2012年数学强化班高等数学辅导讲义第三篇典型练习题参考答案
2012高数(专)试卷答案A
考试科目：高等数学（专科）命题教师： 应用数学教研室 适用年级：2011级学年度：2011—2012 学期：第二 学期考生人数：27一、填空题 （共 15 分，每小题3分）1. 2. 3 3. 222221x y z a c +-= 4. 215311x y z -+-==--， 5. {}2(,)x y y x > 二、单项选择 （共 15分，每小题 3分）1. D2. A3.C4. D5. B三、 （共24分，每小题6分）1. 2001l i m l n (1)x x t d t x→+⎰ = 01lim ln(1)2x x x →+ = 01lim 2(1)x x →+=12 ………………………………每步（2分） 2. 412t d t --⎰=24222412121113(2)(2)(2)(2)222t dt t dt t t t t ---+-=-+-=⎰⎰ ……………………每步（2分） 3. 2236z x xy x ∂=+∂， 22266z x y x∂=+∂，212z xy y x ∂=∂∂ ……………………每步（2分） 4. 20x xe dx ⎰2222200021x x xxe e dx e e e =-=-=+⎰ ……………………每步（2分）四、计算分析题（共16分，每小题8分）1. 解：设平面方程为：0.Ax By Cz D +++= ……………………（2分）根据题意可知 0,A B C D +++=0,B C D -+=0,A B C ++= ……………………（2分）解得：2,,0,A C B C D =-==即 平面方程为20.x y z -++=……………………（4分）2. 解：当1t =对应的点为1(,2,1)2……………………（2分） 在该点处的切向量为1(,1,2)4-，于是切线方程为 12121124x y z ---==-………（4分） 法平面方程为 11()(2)2(1)0(281610)42x y z x y z ---+-=-+-=或 ……………………（2分） 五、综合题（共 16 分，每小题8 分）1. 求函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值.解：令(,)420,(,)420.x y f x y x f x y y =-==--= 得驻点为(2,2)-.……………………（4分）(2,2)2,xx A f =-=- (2,2)0,xy B f =-=(2,2)2,yy C f =-=-由于20,AC B ->且0A >. 所以(,)f x y 在点(2,2)-处取极大值(2,2)8.f -=……………………（4分）2. 计算二重积分cos Dx yd σ⎰⎰，其中区域D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角形区域.考试科目：高等数学（专科）命题教师： 应用数学教研室 适用年级：2011级学年度：2011—2012 学期：第二 学期考生人数：27 解：积分区域{}(,)0,0D x y x y x π=≤≤≤≤，视该区域为X-型区域. ……………………（2分） 000cos cos sin x D x yd dx x ydy x xdx ππσπ===⎰⎰⎰⎰⎰ ……………………（每步2分，共6分） 六、应用题（共14 分，每小题 7分）1. 求由曲线2y x =与22y x x =-所围图形的面积.解：曲线2y x =与22y x x =-的交点为(0,0),(1,1). 以x 为积分变量. ……………………（2分） 由微元法知：12201(2).3S x x x dx =--=⎰ ……………………（5分） 2. 求曲面224z x y =--与XOY 平面所围成的立体的体积.解：该曲面的在XOY 投影区域为{}22(,)4D x y x y =+≤，顶为224z x y =--.……………………（2分）根据二重积分的定义可知该立体的体积为2222200(4)(4)8D x y d d r rdr πσθπ--=-=⎰⎰⎰⎰.……………（5分）。
2012年高考数学模拟训练题(一)参考答案
华中师大一附中20XX 年高考数学模拟训练题（一）参考答案1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D 10．A11．10 12．5 13．2012 14．[1,5]- 3 15．A B ．)3π 提示：1．D ∵222()(12)2(1)a i i a ai i a a i +=-+=-+-为正实数，∴210,1.20a a a ⎧-=⇒=-⎨->⎩2．B ∵3{|},{|3}2M x x N y y =≤=<，图中阴影部分表示的集合是3(){|||3}2UNC M x x =<．3．A ∵273t =，33,tan tan tan 993t t πππ∴=∴=====4．