MATLAB在重积分计算中的应用

《MATLAB语言》课程论文

MATLAB在重积分计算中的应用

姓名：张晓花

学号：12010245235

专业：通信工程

班级：通信工程1班

指导老师：汤全武

学院：物理电气信息

完成日期：2011/12/21

MATLAB在高等数学重积分中的应用

（张晓花12010245235 2010级1班）

[摘要]计算积分通常是一项复杂的工作，尤其是重积分的运算，其中涉及到积分区域的确定及画法换积分等步骤，而MATLAB 将高性能的数值计算和可视化集成在一起，并提供了大量的内置函数，专门以

矩阵的形式处理数据。该文运用MATLAB解决了在一重积分，二重积分和三重积分以及其应用方面的计算问题，充分展示了MATLAB在高等数学重积分中的应用。

[关键词]MATLAB语言，高等数学，重积分，图形绘制

一、问题的提出

Matlab是当今很流行的科学计算软件，语法筒单、易学、好写有强大的运算及绘图能力，有强大且多样化的各种工具箱俩数库可供使用，包括与本书密切相关的图橡工具箱；信息技术、计算机技术发展到今天，科学计算在各个领域得到了广泛的应用。在许多诸如控制论、时间序列分析、系统仿真、图像信号处理、重积分的计算与应用等方面产生了大量的矩阵及其相应的计算问题。如果自己去编写大量的繁复的计算程序，不仅会消耗大量的时间和精力，减缓工作进程，而且往往质量不高。而matlab是一个交互式的系统，它的基本运算单元是不需要指定维数的矩阵。系统提供了大量的矩阵及其它运算函数，可以方便地进行一些复杂的计算，而且运算效率极高。matlab命令和数学中的符号、公式非常接近，可读性强，容易掌握，还可以利用它所提供的编程语言进行编程完成特定的工作Matlab 编写程序犹如在演算纸上排列公式与求解问题，matlab语言也可以通俗地称为演算纸式科学算法语言。由于它编写简单，所以编译效率高，易学易懂。Mat lab语言把编辑、编译、连接和执行融为一体，其调试程序手段丰富，调试速度快，需要学习时间少。它能在同一画面上进行灵活操作快速排除输入程序中的书写错误、语法错误以至语意错误，从而加快了用户编写、修改和调试程序的速度，可以说在编程和调试过程中它是一种比VB还要简单的语言。 Mat lab的绘图是十分方便的，它有一系列绘图函数（命令），使用时只需调用不同的绘图函数（命令），在图上标出图题、XY轴标注，格（栅）绘制也只需调用相应的命令，简单易行。另外，在调用绘图函数时调整自变量可绘出不变颜色的点、线、复线或多重线。

本文针对重积分的计算与应用，运用matlab中所学的符号计算基础、符号函数及其应用以及符号积分来探讨分析matlab在一重积分中的计算，二重积分中的计算与应用，三重积分中的计算与应用，重积分的积分区域以及重积分在曲面积分中应用等方面的运用。

二、Matlab在一重积分中的计算与应用问题

一重积分的计算与应用常体现在不定积分的计算（第一类换元法、第二类换元法）和定积分计算与面积方面的应用。

就不定积分，设F(x)是函数f(x)的一个原函数 ，我们把函数f （x ）的所有原函数F （x ）+C(C 为任意常数)叫做函数f （x ）的不定积分，记作：

?+=C x F dx x f )()( (1)

其中?叫做积分号，f （x ）叫做被积函数，x 叫做积分变量，f （x ）dx 叫做被积式，C 叫做积分常数，求函数f （x ）的不定积分，就是要求出f （x ）的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f （x ）的一个原函数，再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。

不定积分的性质：函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即：

???+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ (2)

求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即：

??=dx x f k dx x kf )()( (3)

（k 是常数，k 不为零）

1、 不定积分的计算

在MATLAB 中，int 函数用于求符号函数的不定积分，有两种调用格式：

（1） int （f ）：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym 函数指示的默认变量 对被积函数或符号表达式f 求不定积。

