线性规划的对偶问题_5256
s.t.
…………………………
a 1 n y 1 a 2 n y 2 a m y m n c n
y1,y2, ,ym0
3
二、对称形式下对偶问题的一般形式
LP1：s.t.
n
MaxZ cj xj
n
j1
aijxj bi
i1,2, ,m
j1
xj 0
j1,2, ,n
16
一、单纯形算法的矩阵描述
LP2的初始单纯形表及经过若干步迭代后某一步的
单纯形表如下：
x1 x2 x3 4
st
.
3
2 x2
x1
x2 x3
9
x3
x4
1
x1~ 3 0
13
-3 0 1 0 0 0 0
C B
基
b
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 x5 4 1 1 1 0 1 0 0
0 x6 1 -2 1 -1 -1 0 1 0
n
MaxZ cj xj
n
j1
aijxj bi
i1,2, ,m
j1
xj 0
j1,2, ,n
LP2：s.t.
m
MinW bi yi i1
m
aij yi cj
i1
j1,2, ,n
yi 0
i1,2, ,m
12
对称形式的线性规划问题：
max z 3 x1 x3
s.t. ………………………… a m 1 x 1 a m 2 x 2 a m x n n b m x1,x2, ,xn0
注：对称形式的LP问 题,对b没有非负要求。
其对偶问题为(LP2) ：
M W b 1 i y 1 n b 2 y 2 b m y m
a 1 y 1 1 a 2 y 2 1 a m 1 y m c 1 a 1 y 1 2 a 2 y 2 2 a m 2 y m c 2
LP2：s.t.
m
MinW bi yi i1
m
aij yi cj
i1
j1,2, ,n
yi 0
i1,2, ,m
MaZxCX AXb
s.t.
X 0
MinY'b
A'YC'
s.t.
Y0
4
二、对称形式下对偶问题的一般形式
项目
A b C 目标函数 约束条件 决策变量
原问题
n
aij x j bi
j 1
j1
n
a ij x j b i j1
n
5. 约束方程若为” ≥”， aij x j bi j 1
n
6. 则两侧同乘以“-1”，aijxj bi j1
8
三、非对称形式的原--对偶问题的关系
P50 例题 2. 线性规划原问题同对偶问题的对应关系如下：
2
二、对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式的LP问题(LP1)：
M Z c 1 x a 1 c 2 x x 2 c n x n
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1 a 2 x 1 1 a 2 x 2 2 a 2 n x n b 2
max z x1 2 x2 3 x3
x1 x2 x3 4
st
.
x1 x1
2 x2 2 x2
3x3 3x3
5 6
x1 0, x2无约束 , x3 0
10
2.2 对偶问题的基本性质
本节讨论的问题假定原问题及对偶问题为对称形式
LP1：s.t.
C B
基
b
x5 x2 x1 x3 x4 x5 x6 x7
B 0 x5 4 1 1 1 1 0 1 0 0
0 x6 1 0 1 -2 -1 -1 0 1 0
0 x7j 9 0 3 0 1 0 0 0 1 0 0 -3 1 0 0 0 0
……
0 x5 0 1 0 0 0 -1/2 1 B1/-2 -1/2 0 x2 3 0 1 0 1/3 0 0 10 1/3
原问题
对偶问题
目标函数 Max
目标函数 Min
约
m个
m个
决
束
0
策
条
0
变
件
=
无约束
量
决
n个
n个
约
策
0
束
变
0
条
量
无约束
=
件
资源向量 b
价值系数 b‘
价值系数 C
资源向量 C’
约束条件系数矩阵 A 约束条件系数矩阵 A ‘
9
三、非对称形式的原--对偶问题的关系 练习: 给出下述LP问题的对偶问题:
线性规划的对偶问题
2.1 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
支持对偶理论的基本思想是：每一个线性规划问题都存 在一个与其对偶的问题。在求一个问题的解的同时，也 给出了另一个问题的解。
例：
二、对称形式下对偶问题的一般形式
线性规划问题具有对称形式，若： 变量非负
目标函数求极大值时，约束方程均为≤
目标函数求极小值时，约束方程均为≥
-3 x1j 1 0 0 1 2/3 1/2 0 -1/2 1/6
0 0 0 3 0 0 -3/2 1/2
15
一、单纯形算法的矩阵描述
MaZxCX
对称形式的LP： AXb
s.t.
X 0
加上松驰变量Xs后为(LP2)：
MZ a xC X0Xs s.t. AXIXs b
X0 Xs0
对偶问题
约束系数矩阵 约束系数矩阵的转置
资源向量
价格系数
价格系数
资源向量
max z=CX
min w=Y’b
AX≤b
A’Y ≥C’
X≥0Leabharlann Y≥05二、对称形式下对偶问题的一般形式
练习: 给出下述LP问题的对偶问题:
max z 2 x1 4 x 2 3 x 3
3 x1 4 x 2 2 x3 60
0 x7j 9 0 3 1 0 0 0 1 -3 0 1 0 0 0 0
……
0 x5 0 0 0 0 -1/2 1 1/2 -1/2
0 x2 3 0 1 1/3 0 0 0 1/3
-3 x1j 1 1 0 2/3 1/2 0 -1/2 1/6
0 0 3 0 0 -3/2 1/2
14
0 -3 0 1 0 0 0 0
st
.
