高三数学第三次阶段考试卷

苏州市第五中学高三数学第三次阶段考试 -1-3班级 姓名 成绩一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答题卷相应位置上．设集合1|2A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}|21x B x =>，则A B = ▲ ． cos17cos43sin163sin 43-= ▲ ．已知a 是实数，i1i a -+是纯虚数，则a = ▲ ．在等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=，则8a 的值为 ▲ ．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖 ▲ 块．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，3，则这个球的体积为 ▲ ． 函数2sin y x x =-在（0，2π）内的单调增区间为 ▲ ．已知12,F F 是椭圆2224x y +=的焦点，B ，则12BF BF ⋅的值为 ▲ ． ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠= ▲ ．把函数πsin(3)4y x =+的图象向右平移8π个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式子是 ▲ ．根据表格中的数据，可以判定方程20xe x --=的一个零点所在的区间为*(,1)()k k k +∈N ，则k 的值为 ▲ ．已知命题p:“[]21,2,0x x a ∀∈-≥”，命题q:“2,220x xax a ∃∈++-=R ”若命题“p 且q”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．设点O 在△ABC 内部，且2OA OC OB +=-，则AOB △与AOC △的面积之比为 ▲ ．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =．在此基础上给出下列关于函数()|{}|f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =的定义域是R ，值域是[0，12]；②函数()y f x =的图像关于直线2kx =(k ∈Z)对称；③函数()y f x =是周期函数，最小正周期是1；则其中真命题是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请把解答写在答题卷规定的答题框内．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （本小题满分14分）已知圆C 经过(2,1)A -和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 经过圆C 内一点1(,3)2P -与圆C 相交于,A B 两点，当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．（本小题满分14分）设不等式组0606x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域为A ，不等式组060x x y ≤≤⎧⎨-≥⎩表示的区域为B ，在区域A 中任意取一点P (,)x y ．（Ⅰ）求点P 落在区域B 中的概率；（Ⅱ）若,x y 分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子所得的点数，求点P 落在区域B 中的概率．（本小题满分15分）如图，O 为坐标原点，A 、B 是单位圆O 上的动点，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=．（Ⅰ）当点A 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭时，求sin α的值；（Ⅱ）若π02α≤≤，且当点A 、B 在圆O 上沿逆时针方向移动时，总有π3AOB ∠=，试求BC 的取值范围．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知4AD =，BD =，28AB CD ==．（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ？ （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积．（本小题满分16分）根据如图所示的流程图，将输出的a 的值依次分别记为122008, , , , , n a a a a ，将输出的b 的值依次分别记为122008, ,, ,, n b b b b ．BP（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 通项公式；（Ⅱ）依次在k a 与1k a +中插入1k b +个3，就能得到一个新数列{}n c ，则4a 是数列{}n c 中的第几项？（Ⅲ）设数列{}n c 的前n 项和为n S ，问是否存在这样的正整数m ，使数列{}n c 的前m 项的和2008m S =，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由．（本小题满分16分）已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． （Ⅰ）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（Ⅱ）若对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切(0,)x ∈+∞，12ln xx e ex >-恒成立．数学（附加题）一、选做题：本大题共4小题，请从这4小题中选做其中2题，每小题满分10分，共20分．如果多做，则以前两题计分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（几何证明选讲选做题）(本小题满分10分)如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD=27，AB=BC=3．求BD 以及AC 的长．2．（矩阵与变换选做题）(本小题满分10分) 给定矩阵M=⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－13－1323，N=⎣⎡⎦⎤2112及向量e1=⎣⎡⎦⎤11，e2=⎣⎡⎦⎤1－1． （Ⅰ）证明M 和N 互为逆矩阵；（Ⅱ）证明e1和e2都是M 的特征向量．