（2） Int(f,v):以v 为自变量，对被积函数或符号表达式f 求不定积分。求符号函数的积 分也可使用int （f,v,a,b ），其中a 、b 分别表示积分的下限和上限。该函数求被积函数f 在区间[a 、b]上的定积分。a 和b 可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷（inf ）。当函数f 关于变量x 在闭区间[a ，b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a 、b 中有一个是inf 时，函数返回一个广义积分。当a ，b 中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

问题1：计算不定积分dx x 32)3(?-

输入程序如下：

x=sym('x'); %定义符号变量x

f=(3-x^2)^3; %将所给表达式用f 表示

int(f) %求表达式f 的不定积分

输出结果如下：

ans =

27*x-1/7*x^7+9/5*x^5-9*x^3

问题2：求函数f(x)=1/(2x +2x+3),g(x)=1/(2x +2x-3)在负无穷到正无穷的积分。 输入程序如下：

syms x %定义一个符号变量x

f=1/(x^2+2*x+3); %将f （x ）表达式用f 表示

g=1/(x^2+2*x-3); %将g （x ）表达式用g 表示

intf=int(f,-inf,inf) %求从负无穷到正无穷f 的积分

intg=int(g,-inf,inf) %求从负无穷到正无穷g 的积分

输出结果如下：

intf =

1/2*pi*2^(1/2)

intg =

NaN

结果说明f （x ）在整个数轴上可积分，而g （x ）在整个数轴上不可积分。为什么呢？看两个图像就明白了。

图1 f(x)的函数图象

图2 g(x)的函数图象

由如上图可得知，原来，g （x ）在数轴上有不可积的奇点。就定积分，设函()x f 在[]b a ,上有界， 在[]b a ,中任意插入1+n 个分点

b x x x x x x x a n n i i =<<<<<<<<=--11210 ，把区间分划成 n 个小区间

[,][,][,][,]x x x x x x x x i i n n 011211 --

各区间的长度依次为

11122011,,,,,---=?-=?-=?-=?n n n i i i x x x x x x x x x x x x

在每个小区间[,]x x i i -1上任取一点 ξξi i i i x x ()-≤≤1，作函数值)(i

f ξ与小区间长 度?x i 的乘积 f x i n i i ()(,,,)ξ?=12 作和式 i n

i x f s ?=∑)(1ξ记

λ=max{,,,}???x x x n 12 若不论对区间[,]a b 上怎样的分法，也不论对小区间

[,]x x i i -1上的点ξi 怎样的取法，只要当λ→0时， 和s 总趋向于确定的值I ， 称这 个极限值I 为函数()x f 在区间[]b a ,上的定积分。记作dx x f b

a ?)(即 f x dx I f x a b

i i i n

()lim ()?==∑→=λξ01? （4）

其中()x f 叫做被积函数；()dx x f 叫做被积表达式；x 叫做积分变量； []b a ,叫做积分区间；a 叫做积分下限；b 叫做积分上限；i n

i x f ?∑)(1ξ叫做()x f 在[]b a ,上的积分和式。如果()x f 在

[]b a ,上的定积分存在，我们就说()x f 在[]b a ,上可积。设()x f 在区间[]b a ,上连续， 则()x f 在[]b a ,上可积。设()x f 在区间[]b a ,上有界， 且只有有限个间断点， 则()x f 在[]b a ,上可积。

2、 定积分的计算问题

问题3：求定积分

dx x x ?-219222

输入程序如下：

syms x %定义一个号变量x

f1=(2*x^2)/(sqrt(9-x^2)); %将计算的表达式的值赋给f1

f2=sqrt(x^2-1)/(2*x); %将计算的表达式的值赋给f2

f3=1/(sqrt((4+x^2)^3)); %将计算的表达式的值赋给f3

f=[f1;f2;f3]; %将三者的值以矩阵的形式输出

F=int(f,1,2),Y=double(F') %将计算的积分值赋给F 并求其近似值 输出结果如下：

F =

2*2^(1/2)-9*asin(1/3)-2*5^(1/2)+9*asin(2/3)

-1/6*pi+1/2*3^(1/2)

-1/20*5^(1/2)+1/8*2^(1/2)