2 x1 x1 3
x2 x2
2 2
x3 x3
40 80
x1~ 3 0
6
三、非对称形式的原--对偶问题的关系
1. 非对称转化为对称LP问题的步骤
2. 目标函数及变量约束的转化同标准形式的转化；
3. 约束方程若为等式
4. 则令: n a ij x j b i
线性规划对偶问题
线性规划对偶问题线性规划是一种优化问题的数学建模方法，在实际生产和管理中广泛应用。
线性规划问题通常包括最大化或最小化一个线性目标函数的约束条件下的一组线性不等式或等式。
对于一个线性规划问题，其对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的。
对偶问题有助于理解原问题的特性，并提供关于原问题的附加信息。
具体来说，对于一个原问题：最小化 C^T * X约束条件 A * X >= bX >= 0其中，C是目标函数的系数矩阵，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧向量。
对于原问题的对偶问题，其形式为：最大化 b^T * Y约束条件 A^T * Y <= CY >= 0其中，Y是对偶变量向量。
对偶问题的最优解被称为对偶可行解，对偶问题的最优解与原问题的最优解之间存在弱对偶性和强对偶性。
弱对偶性指的是对于原问题的任意可行解X和对偶问题的任意可行解Y，有C^T * X >= b^T * Y。
这意味着对于原问题的任意最优解X*和对偶问题的任意最优解Y*，有C^T * X* >=b^T * Y*。
强对偶性指的是如果原问题和对偶问题的任意一个都有有界解，那么它们必然存在一对最优解，使得C^T * X* = b^T * Y*。
对偶问题的解决可以通过使用单纯形法或内点法等优化算法来进行求解。
对偶问题对线性规划问题的求解具有重要的应用价值和理论意义。
它可以用于确定原问题的可行解的界限，还可以提供原问题的敏感性分析和稳定性分析。
总之，线性规划的对偶问题是通过对原问题的目标函数和约束条件进行变换而得到的，对偶问题为理解原问题的特性和提供附加信息提供了一种有力的工具。
线性规划的对偶问题
(二)非对称型对偶问题
max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a11x1 a12 x2 a13x3 a13x3 b1
a21x1 a22 x2 a23x3 a23x3 b2 a2a1x21x1 a2a2 x222x2 a2a3x233x3 a2a3x233x3 b2b2 a31x1 a32x2 a33x3 a33x3 b3
min w b1y1 b2 y2 b3 y3 s.t. a11 y1 a21 y2 a31 y3 c1
a12 y1 a22 y2 a32 y3 c2
a13 y1 a23 y2 a33 y3 c3 y1 0，y2无约束，y3 0
第11页
(二)非对称型对偶问题
对偶问题（原问题）
目标函数 min
约束条件右端常数
目标函数的系数
3个
≥0
变
≤0
量
无符号限制
23个
约
≥
束
≤
条 件
=
第13页
二、原问题与对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题）
目标函数 max
目标函数的系数
约束条件右端常数
约 m个
束≤
条 件
≥
=
n个
变
≥0
量
≤0
无符号限制
对偶问题（原问题）
目标函数 min
约束条件右端常数
第8页
(二)非对称型对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 分析：化为对称形式。令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0)
管理运筹学线性规划的对偶问题优质课件
AX b
s.t.
X
0
YA C s.t.Y 0
• 其中Y=（y1,y2,…,ym）,其他同前。
• 3.1.3 一般问题旳对偶问题——非对称型对偶问题
• • 线性规划有时以非对称型出现，那么怎样从原始问题写出
它旳对偶问题呢？
11
OR:SM
• 例1 写出下列线性规划旳对偶问题
max Z ( x) 2x2 5x3
23
OR:SM
• 例4 求解下列线性规划问题
max Z ( x) 4 x1 3x2
Y1
x1
6
Y2
x2 8
Y3
s.t.
x1
x2
7
Y4
3
x1
x2
15
Y5
x2 1
x1, x2 0
(3 7)
• 解：该问题仅有两个变量，但约束较多，其对偶问题为
minW ( y) 6 y1 8 y2 7 y3 15 y4 y5
y1 y3 3y4 4
s.t.
y2
y3
y4
y5
3
y1, y2 , , y5 0
(3 8)
24
OR:SM
• 把上述问题（3-8）作为原始问题求解，其最终单纯形表见下 表（3.3）
22
OR:SM
• 3.1.5 对偶问题旳最优解
• 主要推论： • 1.原始问题单纯形表中松驰变量旳检验数恰好相应着对偶
问题旳一种解。 • 2.原始问题单纯形表中,原始问题旳松弛变量旳检验数相应
于对偶问题旳决策变量;而原始问题旳决策变量旳检验数相应 于对偶问题旳松弛变量,只是符号相反。
• 注意：在两个互为对偶旳线性规划问题中，可任选一种进行 求解，一般是选择约束条件少旳，因求解旳工作量主要受到 约束条件个数旳影响。
线性规划的对偶问题
教案五线性规划的对偶问题教学内容第四节线性规划的对偶问题1．线性规划的对偶问题2．对偶单纯形法3．线性规划的灵敏度分析4．线性规划在卫生管理中的应用教学学时7学时教学目标1．理解对偶问题的基本概念2．掌握对偶单纯形法3．掌握线性规划的灵敏度分析4．掌握线性规划在卫生管理中的应用重点难点重点是对偶问题的基本概念、对偶单纯形法线、灵敏度分析、线性规划在卫生管理中的应用。
难点是对偶问题的基本概念和线性规划的灵敏度分析教学手段教师与学生互动使用多媒体课件教学过程一、复习巩固1．单纯形法的基本原理（见课件）2．单纯形解法（见课件）3．大M法（见课件）二、讲授新课1．线性规划的对偶问题（1）对偶问题的基本概念（见课件）对偶现象 每一个线性规划都伴随着另一个线性规划，两者有密切关系，互为对偶．其中一个问题称为原问题，另一个问题称为其对偶问题．两者间只要得到其中一个问题的解，那么也就得到了另一个问题的解．下面通过一个实例来解释对偶线性规划的概念．例2-12 以例2-1为例，我们讨论了一个制药厂的生产计划的数学模型及其解法．现在假定该制药厂决定在计划期内不生产药品Ⅰ、Ⅱ，而将生产设备的有效台时全部租给某公司，那么该公司应对设备D C B A 、、、每小时付多少租金，才能使成本最小，而又能为制药厂所接受？从租用设备的公司的角度考虑，一是所付的租金越低越好；二是所付的租金总额能使制药厂接受，即租金应不低于制药厂自己生产该两种药品所得利润，否则，制药厂宁可自己生产，而不租给公司．设公司租用该制药厂D C B A 、、、四种设备的租金（元/小时）分别为1y 、2y 、3y 和4y ．