C|2|2,42a b a b a b --=∴=-=或，∴“a b =”是“直线2y x =-与圆22()()2x a y b -+-=相切”的充分非必要条件．5．A ∵甲的五次成绩分别为：88，89，90，91，92，期 和为450．设污损数字为(09,)x x x N ≤≤∈，则乙的五次成绩分别为83、83、87、(90)x +、99，其和为442x +，∴只有当9x =时，乙的平均成绩才会超过甲的平均成绩，∴其概率为110．6．C 该几何体如图，其表面积为：104π+cm 2．7．D 11||1,1,,||,222T KL A KL πωπω=∴==∴===1()s i n ()(0)2f x x πϕϕπ∴=+<<，又()f x 是偶函数，0()x f x ∴=是图象的一条对称轴，sin 1,,2πϕϕ∴=∴=()f x ∴=1111sin()cos ,()cos 222626x x f ππππ+=∴== 8． C2,()()()2AB AE AC AF BA BE BA BC BA BF BA +=∴--+--=．又B E B =-，()()()2BA BF BA BC BA BF BA ∴++--=，2BA BF BA BC BF ∴++-2BC BA BA BF BA -+=2，,2221BC BF BC BA BC EF BC BA ∴=∴==⨯⨯⨯cos ABC ∠41441221+-=⨯=⨯⨯．11cos ,,,2123||||BC EF EF BC EF BC BC EF π∴<>===∴<>=⨯．9．如图，设双曲线的右焦点为(,0)F c '，由题意可知，点F '也是抛物线24y cx =的焦点，EO 为PFF '∆的中位线且,,2,EO a EO PF PF a '=⊥∴=PF PF '⊥，设00(,),P x y PF '∴200,2,x c x a c PF '+∴=-∴=20()2,4c x c a -∴=22(22)2,c a c a c ac -∴=-，21e e ∴--=0．又1e >，解得e =． 10．A 由已知得22cos 2sin (1)(2)0at a t a θθ-+-+=，所以直线22(1)atx ay t -+-2(2)0a +=与圆221x y +=有公共点，从而有21≤，得2|22|22a a ≤≤=+≤2410t t -+≤，得2t ≤211．10 展开式中各项系数之和为01232,5nn n n n S C C C n =+++==∴=．251023105155531()()kk k k k k k kk T C x C x C x x----+===，令1050k -=，解得2k =．∴展开式中的常数顶为23510T C ==．12．5 由程序框图可知，当输入4m =-时，输出的结果为1n =，易得目标函数2z x y =+在点(2,1)A 处取得最大值5．13．2012 20112011sinsin cos 3366ππππ===-=，设()f x =3x +2012x ，易知函数()f x 是奇函数，且2()320120f x x '=+>，∴函数()f x 是R 上的增函数，1201222011220112201120122012()2012()11,2,22a a a a a a a a S ++∴-=-∴+=∴===2012．14．[1,5]- 3,2=πθ2|3-cos |∴+θx+2|sin ||3||1|4,-=++-≥θx x x |2|14,∴-+≤a22221 5.|3cos ||sin ||(3cos )(sin )∴-≤≤+-+-≥+---=θθθθa x x x x |3cos2|2-≥θ. ∴由题意可知：|2|12,|2|1,13-+≤∴-≤∴≤≤a a a , ∴实数a 的最大值是3．15．A ．连结,,2,∆∆∴=易得BE COA BEA BE AE 设=AE x ，则222()42+=x x ，解得=x ．B ．2sin 3,),12,0,4sin ,4sin 3=⎧⇒=∴≥∴==⎨=⎩ρθπρρρθρθsin 0,23∴=≤<∴=又ππθθθ．∴曲线C 1与C 2交点的极坐标为)3π16．解：（1）m ∥31cos 23,sin (sin 3)0.20222-∴+-=∴-=A n A A A A ，即111cos21,sin(2) 1.(0,),2(,)26666-=-=∈∴-∈-即πππππA A A A A ．故2,623-==πππA A ．…………5分（2）2=a ，由余弦定理得22224,2+-=+≥又b c bc b c bc ，4∴≤bc （当且仅当=b c时等号成立）．从而1sin 42∆==≤=ABC S bc A ∆ABC 面积S 的最大值为10分17．解：（法一）（1）在,,,3,3,∆⊥==∴中B C EB C B E B CB E ∵在222,,∆=+∴⊥中FCE CF EF CE EF CE ．…………2分由已知条件知，,⊥∴⊥平面DC EFCB DC EF ，…………3分 又DC 与DE 相交于点C ，∴⊥平面EF DCE ．…………4分 （2）过点⊥作交B BH EF FE 的延长线于H ，连结AH ．