Y =

1.8653 0.3424 0.0650

3、运用定积分求面积的问题

Matlab 中提供了两个建立符号对象的函数或命令：sym 和syms ，它们的用法不同。sym 函数用来建立单个符号量，其调用格式为：符号量名=sym （符号字符串）该函数可以建立一个符号字符串，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式.sym 函数一次只能定义一个符号变量，而syms 一次可以定义多个符号变量，其格式为：syms arg1 arg2 … argn,其中arg1、arg2、… 、argn 是定义的符号变量名。注意变量间用空格而不要用逗号分隔。

问题4：由y=sinx,y=cosx,x=-1/2,x=3/2所围成的平面区域D ，求平面区域D 的面积S 。

解:（1）画出由y=sinx,y=cosx,x=-1/2,x=3/2所围成的封闭平面区域的图形，输入所作函数图形的程序如下：

x=-1:0.001:2; %x 从-1到2步长为0.001

F1=sin(x); %用F1来表示sin （x ）

F2=cos(x); %用F2来表示cos （x ）

plot(x,F1,'b-',x,F2,'g-') %输出F1所表示的曲线为蓝色，输出F2所表示的曲线为绿色 axis([-1,pi/4+1,-1.3,1.3]) %设置坐标

xlabel('x') %加x 轴说明

ylabel('y'), %加y 轴说明

title('y=sinx,y=cosx 和x=-0.5及x=1.5所围成的平面区域的图形') %加图形标题

输出结果如图3所示。

图3 由y=sinx,y=cosx,x=-1/2,x=3/2所围成的平面区域图形

（2）求平面区域D 的面积S ，解方程组?

??==x y x y cos ,sin 得在（-0.5,1.5）内的两条曲线交点的横坐标4π=x ，所求面积为：S=?--45.0)sin (cos πdx x x +?-5

.1)cos (sin πdx x x 。 计算面积S 的程序如下：

syms x %定义符号变量x

f1=cos(x)-sin(x); %用f1来表示cos （x ）-sin （x ）

f2=-f1; %f2表示f1的相反数即为sin(x)-cos(x)

s1=int(f1,x,-0.5,pi/4); %将f1的积分值赋给s1

s2=int(f2,x,pi/4,1.5); %将f2的积分值赋给s2

s=s1+s2,sj=double(s) %将s1的值与s2相加再求其近似值

运行结果如下：

s =

sin(1/2)-cos(1/2)+2*2^(1/2)-sin(3/2)-cos(3/2)

sj =

1.3620

三、Matlab 在二重积分中的计算与应用问题

设函数),(y x f 在有界闭区域D 上有定义。将区域D 任意分成n 个小区域),,,1(n x i i =?δ，i δ?也表示第i 个小区域的面积，在每个小区域i δ?上任取一点

),,2,1)(,(n i y x i i =，作和式i i i n i y x

f δ?∑=)(,1

当,∞→n 同时0→λ时（λ表示所有i δ?的最大直径），若上述和式的极限∑=→∞→?n i i i i n y x f 1)0(),(lim δλ存在，并且此极限与区域的分法及点),(i i y x 的

取法无关，则称此极限为函数),(y x f z =在区域D 上的二重积分，记作，

i yi x f d y x f n

i i D δδ?=

∑??=1),(lim ),( )(∞→n (5) 其中D 叫做积分区域，),(y x f 叫做被积函数，δd 叫面积元素.此时也称函数),(y x f 在D 上可积.如果0),(≥y x f ，则二重积分??D

d y x f δ),(的几何意义就是以曲面),(y x f z =为顶面，

以D 为底面的曲顶柱体的体积。特别地，当1),(=y x f 时，平顶柱体的体积????=?=D D

d d V δδ1，在数值上等于区域D 的面积，于是得计算平面区域D 的面积公式

??=D

d δδ

二重积分与定积分有相类似的性质

（6）

对应区域的可加性:

（1）若区域D 分为两个部分区域D D 12,,则

（7）

（2）若在D 上,f x y (,)≡1,σ为区域D 的面积,则

（8）

问题1：计算σd y x y x Dxy ??

