正方形的性质和判定
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定二、正方形判定方法① 简单地说，要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形； 如上表中的判定原理1—4，都是这种方法；② 判定正方形需要四个条件，比较平行四边形、菱形和矩形的判定，判定平行四边形只要两个条件，判定菱形和矩形都要三个条件；③ 也可以先判定一个四边形是平行四边形，再加一个条件判定成菱形（或矩形），最后再加一个条件判定成矩形（或菱形），就成了正方形。
三、平行四边形、菱形、矩形与正方形性质比较四、例题与练习【例】如图Z-01，Rt ABC 中，∠ACB=90o ，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于E ， DF ⊥AC 于F ，求证：四边形CFDE 是正方形。
〖思路分析〗要判定一个四边形是正方形，就要判定它既是菱形，又是矩形；或反之亦然。
本例可以先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；或先证它是菱形，再证它有一个直角。
证法一：先证矩形，再证一组邻边相等 证： ∵DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∠ACB=90o ，∴∠ACB=∠CFD= ∠CED= 90o ， ∴有矩形CFDE（三个角是直角的四边形是矩形） 又∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC∴DE=DF （角平分线上的点到两边的距离相等） ∴有正方形CFDE （一组邻边相等的矩形是正方形）图Z-01证法二：先证菱形，再证一个内角为90o 证：∵DE ⊥BC ∴∠DEB=90o ，又∵∠ACB=90o ， ∴∠ACB=∠DEB ∴DE ∥CF 同理DF ∥CE ∴有CFDE又∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC∴DE=DF （角平分线上的点到两边的距离相等） ∴有菱形CFDE 又∵∠DEB=90o∴有正方形CFDE （一个角是直角的菱形是正方形） 〖练习〗⒈如图Z-02，矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB ，交CD 于E ，EF ⊥AB 于F 求证：四边形AFED 是正方形〖提示〗用“一组邻边相等的矩形是正方形”⒉如图Z-03，在正方形ABCD 中，AE=BF ，AF 、ED 相交于G ①求证：AF=DE ②求证：AF ⊥DE〖提示〗①证ABF ≌DAE （SAS ）②证∠2+∠3=90o ：由①得∠1=∠3；∠1+∠2=90o⒊① 如图Z-04，正方形ABCD 对角线相交于O ，E 为AC 上一点，过A 作于G ，AG 交BD 于F ，求证：OE=OF 〖提示〗证AOF ≌BOE （AAS ）② 如图Z-05，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥BE 交EB 延长线于G ，AG 交DB 延长线于F ，其它条件不变，OE=OF 还成立吗？请证明你的结论图Z-02图Z-03图Z-04图Z-05。
小学数学知识归纳正方形的性质与判定
小学数学知识归纳正方形的性质与判定正方形是小学数学中常见的几何图形之一，它有其独特的性质与判定方法。
本文将对正方形的性质进行归纳，并介绍判定一个图形是否为正方形的方法。
一、正方形的性质正方形是具有以下性质的四边形：1. 边长相等：正方形的四条边长都相等。
2. 角度相等：正方形的四个内角都是直角（即90度），所以角度也相等。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线互相垂直且长度相等。
4. 对称性：正方形具有对称性，即以中心为对称点旋转180度，正方形仍然保持不变。
二、判定一个图形是否为正方形的方法在数学中，我们可以通过以下方法来判定一个图形是否为正方形：1. 角度判定法：如果一个四边形的四个内角都等于90度，则这个四边形是正方形。
这是因为正方形的角度都相等，并且每个角度都是90度。
2. 边长判定法：如果一个四边形的四条边长都相等，则这个四边形是正方形。
这是因为正方形的边长都相等，所以四边形的四条边长也应该相等。
3. 对角线判定法：如果一个四边形的两条对角线互相垂直且长度相等，则这个四边形是正方形。
这是因为正方形的对角线具有这样的性质。
除了以上三种方法外，我们还可以通过其他相关性质来判定一个图形是否为正方形，比如对称性等。
三、归纳小结正方形是一种具有特殊性质的四边形，其性质包括边长相等、角度相等、对角线相等和对称性等。
判定一个图形是否为正方形可以通过角度判定法、边长判定法、对角线判定法等方法进行验证。
通过学习和掌握正方形的性质与判定方法，小学生可以更好地理解和应用正方形相关的数学知识。
正方形在几何学中有着重要的应用，如建筑设计、图案制作等。
因此，对正方形的深入了解对于小学生的数学学习和发展非常重要。
希望本文对读者对小学数学中正方形的性质与判定方法有所帮助，能够为小学生的数学学习提供一定的指导。
同时也希望读者能够继续学习和探索更多有关几何图形的知识，提升数学水平。
正方形的性质和判定
正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有特定的性质和判定条件。
本文将对正方形的性质进行分析，并介绍如何判定一个四边形是否为正方形。
一、正方形的定义和性质正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。
以下是正方形的一些性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，记为a。
2. 直角：正方形的四个角都是直角，即90度。
3. 对角线相等：正方形的对角线相等，记为d。
4. 对角线垂直：正方形的对角线互相垂直，即两条对角线的夹角是直角。
二、正方形的判定条件如何判定一个四边形是否为正方形呢？下面是几种常见的判定条件：1. 边长相等且对角线相等：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线相等，则这个四边形是正方形。
2. 边长相等且对角线互相垂直：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线互相垂直，则这个四边形是正方形。
3. 内角相等且边长相等：如果一个四边形的四个内角都是直角（90度），且四条边长度相等，则这个四边形是正方形。
三、应用举例1. 例1：已知一个四边形的边长都是5厘米，并且对角线相等，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件1，边长相等且对角线相等，则可以判断这个四边形是正方形。
2. 例2：已知一个四边形的边长都是4厘米，并且对角线互相垂直，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件2，边长相等且对角线互相垂直，则可以判断这个四边形是正方形。
3. 例3：已知一个四边形的内角都是直角，且边长相等，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件3，内角都是直角且边长相等，则可以判断这个四边形是正方形。
四、正方形的应用领域正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质，在很多领域都有广泛的应用：1. 建筑设计：正方形的对称性使得它在建筑设计中常用于布局规划，例如正方形的房间、庭院等。