由平面,⊥平面平面ABCD BEFC ABCD 平面,=⊥BEFC BC AB BC ， 得⊥AB 平面BEFC ，从而.⊥∴∠AH EF AHB 为二面角--A EF C 的 平面角．………………7分在,2,4,60,∆====︒中Rt CEF EF CF EC CFE 由CE ∥BH ，得60∠=︒BEH ，又在,3,sin ∆=∴=∠=中Rt BHE BE BH BE BEH 10分 由二面角--A EF C 的平面角60,∠=︒∆在AHB Rt AHB 中，解得=AB BH tan ∠AHB92=，∴当92=AB 时，二面角--A EF C 的大小为60°．…………12分 （法二）（1）同解法一．（2）如图，以点C 为坐标原点，以,和CB CF CD 分别作为x 轴， y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C-xyz ．…………5分设(0),=>AB a a 则(0,0,0),),C A a B E(0,4,0).F 从而(3,1,0),(0,3,)=-=-EF AE a ．…………7分设平面AEF 的法向量为(,,),0,0===由n x y z EF n AE n得，0,30,⎧+=⎪⎨-=⎪⎩y y az取1,=x则===即y z n ，…………10分 不妨设平面EFCB 的法向量为(0,0,)=BA a ，由条件，得|cos ,|||||||<>==n BAn BAn BA12=，解得92=a ．∴当92=AB 时，二面角--A EF C 的大小为60°…12分 18．解：（1）有两条途径，一条是经过,,A E F ，另一条是经过,A F ，所以所求概率为11132224=⨯+=P ．………………4分（2）某游客到达C 处的概率是111326⨯=，从而游客到达C 处并买水的概率111()6212=⨯=P C ；到达F 处的概率是111111323224⨯+⨯⨯=，从而游客到达F 处并买水的概率为121()436=⨯=P F ；到达G 处的概率是11115332212+⨯⨯=，从而游客到达G 处并买水的概率541()1253=⨯=P G ，…………8分所以游客上山途中买水的概率为1117126312++=．…………10分设1200名游客中买水的人数为变量,X 则7(1200,)12X B ，所以7120070012=⨯=EX，所以景区每天至少供应700瓶水是合理的．………………12分19．解：（1）12121999(1)2()()1101010---+-+++=++++n n n n na n a a a ，1∴+na219(1)210[1()],10--+++=-n n n n a a a ①∴当2≥n 时，11219(1)(2)10[1()].10---+-++=-n n n a n a a ②由①-②得：1112199(),:()(2)1010---++++==≥即n n n n n a a a a S n ，又当1=n 时由①可知1*119910[1]1,()().1010-=⨯-==∴=∈n n a S S n N 2≥n 时，119()10--'=-=-n nn n a S S 22919()(),101010--=-n n 21(1),19()(2).1010-=⎧⎪∴=⎨-≥⎪⎩n n n a n …………6分（2）11(1),22,=-+=-=-n n b n a b a 当2≥n 时，21910(1)9()()10108110-++==n nn n n b ．假设存在正整数k 使得对于任意的正整数n ，都有≤n k b b 成立，则11,+-≥⎧⎨≥⎩k k k k b b b b 即9(1)()10+k k19(2)()10+≥+k k ，…………③199(1)()()1010-+≥k k k k ，…………④由③得8≥k ，由④9≤k ，123891011,∴<<<<=>>>b b b b b b b ∴存在正整数8=k 或9，使得对于任意的正整数n ，都有≤n k b b 成立．…………13分20．解：（1）由题意，12||22==F F c ．抛物线22:4=-C y a x 的准线方程为2,=∴x a 点A 的坐标为2(,0)a ．1222,=∴AF AF F 为1AF 的中点．…………2分223,0,2∴=>∴∴=a a a b ，即椭圆方程为22132+=x y ．…………3分（2）①当直线与DE x 轴垂直时，2||23==b DE a ，此时||2==MN a ，四边形DMEN 的面积||||42==DE MN S ；同理当与MN x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积||||42==DE MN S ．…………5分 ②当直线,均与DE MN x 轴不垂直时，设直线1122:(1),(,),(,).=+DE y k x D x y E x y 由221,32(1)⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y y k x 消去2222(23)6360+++-=得y k x k x k ．