++)sin(，其中Dxy 是由曲线x=2y ，y=x-2所围成的平面区域。 画出积分区域的图形，输入程序如下：

syms x y %定义两个符号变量x ，y

f1=x-y^2; %将表达式用f1来表示

f2=x-y-2; %将表达式用f2来表示

ezplot(f1) %画出f1所表示的曲线

hold on %设置图形保持状态

ezplot(f2) %画出f2所表示的曲线

hold off % 关闭图形保持状态

axis([-0.5 5 -1.5 3]) %设置坐标轴的长度即坐标轴的范围

title('由x=y^2和y=x-2所围成的积分区域Dxy') %加图形标题

运行后所得区域如图4所示。

图4 由曲线所围成的积分区域 Dxy

确定积分限，程序如下：

syms x y %定义两个符号变量x,y

y1=('x-y^2=0'); %将x-y^2=0的值赋给y1

y2=('x-y-2=0'); %将x-y-2=0的值赋给y2

[x,y]=solve(y1,y2,x,y) %输出积分限

运行后屏幕显示两条曲线，y=x-2的交点如下：

x =

1

4

y =

-1

2

输入计算程序如下：

syms x y %定义符号变量x ，y

f=sin(x+y)/(x+y); %变量表达式

x1=y^2; %变量表达式

x2=y+2; %变量表达式

jfx=int(f,x,x1,x2); %求以x1，x2为上下限，以x 为自变量的f 的积分值

jfy=int(jfx,y,-1,2); %求以-1，2为上下限，以y 为自变量的jfx 的积分值

jf2=double(jfy) %求jf2的近似值

运行后屏幕显示如下：

Warning: Explicit integral could not be found.

> In sym.int at 58

jf2 =

1.9712 因此，所求的971

2.1)sin(≈++??σd y x y x Dxy

。 问题2：计算σd y x Dxy )cos(??+的值。

确定积分区域Dxy ，输入程序如下：

x=0.001:0.001:3; %x 从0.001到3步长为0.001

y1=1./(2*x); %变量表达式

y2=sqrt(2*x); %对表达式求方根后赋给y2

plot(x,y1,'b-',x,y2,'M',x,2.5,'r-') %以x 向量为X 轴，分别以y1,y2为y 轴，在同一幅图内绘制多条曲线

axis([-0.5 3 -0.5 3]) %设置坐标

title('由y1=1/(2x),y2=sqrt(2x)和x=2.5所围成的积分区域Dxy') %加图形标题

运行后的区域如图5所示。

图 5 由y1=1/(2x),y2=sqrt(2x)和x=2.5所围成的积分区域Dxy

确定积分限，输入程序如下：

syms x y %定义符号变量

y1=('2*x*y=1'); %将2*x*y=1的值赋给y1

y2=('y-sqrt(2*x)=0'); %将y-sqrt(2*x)=0的值赋给y2

[x,y]=solve(y1,y2,x,y) %输出积分限

运行后屏幕显示两条曲线2xy=1，y=x 2的交点如下：

x =

1/2

y =

1

输入计算程序：

syms x y %定义符号变量

f=cos(x+y); %用f 表示cos （x+y ）

y1=1/(2*x); %变量表达式

y2=sqrt(2*x); %对表达式求方根后赋给y2

jfy=int(f,y,y1,y2); %求以y1，y2为上下限，以y 为自变量的f 的积分值

jfx=int(jfy,x,0.5,2.5); %求以0.5，2.5为上下限，以x 为自变量的jfy 的积分值

jf2=double(jfx) %求jf2的近似值

运行后屏幕显示如下：

Warning: Explicit integral could not be found.

> In sym.int at 58

jf2 =

-1.8321

因此，所求的σd y x Dxy

)cos(??+的近似值为-1.8321。

问题3：用MATLAB 语言绘出积分表达式????---++--+x x x x dy y x f dx dy y x f dx 816816223121223

21),(),(所表

示的区域。

解：D1中的x ，y 的取值范围大致为：x ∈[0.5 1.5],y ∈[-2 2];D2中x ，y 的取值范围大

致为：x ∈[1.5 2],y ∈[-2,2];用MATLAB 函数绘制x=-1/2,x=3/2,y=-12+x ,y=12+x 所围成的区域D1，绘制x=3/2,x=2,y=-x 816-,y=x 816-所围成的区域D2。

