一阶逻辑的推理演算
05 一阶逻辑等值演算与推理
例
4
(3) C = xyL(x, y) (L(2, 2) L(2, 3)) (L(3, 2) L(3, 3)) (10) (01) 1.
例
4
(4) D = yxL(x, y) y(L(2, y)L(3, y)) (L(2, 2)L(3, 2)) (L(2, 3)L(3, 3)) (10) (01) 0. 一般地：y x L (x, y) x y L (x, y) 在实变函数上的应用举例
提 前 讲
证 只要证明在某个解释下两边的式子不等值.
(1)取解释 I: 个体域为 ; A(x) 为 x 是奇数; B(x) 为 x 是 偶数. 则 x(A(x) A(x)) 为真, 而 xA(x) xB(x) 为假.
(2)取解释 I 同(1), 则 x(A(x) B(x)) 为假, 而 xA(x) xB(x) 为真.
/quantifier elimination
3. 量词辖域收缩与扩张等值式
设 A(x) 含 x 的自由出现, 而 B 不含 x 的自由出现, 则
(1)
x(A(x)B) xA(x) B
x(A(x)B) xA(x) B x(A(x)B) xA(x) B x(BA(x)) B xA(x) (5.3)
/quantifier distribution
例 2
例2 证明 对 无分配律, 而 对 无分配律. (1) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x);
(2) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x),
其中 A(x), B(x) 含自由变元 x.
2、一阶逻辑中的基本等值式
第一组 代换实例 命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的 永真式, 因而命题逻辑中的等值式†给出的代换实例 都是一阶逻辑的等值式.
离散数学 第5章 一阶逻辑等值演算与推理
例5.2 证明 （1） x(A(x)∨B(x)) <≠> xA(x)∨xB(x) （2） x(A(x)∧B(x)) <≠> xA(x)∧xB(x) 其中A(x)，B(x)为含x自由出现的公式。
证明
只要证明在某个解释下两边的式子不等值。
取解释I：个体域为自然数集合N； (1)取F(x)：x是奇数，代替A(x)； 取G(x)：x是偶数，代替B(x)。 则x(F(x)∨G(x))为真命题， 而xF(x)∨ xG(x)为假命题。 两边不等值。
1?xmxfx??xmxfx2?xfxgx??xfxgx3?x?yfxgyhxy??x?yfxgyhxy4?x?yfxgylxy??x?yfxgylxy1?xmxfx??xmxfx?xmxfx??xmxfx??xmxfx??xmxfx2?xfxgx??xfxgx?xfxgx??xfxgx??xfxgx??xfxgx3?x?yfxgyhxy??x?yfxgyhxy?x?yfxgyhxy??x?yfxgyhxy??x?yfxgyhxy??x?yfxgyhxy4?x?yfxgylxy??x?yfxgylxy?x?yfxgylxy??x?yfxgylxy??x?yfxgylxy??x?yfxgylxy??x?yfxgylxy一前束范式与命题公式的前束范式1
（3） ┐xy(F(x)∧G(y)→H(x，y)) xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y)) ┐xy(F(x)∧G(y)→H(x，y)) x┐(∀y(F(x)∧G(y)→H(x，y))) xy┐(┐(F(x)∧G(y))∨H(x，y)) xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))
例5.4 给定解释I如下： （a）个体域 D＝{2,3} （b）D中特定元素: a 2 （c）D上的特定函数(x)为：f (2) 3，f (3) 2。 （d）D的特定谓词
[数理逻辑]一阶谓词演算自然推演系统N_{l}常见公式总结
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3. ∀ ∃ 和 ∧ ∨ 的量词移位： 对 于 ∀ 而 言 ： x 不 在 α 中 自 由 出 现 ： α ∧ ∀xβ | − ∀x(α ∧ β)∀x(α ∧ β) | − α ∧ ∀xβ 恒 成 立 x 不 在 β 中 自 由 出 现 :α ∨ ∀xβ | − | ∀x(α ∨ β) 对 于 ∃ 而 言 ： x 不 在 α