…………7分则22221212122263643(1),.||1||2323--++==∴=+-=++k k k x x x x DE k x x k k ．同理||=MN 2213[()1]123()-+=+-k k．…………9分∴四边形在的面积2222124(2)||||126()13++==++k DE MN k S k k，令22124(2).613+=+=+得u u k S k u 2212,=+≥u k k 当1=±k 时，962,,25==且是以u S S u 为自变量的增函数，96425∴≤<S ．综上可知，96425≤≤S ．故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625．…14分21．解：1()3(0).'=+-+>f x x a x x…………1分（1）若函数()(0,)+∞在f x 上递增，则()0'≥f x 对0>x 恒成立，即1()3≥-++a x x对0>x 恒成立，而当0>x 时，1()3231,1-++≤-+=∴≥x a x；若函数()(0,)+∞在f x 上递减，则()0'≤f x 对0>x 恒成立，即1()3≤-++a x x对0>x 恒成立，这是不可能的． 综上，1,≥a a 的最小值为1．…………4分（2）由22211()(3)ln ()(2)2ln ln 22=+-+=-+-+⇒=-f x x a x x a x a x x x ax x 2ln .+⇒=x x a x令22431(1)2(ln )ln 12ln ()(),1+-++--'=⇒==-得x x x x x x x x x r x r x x x x x 2ln 0-=x 的根为1，∴当01<<x 时，()0,()'>r x r x 单调递增；当1>x 时，()0,()'<r x r x 单调递减，()1∴=在r x x 处取到最大值(1)1,0=→又r x 时()0,<→+∞r x x 时()0→r x ，∴要使2ln +==与x xy y a x 有两个不同的交点，则有01<<a ．…………8分 （3）假设存在，不妨设221112221212121211(3)ln (3)ln ()()220.+-+-----<<==--x a x x x a x x f x f x x x k x x x x12012ln(3)=+-+-x x x a x x ．………………9分00001()(3).(),''=+-+=若f x x a k f x x 则11212112022ln221,ln .(*)1-==-+即x xx x x x x x x x ……12分令1222,()ln (01),1-==-<<+x t t u t t t x t 则22(1)()0.()01(1)-'=>∴<<+在t u t u t t t t 上为增函数，()(1)0,(*)∴<=∴u t u 式不成立，与假设矛盾．0().'∴≠k f x 因此，满足条件的0x 不存在．…………14分。
2012数学高考试题及答案
2012数学高考试题及答案[一、选择题]1. 已知函数 f(x) = x^2 + bx + c 的图像与 x 轴交于 A, B 两点，且 A、B 两点的横坐标之和为 -1，则该函数 f(x) 的表达式为：A) f(x) = x^2 + x + 1 B) f(x) = x^2 + x - 1C) f(x) = x^2 - x + 1 D) f(x) = x^2 - x - 1答案：D2. 已知等差数列 {an} 的公差为 2，若 a1 + a2 + ... + a10 = 100，则a1 + a4 + a7 + ... + a28 =A) 252 B) 260 C) 268 D) 276答案：C3. 已知几何体的一个棱长为 2，且该几何体的其它各边长全都大于1，则这个几何体可以是：A) 正四面体 B) 正六面体 C) 正八面体 D) 正十二面体答案：C4. 已知函数 f(x) = log[size(base a)](3x - 2)，其中 a > 1，则 f^(-1)(3) =A) (a^3 - 2) / 3 B) a^3 - 2 C) a^3 + 2 D) (a^3 + 2) / 3答案：A[二、填空题]1. 某地区市场调查表明，70% 的家庭有电话，80% 的家庭有电视，60% 的家庭有汽车。
调查结果表明至少有一种物品的家庭占总数的百分之几？答案：90%2. 设 a = log[size(base 2)]7，b = log[size(base 3)]7，c = log[size(base 7)]2，则 a × b × c =答案：13. 在甲、乙两列数中，甲列为等差数列，乙列为等比数列，甲、乙两列的首项均为 1，且甲列的前 100 项的和等于乙列的前 100 项的积，则公比 q =答案：104. 设函数 f(x) = a^x + b^x + c^x + d^x，其中 a、b、c、d 为正数，且a > 1，b > 1，c > 1，d > 1，则 f(1) =答案：4[三、解答题]1. 已知函数 f(x) = x^2 + bx + c，若其图像在直线 y = 3x 上方，则函数 f(x) 的图像与直线 y = 3x 交于一个实数解 x，求 b 的取值范围。