程序如下：

line([-0.5 -0.5],[-3 3]); %画区域D1中x=-1/2，适当放宽了y 的范围

hold on ;line([1.5 1.5],[-3 3]); %画区域D1中x=3/2

hold on ; %设置图形保持状态

ezplot('y=-sqrt(2*x+1)',[-0.5,1.5,-3,3]); %画区域D1中y=-sqrt （2*x+1）

hold on ; %设置图形保持状态

ezplot('y=sqrt(2*x+1)',[-0.5,1.5,-3,3]); %画区域D1中y=sqrt （2*x+1）

hold on ;line([1.5 1.5],[-3 3]); %画区域D2中的x=3/2

hold on ;line([2 2],[-3 3]); %画区域D2中x=2

hold on ; %设置图形保持状态

ezplot('y=-sqrt(16-8*x)',[1.5,2,-3,3]); %画区域D2中y=-sqrt （16-8*x ）

hold on ; %设置图形保持状态

ezplot('y=sqrt(16-8*x)',[1.5,2,-3,3]); %画区域D2中y=sqrt(16-8*x)

text([0.6,0.6],[0,0],'D1'); %在指定位置D1添加图形说明

text([1.7,1.7],[0,0],'D2'); %在指定位置D2添加图形说明

得到的区域如下图6所示。

图 6 y=sqrt

（16-8x ）

四、Matlab 在三

重积分中的计算

与应用方面的问

题

设f x y z (,,)是空间闭区域Ω上的有界函数,将Ω任意地分划成n 个小区域 ???v v v n 12,,, 其中?v i 表示第i 个小区域,也表示它的体积。在每个小区域?v i 上任取一点(,,)ξηζi i i , 作乘积 f v i i i i (,,)ξηζ?作和式f v i i i i i n

(,,)ξηζ?=∑1以λ

记这n 个小区域直径的最大者,若极限

lim (,,)λξηζ→=∑01f v i i i i i n

? 存在,

则称此极限

值为函数f x y z (,,)在区域Ω上的三重积分,记作f x y z dv (,,)Ω

???，即：

i i i

n i i v f dv z y x f ?=∑???=Ω→),,(lim ),,(10ζηξλ （9）

其中dv 叫体积元素。自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成dxdydz 。若积分区域Ω可表示成：a x b y x y y x z x y z z x y ≤≤≤≤≤≤,()(),(,)(,)

1212 则：

f x y z dv dx dy f x y z dz a b y x y x z x y z x y (,,)(,,)()()(,)(,)Ω??????=1212 （10）

这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量z , 次对y ,最后对x 的三次积分。

Matlab 提供了mesh 函数和surf 函数来绘制三维曲面图。mesh 函数用于绘制三维网格图。在不需要绘制特别精细的三维曲面图时，可以通过三维网格图来表示三维曲面。surf 用于绘制三维曲面图，各线条之间的补面用颜色填充。mesh 函数和surf 函数的调用格式为：mesh （x ，y ，z ，c ）和surf （x ，y ，z ，c ）。

问题1：计算I （f ）=dxdydz z e x V

y )sin (++???,其中积分区域V 是由旋转抛物面

z=8-22y x -，圆柱面422=+y x 和z=0所围成的空间闭区域。

解：画出积分区域V 的草图。

输入程序如下：

[x,y]=meshgrid(-2:0.01:2); %生成网格坐标矩阵x ，y

z1=8-(x.^2+y.^2); %旋转抛物面z1的表达式

figure(1) %图1

meshc(x,y,z1) %绘制三维图z1

hold on %设置图形保持状态

x=-2:0.01:2; %x 从-2到2步长为0.01

r=2; %圆的半径为2

[x,y,z]=cylinder(r,30) %生成一个正弦型柱面

mesh(x,y,z) %绘制三维曲面图，x,y 是网格坐标矩阵，z 是网格点上的高度矩阵 hold off %关闭图形保持状态

title('由旋转抛物z=8-￡¨x^2+y^2),圆柱面x^2+y^2=4和 z=0所围成的积分区域V')

