空间直线及其方程
空间直线及其方程I. 空间直线方程的几种形式一、空间直线的一般方程⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A pz z n y y m x x 000-=-=-二、空间直线的对称式方程与参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y mt x x 000定义直线:1L ,111111p z z n y y m x x -=-=-直线:2L ,222222p z z n y y m x x -=-=-两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角2L 1L ϕ1s 2s =212121p p n n m m ++212121p n m ++222222p n m ++2121cos s s s s ⋅=ϕII 、两直线的位置关系定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．ϕ,:000p z z n y y m x x L -=-=-,0:=+++∏D Cz By Ax },,,{p n m s =},,,{C B A n =ϕ四、直线与平面的夹角≤≤ϕ0.2πIII 、直线与平面的位置关系222222||sin pn m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ补充：1.点的距离为到平面∏：A x+B y+C z+D= 0),,(0zyxM∏d0 Md2. 过直线⎩⎨⎧=+++=+++00:22221111D z C y B x A D z C y B x A L 的平面束)(1111D z C y B x A +++0)(2222=++++D z C y B x A 方程()0,21不全为λλ1λ2λ通常取：)(1111D z C y B x A +++0)(2222=++++D z C y B x A λ其中：λ为任意实数例1.求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择得⎩⎨⎧=++=--001z y x z y 这是投影平面)1(1=++-+--+z y x z y x λ即使其与已知平面垂直：λ从而得投影直线方程,1-=λ例2. 求过直线L :⎩⎨⎧=+-=++0405z x z y x z y x 84--且与平面夹成角的平面方程.提示:过直线L 的平面束方程其法向量为已知平面的法向量为λ选择使43-=λ.012720=-++z y x 从而得所求平面方程n 1n 4π012=+114cos n n n n ⋅=π}.1,5,1{1λλ-+=n }8,4,1{--=n 还有其它平面方程吗？思考题在直线方程pz n y m x +-==-6224中，m 、n 、p 各怎样取值时，直线与坐标面xoy 、yoz 都平行.思考题解答},6,,2{p n m s +=且有.0 ≠s ,0=⋅k s,0=⋅i s ⎩⎨⎧==+⇒0206m p ,0,6=-=∴m p ,0≠s ,0≠∴n 故当时结论成立．,0=m 6-=p ,0≠n习题课主要内容:I. 向量代数II. 空间解析几何I . 向量代数222zy x a a a a ++= 一、向量及其坐标1.向量模{}z y x a a a a ,,=222222222cos ,cos ,cos yxzx y zx y zx y za a a a a a a a a a a a αβγ===++++++2 方向余弦{}cos ,cos ,cos a a aαβγ==3 单位向量,,i j k基本单位向量222222arccosarccosx x y y z z xyzxyza b a b a b a b a ba a ab b bθ++⋅==++⋅++4 两向量的夹角()()Prj cos ,a b b a bb a =在上的投影5 向量的投影()()()()()1;2cos 0,0;3Pr j Pr j ;40.a b a baa a ab a ba b a b b a a b a b θ⋅=⋅=≠≠⋅==⊥⇔⋅=二、向量的运算1 线性运算()(),,,x y z a a a a a a λλλλλ=数乘cos x x y y z za b a b a b a b a b θ⋅==++2 数量积:加(减):(),,x x y y z z a b a b a b a b ±=±±±sin a b a b θ⨯=模,,a b a b ⨯方向按成右手系.a b ⨯是一向量：3. 向量积xy z xyzij k a b a a a b b b ⨯=()1;a b b a ⨯=-⨯（2）以为邻边的平行四边形面积,a b S a b=⨯(3) 与同时垂直的向量可取作,a b n a b=⨯两非零向量平行、垂直的等价条件：0y x zx y zb b b a b b a a b a a a λ⇔=⇔⨯=⇔==00x x y y z z a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔++=一、平面方程),,(0000z y x M xyzon0M M[1] 平面的点法式方程)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A [2] 平面的一般方程=+++D Cz By Ax 1=++cz b y a x [3] 平面的截距式方程yzoabc),,(C B A n =II.