《高等数学1,2 2012年》试题及答案
f x 3x 2
1 2
2 x2 3
。
极限 lim (1 ax) x
x 0
x
e 2 ,则 a
a 2
。
y e 的马克劳林公式为
x2 x n ex x n 1 1 x , (0 1) 。 2! n! (n 1)!
4、
设
x t cos t dy sin t t cos t ，则 ＝____ 。 cos t t sin t dx y t sin t
5、
已知 f ' (3) 2, 则 lim
h 0
f (3 h) f (3) = 2h
-1
。
x 3y 0
6、 通过 z 轴和点（-3，1，-2）的平面方程
f '( x)
1
2分 2分 2分
sin x 2 2sin x 2 2 x x2 x
2分
xf ( x)dx
0
1 1 1 1 1 f ( x)dx 2 f (1) x 2 f '( x)dx 2 0 2 2 0
1 1 2 x sin x 2 dx 0 2 1 1 sin x 2 dx 2 2 0 1 (cos1 1) 2 四、解答题（每小题 6 分，共 30 分）
0 x
x 0
（1 分）
＝ lim
x 0
3x
（1 分） （1 分） （1 分）
＝ lim ＝
x 0
2 cos x 3
2 3
g ( x) e 2 x ,x0 2、设 g (0) 1, g ' (0) 2, g" (0) 1, f ( x) ，求 f ' (0) 。 x 0, x 0
2012高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设有向量(1,2,2)a =-，(2,1,2)b =-，则数量积()()a b a b -⋅+ 。
2.曲面22z x xy y =++在点(1,1,3)M 处的切平面方程是 。
3．设u =(1,1,1)u =grad 。
4．幂级数0()3n n x∞=∑的收敛半径R = 。
35．微分方程430y y y '''-+=的通解是 。
（今年不作要求）二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．已知(1,1,1)A ，(2,2,1)B ，(2,1,2)C ，则AB 与AC 的夹角θ是（B ）A ．4π B ．3π C ．6π D ．2π2．函数2z xy =在点(1,2)处的全微分是 （ D ）A ．8B ．4dx dy +C ．22y dx xydy +D ．4()dx dy + 3．设L 为圆周222x y a +=，取逆时针方向，则2222()Lx ydx x xy dy ++=⎰（ B ）A ．2a πB ．42a π C ．2πD ．04．下列级数中收敛的是 （ C ）A．1n ∞= B．1n ∞= C ．114n n ∞=∑ D ．114n n∞=∑5．微分方程12x y e-'=的通解是 （ C ）A ．12x y eC -=+ B ．12x y e C =+ C ．122x y e C -=-+ D ．12x y Ce-=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.设2,,xs f x xyz y⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f 具有一阶连续偏导数，求s x ∂∂，s y ∂∂，s z∂∂. 2. 设由方程22240x y z z +++=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
2012级下学期 高等数学2 习题2(解答) 2
dz y cos(xy)dx x cos(xy)dy cos(xy)( ydx xdy)
x y 4．设 D 是由直线 x 0 ， 1 ， 0 ， 1 围成的矩形区域， y
e x y dxdy 【 B 】 则
D
(A)
1
x y
(e 1)2 (B)
x y
f x( x, y ) ，f y ( x, y ) ，f xx ( x, y ) ，f xy ( x, y ) ，f yy ( x, y )
f x( x, y ) 0 ( x, y ) 0 ，解此方程组，求出驻点： fy
2.求驻点：令
( x1 , y1 ) ， x2 , y2 ) ， ( ，( xn , y n ) (n 0) 3.对每一个驻点 ( xi , yi ) (i 1,2,n) ： （见342页定理8.5）
x arcsin e
2
x
dx x 2 arcsin e x C
若 G (x) 是 f (x) 的原函数，则 G( x) f ( x)
[ f (t )dt] f ( x)
a
x
，
[
( x)
a
f (t )dt] f [ ( x)] ( x)