%加图形标题

figure(2) %图2

contour(x,y,z,10) %其中10代表高度的等级数

title('由z=8-(x^2+y^2)圆柱面 x^2+y^2=4所围成的区域在xoy 面上的投影区域Dxy')

%加图形标题

运行后所的区域如图7所示。

图 7 由旋转抛物面z=8-（22y x +），圆柱面42

2=+y x 和z=0所围成的积分区域V

图 8 由z=8-（22y x +）和圆柱面2

2y x +=4所围成的区域V 在xoy 面上的投影区域Dxy 确定积分限，输入程序如下：

syms x y z %定义三个符号变量x ，y ，z

f1=('z=8-(x^2+y^2)'); %将z=8-（x^2+y^2）的值赋给f1

f2=('x^2+y^2=4'); %将x^2+y^2=4的值赋给f2

[x,y,z]=solve(f1,f2,x,y,z) %输出积分限

运行后屏幕显示旋转抛物面z=8-x 22y -和圆柱面422=+y x 的交线如下：

x =

(4-y^2)^(1/2)

-(4-y^2)^(1/2)

y =

y

y

z =

4

输入计算程序如下：

syms x y z%定义三个符号变量x，y，z

f=x+exp(y)+sin(z); %变量表达式

z1=0; %给z1赋值为0

z2=8-(x^2+y^2); %将此表达式用z2表示

x1=-sqrt(4-y^2); %将对表达式求平方根后的相反数赋给x1

x2=sqrt(4-y^2); %将对表达式求平方根赋给x2

jfz=int(f,z,z1,z2); %求以z1，z2为上下限，以z为自变量的f的积分值

jfx=int(jfz,x,x1,x2); %求以x1，x2为上下限，以x为自变量的jfz的积分值

jfy=int(jfx,y,-2,2); %求以-2，2为上下限，以y为自变量的jfy的积分值

jf2=double(jfy) %求jfy的近似值用jf2表示

运行后屏幕显示如下：

Warning: Explicit integral could not be found.

> In sym.int at 58

jf2 =

121.6651

因此，所求的I（f）的近似值为121.6651。

五、结论

通过利用matlab语言对一重积分、二重积分及三重积分进行计算、绘制积分区域可以得出：

（1）matlab可以用数值计算方法求解积分的近似值，还可以画出解得图像，把复杂、抽象的数学形式表达成直观、形象的图形，这样使得分析题时会更容易、思路更清晰。（2）运用matlab可以将二重积分、三重积分的积分区域绘制出来，这样解起来就很容易了。用matlab语言编写程序解重积分比直接解更容易。

六、心得体会

真正接触学习matlab已经一学期了，我了解了一些matlab的基础知识，由于课程安排紧，所以老师就上的比较快，而matlab中运用的函数比较多都需要记，刚开始上课没注意听下来也没看导致上机时什么也不知道，突然意识到这门课得重视起来，不然到最后，什么也不知道。慢慢的通过看书请教同学，知道了很多函数的调用格式，自己试着写程序，发现这门语言很好用，它以矩阵作为数据操作的基本单位，使得计算变得非常简捷、方便、高效。我很喜欢matlab的绘图功能，它可以绘制各种图形，包括二维图形和三维图形，还可以对图形进行修饰和控制以增强图形的表现效果。编一个程序就可以绘制出你想要的图形，比起自己用手画方便快捷多了。就如做三重积分的题时，当确定积分区域时会花费很长时间，而且一旦画错整个题就错了，运用matlab可以很直观的绘制出积分区域，这样就不会浪费很多时间。本学期虽然学的不是太好、太深，但这门语言的基本函数都大致有了一定的了解，以后多用就一定会掌握的，此语言还需多练习才能熟练地运用。

[参考文献]

[1]任玉杰.数值分析及其MATLAB实现(第一版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]许波、刘征.MATLAB工程数学应用(第一版)[M].北京：清华大学出版社，2000.

[3]刘卫国.MATLAB程序设计与应用（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]张立科.MATLAB7.0从入门到精通 [M].北京：人民邮电出版社，2006:314.

[5]段俊生、安建业、徐立，MATLAB曲面绘制中的挖补方法[J]，大学数学，2006.8,22(4).