在考虑租用设备的定价时，能使该制药厂接受的条件是：公司租用该制药厂用以生产每千克药品Ⅰ所需D C B A 、、、四种设备的台时的租金不应少于200元，即2000424321≥+++y y y y同样，公司租用该制药厂用以生产每千克药品Ⅱ所需D C B A 、、、四种设备的台时的租金不应少于300元，即30040224321≥+++y y y y公司在考虑自身利益时，其目标是使付出的租金总额为最小，即43211216812Min y y y y W +++=于是，上面的问题可以用下列线性规划的数学模型表示：43211216812Min y y y y W +++=20004 24321≥+++y y y y ..t s 30040224321≥+++y y y y0,,,4321≥y y y y若把制药厂利润最大的线性规划问题称为原问题，则想租用DC B A 、、、四种设备的公司的租金最小的线性规划问题称为原问题的对偶问题（dualproblem ）；反之，若把租用D C B A 、、、四种设备的公司的租金最小的线性规划问题称为原问题，则制药厂利润最大的线性规划问题称为原问题的对偶问题．影子价格 一般地，我们称对偶问题的最优解为原问题约束条件的影子价格，即对偶问题的解i y 称为第i 种资源的影子价格．它并不是某种资源在市场上的价格，而是代表单位资源在最优利用的条件下所产生的经济效果．为了和市场价格相区别，我们才称它为影子价格．它在经济上是一个很有意义的数据，通过它我们可以知道，当增加某种资源时，可以使利润增长的大小．另外，影子价格还给出了是否应当购进某种资源以增加生产量，而获得更多利润的价格标准．（2）对称的对偶线性规划（见课件）如果一个线性规划具备下面两个条件，则称它具有对称形式：①所有的变量都是非负的；②所有的约束条件都是不等式，而且在目标函数是求极大值的情况，不等式具有小于和等于（≤）的符号，在目标函数是求极小值的情况，不等式具有大于和等于（≥）的符号．对称形式的原问题和对偶问题叫做对称的对偶线性规划．原问题和对偶问题在形式上的对比 如果我们把线性规划n n x c x c x c Z +++= 2211M a x 11212111b x a x a x a n n ≤+++22222121b x a x a x a n n ≤+++..t s …………………………m n m n m m b x a x a x a ≤+++ 22110,,,21≥n x x x称为原问题，则必同时存在另一线性规划问题，我们称为对偶问题：m m y b y b y b W +++= 2211Min11221111c y a y a y a m m ≥+++22222112c y a y a y a m m ≥+++..t s …………………………n m m n n n c y a y a y a ≥+++ 22110,,,21≥m y y y而且 M a x Z M i n =W用简缩形式表示：原问题为 ∑==nj j j x c Z 1Max∑=≤nj i j ij b x a 1 m i ,,2,1 =0 ≥j x n j ,,2,1 =对偶问题为 ∑==mi i i y b W 1M i n∑=≥mi j i ij c y a 1 n j ,,2,1 =0 ≥i y ; m i ,,2,1 =矩阵形式表示：.t .s .t .s原问题为 CX Z =Maxb AX ≤0 ≥X 对偶问题为 Min W ＝YbC YA ≥ 0 ≥Y其中， ),,,(21n c c c C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b b 21 ()m y y y Y ,,,21 =原问题与对偶问题之间的关系1）原问题是求目标函数的最大值，对偶问题是求目标函数的最小值．2）原问题约束条件的右端项变成对偶问题目标函数的系数．原问题目标函数中的系数变成对偶问题约束条件的右端项．3）原问题约束条件是“≤”，对偶问题的约束条件则是“≥”．4）原问题约束条件的每一行正好对应于对偶问题的每一列，所以原问题中约束条件的数目等于对偶问题中变量的数目．5）原问题中约束条件的每一列正好对应于对偶问题的每一行，所以原问题中变量的数目正好等于对偶问题中的约束条件的数目．.t .s .t .s .t .s6）对偶问题的对偶规划正是原问题．例2-13 设原问题为：2152M i n x x W +=41≥x3 2≥x8221≥+x x0,21≥x x试写出它的对偶问题．解 321834M a x y y y Z ++=2y 31≤+y5 232≤+y y0,,321≥y y y（3）非对称的对偶线性规划（见课件）对于我们经常遇到的非对称形式的线性规划，我们可首先将其化为等价的对称形式的线性规划问题，然后再按对称的对偶线性规划原问题与对偶问题之间的对应关系，将其化为对偶问题．实际上，我们在考虑对称的对偶线性规划或非对称的对偶线性规划（dual of a nonnormal LP ）时，也可以按表2-13原问题与对偶问题之间的对应关系，直接进行变换，得到原问题或对偶问题．表2-13 原问题与对偶问题间的转换.t .s例2-14 原问题为：2154M a x x x Z +=202321≤+x x1034 21≥-x x5 21=+x x01≥x ，2x 符号不限可按表2-13的原则，将原问题直接转化成对偶问题：32151020Min y y y W ++=443321≥++y y y..t s 532321=+-y y y01≥y ，02≤y ，3y 符号不限（4）对偶问题的基本性质（见课件）1）对偶问题的对偶是原问题（对称性质）．2）若X 和Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，则C X ≤Y b （弱对偶性质）．3）设X 和Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，当两者目标函数值相等，.t .s即C X ＝Y b 时，X ，Y 分别是原问题和对偶问题的最优解（可行解是最优解的性质）．4）若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标函数值相等（对偶性质）．5）若X 和Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，则X 和Y 为原问题及对偶问题最优解的充分条件为：v X ＝0和Y u ＝0其中，u ＝T m u u u ),,,(21 , m u u u ,,,21 是原问题的松弛变量，v ＝（n v v v ,,,21 ）, n v v v ,,,21 是对偶问题的剩余变量（松弛互补性质）．此性质在线性规划中有广泛应用．如从已知的原问题最优解（或对偶问题最优解）求取对偶问题最优解（或原问题最优解）；验证原问题的可行解是否最优解等等．6）原问题的检验数对应于对偶问题的一个基本解．由对偶性质可知，在求解原问题的过程中，利用单纯形表每一次迭代所得的检验数与对偶问题的基本解仅仅相差一个符号，于是原问题获得最优解时对应的单纯形表中检验数的相反数，即为对偶问题的最优解．例2-15 设原问题为：4321432Max x x x x Z +++=20322 4321≤+++x x x x..t s 2023 2 4321≤+++x x x x0,,,4321≥x x x x已知其对偶问题的最优解为1y *＝1.2，2y *＝0.2，相应的目标函数最小值W *＝28，试利用对偶性质求该问题的最优解．解 原问题的对偶问题为：212020Min y y W +=12 21≥+y y2 221≥+y y..t s 33221≥+y y42321≥+y y0,21≥y y由松弛互补性质可知，在最优条件下，v X ＝0和Y u ＝0，即1u *1y *＝0，2u *2y *＝0，1v *1x *＝0，2v *2x *＝0，3v *3x *＝0，4v *4x *＝0；这里i u *（2,1=i ），j v *（4,3,2,1=j ）分别为原问题的松弛变量及对偶问题的剩余变量．