】
cos x
若
p( xi , yi ) 0 ，则此法不能判断 ( xi , yi ) 是否为极值点。
5．求函数
z 2 x x( y 1)
2
2
的极值。
z [2 x 2 x( y 1) 2 ]x (2 x 2 )x [ x( y 1) 2 ]x 4 x ( y 1) 2 解： x z y [2 x 2 x( y 1) 2 ]y (2 x 2 )y [ x( y 1) 2 ]y 2 x( y 1)
高等数学典型习题及参考答案
⾼等数学典型习题及参考答案第⼋章典型习题⼀、填空题、选择题1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是2、平⾏于向量}1,2,1{a -=?的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平⾯过点=--+-z y x4、.xoz y z y x :⾯上的投影柱⾯⽅程是在曲线??==++Γ2102225、()==-=+=+=-δλδλ则平⾏与设直线,z y x :l z y x :l 1111212121()23A ()12B ()32C ()21D6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b ?-+=,则与b a 3??-平⾏的单位向量为 ( )（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-±（D ）}11,7,3{1791-± 7、曲线==++2z 9z y x 222在xoy 平⾯上投影曲线的⽅程为（）（A ）==+2z 5y x 22 （B ）==++0z 9z y x 222（C ）==+0z 5y x 22 （D ）5y x 22=+8、设平⾯的⼀般式⽅程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平⾯必( ) (A)平⾏于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的⽅程分别为251214:1+=+=+z y x L ，67313:2+=+=z y x L ，41312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L10、设平⾯的⼀般式⽅程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平⾯必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy ⾯(D) 平⾏于xoy ⾯11、⽅程05z 3y 3x 222=-+所表⽰的曲⾯是（）（A ）椭圆抛物⾯（B ）椭球⾯（C ）旋转曲⾯（D ）单叶双曲⾯⼆、解答题1、设⼀平⾯垂直于平⾯0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线??=+-=010z y x 的垂线，求该平⾯⽅程。
2012年高考数学真题汇编3 导数 理( 解析版)
2012高考真题分类汇编：导数一、选择题1.【2012高考真题某某理8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 【答案】D【解析】由图象可知当2-<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.当12<<-x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当21<<x 时，0)(')1(>-=x f x y ，所以此时0)('<x f ，函数递减.当2>x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.所以函数)(x f 有极大值)2(-f ，极小值)2(f ,选D. 2.【2012高考真题新课标理12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（）()A 1ln2-()B 2(1ln 2)-()C 1ln2+()D 2(1ln 2)+【答案】B 【解析】函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d -, 3.【2012高考真题某某理7】设函数()xf x xe =，则（ ） A. 1x =为()f x 的极大值点 B.1x =为()f x 的极小值点 C. 1x =-为()f x 的极大值点 D. 1x =-为()f x 的极小值点[学 【答案】D.【解析】xx x xe e x f xe x f +=∴=)(',)( ，令0)('=x f ，则1-=x ，当1-<x 时0)('<x f ，当1->x 时0)('>x f ，所以1-=x 为)(x f 极小值点，故选D. 4.