2. 绘画和艺术：正方形作为一种几何图形，在绘画和艺术作品中常常被用作构图元素，营造平衡和和谐感。
3. 数学研究：正方形是数学研究中的重要对象，与其他几何形状有着密切的联系，深入研究正方形的性质可以推广到其他领域。
1.3正方形的性质与判定
E
F
3. 四边形 EFGH 的形状有什 A 么特征？
H D G
C
第三环节 猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边 形EFGH会有怎样的变化呢？ 原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节 猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
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选择△FAD≌△FAB证明，过程如下：
∵正方形ABCD, ∴AD=AB,∠DAF=∠BAF, 又∵AF=AF ∴△FAD≌△FAB.
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课堂小结
1：正方形的性质：包括边、角、对角线以及 对称性. 2：将平行四边形、矩形、菱形、正方形之间 的联系. 3：建立起适合自己的知识结构并内化为自己 数学品质的一部分.
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合作学习
第二类图形就是正方形，我们给出定义： 有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
议一议： （1）正方形是菱形吗? （2）你认为正方形有哪些性质？
从我们得到数据分析：正方形既是矩形 又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.
请同学们参照下表或独立整理矩形菱形
的性质.
矩形 边 性质 菱形 边 角 对角线 性质
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
正方形的中点四边形是正方形
第三环节 猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
等腰梯形的中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
第三环节 猜想结论，分组验证
归纳： 特殊四边形的中点四边形：
正方形性质与判定
矩形
菱形
正方形
√
√ √ √ √
√ √
√ √ √ √ √ √ √
√
√ √ √
识别正方形的方法
矩形 正方形 菱形
正方形的定义 (也是判定方法)
有一组邻边相等并且有一个角是直角的 有一组邻边相等并且有一个角是直角的 并且 平行四边形叫做正方形 叫做正方形（ 平行四边形叫做正方形（square）。 ）。
D O C
B ， 相等、垂直且互相平分， 相等、垂直且互相平分
中心对称图形， 对称性----既是中心对称图形 对称性----既是中心对称图形， 垂直平分线 轴对称图形． 又是轴对称图形 又是轴对称图形． AC × BD 乘积的 面积-- 对角线乘积 面积-- 对角线乘积的一半 = 2
平行四边形 对边平行且相等 四边都相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 面积等于对角线 面积等于对角线 乘积的 乘积的一半
A D F B G E C
3. 如图，正方形ABCD的面积为12，△ADE是等 如图，正方形ABCD的面积为 ， ADE是等 的面积为12 边三角形， 在正方形ABCD内 在对角线AC 边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 上有一点P PB＋PE的和最小 的和最小， 上有一点P，使PB＋PE的和最小，则这个最小 . 值为
如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上 是对角线BD上 如图，正方形ABCD中 一点，过点E EF⊥ BC，EG⊥ CD， 一点，过点E作EF⊥ BC，EG⊥ CD，垂足 求证：AE=FG。 为F、G 。求证：AE=FG。
A
D
E B F
G C
如图, 如图, 在△ABC中, ∠ABC=90°，BD平分∠ABC, ABC中 ABC=90° BD平分 ABC, 平分∠ DE⊥BC，DF⊥AB，试证明：四边形BEDF是正 DE⊥BC，DF⊥AB，试证明：四边形BEDF是正 方形。 方形。 A
正方形的判定与性质
正方形的判定与性质引言正方形是一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和特征。
本文将介绍如何判定一个四边形是否是正方形以及正方形的性质。
判定正方形判定一个四边形是否是正方形可以从不同角度进行考虑。
以下是几种常见的判定方法：1.边长相等一个四边形的四条边长度相等是判定其是否为正方形的一个重要条件。
如果一个四边形的4条边都相等，则可以认为它是正方形。
2.角度相等正方形的特征之一是它的四个角都是直角（90度）。
因此，如果一个四边形的四个角都是90度，则可以判定它是正方形。
3.对角线相等正方形的两条对角线相等且互相平分对方，也是判定一个四边形为正方形的条件之一。
如果一个四边形的对角线相等且平分对方，则可以认为它是正方形。
正方形的性质除了以上的判定条件外，正方形还具有许多独特的性质和特征。
以下是一些常见的正方形性质：1.对称性正方形具有4个对称轴，分别为水平轴、垂直轴和两条对角线。
这意味着正方形可以通过沿着这些轴进行翻转而保持不变。
2.面积和周长正方形的面积等于边长的平方，周长等于4倍边长。
这是正方形最基本的面积和周长公式。
3.相似性正方形与自身全等且相似。
这意味着可以通过变换、旋转和缩放等操作得到无数个相似的正方形。
4.内角和外角正方形的内角都是90度，外角则是270度。
这是正方形内角和外角之间的关系。
结论正方形的判定和性质是数学中的基础知识，对于理解几何形状和解决实际问题都非常重要。
通过判定其边长、角度和对角线是否满足特定条件，我们可以判断一个四边形是否是正方形。
正方形具有对称性、特定的面积和周长公式，以及内角和外角的特征。
通过研究正方形的性质，我们可以深入理解几何形状和它们之间的关系。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，它具有独特的性质和判定方法。
本文将详细介绍正方形的性质，并探讨如何准确地判定一个四边形是否为正方形。
一、正方形的性质1.四边相等：正方形的四条边长相等，即AB = BC = CD = DA。
2.四个角相等：正方形的四个内角都是直角，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
3.对角线相等：正方形的对角线互相垂直且相等，即AC = BD。
4.对角线平分角：正方形的对角线将内角平分，即∠BAD = ∠BCD = 45°。
5.对角线平分边：正方形的对角线平分相邻边，即AB = BC = CD = DA = AC = BD。
二、判定一个四边形是否为正方形判定一个四边形是否为正方形通常有两种方法，包括几何性质判定和长度关系判定。
1.几何性质判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且四个角都是直角；（2）对角线相等且相互垂直。