由1y * ＝1.2>0，可以推出1u * =0；由2y * ＝0.2>0，可推出2u * =0．由对偶约束1y *+22y * =1.6>1，知1v * >0,于是1x * =0；同理，由21y *+2y *=2.6>2，知2v * >0,于是2x * =0．根据上述结果，原约束可以转化成二元一次线性方程组：32x * +43x * =2033x * +42x * =20解方程得3x * =4x * =4综上所得，原问题的最优解为X * =()T4400，相应的目标函数最优值为Z * =28．由对偶性质还可以推论：1）若原问题可行，但有无界解（或称无有限最优解），则对偶问题不可行；若对偶问题可行，但有无界解（或称无有限最优解），则原问题不可行；2）若原问题可行，而对偶问题不可行，则原问题有无界解（或称无有限最优解）；若对偶问题可行，而原问题不可行，则对偶问题有无界解（或称无有限最优解）．2．对偶单纯形法前面已叙述原问题与对偶问题的解之间的对应关系．在用单纯形法进行迭代时，在b 列中得到的是原问题的基本可行解，而在检验数（j j Z c -）行得到的是对偶问题基本解的相反数．通过逐步迭代，当在检验数行得到的对偶问题的解也是可行解时，原问题和对偶问题都达到了最优解．所以，单纯形法的特点是保持原问题解的可行性，通过逐步迭代，使对偶问题的解由基本解变成基本可行解，这时原问题和对偶问题都达到了最优解．那么根据对偶问题的对称性，我们也可以这样来处理：保持对偶问题的解是可行解（即0≤-j j Z c ），而原问题则从非可行解开始，通过迭代，逐步达到基本可行解．这样，也使原问题和对偶问题都达到了最优解．事实上，对偶单纯形法（dual simplex method ）并不是解对偶问题的单纯形法，而是应用对偶原理来求解原问题的最优解的一种方法．（1）对偶单纯形法的要点（见课件）例2-16 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题32140025001600M i n xx x W ++= 45 2321≥++x x x..t s 3 5.2221≥+x x 0,,321≥x x x解 此问题可用大M 法去解，但用大M 法求解很麻烦，现在用对偶单纯形法求解．先将原问题化为标准 形式，为此引入剩余变量4x ，5x ，令W Z -=，得32140025001600Max x x x Z ---=4 5 24321=-++x x x x..t s 3 5.22521=-+x x x0,,,,54321≥x x x x x然后将约束条件等式的两边都乘以（-1），得到 32140025001600Max x x x Z ---=4 5 24321-=+---x x x x..t s 35.22521-=+--x x x0,,,,54321≥x x x x x建立这个问题的初始单纯形表，见表2-14：表2-14 对偶单纯形法求解例2-16（1）在这个初始单纯形表中，4x 、5x 是基本变量，初始单纯形表所对应的基本解为X ＝()T34000--，它是一个不可行解．而全部检验数0≤-j j Z C ，即所对应的对偶问题的一个基本解也是一个可行解, 0≥i y ，5,,2,1 =i ．下面的迭代是在保持检验数小于等于零的条件下，逐步使0≥j x ，5,,2,1 =j ．为了满足上面要求，迭代的要点是：1）首先确定换出变量：选择具有负数的基本变量中绝对值最大的基本变量为换出变量．2）确定换入变量：用换出变量那一行具有负值的系数分别去除同列的检验数，取最小商数所对应的变量为换入变量；如果换出变量那一行无负值的系数，则原问题无可行解．3）把换出变量的那一行除以枢元位置的系数，使枢元位置变为1．4）进行行变换，使除枢元外的其他枢列位置变为0．5）进行最优解检查．如果所得的基本解都是非负的，则此解即为最优解．如果基本解中还有负的数值，则重复第1步继续迭代，直到所有基本变量为非负的数值为止．（2）表解形式的对偶单纯形法（见课件）按上述迭代的要点，对表2-14继续运算，见表2-15．表2-15 对偶单纯形法求解例2-16（2）表2-15中b 列数字全为非负，检验数全为非正，故问题的最优解为X * =()T 0004.01，最优值W * ＝2600．若对应两个约束条件的对偶变量分别为1y 和2y ，则对偶问题的最优解为Y * =()20000600200，最优值＝2600．（3）对偶单纯形法的优点及用途（见课件）1）初始解可以是非可行解，当检验数都是小于等于零时，就可以进行基变换，这样就避免了增加人工变量，使运算简化．2）对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将其变为对偶问题，再用对偶单纯形法求解，简化计算．3）用于灵敏度分析． 3．线性规划的灵敏度分析在上述讨论线性规划问题时，假定ij a ，i b ，j c 都是精确的数据，然而在大多数实际问题中，这些系数往往是估计值和预测值，而且它们也随着某些条件的变化而变化．因此很自然会想到，当这些系数中的一个或几个发生变化时，已求得的规划问题的最优解会发生什么变化？如果最优解发生了变化，又怎样用最简单的方法找到新的最优解？这就是线性规划灵敏度分析（sensitivity analysis of LP）的任务．（1）单纯形法的矩阵表达式（见课件）设有一线性规划问题，用矩阵表示为CXZ=MaxbAX≤≥X式中，A为nm⨯矩阵，C为1×n行向量，X为n×1列向量，b为m×1列向量，0为n×1列向量．现引入松弛变量化为标准型SXMax +=CXZbXIXAS=+≥X，0≥SX其中，I是mm⨯阶单位矩阵，约束条件也可写成()bXXIAS=⎪⎪⎭⎫⎝⎛,和0≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛SXX，0有nm+个元素．如果我们把系数矩阵A分为两块，),(NBA=，B也称基矩阵（即原始系数矩阵中对应于基本变量的列所组成的矩阵），对应于B的变量BmBBxxx,,,21是基()TmnnnmnnnSxxxxxxX++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,,2121本变量，用向量T Bm B B B x x x X ),,,(21 =表示，其他的变量则为非基本变量，于是将X 也分为两块：0≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛NBXX 向量C 也可分为两块),(N B C C C =，其中B C 是目标函数中基本变量向量BX 的系数行向量，N C 是目标函数中非基本变量向量N X 的系数行向量．所以于是线性规划问题可以写成S N N B B X X C X C Z 0Max ++=b IX NX BX S N B =++0 ≥S N B X ,X ,X在单纯形法的每次迭代中，是用行变换的方法将基矩阵变成单位矩阵．