【2012高考真题某某理12】若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)21xex x ++211124x x <-+(C)21cos 12x x - (D)21ln(1)8x x x +- 【答案】C【解析】设2211()cos (1)cos 122f x x x x x =--=-+，则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所以()cos 10g x x '=-+≥，所以当[0,)x ∈+∞时，()()()(0)0,g x g x f x g '==为增函数，所以≥同理21()(0)0cos (1)02f x f x x =∴--≥，≥，即21cos 12x x -，故选C 【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。
2012年河南省专升本高等数学试卷及答案解析
河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷一. 单项选择题（每题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.1. 函数2)1ln()(++-=x x x f 的定义域为 （ ）。
A. ]1,2[--B. ]1,2[-C. )1,2[-D. )1,2(-解答：C x x x ⇒<≤-⇒⎩⎨⎧≥+>-120201.2. =⎪⎭⎫ ⎝⎛π--π→3sin cos 21lim3x xx （ ）。
A.1B. 0C.2 D.3解答：033sin cos 21lim===⎪⎭⎫ ⎝⎛π--π→x x x D x xx ⇒=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π→312323cos sin 2lim 3.3. 点0=x 是函数131311+-=x xy 的 （ ）A.连续点B. 跳跃间断点C.可去间断点D. 第二类间断点解: ,1111313lim 110-=-=+--→xxx B x xx x xx ⇒===+-++→→13ln 33ln 3lim 1313lim 11000110.4.下列极限存在的为 （ ）。
A.xx e +∞→lim B. x x x 2sin lim 0→ C.xx 1cos lim 0+→ D.32lim 2-++∞→x x x解:显然只有22sin lim0=→xxx ,其他三个都不存在,应选B.5. 当0→x 时，)1ln(2x +是比x cos 1-的（ ）。
A ．低阶无穷小B ．高阶无穷小C ．等阶无穷小 D.同阶但不等价无穷小解: 22~)1ln(x x +,D x x x ⇒=-2~2sin 2cos 122. 6.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<+++=0,arctan 01,11,11sin )1(1)(x x x x x x x f ，则)(x f （ ）。
【优化方案】2012高中数学第3章3.2知能优化训练苏教版选修1-2
解析： (1 ＋z) · z ＝ (2 ＋ i)(1 － i) ＝ 3－i.
答案： 3－ i
1＋ 2i 6．设 a， b 为实数，若复数 a＋ bi ＝ 1＋ i ，则 a＝ ________，b＝ ________.
1＋ 2i 解析：由 a＋ bi ＝ 1 ＋ i ，可得
1 ＋ 2i ＝ ( a － b) ＋ ( a＋ b)i ，由对应项相等可以得到
12．设 z∈ C，求满足 z2＝ z 的复数 z.
为虚数单位 ) ，复数 z2
解：设 z＝ x＋ yi( x，y∈ R) ， 则 z2＝( x＋ yi) 2＝ x2－ y2＋ 2xyi.
又 z ＝ x－ yi ，所以 x2－y2＋ 2xyi ＝x－ yi.
由复数相等的条件得
x2－ y2＝ x， 2xy ＝－ y，
答案： ( － 3,4)
3．(2011 年高考江苏卷 ) 设复数 z 满足 i( z＋ 1) ＝－ 3＋ 2i(i 是虚数单位 ) ，则 z 的实部是
________．
解析：设 z＝ a＋ bi( a， b∈ R) ，由 i( z＋1) ＝－ 3＋ 2i ，得－ b＋ ( a＋ 1)i ＝－ 3＋ 2i ，∴ a
＝3＋ (2 ＋ 3－ 2)i ＝3＋ 3i. (3)(6 － 3i) ＋ (3 ＋ 2i) － (3 － 4i) － ( － 2＋i) ＝[6 ＋ 3－ 3－ ( － 2)] ＋ [ － 3＋ 2－ ( － 4) －1]i ＝ 8＋2i. 11． (2011 年高考上海卷 ) 已知复数 z1 满足 ( z1－2)(1 ＋ i) ＝ 1－ i(i 的虚部为 2， z1· z2 是实数，求 z2. 解： ( z1－ 2)(1 ＋ i) ＝ 1－i ? z1＝ 2－ i ， 设 z2＝a＋ 2i ， a∈ R， 则 z1z2＝ (2 － i)( a＋ 2i) ＝(2 a＋ 2) ＋(4 － a)i ， ∵z1z2∈ R，∴ a＝4，∴ z2＝ 4＋ 2i.