空间解析几何：二、空间直线的方程0:11111=+++∏D z C y B x A 0:22222=+++∏D z C y B x A ⎩⎨⎧=+++=+++00:22221111D z C y B x A D z C y B x A L [1] 空间直线的一般方程xyzo1∏2∏LyzosLM ⋅M⋅[3] 空间直线的参数方程pz z n y y m x x 000-=-=-[2] 空间直线的对称式方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y mt x x 000),,(0000z y x M ),,(p n m s =:11111=+++∏D z C y B x A 0:22222=+++∏D z C y B x A [1] 平面间的夹角222222212121212121||cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ1∏1n2∏2n θ三、直线、平面间的位置关系直线:1L 111111p z z n y y m x x -=-=-直线:2L 222222p z z n y y m x x -=-=-22222221212121212121||),cos(p n m p n m p p n n m m L L ++⋅++++=^两直线的夹角公式[2] 两直线的夹角[3]直线与平面的夹角平面的法向量直线的方向向量()sin cos ,s nAm Bn Cps nϕ=++=(),,,n A B C =(),,s m n p =⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤20πϕϕ四、曲面[1] 旋转曲面),()2(0),()1(0),(:2222=+±=+±⎩⎨⎧==y z x f y L z y x f x L z y x f L 方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线设有平面曲线（2）圆锥面222zy x =+（1）球面（3）旋转双曲面1222222=-+cz a y a x 1222=++z y x(2) 抛物柱面)0(22>=p py x (3) 椭圆柱面12222=+by a x (1) 圆柱面222Ry x =+[2] 柱面只含y x ,而缺z 的方程0),(=y x F ，在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xoy 面上曲线C .[3] 二次曲面定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面1222222=++cz b y a x zq yp x =+2222（2）椭圆抛物面)(同号与q p（3）单叶双曲面1222222=-+cz b y a x （4）圆锥面222zy x =+五、空间曲线⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F [1] 空间曲线的一般方程⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x [2] 空间曲线的参数方程[3] 空间曲线在坐标面上的投影⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 消去变量z 后得：0),(=y x H 设空间曲线的一般方程：⎩⎨⎧==0),(z y x H 曲线在面上的投影曲线为xoy ⎩⎨⎧==0),(x z y R ⎩⎨⎧==00),(y z x T 面上的投影曲线yoz 面上的投影曲线xoz典型例题⨯⨯⨯⨯例1：下列结论正确吗？为什么？ba b a>>，则若)1(( )ca b b c b a=≠⋅=⋅，则若)0()2(( ))()()3(c b a c b a ⋅=⋅( )0)()()4(=⋅⨯=⋅⨯b b a a b a( )ba b a/)5(==λλ，则若( )cb ac a b a⨯⊥⊥，则，若)6(//( )ba b a b a⊥-=+，则若)7(( )解23),(cos ||||==⋅∧b a b a b a 2||||)()(22=-=-⋅+b a b a b a 76cos 3213=++=π6),(π=∧b a ，，：若例132==b a 积为邻边的平行四边形面，以；）求：（b a b a b a b a -+-+∧)2(),(1b a b a b a b a b a ⋅++=+⋅+=+2||||)()(||22212||||||222=⋅-+=-b a b a b a 72),cos(cos =-+=∴∧b a b a θ72arccos =θ|||)()(|b a a b b b a a b a b a ⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯+36sin ||||2||2==⨯=πb a a b例3.已知向量的模为8，且已知它与x 轴和y 轴正向的夹角均为，求的坐标表达式．OA OA 3π()cos ,cos ,cos OA αβγ=解：设与同向的单位向量为OA 1cos cos cos 32παβ===其中221cos 1cos cos 2γαβ=--=±又(011188,,4,4,2222OA OA ⎛⎫==±=± ⎪⎝⎭于是例4. 求下列各平面方程（1）平行于x 轴且经过两点(4,0,-2),(5,1,7)；（2）通过点M(1,-1,1)且垂直于两平面（3）在x 轴上的截距为2，且过点(0,-1,0)和(2,1,3)．1:10x y z ∏-++=2:210x y z ∏+++=920y z +-=230x y z --=36260x y z -+-=例5.别求适合下列条件的直线方程：（1）通过点(1,0,-3)且与平面垂直；（2）通过点(1,0,-2)且与平面平行，又与直线垂直；（3）通过点(0,-1,1)且与直线平行．34100x y z -+-=3460x y z +-+=32141x y z -+==20:2x y z L x y ++=⎧⎨+=⎩13341x y z -+==-12212x y z -+==-11111x y z +-==-例6.利用平面束方程解题：通过两平面的交线，且通过点(1,8,2)的平面方程.20x y z +--=350x y z +--=解设过交线的平面束方程为()2350x y z x y z λ+--++--=因平面过点(1,8,2) ，代入平面束方程，得54λ=-故所求方程为11170x y z +--=例7下列方程或方程组表示什么图形？()2212x y z +=()222240x y z x ++-=()22331x y y x ⎧+=⎨=+⎩()2222224x y z z x y ⎧++=⎪⎨=+⎪⎩旋转抛物面球心在（2,0,0)的球面．