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[数理逻辑 ]一阶谓词演算自然推演系统 N_{lห้องสมุดไป่ตู้常见公式总结
一阶谓词演算自然推演系统NL 中常见公式总结 以 下 是 对 “ 自 由 出 现 ” 和 “ 自 由 " 的 个 人 理 解 ： 1.x 在 α 在 β 中 若 有 自 由 出 现 ， 可 以 认 为 α 和 β 公 式 的 真 假 与 x 有 关 ， 即 原 公 式 成 立 或 否 对 x 有
关于量词移位
1. ∀ ∃ 和 ⟶ 的量词移位： ∀x(α ⟶ β)： 当 x 不 在 α 自 由 出 现 时 ： ∀x(α ⟶ β) | − | α ⟶ ∀xβ 当 x 不 在 β 自 由 出 现 时 ： ∀x(α ⟶ β) | − | ∃xα ⟶ βx 在 α 对 β 是 否 自 由 出 现 未 知 ： ∀x(α ⟶ β) | − | ∀xα ⟶ ∃x(α ⟶ β)： x 在 α 中 没 有 自 由 出 现 ： ∃x(α ⟶ β) | − α ⟶ ∃βα ⟶ ∃β | − ∃x(α ⟶ β) 恒 成 立 x 在 β 中 没 有 自 由 出 现 ： ∃x(α ⟶ β) | − ∀xα ⟶ β∀xα ⟶ β | − ∃x(α ⟶ β) 恒 成 立
离散数学-03-一阶逻辑
3.1.4 一阶逻辑公式与分类
解释和赋值的直观涵义
例 公式x(F(x)G(x)) 指定1 个体域:全总个体域, F(x): x是人, G(x): x是黄种人 真/假命题？ 假命题 指定2 个体域:实数集, F(x): x>10, G(x): x>0 真/假命题？ 真命题
21
3.1.4 一阶逻辑公式与分类
离散数学（第3版） 屈婉玲 耿素云 张立昂 编著 清华大学出版社出版
第3章 一阶逻辑
上海大学 谢江
1
第3章 一阶逻辑
• 3.1 一阶逻辑基本概念 • 3.2 一阶逻辑等值演算
2
3.1 一阶逻辑基本概念
• 3.1.1 命题逻辑的局限性 • 3.1.2 个体词、谓词与量词
– 个体常项、个体变项、个体域、全总个体域 – 谓词常项、谓词变项 – 全称量词、存在量词
n元谓词P(x1, x2,…, xn): 含n个个体变项的谓词, 是定义在 个体域上, 值域为{0,1}的n元函数 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n2): 表示事物之间的关系 0元谓词: 不含个体变项的谓词,即命题常项或命题变项 0元谓词是命题？ 命题均可表示成0元谓词？
8
3.1.2 个体词、谓词与量词
• 3.1.3 一阶逻辑命题符号化
3
3.1 一阶逻辑基本概念(续)
• 3.1.4 一阶逻辑公式与分类
– 一阶语言L （字母表、项、原子公式、合式 公式） – 辖域和指导变元、约束出现和自由出现 – 闭式 – 一阶语言L 的解释 – 永真式、矛盾式、可满足式 – 代换实例
4
3.1.1 命题逻辑的局限性
11
3.1.3 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
本章说明
本章的主要内容 –一阶逻辑等值式与基本等值式 –置换规则、换名规则、代替规则 –前束范式
–一阶逻辑推理理论
本章与其他各章的关系 –本章先行基础是前四章
–本章是集合论各章的先行基础
本章主要内容
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
5.2 一阶逻辑前束范式 5.3 一阶逻辑的推理理论 主要内容 作 业
一阶逻辑中的一些基本而重要等值式
代换实例
消去量词等值式
量词否定等值式 量词辖域收缩与扩张等值式 量词分配等值式
代换实例---命题公式的推广
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永 真式，因而第二章的16组等值式模式给出的代换实例都是 一阶逻辑的等值式的模式。 例如：
x(A(x)∧B(x))x A(x)∧ x B(x)
谓词演算蕴含式 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
x(A(x)∧B(x)) x A(x)∧ x B(x)
多个量词间的次序排列等值式。
多个量词同时出现时,其顺序是至关重要的.
