成的角为负角α，
3.已知扇形的面积是 3，半径是1，则扇形的圆心角是 (
3 D 2 3 1 【解析】选C.设扇形的弧长为l，则 l 1， 8 2 故 l 3 ， 所以扇形的圆心角为 3 . 4 4 3 A 16 3 B 8 3 C 4
B
在弧度制下，1弧度记做1rad. 在实际运算中，常常将rad单位省略．
O
1 rad
l
A
图像
2、角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，
l 那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ r
正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零
弧AB的 长
OB旋转的 方向 逆时针方向 逆时针方向 逆时针
2
S与半径r之间的函数关系，利用二次函数求最大值.
【规范解答】设扇形的半径为r，弧长为l， 则2r+l=8，l=8-2r，
1 1 S lr r(8 2r) 2 2
=-r2+4r
=-(r-2)2+4(0＜r＜4)
当r=2时，Smax=4 cm2， 此时l=4 cm,α=2. 所以当半径长为2 cm，圆心角为2 rad时， 扇形的面积最大为4 cm2.
．
4、已知扇形AOB的圆心角为120°，半 径为6，求此扇形所含弓形面积。
2π 解：由 α = 120 = ,r = 6 3
o
∴
S弓形 = S扇形 - SΓΑΟΒ = 12π - 9 3
【例3】(2011·盱眙高一检测)已知一扇形的周长为8 cm，
当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求 出最大面积. 【审题指导】先用r表示半径，再依据 S 1 lr 建立扇形面积
随堂练习
1将弧度转化为角度，角度转化为弧度
22 30
0
'
1200
4 3
0
8 20 3
210
12
0
0
7 6
15
0
240
3 10
54
0
例3
计算：
si n
4
解：
2 ∵ 45 ∴ sin sin 45 4 2 4
随堂练习
2 请用弧度制表示下列范围.
l ① 由公式： 证明： l r r
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
②设扇形所对的圆心角为nº (αrad)的扇形的
弧长和面积公式分别是
nR l 180
nR S 360
2
将nº 转化为弧度： n 180 n 1 2 2 于是 S R R 360 2 1 S lR 又 αR=l，所以 2
弧度的概念
思考：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心 角就是1°的角. 即：规定把周角的
1 360 作为1度的角，
用度做单位来度量角的制度叫做角度制．
1.弧度制定义：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。 用弧度来度量角的单位制叫做弧度制． rad 符号： 读作：弧度。
∴ 19 4 5 .
6 6
180
6
方法二：-570°=-2×360°+150°，
5 570 4 . 6 答案:4 5 6
2.时钟经过1小时，时针转过了 (
(A) rad 6 C rad 12
1 2 . 12 6 8
5 5 180 3
【典例】把角-570°化为2kπ+α(0≤α＜2π，k∈Z)的形 式为______.
【审题指导】将-570°化为弧度，再化为2kπ+α的形式；
或先将-570°化为k·360°+α的形式，再将度化为弧度.
19 【规范解答】方法一：-570°= （570 ） ，
180 ≈ 57.30° 0.01745 rad 1 rad＝ 1° ＝ π rad≈ ° 180 π
即学即用
1、67°30′化成弧度。
π 1 3 ∴67 30' = rad ´ 67 = πrad 解： 180 2 8
o
3 2、 把 πrad 化成度。 5
解： 3 πrad = 3 ´ 180o = 108o
(注意公式中的α必须为弧度制！！！)
练习： 已知一半径为R的扇形，它的周长等
于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少 弧度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合(
360( 1)
)º
2
扇形面积是 ( 1) R
2
Ｃ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 Ｄ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们 与圆的半径长短有关
2、下列命题中，正确的命题是______.
①1°的角是周角的 1 ，1 rad的角是周角的 1 ；
360 2
②1 rad的角等于1度的角；
答案:①③④
③180°的角一定等于π rad的角； ④“度”和“弧度”是度量角的两种单位.