2.长度关系判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和；（2）对角线相等且任意一条边的平方等于对角线长度的平方的一半。
三、应用案例案例一：判定四边形ABCD是否为正方形，已知AB = 5cm，∠A = ∠B = 90°。
解析：根据正方形的性质可知，当四边相等且四个角都是直角时，该四边形为正方形。
由已知条件可知AB = BC = CD = DA，并且∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
因此，四边形ABCD是一个正方形。
案例二：判定四边形EFGH是否为正方形，已知EF = 7cm，GH = 4cm，EG = FH = 5cm。
解析：根据正方形的判定方法可知，当四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和时，该四边形为正方形。
由已知条件可知EF = FG = GH = HE = 5cm，且EG = FH = 5cm。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是几何学中常见的一个形状，具有许多独特的性质和特点。
本文将探讨正方形的性质与判定方法。
一、正方形的定义正方形是一种四边相等且四个角均为直角的特殊四边形。
它既是矩形，也是菱形，同时也是正多边形。
正方形的特点使其在几何学中具有重要的地位。
二、正方形的性质1. 边长性质正方形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA。
2. 角度性质正方形的四个内角均为直角，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°。
3. 对称性质正方形具有各种对称性质。
其中包括中心对称、对角线对称和轴对称。
正方形可绕其中心旋转180°得到一模一样的图形。
4. 对角线性质正方形的对角线相等且垂直平分对方的角。
即AC=BD=2r，且AC⊥BD。
5. 对应边平行性质正方形的对边是平行的，即AB∥CD，BC∥AD。
三、正方形的判定方法确定一个四边形是否是正方形可以根据以下几种常见的判定方法。
1. 边长判定如果一个四边形的四条边长度均相等，则可以判定为正方形。
2. 角度判定如果一个四边形的四个内角均为直角，则可以判定为正方形。
3. 对角线判定如果一个四边形的对角线相等且垂直平分对方的角，则可以判定为正方形。
4. 组合判定可以结合使用边长、角度和对角线的性质来判定一个四边形是否是正方形。
例如，如果一个四边形的对边平行且相等，并且对角线垂直且相等，则可以判定为正方形。
四、应用举例正方形的性质和判定方法在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景。
1. 建筑设计在建筑设计中，正方形的对称性和稳定性使其成为设计方案中常见的形状之一。
例如，一些公共广场的地面铺装常采用正方形的铺砖方式。
2. 基础几何证明正方形的性质经常被用于解决数学几何证明问题。
例如，可以利用正方形的对角线性质证明勾股定理。
3. 计算机图形学在计算机图形学中，正方形常被用作显示屏幕的基本像素单位，通过在像素网格中填充正方形像素来构建图像。
正方形的性质及判定练习题
正方形的性质及判定练习题一、知识梳理：1、定义：一组邻边相等的矩形是正方形．2、正方形性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．（2）角的性质：四个角都是直角．（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．（4）对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形．3、判定：（1）一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线互相垂直的矩形是正方形（3）有一个是直角的菱形是正方形（4）对角线相等的菱形是正方形总结：矩形+（或）=正方形菱形+（或）=正方形二、基础训练：性质：1、如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O．（1）一条对角线把它分成_______个全等的________ 三角形；（2）两条对角线把它分成_______个全等的________三角形；图中一共有________个等腰直角三角形；（3）∠AOB＝_____度，∠OAB＝_____度．（4）AB: AO: AC=________．2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A、四个角相等B、对角线互相垂直平分C、对角互补D、对角线相等.3、正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分C、对角线平分一组对角D、对角线相等.4、正方形对角线长6，则它的面积为_________ ,周长为________．5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案,其中四边形ABCD和EFGH都是正方形．求证：△ABF≌△DAE．判定：F A B C D 1. 下列说法错误的是（ ）Ａ．两条对角线相等的菱形是正方形 Ｂ．两条对角线相等且垂直平分的四边形是正方形Ｃ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ． 两条对角线垂直的矩形是正方形2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形3.已知在□ABCD 中，∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）A ．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD4.四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）A. OA=OB=OC=OD ，AC ⊥BDB. AB ∥CD ，AC=BDC. AD ∥BC ，∠A=∠CD. OA=OC ，OB=OD ，AB=BC5.能使平行四边形ABCD 为正方形的两个条件是 ________ _________ ___________________________________________________________ ．（最少填三组）三、【聚焦“中考”】例：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ． （1）求证：DE=DF ．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）自我检测：1.如图，在ABC 中∠ACB=90°，CD 平分∠ACB，DE ⊥BC ，DF⊥AC,垂足分别为E 、F ， 求证：四边形CFDE 为正方形2. 如图所示，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，试说明四边形CEDF 为正方形。
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A 5A 4A 3A 2A 1P N ME D C B A 1.3 正方形的性质和判定【学习目标】1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。
3. 提高学生分析问题及解决问题的能力。