(1) xyA( x, y) yxA( x, y ) (2) xyA( x, y ) yxA( x, y )
等值式的定义
定义5.1 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永真 式，则பைடு நூலகம்A与B是等值的。 记做AB，称 AB 是等值式。
例如：
x(F(x) G(x)) x(F(x) G(x))
说 明
判断公式A与B是否等值，等价于判断公式AB是否 为永真式。 谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关 等值式类似。
一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式 上完全相同，只是在这里A，B是一阶逻辑公式。 换名规则：设A为一公式，将A中某量词辖域中某约束变项的 所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的 某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为A'， 则A'A。
一阶谓词逻辑的基本概念与原理
一阶谓词逻辑的基本概念与原理一阶谓词逻辑是数学逻辑的一个重要分支，它是对自然语言中的命题进行形式化描述和推理的工具。
在数理逻辑中，一阶谓词逻辑也被称为一阶逻辑或一阶谓词演算。
本文将介绍一阶谓词逻辑的基本概念与原理。
一、命题逻辑与谓词逻辑的区别在介绍一阶谓词逻辑之前，我们先来了解一下命题逻辑与谓词逻辑的区别。
命题逻辑是研究命题之间的关系和推理规则的逻辑系统，它只关注命题的真值（真或假）以及命题之间的逻辑连接词（如与、或、非等）。
而谓词逻辑则引入了谓词和量词的概念，可以描述对象之间的关系和属性，以及量化的概念。
二、一阶谓词逻辑的基本概念1. 语言一阶谓词逻辑的语言包括常量、变量、函数和谓词。
常量是指代具体对象的符号，如"1"、"2"等；变量是占位符号，可以代表任意对象，如"x"、"y"等；函数是将一组对象映射到另一组对象的符号，如"f(x)"、"g(x, y)"等；谓词是描述对象之间关系或属性的符号，如"P(x)"、"Q(x, y)"等。
2. 公式一阶谓词逻辑的公式由谓词、变量、常量、函数和逻辑连接词构成。
常见的逻辑连接词有否定、合取、析取、蕴含和等价等。
例如，"¬P(x)"表示谓词P对于变量x的否定，"P(x)∧Q(x)"表示谓词P和Q对于变量x的合取。
3. 全称量词和存在量词一阶谓词逻辑引入了全称量词和存在量词，用于对变量进行量化。
全称量词∀表示对所有对象都成立，存在量词∃表示存在至少一个对象成立。
例如，∀xP(x)表示谓词P对于所有的x都成立，∃xP(x)表示谓词P至少存在一个x成立。
三、一阶谓词逻辑的推理原理一阶谓词逻辑的推理基于一些基本规则和推理规则。
1. 基本规则一阶谓词逻辑的基本规则包括等词规则、全称推广规则、全称特化规则、存在引入规则和存在消去规则等。
一阶逻辑演算的自然推理系统n的逻辑符号
一阶逻辑演算的自然推理系统n的逻辑符号自然推理是一种用于证明数学定理和逻辑命题的演绎推理系统。
在一阶逻辑演算中，推理证明的过程是建立在逻辑符号和规则基础之上的。
在自然推理系统n中，一阶逻辑的符号集合和规则体系被赋予了特定的含义和解释，使得我们能够通过推理的步骤来推导出结论。
下面将对这一主题进行全面探讨。
1. 确定逻辑符号集合在自然推理系统n中，逻辑符号集合包括命题变项、逻辑联结词、全称量词、存在量词和推理规则。
其中，命题变项用于表示命题或命题化的变项，逻辑联结词包括合取、析取、蕴含和双条件等逻辑联结词，全称量词表示“对于任意的”关系，存在量词表示“存在着这样的”关系，推理规则包括假言推理、假言三段论、析取三段论、全称引入和全称消去等规则。
这些逻辑符号共同构成了自然推理系统n的逻辑符号集合。
2. 规定逻辑推导规则自然推理系统n中的逻辑推导规则用于推导出命题的真值，包括假言推理规则、假言三段论规则、析取三段论规则、全称引入规则和全称消去规则等。