用矩阵方法，则将上述约束方程的两边乘以基矩阵B 的逆矩阵1-B ,于是可得b B IX B NX B BX B S N B 1111----=++ （2-9） 即: b B X B NX B IX S N B 111---=++ （2-10） 所以S N B X B NX B b B X 111-----=（2-11）将式（2-11）代入目标函数可得N N S B N B B X C X B C NX B C b B C Z +--=---111()()()()S N B S N B S S N N B B S N B N B S IX NX BX X X X I N B X X I A X X C X C X X X C C X X C ++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛,,,00,,0,.t .sS B N B N B X B C X N B C C b B C Z 111)(-----+= （2-12） 或者 b B C X B C X C N B C Z B S B N N B 111)(---=+-+ （2-13）从式（2-9）可知，在单纯形表每次迭代后,每个变量的系数列向量是B 的逆阵1-B 乘以该变量的原始列向量而得到的，右端常数的列向量是B 的逆阵1-B 乘以右端常数的原始列向量而得到的．从式（2-10）可见，其松弛变量的系数矩阵正好是基矩阵的逆阵1-B ．更一般地理解，在任一单纯形表中相应于初始基本变量的那些列给出了相应于该表格的基矩阵的逆阵．例如第二章第三节的例2-8中，表2-4、表2-5、表2-6和表2-7给出了单纯形法的计算过程，其中表2-7为最优解单纯形表，其基本变量是3x ,1x ，6x 和2x ．对应于表2-7的基矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4100004020102021B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-0812101212004100041111B 所以对应于表2-7的1x 列向量是11P B ⨯-＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----081210121200410004111×⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0412＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010 式中1P 为原始单纯形表中对应于1x 的列向量. 对应于表2-7的4x 列向量是41P B ⨯-＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----081210121200410004111×⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21201式中4P 为原始单纯形表中对应于4x 的列向量. 对应于表2-7的b 列向量是b B ⨯-1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----081210121200410004111×⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1216812＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2440 式中b 为原始单纯形表中右端列向量.对应于表2-7的非基本变量的检验数是N B C C B N 1--，松弛变量的检验数是1--B C B ．（2）系数变化的灵敏度分析（见课件）系数变化的灵敏度分析是在决策变量和约束条件数目不变时，研究各种系数的变化对最优解的影响．它主要考虑两种情况：一是这些系数在什么范围内变化时，已得到的最优解保持不变，或者最优解的基本变量保持不变（但数值有所改变）；二是如果某些系数的变化引起最优解的变化，如何用最简便的方法求出新的最优解．目标函数中j c 变化范围的确定 假设其他参数不变，仅目标函数中j x 的系数j c 变成j c ＋j c ∆，现求不改变最优解的j c ∆的大小．这分两种情况：1）j c 是非基本变量j x 的成本或利润系数 因为 j j j Z c C -= （n j ,,2,1 =）∑='='=mi j B iji j P C a c Z 1（式中i c 是基本变量的成本或利润系数） 所以改变非基本变量的成本或利润系数，Z j 不变，但j j j Z c C -=变为新的检验数j C '：j j j j j j c C Z c c C ∆+=-∆+=要想保持极大化问题最优解不变，即j C '0≤∆+=j j c C ，则：j j C c -≤∆． 2）j c 是基本变量j x 的成本或利润系数 因为j B j j mi ij i j j mi ij i j m i ij i j mi ij i i j j j j j j P C c C a c c C a c c a c c a c c c c Z c c C '∆-∆+=∆-∆+=∆-∆+-=∆+-∆+='-∆+='∑∑∑∑====1111' '' ')()()(要保持极大化问题最优解不变，则0≤'∆-∆+=j B j j j P C c C C ．对于基本变量检验数总为零，而对于非基本变量j x ，因0=∆j c ，所以要求检验数小于等于0变为：0≤'∆-j B j P C C例2-17 以例2-8的最终计算表（表2-7）为例．设基本变量2x 在目标函数中的系数2c 变化了2c ∆；这时表2-7的最终计算表便成为表2-16所示．表2-16 基本变量利润系数变化的灵敏度分析这时要保持最优解不变，则必须满足下列不等式：-150-()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∆212010002c =-150-221c ∆≤0-()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∆-812141410002252c =-281225c ∆+≤01003002≤∆≤-c即2c 可在[0,400]间变动，不影响原来的生产计划安排，但制药厂收益变化了．在约束条件中i b 变化范围的确定 初始单纯形表中i b 的变化，除了影响最优解的数值之外，不影响最终单纯形表中的其他系数．所以只要保证最后的解仍是可行解，那么它仍然是最优解．即0)(1111≥∆+'=∆+=∆+='----b B b b B b B b b B b式中，b '为右端常数变化后，最终单纯形表右端常数向量；b '为右端常数未变化时，最终单纯形表右端常数向量．例2-18 在例2-8中，如果第三个约束条件3b 发生变化，变化量为3b ∆，为了使最后的解仍为可行解，3b ∆应满足下列不等式：=∆+'-b B b 1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2440＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----081210121200410004111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆0003b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2440＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆-∆∆∆-333381214141b b b b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆-∆+∆+∆-333381221441441b b b b 0≥03≤∆b163-≥∆b 83-≥∆b163≤∆b 083≤∆≤-b所以3b ∆在[－8,0]之间变动时（即3b 的变化范围在[8,16]时），原来最优解的基本变量不变，但最优解的值发生变化．