4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点 重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法 难点：正方形知识的灵活应用【知识梳理】1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等．② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定 判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．【正方形的性质】【铺垫】正方形有 条对称轴．【例1】☆⑴、已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形 ⑵、如图1，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为⑶、如图2，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．【例2】☆将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例3】 ☆如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．正方形菱形矩形平行四边形EDCBA【例4】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【巩固】如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．M N CDO B A【巩固】☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例5】已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．GEHDFCBAG C F E D B A F E DC BA 【例6】如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【例7】☆如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=【例9】如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA【巩固】如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例10】如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.K NMLDCB A【巩固】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.【例11】 如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【巩固】☆已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例12】若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．【例13】☆如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ．⑴、如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论； ⑵、将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【巩固】如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.BO D CAQPABCDEF E 'G【例14】如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G . 求证：DG DA =G FEC DBA【巩固】如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【巩固】如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF 交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEGCDF B A【例15】☆把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHF EDB A【例16】如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BAM E N CD B A H EFG DCBAO EDCB A H GFEDCBA【正方形的判定】【例17】四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证： ⑴、四边形EFGH 对角互补；⑵、若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶、四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．【巩固】如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE ∆是等边三角形．⑴、求证：四边形ABCD 是菱形； ⑵、若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．【巩固】已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．⑴、求证：四边形ADCE 为矩形；⑵、当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．【例18】☆如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEM F 为正方形．PMF EDC BA【例19】☆如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若 23EFGH S =，则b a -=【例20】如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE ∆ 的面积为GFEDCB A【巩固】☆如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【例21】如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例22】☆已知：2PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长；（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小.PDCBA【课后练习】1、如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF = OFE DC BA2、如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______.ABCDEF3、如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA4、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．MFEDCBA。