这些规则按照一定的逻辑推导方式进行组合使用，从而得到了推导出的结论。
3. 举例说明逻辑推导的过程为了更好地理解自然推理系统n中的逻辑推导过程，举例说明是非常有必要的。
以假言推理为例，如果已知条件命题p→q和p为真，则可以推导出结论q为真。
这种推导过程利用了逻辑联结词中的蕴含关系，通过假言推理规则得到了推导结论q。
4. 总结回顾通过对自然推理系统n的逻辑符号和逻辑推导规则进行讨论和举例说明，我们深入地理解了自然推理系统n的推导过程。
在这个过程中，逻辑符号集合和推导规则相互作用，使得我们能够通过推导的步骤来得到有价值的结论。
个人观点和理解对于自然推理系统n的逻辑符号和推导规则，我认为这是一种非常有效的推理方法。
通过对逻辑符号的合理运用和推导规则的精确应用，我们能够清晰地证明和推导出命题的真值。
在这个过程中，我们也能够深入地理解和分析命题中的逻辑关系，从而获得更深刻的认识。
《离散数学》第二章一阶逻辑
定义谓词F(x)：x是亚洲人。 x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值： T
2013-7-29
离散数学
27
例：将下列命题符号化。 (1) 兔子比乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。
G(y): y是乌龟。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
考虑所有狮子都喝咖啡的情况。
左式为假，符合原句的意思。 对右式而言，设x是老虎，则右式为真。这和原 句是矛盾的。
2013-7-29
离散数学
19
个体域对命题符号化的影响
例：将下列命题符号化。要求个体域为： （1）有理数集合；（2）实数集合；（3）全总个体域。 1. 凡是有理数均可表示成分数。 解：设P (x)：x是有理数。 Q (x)：x可以表示成分数。 （1）有理数集合：x Q(x) （2）实数集合： x (P(x) Q(x)) （3）全总个体域：x (P(x) Q(x)) 2. 有的有理数是整数。 解：设P (x)：x是有理数。 I (x)：x是整数。 （1）有理数集合： x I (x) （2）实数集合： x (P(x) I(x)) （3）全总个体域： x (P(x) I(x))
第二章 一阶逻辑
浙江工业大学计算机学院 浙江工业大学软件学院
2013-7-29
离散数学
1
所有的人都是要死的。 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
2013-7-29
离散数学
2
命题逻辑的局限
符号化： P:所有的人都是要死的。 Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 P∧Q→R 推理正确吗? 命题逻辑不能表现出简单命题中各部分的内在联系。
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1
一阶逻辑的推理演算
这一讲我们学习一阶逻辑的自然推理系统。
其功能是由若干前提12,,
,n A A A 推导出
一条结论B 。
这相当于证明下列蕴含式是永真的： 12n A A A B ∧∧
∧→
1. 一阶逻辑的代入定理 将永真命题公式中的各命题变元代换为任何一阶公式后，所得的一阶公式是永真的。
例如，()p q p q →∧→是永真命题公式。
进行一阶公式代入p=F (x )，q=G (x )后得如下永真一阶公式：
(()())()()F x G x F x G x →∧→
定理1.1（代入定理）任何永真命题公式在代入一阶公式后是永真一阶公式。
证明 略。
证毕
2. 永真蕴含式和推理定律
永真蕴含式：若A →B 是永真式，则记为A B ⇒，称为永真蕴含式。
将永真命题蕴含式中的变元视为取值为任何一阶公式的变元，则该永真命题蕴含式就变成一条推理定律。
根据代入定理，推理定律表示一批形式相似的永真蕴含式。
因此，推理定律是描述永真蕴含式的模式。
由任何永真蕴含式可以得到对应的推理定律。