例如，3b ∆为－2时（即3b ＝14），则b B b b ∆+'='-1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2440＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----081210121200410004111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆0003b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+∆+∆-333381221441441b b b b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4932721 最优解X *＝T⎪⎭⎫⎝⎛300214927，最优值Z *＝1375，见表2-17． 表2-17 右端常数变化后的最优解如果3b ∆的变化超出了[－8,0]的范围，这时最优解的基本变量就发生变化．在这种情况下要用对偶单纯形法继续求出新的最优解．例如3b ∆为2时（即3b ＝18），则b B b b ∆+'=-1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2440＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----081210121200410004111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆0003b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+∆+∆-333381221441441b b b b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4752921则最终单纯形表变为表2-18．表2-18 右端常数变化后的对偶单纯形法求解新的最优解X *＝()T420024，最优值Z *＝1400．矩阵A 中的系数改变对最优解的影响 当对应于j P 的变量j x 为非基本变量的系数时，它的变化不会改变基矩阵B 和它的逆阵1-B ，所以只需修改单纯形表中所对应j x 的列就可以了．j j P B P 1-='j B j j P B C C C 1--='若极大化问题j C '≤0,则得到的还是新问题的最优单纯形表，最优解和最优值不变，否则可用单纯形法求解．当对应于j P 的变量j x 为基本变量的系数时，它的变化会改变基矩阵B 和它的逆阵1-B ，所以会影响到最终单纯形表的右端向量和非基本变量对应的列．下面就举例讨论此种基本变量的系数变化情况．例2-19 以例2-1为例，若计划生产的药品Ⅰ的工艺结构有了改进，相应地生产单位药品Ⅰ所需设备D C B A 、、、的台时改为（3,2,5,2），它的利润也提高到每千克400元．试分析已求得的最优计划有何变化？解 当1x 的系数列向量变化后,原最终单纯形表（表2-7）中1x 的系数列向量变成:111P B P -='=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----081210121200410004111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2523=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-83214541 原最终单纯形表变成表2-19：表2-19 决策变量系数改变对最优解的影响（1）由1x 的系数列向量可知，到此尚未完成行变换，所以需继续使1x 的系数列向量变成单位列向量，于是得到表2-20．表2-20 决策变量系数改变对最优解的影响（2）因为j C ≤0，所以新的最优解()TX 4.2008.08.02.3*=，最优值Z*＝1520元.4．线性规划在卫生管理中的应用 （1）放射科的业务安排（见课件）A 医院放射科可以开展X 线平片检查和CT 检查业务，现拟购买磁共振仪，以增设磁共振检查业务．为此A 医院收集了有关信息，以决策是否购买磁共振仪．A 医院估计今后放射科如果开展此3项业务，在现有放射科医务人员力量和病人需求的情况下，每月此3项业务的最多提供量为1800人次．平均每人次检查时间、每月机器实际可使用时间、平均每人次检查利润如下表2-25．表2-25 放射科3项检查时间与利润及机器可使用时间放射科业务项 目X 线平片检查CT 检查 磁共振检查平均每人次检查时间（小时/次） 0.1 0.25 0.5 每月机器实际可使用时间（小时） 300 120 120 平均每人次检查利润（元/次） 206010设每月X 线平片检查、CT 检查和磁共振检查的业务量分别为1x ,2x 和3x 人次，则使A 医院放射科此3项业务收入最多的线性规划模型如下：321106020Max x x x Z ++=300 1.01≤x 12025.0 2≤x ..t s 1205.0 1≤x 1800 321≤++x x x0,,321≥x x x利用单纯形法可得最终单纯形表（见表2-26）．表2-26 放射科业务安排最终单纯形表最优解X*＝()T04801320，最优值Z*＝55200．168120从最终单纯形表上可读出如下信息：1）A医院从放射科收益的角度考虑，不应购买磁共振机.2）在每月X线平片检查和CT检查业务量各为1320人次和480人次时，放射科利润最大，达55200元．3）在最优业务安排情况下，每月X光机仍有168小时未实际利用，故它的影子价格为0元/小时；每月CT机可使用的时间已完全利用，它的影子价格为160元/小时，如果市场上能租到CT机的价格低于影子价格160元/小时，那么就应当租用CT机，增加CT检查业务，以求得更高的利润．4）在最优业务安排情况下，每月X线平片检查和CT检查的服务量已达到现有的最大量．A医院如果想通过从人才市场上聘用医务人员以增加放射科的服务能力，则只有当增加一个病人的服务量所需额外增加的人员招聘费和宣传费低于20元时，才是适宜的，可使放射科的利润更高．三、课堂练习（见课件）四、小结（见课件）五、作业（见课件）。
运筹学线性规划的对偶问题
例5 已知线性规划问题 minω = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 x1 + x2 + 2x3 + x4 + 3x5 ≥ 4 2x1 - x2 + 3x3 + x4 + x5 ≥ 3 xj ≥ 0,j = 1,2,3,4,5
已知其对偶问题的最优解为y1* = 4/5, y2* = 3/5；z = 5。试用对偶理论找 出原问题的最优解.