平行的二条直线球面与上半圆锥的交线例8.求单叶双曲面与平面的交线关于xoy 面的投影柱面方程和在xoy 面上的投影方程.22211645x y z +-=230x z -+=()2212126013x y ++=()22121260130x y z ⎧+⎪+=⎨⎪=⎩解消去变量z ，得所求投影柱面方程为所求交线的投影方程为例9.解法一：用点法式方程)1,1,1(1,11-=-==M z y x 的平面过点代入的将)1,1,1()1,0,1(⨯-=s 直线的方向向量为.10:平行的平面方程轴且与求过直线x z y x z x ⎩⎨⎧=++=-sn n ⊥，则由已知得设所求平面法向量为in x ⊥轴，即又平面平行于)2,1,0(001121=-=⨯=→→→→→→k j i i s n 取0)1(2)1(=-++z y 得所求平面方程为法二：用一般式方程0=++D Cz By x 轴可设平面方程为由平面平行)1,2,1(,-=⊥→→s n L 故又平面过直线02=+-⇒C B 点从而过所求平面又过)1,1,1(,0-M L 0=++-⇒D C B DC B -==⇒2012=-+z y 从而得平面方程过已知直线的平面束方程为法三：用平面束方程)1(=-+++-z y x z x λ)1,,1(λλλ+-+=n 其法向量1,01-==+λλ即所以012=-+z y 从而得平面方程轴轴，即又平面平行x n x ⊥的距离：到直线：求点例111211)1,1,1(10--=--=+z y x L A 解：0)1()1(1)1,1,1(1=-----z y x L A π的平面作垂直于直线过11211=⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=t t z ty t x L 得代入参数方程：将直线π)0,1,0(1A A '上的投影点为在即π2)10()11()10(||222=-+-+-='=A A d 从而例11.解.1243:,12:)1,1,1(210L x z x y L x z x y L M 都相交的直线且与两直线求过点⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==将两已知直线方程化为参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⎪⎩⎪⎨⎧-===1243:,12:21t z t y t x L t z t y t x L 的交点分别为与设所求直线21,L L L).12,43,()1,2,(222111---t t t B t t t A 和,,)1,1,1(0三点共线与B A M ).(00为实数故λλB M A M =即有,,00对应坐标成比例于是B M A M ,1)12(1)1(1)43(1211212121----=---=--t t t t t t)3,2,2(),1,0,0(B A -∴,)3,2,2()1,1,1(0上同在直线和点L B M 的方程为故L .211111-=-=-z y x )4,2,2(=∴s 直线的方向向量为,2,021==t t 解之得例12 写出适合下列条件的曲面方程轴旋转一周绕曲线y z y x ⎩⎨⎧==+0632)1(22轴的柱面为准线，母线平行于以z z x z y x ⎩⎨⎧=+=+12)2(22解：为旋转椭球面6322)1(222=++y z x x y x z z x z y x 2212)2(2222-=+⎩⎨⎧=+=+，得中消去在为所求柱面则2222=++y x x几何图形的名称：指出下列方程表示的例13x y x 2)2(22=+226)3(y x z --=123)4(=-z x 0)5(222=-+z y x 02)6(22=+--z y x 123)7(222=-+z y x 解：(1)、(2)均为母线平行于z 轴的圆柱面开口向下的旋转抛物面表示顶点在)6,0,0()3((4) 为平行于y 轴的平面，(5)为圆锥面(6) 为中心在原点的下半球面(7)为单叶双曲面221)1(y x y ++-=。
空间直线及其方程
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
高等数学七⑥
12/28
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
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1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
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x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
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例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
空间直线及其方程
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
空间直线及其方程
z
Π1
Π2
o
L
y
注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件 • 由两个平面确定一条直线； • 由空间的两点确定一条直线； • 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程
r 如果一非零向量 s 平行于 r 一条已知直线L，向量 s 称为直
线L的方向向量． 设定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L,
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1) L⊥ Π ⇐⇒ ( 2) L // Π ⇐⇒
A B C = = . m n p Am + Bn + Cp = 0.