例如，由永真蕴含式()p q p q →∧⇒可得一阶逻辑的假言推理定律()A B A B →∧⇒，其中变元A ，B 表示任何一阶公式。
这条推理定律的含义是，对于任何一阶公式A 和B ，若(A →B )为真并且A 为真，则B 为真。
因此，由前提(A →B )与A 可得结论B 。
这是我们思维中最常用的一条推理规则，称为假言推理规则或者分离规则。
因此，推理定律可以当作推理规则使用。
2
再如，(())p q q p →∧⌝→是永真蕴含式，
由此可得推理定律(())A B B A →∧⌝⇒，称为拒取式。
命题逻辑的自然推理系统P 中的所有9条推理定律都可以当作一阶逻辑推理定律来使用。
3. 量词消去与引入规则
与命题逻辑的自然推理系统相比，这是一阶逻辑自然推理系统所特有的推理规则。
见课本第75页。
这是课程中的一个难点，我们可以借助于语义来理解其正确性。
1） 全称量词消去规则（简记为∀-）
（1）第一个竖式得出的结论是一个句型。
()()
xA x A y ∀ 适用条件： x 不在y 的量词辖域内自由出现。
在这个推理规则中，结论A(y )是将A(x )中所有自由出现的x 代换为y 而得的公式。
但是在一种情形下，这种代换会导致语义混淆。
这个情形就是，x 在y 的量词辖域内自由出现。
例如，令()(,)A x yB x y =∃，则()(,)A y yB y y =∃。
在前一个公式中，x 与y 是可以指代不同的对象的，而在后一公式中两个位置上的y 只能指代同一个对象。
如果把B(x,y)解释为实数集合上的小于关系x<y ，则前提正确而结论错误。
因此，应当禁止在这种情形下使用该推理规则。
这就是上述适用条件的意义。
推理规则的语义：
a) 若前提()xA x ∀中没有出现y ，则结论中的y 指代论域中任何对象。
此时，该推理
规则的语义是，若所有对象x 都有性质A ，则任何对象y 有性质A 。
b) 若前提()xA x ∀中有自由出现的y ，则结论()A y 中的y 与前提中的y 的所指相同。
此时，该推理规则的语义是，若所有对象x 都有性质A ，则对象y 有性质A 。
3
注：上述推理规则中的适用条件可以改为，y 不在A(x )中约束出现。
若有y 的约束出现的话，可以通过改名规则消除这些y 的约束出现。
由上述一般规则可得如下特殊规则
()()
xA x A x ∀ 这个规则的优点是没有适用条件，即无条件地永远成立。
显然，结论中的x 与前提中的x 没有任何语义关系，各自指代任何对象。
（2）第二个竖式所得的结论是语句或者句型。
()
()xA x A c ∀
其中c 是常元，A(c )是将A(x )中所有自由出现的x 代换为c 而得的公式。
这一条规则除了要求结论中的符号c 是常元之外，不需要任何其它适用条件。
以下3组规则可做类似的分析和理解。
2） 全称量词引入规则（简记为∀+）
3） 全称量词消去规则（简记为∃-）
4） 全称量词引入规则（简记为∃+）
()()()()
A y
B A y xA x B xA x →∃→∃或 其中在前提A (y )中变元y 不在x 的量词的辖域中自由出现。
（理解该规则的含义！）
()()()()
A c
B A c xA x B xA x →∃→∃或 其中在前提A (c )中常元c 不在x 的量词的辖域中出现。
（理解该规则的含义！）
4
由上述第一组规则可得如下特殊规则无条件成立：
()()()()
A y
B A y yA y B yA y →∃→∃或 4. 一阶逻辑自然推理系统
包括如下3个部分：
1） 符号表：某一阶逻辑语言的符号表。
2） 合式公式：该一阶逻辑语言的合式公式。
3） 推理规则（共16条）：
（1） 前提引入
（2） 结论引入
（3） 替换规则
（4） 假言推理
（5） 附加规则
（6） 化简规则
（7） 拒取式规则
（8） 假言三段论
（9） 析取三段论
（10） 构造性二难推理
（11） 破坏性二难推理
（12） 合取引入规则
（13） ∀-规则
（14） ∀+规则
（15） ∃-规则
（16） ∃+规则
例3.1 课本第77页例5.9。
例3.2 课本第78页例5.11。