试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。
证: 首先看到该问题存在可行解，例如X = (0,0,0) 而上述问题的对偶问题为
minω = 2y1 + y2 -y1 - 2y2 ≥ 1 y1 + y2 ≥ 1 y1 - y2 ≥ 0 y1 ,y2 ≥ 0
由第一约束条件可知对偶问题无可行解，因而无最优解。由此 原问题也无最优解。
0 0
无约束
m个
约束条件
=
约束条件右端项 目标函数变量的系数
对偶问题（或原问题） 目标函数 min
n个
约束条件
=
m个
0 0
变量
无约束
目标函数变量的系数
约束条件右端项
原问题中的价值向量与对偶问题中的资源向量对换（上下对换） 原问题: X在C和A的右边;
xj yi
y1 y2 ┇ ym
对偶关系 maxZ
x1 x2 ┅ xn
a11 a12 ┅ a1n a21 a22 ┅ a2n ┇┇ ┇ am1 am2 ┅ amn ≥≥┅≥ c1 c2 ┅ cm
原关 minω 系
≤
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题
线性规划的对偶问题是线性规划中的一个分支，它的求解历程和一般的线性规
划想法不同，而且根据不同的约束条件最终能够求出最优解，使得问题获得最小的成本或最大的利润。
线性规划的对偶问题是从原问题的另一个角度去理解原来的模型，它将原有问
题转化为无穷多个单纯形模型，检验原问题各部分的存在可行性。
线性规划的对偶问题以可行性条件检验为主要特色，它可以检验原问题在具体变量形式下各限制条件之间的约束关系，这特别有利于解决在实际问题中模型中非可行情况的求解问题。
求解线性规划的对偶问题的核心思想就是将原问题的约束转换成一系列的子问题，通过求解子问题，再根据子问题的结果得到原问题的求解解，先求解子问题的时间复杂度会比求解原问题的复杂度小很多。
线性规划的对偶问题即其可行性检验的能力，由于其能有效处理问题中约束条
件之间存在的相互作用，具有优越的求解能力，因而在很多复杂的线性规划问题中都被广泛应用。
线性规划的对偶问题不仅能使求解结果更加准确，而且可以大大减少求解的时间，使程序性能更加突出。
线性规划问题的对偶性
线性规划问题的对偶性线性规划（Linear Programming）是数学规划的一个重要分支，用于解决一类特定的优化问题。
在线性规划问题中，我们需要在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
对于一般的线性规划问题，我们往往可以通过对偶性理论来找到一个等价的对偶问题，从而更好地求解原始问题。
1. 对偶问题的引入在线性规划问题中，我们通常会面临一个最大化或最小化一个线性目标函数的任务，同时需要满足一系列线性约束条件。
假设我们的线性规划问题为：最大化（或最小化）：cx约束条件：Ax ≤ b其中，c是一个长度为n的向量，x是变量向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个长度为m的向量。
对于这个线性规划问题，我们可以引入一个新的向量y作为拉格朗日乘子，引入一个新的变量w作为对偶变量。
这样，我们可以构建原始问题的拉格朗日函数：L(x, y, w) = cx + yT(Ax - b) - wT(Ax - b)其中，y和w分别是拉格朗日乘子和对偶变量。
2. 对偶问题的建立在引入拉格朗日函数之后，我们可以分别对拉格朗日乘子y和对偶变量w进行极小化和极大化，建立相应的对偶问题。
对于拉格朗日乘子y，我们可以将拉格朗日函数改写为：L(x, y) = (c + ATy)x - yTb注意到，c + ATy为常数向量，可以表示为q。
因此，我们可以得到对偶问题：最小化：qTx约束条件：ATy ≥ 0同样地，对于对偶变量w，我们可以将拉格朗日函数改写为：L(x, w) = (c - ATw)x + wTb同样，我们可以得到对偶问题：最大化：wTb约束条件：ATw ≤ c3. 对偶问题的性质通过对拉格朗日函数的极小化和极大化，我们建立了与原始问题等价的对偶问题。
对偶问题不仅仅是一个等价的数学表达形式，而且具有许多重要的性质。
首先，根据对偶问题的建立，我们可以得知对偶问题的目标函数是原始问题的一个下界。
也就是说，对于任意可行解x和对偶变量w和y，有如下不等式成立：cx ≥ qTx ≥ wTb其次，若原始问题的最优解存在且有限，那么对偶问题的最优解也存在且有限，并且两者的目标函数值相等。
线性规划 对偶问题
任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题。
本章将讨论线性规划的对偶问题及灵敏度分析，从而加深对线性规划问题的理解，扩大其应用范围。
§1 对偶问题的一般概念1.1 对偶问题的提出在第一章中我们研究过一个生产计划问题，其数学模型为：例1(2.1)现在，从另一个角度来考虑该问题，假设这家企业想将自己生产产品改为对外加工，此时，工厂决策者必须考虑怎样为这三种资源定价的问题。
设分别代表转让两种资源和出租设备的价格和租金。