3．（坐标系与参数方程选做题）(本小题满分10分)已知直线l的参数方程为1,2()7x t t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，曲线C 的参数方程为4cos ()4sin x y θθθ==⎧⎨⎩为参数．（Ⅰ）将曲线C 的参数方程转化为普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，试求线段AB 的长． 4．（不等式选讲选做题）(本小题满分10分) 已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y z yz zx xy x y z ++++≥．二、必做题：本大题共2小题，每小题满分10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 5．(本小题满分10分)平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线x=－2的距离比它到点F(1，0)的距离大1． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C ；（Ⅱ）求曲线C 与直线x=4所围成的区域的面积．6．(本小题满分10分)有红蓝两粒质地均匀的正方体骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜。

（Ⅰ）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望； （Ⅱ）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？苏州市第五中学高三数学第三次阶段考试 参考解答及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭； 2．12； 3．1； 4．12； 5．42n +； 6．43π；7．5(,)33ππ；8．0； 9．4π； 10．sin()8y x π=-； 11．1； 12．2a ≤-或1a =； 13．1：2；14．①②③．二、解答题：本大题共6小题，共90分．（注：评分标准以第15题为样板）15．解（Ⅰ）由题意，设圆的方程为222()(2)x a y a r -++=， 1分222(2)(12).a a r r ⎧-+-+=∴=,4分1a ∴=，r6分所以22(1)(2)2x y -++=． 7分（Ⅱ）由题意得CP AB ⊥，而322112CP k -+==-，所以12AB k =-， 10分从而得直线AB 的方程为113()22y x +=--． 12分 所以直线AB 的方程为24110x y ++=． 14分16．解：（Ⅰ）设区域A 中任意一点P (,)x y B ∈为事件M ． 1分 因为区域A 的面积为136S =，区域B 在区域A 的面积为218S =， 5分故181()362P M ==．7分（Ⅱ）设点P (,)x y 在集合B 为事件N ， 8分甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P (,)x y 的个数为36个，其中在区域B 中的点P (,)x y 有21个． 12分故217()3612P N ==． 14分17．解：（Ⅰ）因为A 点的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角函数定义可知35x =，45y =，1r =， 所以4sin 5y r α==． 4分 （Ⅱ）因为π3AOB ∠=，COA α∠=，所以π3COB α∠=+．由余弦定理得2222cos BC OC OB OC OB BOC =+-⋅∠ππ112cos 22cos 33αα⎛⎫⎛⎫=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 8分因为π02α≤≤，所以ππ5π336α≤+≤，所以π1cos()32α≤+≤． 12分于是π122cos()23α≤-+≤+212BC ≤≤+14分故BC的取值范围是1,⎡⎢⎣． 15分18．证明：（Ⅰ）在ABD △中，∵4AD =，BD =，8AB =，∴222AD BD AB +=．∴AD BD ⊥．2分又 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD ． 又BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD ． 4分（Ⅱ）当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，PA ∥平面MBD ． 5分证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ． ∵AB DC ∥，所以四边形ABCD 是梯形．ABCMPD O N∵2AB CD =，∴:1:2CN NA =． 又 ∵:1:2CM MP =，∴:CN NA =:CM MP ，∴PA ∥MN ． 7分 ∵MN ⊂平面MBD ，∴PA ∥平面MBD ． 9分 （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥交AD 于O ， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ．即PO 为四棱锥P ABCD -的高．11分又 ∵PAD △是边长为4的等边三角形，∴42PO ==．12分在Rt ADB △中，斜边AB 边上的高为=ABCD 的高．∴梯形ABCD 的面积482ABCD S +=⨯=14分故1243P ABCD V -=⨯=． 15分19．解：（Ⅰ）由流程图，111, 1n n a a a +==+，{}n a ∴是公差为1的等差数列．∴n a n =． 2分由流程图，11032n n b b b +==+，， ∴113(1)n n b b ++=+．∴{1}n b +是首项为1，公比为3的等比数列．∴1111(1)33n n n b b --+=+⨯=，∴131n n b -=-． 6分（Ⅱ）{}n c 的前几项为1333931,3,2,3,3,3,3,3,,3,4,个个个，4a ＝4，∴4a 是数列{}n c 中的第17项． 9分（Ⅲ）数列{}n c 中，k a 项（含k a ）前的所有项的和是：12(1)33(12)(333)22k kk k k +-++++++=+，11分当7k =时，其和为73328112020082-+=<， 当8k =时，其和为83336331520082-+=>．