第三章 单自由度系统受迫振动分析
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单自由度系统受迫振动
单自由度系统受迫振动
教学内容
• 线性系统的受迫振动 • 工程中的受迫振动问题 • 任意周期激励的响应 • 非周期激励的响应
2020年8月6日 2
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
Aei(t ) 10
k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
3
（2）当s>>1（ n ）
2
激振频率相对于系统固有频率很高 1
0.25 0.375
0.5 1
s
0
0
0
1
2
3
结论：响应的振幅 很小
2020年8月6日 <<振动力学>>
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
11
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
（3）在以上两个领域 s>>1，s<<1
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
(s)
5
0
(s)
1
0.1
4
(1 s2 )2 (2s)2
3
0.25
幅频特性曲线
0.375
2
0.5
简谐激励作用下稳态响应特性： 1
1
s
（1）当s<<1（ n）
0
0
1
2
3
激振频率相对于系统固有频率很低
1
2020年8月6日 <<振动力学>>
结论：响应的振幅 A 与静位移 B 相当
x
F0
ei(t )
mx cx kx F0eit
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
A F0
1
k (1 s2 )2 (2s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(
s)
tg
1
2s
1 s2
结论：
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率 、而相位滞后激振力的简谐振动
（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质 （m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动 的方式（即初始条件）无关
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
持续等幅振动 稳态响应 本节内容
2020年8月6日 5
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设： x xeit
x ：稳态响应的复振幅
代入，有： x H ()F0
2020年8月6日 <<振动力学>>
振幅放大因子
相位差 6
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
mx cx kx F0eit
x xeit x H ()F0
B F0
(s)
k1
(1 s2 )2 (2s)2
H () 1 [ 1 s2 2si ] 1 ei k (1 s2 )2 (2s)2 k
2020年8月6日 3
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动
F (t )
F (t )
x
弹簧－质量系统
设 F (t) F0eit F0 外力幅值
外力的激励频率
m
0
k
c
m mx
kx cx
实部和虚部分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应
（5）对于有阻尼系统， max并不 出现在s=1处，而且稍偏左
d 0
ds
max 2
s
1
1 2
1 2 2
2020年8月6日 <<振动力学>>
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0wk.baidu.com
1
2
3
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
14
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
H ()
1
k m 2 ic
复频响应函数
n
k m
c
2 km
振动微分方程：
x 2n x n2 x Bn2eit
静变形 B F0 k
引入：s n
则：
H
()
1 k
[
(1
1
s2 s2 )2
2si (2s)2
]
1 ei
k
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
tg
1
2s
1 s2
(
s)
tg
1
2s
1 s2
x
F0 k
ei(t )
Aei(t )
A B 稳态响应的实振幅
若： F (t) F0 cost
则： x(t) Acos(t )
2020年8月6日 <<振动力学>>
无阻尼情况：
x(t) B 1 s2
eit
F0 k
1 1 s2
eit
7
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
（6）当 1/ 2 振幅无极值
1
3
2
1
0.25 0.375
0.5 1
s
0
0
1
2
3
2020年8月6日 15
2020年8月6日 8
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
2020年8月6日 9
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应的特性
以s为横坐标画出 (s) 曲线
结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
2020年8月6日 12
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
（4）当 s 1 n
0.375
2
0.5
对应于较小 值， (s) 迅速增大 1
1
s
受力分析
振动微分方程： mx cx kx F0eit
2020年8月6日 x 为复数变量，分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应 4 <<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： mx cx kx F0eit
显含时间 t 非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
当 0
(s)
0
0
1
2
3
结论：共振 振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，
增加阻尼使振幅明显下降
2020年8月6日 <<振动力学>>
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
13
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
单自由度系统受迫振动
教学内容
• 线性系统的受迫振动 • 工程中的受迫振动问题 • 任意周期激励的响应 • 非周期激励的响应
2020年8月6日 2
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
Aei(t ) 10
k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
3
（2）当s>>1（ n ）
2
激振频率相对于系统固有频率很高 1
0.25 0.375
0.5 1
s
0
0
0
1
2
3
结论：响应的振幅 很小
2020年8月6日 <<振动力学>>
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
11
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
（3）在以上两个领域 s>>1，s<<1
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
(s)
5
0
(s)
1
0.1
4
(1 s2 )2 (2s)2
3
0.25
幅频特性曲线
0.375
2
0.5
简谐激励作用下稳态响应特性： 1
1
s
（1）当s<<1（ n）
0
0
1
2
3
激振频率相对于系统固有频率很低
1
2020年8月6日 <<振动力学>>
结论：响应的振幅 A 与静位移 B 相当
x
F0
ei(t )
mx cx kx F0eit
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
A F0
1
k (1 s2 )2 (2s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(
s)
tg
1
2s
1 s2
结论：
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率 、而相位滞后激振力的简谐振动
（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质 （m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动 的方式（即初始条件）无关
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
持续等幅振动 稳态响应 本节内容
2020年8月6日 5
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设： x xeit
x ：稳态响应的复振幅
代入，有： x H ()F0
2020年8月6日 <<振动力学>>
振幅放大因子
相位差 6
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
mx cx kx F0eit
x xeit x H ()F0
B F0
(s)
k1
(1 s2 )2 (2s)2
H () 1 [ 1 s2 2si ] 1 ei k (1 s2 )2 (2s)2 k
2020年8月6日 3
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动
F (t )
F (t )
x
弹簧－质量系统
设 F (t) F0eit F0 外力幅值
外力的激励频率
m
0
k
c
m mx
kx cx
实部和虚部分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应
（5）对于有阻尼系统， max并不 出现在s=1处，而且稍偏左
d 0
ds
max 2
s
1
1 2
1 2 2
2020年8月6日 <<振动力学>>
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
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0.5
1
1
s
0
0wk.baidu.com
1
2
3
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
14
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
H ()
1
k m 2 ic
复频响应函数
n
k m
c
2 km
振动微分方程：
x 2n x n2 x Bn2eit
静变形 B F0 k
引入：s n
则：
H
()
1 k
[
(1
1
s2 s2 )2
2si (2s)2
]
1 ei
k
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
tg
1
2s
1 s2
(
s)
tg
1
2s
1 s2
x
F0 k
ei(t )
Aei(t )
A B 稳态响应的实振幅
若： F (t) F0 cost
则： x(t) Acos(t )
2020年8月6日 <<振动力学>>
无阻尼情况：
x(t) B 1 s2
eit
F0 k
1 1 s2
eit
7
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
（6）当 1/ 2 振幅无极值
1
3
2
1
0.25 0.375
0.5 1
s
0
0
1
2
3
2020年8月6日 15
2020年8月6日 8
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
2020年8月6日 9
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应的特性
以s为横坐标画出 (s) 曲线
结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
2020年8月6日 12
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
（4）当 s 1 n
0.375
2
0.5
对应于较小 值， (s) 迅速增大 1
1
s
受力分析
振动微分方程： mx cx kx F0eit
2020年8月6日 x 为复数变量，分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应 4 <<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： mx cx kx F0eit
显含时间 t 非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
当 0
(s)
0
0
1
2
3
结论：共振 振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，
增加阻尼使振幅明显下降
2020年8月6日 <<振动力学>>
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
13
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2