定价的原则是：生产一个单位的甲产品需消耗9个单位的钢材、4个单位的铜材、3个单位的设备台时，获利70个单位；那么，将这些资源全部转让时所获得的利润应不少于70个单位，即（2.2）同样的分析，有（2.3）此时，企业的总获利（即对方的总付出）为（2.4）为使对方容易接受，该厂只能在约束条件（2.2）和（2.3）下求（2.4）式的最小值，即（2.5）上述两个模型（2.1）和（2.5）是对同一问题的两种不同考虑的数学描述，其间有着一定的内在联系，我们对此进行比较分析，并从中找出规律，两个模型的对应关系有：（1）两个问题的系数矩阵互为转置；（2）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个数；（3）一个问题的右端系数是另一个问题的目标函数的系数；（4）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“≤”类型，另一个问题的目标函数为极小化，约束条件为“≥”我们把这种对应关系称为对偶关系，如果把（2.1）式称为原问题，则（2.5）式称为对偶问题。
1.2 对偶问题的形式一、对称形对偶问题定义1设原线性规划问题为（2.6）则称下列线性规划问题（2.7）为其对偶问题，其中称其为对偶变量，并称（2.6）和（2.7）式为一对对称型对偶问题。
原始对偶问题（2.6）和对偶问题（2.7）之间的对应关系可以用表2-1表示。
第十四章线性规划的对偶问题
第⼗四章线性规划的对偶问题第⼗四章线性规划的对偶问题14.1 对称的对偶规划在线性规划早期发展中,对问题是⼀项重要的发现.早在1928著名数学家John.Von.Neumann 在研究对策理论时就已经有原始和对偶的思想.对偶理论有着重要的应⽤.⾸先是在原始,对偶两个线性规划中求解任⼀规划时,含⾃动地给出另⼀个规划的最优解.当对偶问题⽐原问题有较少分量时,求解对偶问题⽐求解原始问题⽅便的多.对偶理论另⼀个应⽤是Lemke,1954提出的对偶域形法。
另外,对偶理论还应⽤于通⽤的运转问题模型上，对偶理论对影⼦价值的分析在经济理论上有着重要作⽤.14.1.1对偶问题的提出:例14.1.1:某⼚⽣产A.B.C 三种畅销产品,每台产品需四种资源,具体数据表问怎样安排⽣产,效益最⼤! 设决策变量123,,x x x 得出模型:123123123123123max 20004000300034260022400..33300242000.1,2,3i z x x x x x x x x x s t x x x x x x x i =++++≤??++≤??++≤??++≤??>=? 现在⼯⼚考虑不进⾏⽣产⽽把全部可利⽤的资源都让给其它企业单位,但⼜希望给这些资源订⼀个合理价格,既使别的单位愿意买,⼜使⼯⼚能得到⽣产这些产品时可以得到的最⼤效益.这就需建⽴另⼀个线性规划模型,设1234,,y y y y 代表销售这四种资源总售价尽可能低,即 1234min 600400300200w y y y y=+++原来⽣产产品A 每台需⽤的资源按现在的单价计算,每台收益为: 123432y y y y +++为了使⼯⼚效益不减少,就要求订1234,,,y y y y 时,使这个效益额不低于原来⽣产⼀台产品A 可以得到的效益,因此满⾜约束:1234322000y y y y +++≥对B,C 产品可列出类似约束. 12341234432400022343000y y y y y y y y +++≥+++≥因此得到的线性规划问题模型如下: 1234123412343220004324000..223430000(1~4)i y y y y y y y y s t y y y y y i +++≥??+++≥??+++≥??≥=? 易见,后⼀个问题的数据完全由另⼀问题数据确定.对每⼀个线性规划问题都伴随有另⼀个线性规划问题,⼀般地。
2.1线性规划的对偶问题(经典运筹学)
b1 x1 a1 n a2n b2 x2 b , X = M ， = M L x b a mn m n
C = (c1 c2 L cn ) Y = ( y1 y2 L ym )
(P) : maxz = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn ≤ b1 a x + a x +L+ a x ≤ b 21 1 22 2 2n n 2 s.t L L L am1x1 + am2 x2 +L+ amnxn ≤ bm
x
x
例2.1* 有一个企业家接到一批加工定单，需用到 设备 A,B,C,有意租用大众家电厂的三种设备，问该企业 家应如何出价，才能使家电厂觉得有利可图肯把设 备出租，又使自己付出的租金最少？
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。 自己生产的利润。
付出的代价最小 对方能接受
企 业 家
厂 家
1、对称型对偶问题 2、标准型对偶问题 3、混合型对偶问题
1、对称型对偶问题 定义： 设原线性规划问题为：
maxz = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn
bi无正负限制
则称下列线性规划问题：
minW = b1 y1 + b2 y2 + L + bm ym
a11 y1 + a21 y 2 + L + am1 y m ≥ c1 a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn ≤ b1 a y + a y + L + a y ≥ c a x + a x +L+ a x ≤ b 22 2 m2 m 2 21 1 22 2 2n n 2 s.t 12 1 一对对偶问题 s.t LLL L L L a1n y1 + a2n y 2 + L + amn y m ≥ cn （D） am1x1 （P）+L+ amnxn ≤ bm + am2 x2 y , y L, y ≥ 0