1 于是 S = Rl = 2 (cm 2 ) 2
1、－300°化为弧度是（ Ｂ ） Ａ. - 4π
Ｂ．- 5π
3
Ｃ．- 7π
4
Ｄ．- 7π
6
o
2.半径为 cm，中心角为 120 的弧长为 （ Ｄ ）. A． π cm 3
π2 B． cm 3
C． 2π cm 3
2π 2 D． cm 3
3.将下列弧度转化为角度： （1 ） （3 ）
随堂练习
3 直径为20cm的圆中，求下列各
圆心所对的弧长⑴
4π 3
⑵ 165o
4 已知一个扇形的周长是6cm,该扇形
的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
随堂练习
3 直径为20cm的圆中，求下列各圆心
所对的弧长⑴ 解： r = 10cm
4π ⑵ 3
165o
4π 40π （1）l = α ×r = ´ 10 = (cm) 3 3
n 将nº 转化为弧度： 180 n 1 2 2 于是 S R R
360 2
又 αR=l，所以
nR S 360
2
1 S lR 2
巩固练习：
下列选项中，错误的是（ D ）
o
11π 55π 所以l = ´ 10 = (cm) 12 6
随堂练习
4 已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心 角是1弧度,求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为R，弧长为l
∵ 弧长 ∴
l = a R= R
3R = 6, R = 2
5 － 25º 小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 36
解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .
5 合 36
课堂小结 弧度制 度量单位 弧度
圆弧所对应的圆 心角叫1 rad 的角
角度制 角度
单位规定 等于半径的长的
【例2】将下列各角转化为另一种表示形式：
1 300； 2
180 【审题指导】解答本题可直接利用1 rad， 1rad ( ) 180
8 . 5
进行转化. 【规范解答】(1)-300°= 300 rad 5 rad. (2) 8 ( 8 180 ) 288.
练习： 在半径为R的圆中，240º的中心角所
4 对的弧长为 R 3
，面积为2R2的扇
4
形的中心角等于
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
4 l R 3
所以 α=4.
练习：与角－1825º 的终边相同，且绝对值最
∠AOB的弧 ∠AOB的度 度数 数
2r
r
2
1 -2
0
180° 360° 57.3° -114.6° -180° 0° 180°
r r
0
r 2r
顺时针
顺时针 未旋转 逆时针
2r
逆时针
2
360°
3．弧度制与角度制的换算公式：
角度化弧度 360° ＝ 2π rad 角度化弧度 180° ＝ π rad 弧度化角度 2π rad＝ 360° 弧度化角度 π rad＝ 180°
1 周角的 360为1度的角
换算关系
π =180° 180 1rad= 57.30 57°18′，
(1)l=α·r=
2、67°30′化成弧度。 解：
π 1 3 ∴67 30' = rad ´ 67 = πrad 180 2 8
o
3 3、 把 πrad 化成度。 5
解： 3 πrad = 3 ´ 180o = 108o
5 5
4 例2：把 rad 5
化成度．
4 4 解： rad 180 144 5 5
)
4.把90°化为弧度是______. 【解析】90 90 . 答案:
2 180 2
5.若α是第四象限的角，则π－α是第______象限的角. 【解析】∵α是第四象限的角，即2kπ- ＜α＜2kπ， ∴-2kπ+π＜π－α＜-2kπ+
3 ，k∈Z,即π－α是第三象 2 2
)
(B) rad 6 D rad 12
【解析】选B.顺时针方向旋转形成的角为负角α，
3.已知扇形的面积是 3，半径是1，则扇形的圆心角是 (
3 D 2 3 1 【解析】选C.设扇形的弧长为l，则 l 1， 8 2 故 l 3 ， 所以扇形的圆心角为 3 . 4 4 3 A 16 3 B 8 3 C 4
B
在弧度制下，1弧度记做1rad. 在实际运算中，常常将rad单位省略．
O
1 rad
l
A
图像
2、角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，
l 那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ r
正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零
弧AB的 长
OB旋转的 方向 逆时针方向 逆时针方向 逆时针
2
S与半径r之间的函数关系，利用二次函数求最大值.
【规范解答】设扇形的半径为r，弧长为l， 则2r+l=8，l=8-2r，
1 1 S lr r(8 2r) 2 2
=-r2+4r
=-(r-2)2+4(0＜r＜4)
当r=2时，Smax=4 cm2， 此时l=4 cm,α=2. 所以当半径长为2 cm，圆心角为2 rad时， 扇形的面积最大为4 cm2.