13分又因为－1120＝888＝296×3，是3的倍数，故当257(1333)296667m =+++++=时，2008m S =． 16分20．解：（Ⅰ）∵'()ln 1f x x =+，∴当1(0,)x e ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当1(,)x e ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增．2分①当102t t e <<+<时，t 无解；②当102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e ==-； ③当12t t e ≤<+，即1t e ≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==； 所以min110()1ln .t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， ，， 6分（Ⅱ）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x ≤++，7分设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)'()x x h x x +-=，当(0,1)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增， 所以min ()(1)4h x h ==．10分因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=．11分（Ⅲ）问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e >-∈+∞，由（Ⅰ）可知当1x e =时，()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -．13分设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()x x m x e -=， 易得max 1()(1)m x m e ==-，当且仅当1x =时取到．15分从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex >-成立． 16分数学（附加题）参考答案及评分标准一、选做题：本大题共4小题，请从这4小题中选做其中2题，每小题满分10分，共20分．1．解：由切割线定理得:2DB DA DC ⋅=， 2分2()DB DB BA DC +=， 23280DB DB +-=，4DB =． 6分A BCD ∠=∠，∴ DBC ∆∽DCA ∆，8分∴BC DBCA DC =，得BC DC AC DB ⋅==． 10分2．解：(Ⅰ)因为MN=⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤21=⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤10， 2分NM=⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤21⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231=⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤10， 4分所以M 和N 互为逆矩阵． 5分(Ⅱ)向量e1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11在M 的作用下，其像与其保持共线，即⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3131=31⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，7分向量e2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11在M 的作用下，其像与其保持共线，即⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11， 9分 所以e1和e2是M 的特征向量．10分3．解：（Ⅰ）由22224cos 16cos 4sin 16sin x x y y θθθθ⎧==⎧⎪⎨⎨==⎪⎩⎩；；得．．故圆的方程为2216x y +=． 3分（Ⅱ）（法一）把22212()16,3607x t t x y t y ⎧=⎪⎪+=++=⎨⎪=+⎪⎩；为参数代入方程得．，.36,382121=-=+∴t t t t7分12||||AB AB t t ∴=-=线段的长为． 10分（法二）由12(),407x t t l y y ⎧=⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩；为参数得．．5分由（Ⅰ）知：圆心的坐标为（0，0），圆的半径R=4，2)1()3(|4|22=-+=∴d l 的距离圆心到直线，7分||AB ∴== 10分4．证明： 因为x ，y ，z 无为正数．所以12()x y x y yz zx z y x z +=+≥， 4分 同理可得22y z z x zx xy x xy yzy ++≥，≥， 7分当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z ++++≥．10分二、必做题：本大题共2小题，每小题满分10分，共20分．5．解：（Ⅰ）设点(,)P x y ,则|(2)|1x --=， |2|1x +-=2分若x ≥2-，则1x +=，化简得：24y x =， 4分若x <2-，则3x --=28(1)y x =+，不合题意，舍去， 故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线24y x =． 6分（Ⅱ）46423S dx ==⎰．10分6．解：（2分.43223181=⋅+⋅=ξE3分设蓝色骰子投掷所得点数为ξ2，其分布如下：5分21171422E ξ=⋅+⋅=． 6分（Ⅱ）∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子者若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，红色骰子点数为2． 8分∴投掷蓝色骰子者获胜概率是121233⋅=． 10分。