x −1 y z +1 例 5 设直线 L : = = ，平面 2 −1 2 Π : x − y + 2 z = 3，求直线与平面的夹角. r r 解 n = {1,−1, 2}, s = {2,−1, 2},
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x + y + z + 1 = 0 . 2 x − y + 3z + 4 = 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
y0 + z 0 + 2 = 0 取 x0 = 1 ⇒ , y0 − 3 z 0 − 6 = 0
解得 y0 = 0,
r s = {m , n, p}, r n = { A, B , C },
r^r π ( s , n) = + ϕ 2
π sin ϕ = cos( − ϕ ) = cos( π + ϕ ) . 2 2
sin ϕ =
| Am + Bn + Cp | A2 + B 2 + C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2
空间直线及其方程
s1
L2
s2
s1 s2 cos = s1 s2
=
m m2 + n1n2 + p1 p2 1
2 2 2 m + n1 + p1 1 2 2 m2 + n2 + 2 p2
i j k 直线 的方向向量为 s2 = 1 1 0 = (2, 2, 1) 1 0 2 二直线夹角 的余弦为
cos =
从而
1× 2 + (4) × (2) +1× (1)
12 + (4)2 +12
=
π
2 + (2) + (1)
2 2
2
4
(参考P45 例2 )
2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; 当直线与平面垂直时,规定其夹角 设直线 L 的方向向量为 s = (m, n, p) 平面 Π 的法向量为 n = ( A, B, C ) 则直线与平面夹角 满足
L ⊥ L2 1
s1 s2 = 0
L // L2 1
s1 ×s2 = 0
m n1 p1 1 = = m2 n2 p2
s1 s2 夹角公式: cos = s1 s2
3. 面与线间的关系 平面 Π : Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A, B, C ) xx y y z z 直线 L : = = , s = (m, n, p) m n p m n p = = L⊥Π s ×n = 0 A B C L // Π 夹角公式：
4空间直线及其方程
l ' l'
: 2x + y + 2z = 0
'：
即
x y 1 ( y z 1) 0 ,
x z 2 0.
故: 投影直线l':
xz 2 = 0 2x+y +2z = 0
作业
P33.2. 3. 5. 10. 11
3 2 3 2
(x – y + z – 1) = 0
即：5x – y + z – 3 = 0
例7 .求直线 l :
x + y 1=0,
y + z + 1=0.
在平面 : 2x + y + 2z = 0
l ' l'
上的投影直线方程. 解：设投影直线为l'，则由l与 l'决定的平面'与平面垂直。
高校理科通识教育平台数学课程
微积分学(二)
多元微积分学
空间解析几何
●
授课教师
孙学峰
向量代数与 空间解析几何
空间直线及其方程
§4
空间直线及其方程
一. 空间直线的方程
(一).空间直线的一般方程 空间直线可看成是两个不平行平面1与 2 的交线 已知平面1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
( 为任意实数 .)
过直线 l 与点 p0 的平面为:
(A x B y C z D )
1 1 1 1
Ax B y C z D
1 0 1 0 1 0
5.5 空间直线及其方程
y ≡ −2 表示直线上的动点在变动时， 这里， 这里， 表示直线上的动点在变动时，y 坐标始终 等于-2, 即直线与 y 轴是垂直的, 方向向量在 y 轴上投影为0.