．
4、已知扇形AOB的圆心角为120°，半 径为6，求此扇形所含弓形面积。
2π 解：由 α = 120 = ,r = 6 3
o
∴
S弓形 = S扇形 - SΓΑΟΒ = 12π - 9 3
【例3】(2011·盱眙高一检测)已知一扇形的周长为8 cm，
当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求 出最大面积. 【审题指导】先用r表示半径，再依据 S 1 lr 建立扇形面积
随堂练习
1将弧度转化为角度，角度转化为弧度
22 30
0
'
1200
4 3
0
8 20 3
210
12
0
0
7 6
15
0
240
3 10
54
0
例3
计算：
si n
4
解：
2 ∵ 45 ∴ sin sin 45 4 2 4
随堂练习
2 请用弧度制表示下列范围.
l ① 由公式： 证明： l r r
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
②设扇形所对的圆心角为nº (αrad)的扇形的
弧长和面积公式分别是
nR l 180
nR S 360
2
将nº 转化为弧度： n 180 n 1 2 2 于是 S R R 360 2 1 S lR 又 αR=l，所以 2
弧度的概念
思考：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心 角就是1°的角. 即：规定把周角的
1 360 作为1度的角，
用度做单位来度量角的制度叫做角度制．
1.弧度制定义：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。 用弧度来度量角的单位制叫做弧度制． rad 符号： 读作：弧度。
∴ 19 4 5 .
6 6
180
6
方法二：-570°=-2×360°+150°，
5 570 4 . 6 答案:4 5 6
2.时钟经过1小时，时针转过了 (
(A) rad 6 C rad 12
1 2 . 12 6 8
5 5 180 3
【典例】把角-570°化为2kπ+α(0≤α＜2π，k∈Z)的形 式为______.
【审题指导】将-570°化为弧度，再化为2kπ+α的形式；
或先将-570°化为k·360°+α的形式，再将度化为弧度.
19 【规范解答】方法一：-570°= （570 ） ，
180 ≈ 57.30° 0.01745 rad 1 rad＝ 1° ＝ π rad≈ ° 180 π
即学即用
1、67°30′化成弧度。
π 1 3 ∴67 30' = rad ´ 67 = πrad 解： 180 2 8
o
3 2、 把 πrad 化成度。 5
解： 3 πrad = 3 ´ 180o = 108o
(注意公式中的α必须为弧度制！！！)
练习： 已知一半径为R的扇形，它的周长等
于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少 弧度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合(
360( 1)
)º
2
扇形面积是 ( 1) R
2
Ｃ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 Ｄ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们 与圆的半径长短有关
2、下列命题中，正确的命题是______.
①1°的角是周角的 1 ，1 rad的角是周角的 1 ；
360 2
②1 rad的角等于1度的角；
答案:①③④
③180°的角一定等于π rad的角； ④“度”和“弧度”是度量角的两种单位.
1 于是 S = Rl = 2 (cm 2 ) 2
1、－300°化为弧度是（ Ｂ ） Ａ. - 4π
Ｂ．- 5π
3
Ｃ．- 7π
4
Ｄ．- 7π
6
o
2.半径为 cm，中心角为 120 的弧长为 （ Ｄ ）. A． π cm 3
π2 B． cm 3
C． 2π cm 3
2π 2 D． cm 3
3.将下列弧度转化为角度： （1 ） （3 ）
随堂练习
3 直径为20cm的圆中，求下列各
圆心所对的弧长⑴
4π 3
⑵ 165o
4 已知一个扇形的周长是6cm,该扇形
的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
随堂练习
3 直径为20cm的圆中，求下列各圆心
所对的弧长⑴ 解： r = 10cm
4π ⑵ 3
165o
4π 40π （1）l = α ×r = ´ 10 = (cm) 3 3
n 将nº 转化为弧度： 180 n 1 2 2 于是 S R R
360 2
又 αR=l，所以
nR S 360
2
1 S lR 2
巩固练习：
下列选项中，错误的是（ D ）