(2) s = AB = (1 , 2 , −3), 所求直线方程为:
x +1 y − 3 z − 2 = = . 1 2 −3
x −1 y − 3 z + 2 = = . 3 −2 4
d s
平面束方程： 平面束方程： 设直线 L 的一般方程为
则直线外一点 P 1 到直线 L 的距离 可看作为以 s 和 P0 P 为邻边的平行四边形 s×P 0P 1 d= 在边 s 上的高. 于是由前面的结果知:
cos ϕ =
即
ϕ=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π
3
1 1 = , 2 2 2
.
直线与平面的夹角： 直线与平面的夹角： 直线与平面的夹角定义为直线与平面法线夹角的余角 (不取钝角). 若直线的方向向量为 s = ( m, n, p ) , 平面的法向为 n = ( A, B, C ) , 直线与平面的夹角为 ϕ θ = ( s , n ), 0 ≤ θ ≤ π ，则 2
L1
s1
s1 ⋅ s2 m1m2 + n1n2 + p1 p2 = . 2 2 2 2 s1 ⋅ s2 m1 + n12 + p12 m2 + n2 + p2
π 0 ≤ ϕ ≤ 2
例8 求直线 特别， 特别，两直线垂直 ⇔ s1 ⊥ s2
x + 2y + z =1 x − y − z = 1 与 的夹角. x − 2y + z = 3 x − y + 2z =1
空间直线及其方程
空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。
空间直线及其方程
m
n
p
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 2x y
1 0 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 :
s1 {1,4, 0},
直线 L2 :
s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1L2 .
例 3 求过点(3, 2, 5)且与两平面x 4z 3 和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
高等数学-空间直线及其方程
的夹角的正弦。
i jk
解：L的一个方向向量
S2
1
0 1, 2,2
中法向量 n 1,1,1
011
则它们的夹角正弦为：
sin 11 1 2 1 2 1 111 12 22 22 3 3
例8：求过直线 L :
x 1 y 1 z 1 1 1 2
与平面
: x y 3z 15 0 的交点，且求垂直直线于与此平平面面交的点坐
向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
于已知直线，
所以，当已知直线L上一点 r
M0
(x,
y,
z)
和它的一方向向量 S m, n, p,直线L的位置就完全
确定了。
建立直线 L 的对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
高等数学(下)
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z o x
L 1 y 2
通过空间直线L的平面有无穷多个，其中任意两个
平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线
r uuuuuur S / / M0M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
空间直线的两点式方程：x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
空间及其直线方程
∀ M ∈ L,
r M 0 M // s
r s = { m , n, p}, M 0 M = { x − x0 , y − y0 , z − z0 }
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = m n p
直线的点向式（对称式） 直线的点向式（对称式）方程 x − x 0 y − y0 z − z0 = = =t 令 p m n
x = x 0 + mt y = y 0 + nt z = z + pt 0
直线的参数方程
直线的一组方向数 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦 方向余弦. 直线的方向余弦
例1
用点向式方程及参数方程表示直线
x + y + z + 1 = 0 . 2 x − y + 3z + 4 = 0
2 2 2 2 2 2
两直线的夹角公式
两直线的位置关系： 两直线的位置关系：
(1) L1 ⊥ L2 ⇐⇒ m1 m 2 + n1 n2 + p1 p2 = 0, m1 n1 p1 = = , ( 2) L1 // L2 ⇐⇒ m 2 n2 p2 r 例如， 例如， 直线 L1 : s1 = {1,−4, 0}, r 直线 L2 : s2 = {0,0,1}, r r r r Q s1 ⋅ s2 = 0, ∴ s1 ⊥ s2 , 即 L1 ⊥ L2 .
x +1 y −1 z 令 = = =t 3 2 −1
x = 3t − 1 ⇒ y = 2t + 1. z = −t
3 代入平面方程得 t = , 7
交点 N ( ,
2 13 3 ,− ) 7 7 7