第11章 轴对称问题的有限元分析
第11章 轴对称问题的有限元分析 第1节 基本知识 本节的有限元对象为轴对称问题，目的是学习将3D问题转化为2D问题分析的轴对称方法，涉及如何选取轴对称单元、建模规律、载荷的施加方法和后处理技术。
一、轴对称问题的定义 轴对称问题是指受力体的几何形状、约束状态，以及其它外在因素都对称于某一根轴（过该轴的任一平面都是对称面）。轴对称受力体的所有应力、应变和位移均对称于这根轴。
二、用ANSYS解决2D轴对称问题的规定 用ANSYS解决2D轴对称问题时，轴对称模型必须在总体坐标系XOY平面的第一象限中创建，并且Y轴为轴旋转的对称轴。 求解时，施加自由约束、压力载荷、温度载荷和Y方向的加速度可以像其它非轴对称模型一样进行施加，但集中载荷有特殊的含义，它表示的是力或力矩在360°范围内的合力，即输入的是整个圆周上的总的载荷大小。同理，在求解完毕后进行后处理时，轴对称模型输出的反作用力结果也是整个圆周上的合力输出，即力和力矩按总载荷大小输出。 在ANSYS中，X方向是径向，Z方向是环向，受力体承载后的环向位移为零，环向应力和应变不为零。 常用的2D轴对称单元类型和用途见表11-1。
表11-1 2D轴对称常用结构单元列表 板单元名称 说 明 Shell51 圆锥壳单元，可以生成圆柱壳或环行圆盘单元，具有非线形材料性质，用于解决轴对称问题 Shell61 圆锥壳单元，可以生成圆柱壳或环行圆盘单元，没有非线形材料性质，用于解决轴对称问题 Plane42 二维结构实体单元，用于解决平面应力问题、平面应变问题和轴对称问题 Plane82 Plane42的高阶单元 Plane182 二维结构实体单元，用于解决平面应力问题、平面应变问题和轴对称问题 Plane183 Plane182的高阶单元
在利用ANSYS进行有限元分析时，将这些单元定义为新的单元后，设置单元配置项KEYOPT（3）为Axisymmetric(Shell51和Shell61单元本身就是轴对称单元，不用设置该项)，单元将被指定按轴对称模型进行计算。 后处理时，可观察径向和环向应力，它对应的是SX与SZ应力分量，并且在直角坐标系下观察即可。 可以通过轴对称扩展设置将截面结果扩展成任意扇型区域大小的模型，以便更加真实地观察总体模型的各项结果。 第2节 2D轴对称问题有限元分析实例
图11-1 圆柱筒壳示意图 一、案例1——圆柱筒的静力分析
问题 如图11-1所示，圆柱筒材质为A3钢，受1000 N/m的压力作用，其厚度为0.1 m，直径12 m，高度为16 m，并且圆柱筒壳的下部轴线方向固定，其它方向自由，试计算其变形、径向应力和轴向应力。
条件 弹性模量为2.0×1011 N/m2，泊松比为0.3。
解题过程 以圆柱筒底部中心为坐标原点，建立直角坐标系如图11-1所示，标出主要点（1点和2点）的坐标，为实体造型做好准备。 制定分析方案。分析类型为线弹性性材料，结构静力分析，轴对称问题，由于受力题为圆柱壳，选用Shell51单元，筒的厚度为0.1 m为单元的实常数；边界条件为圆柱筒下部施加轴线方向固定支撑，2点的受力为1000*12*π等于37699 N。 1．ANSYS分析开始准备工作
Oxyp=1000 N/mF
16
1261
2（1）清空数据库并开始一个新的分析 选取Utility>Menu>File>Clear & Start New，弹出Clear database and Start New对话框，单击OK按钮，弹出Verify对话框，单击OK按钮完成清空数据库。 （2）指定新的工作文件名 指定工作文件名。选取Utility>Menu> File>Change Jobname，弹出Change Jobname对话框，在Enter New Jobname项输入工作文件名，本例中输入的工作文件名为“yuanzhutong”，单击OK按钮完成工作文件名的定义。 （3）指定新的标题 指定分析标题。选取Utility>Menu>File>Change Title，弹出Change Title对话框，在Enter New Title项输入标题名，本例中输入“shell problem”为标题名，然后单击OK按钮完成分析标题的定义。 （4）重新刷新图形窗口 选取Utility>Menu>Plot>Replot，定义的信息显示在图形窗口中。 （5）定义结构分析 运行主菜单Main Menu>Preferences，出现偏好设置对话框，赋值分析模块为Structure结构分析，单击OK按钮完成分析类型的定义。 2．定义单元 运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/ Delete命令，弹出Element Types对话框，单击“Add”按钮新建单元类型，弹出Library of Element Types对话框，先选择单元大类为Shell，接着选择2D axisSymmetr 51（Shell51），单击OK按钮，完成单元类型选择，单击Close按钮完成设置，如图11-2所示。
图11-2 定义单元类型Shell 3．定义实常数 运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Real Constants Add/Edit/Delete命令，弹出实常数定义对话框，单击Add按钮进入实例常量输入对话框，在TK（I）项输入板厚（实例常数）0.1米，单击OK按钮完成实例常量输入。回到实例常量对话框，此时显示出新建编号为1的实例常量，单击Close按钮完成输入，如图11-3所示。 4．定义材料属性 运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models命令，系统显示材料属性设置对话框，在材料属性对话框中依次选择Structure、Linear、Elastic、Isotropic，如图11-4所示。 完成选择后，弹出材料属性输入对话框，分别输入弹性模量2e11，泊松比0.3，如图11-5所示，单击OK按钮完成材料属性输入并返回图11-4。 完成材料属性设置后，单击对话框右上方“X”按钮离开材料属性设置。
图11-3 定义实常量 图11-4 进入材料属性设置 图11-5 定义材料属性 5．建立几何图形 （1）创建关键点 运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>In active CS命令弹出创建关键点对话框，在对话框中分别输入关键点编号1，X=6，Y=0，Z=0，
1 2 3 4 单击Apply按钮定义第一点，如图11-6所示。 在对话框中分别输入关键点编号2，X=6，Y=16，Z=0，单击OK按钮定义第二点，如图11-7所示。 （2）创建圆柱筒母线 运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>lines> Lines>Straight Line命令，在弹出的拾取对话框中分别拾取1点和2点，单击OK按钮完成圆柱筒母线绘制，图11-8所示。
图11-6 定义关键点1 图11-7 定义关键点2
图11-8 圆柱筒母线绘制 6．划分网格 运行主菜单Main Menu>Preprocessor>Meshing>MeshTool（网格划分工具）命令，出现MeshTool菜单，单击Lines中的Set按钮，出现选择拾取对话框，单击Pick All按钮选择所有线，在单元尺寸控制对话框中的No. of element divisions项中输入线的等分数为8，其它项默认，单击OK按钮确定。单击Mesh按钮划分网格，在出现的Mesh Lines对话框中单击Pick All按钮，系统将自动完成网格划分。 运行菜单Utility Menu> PlotCtrls> Numbering弹出Plot Numbering Controls选择对话框，显示单元编号，设置如图11-9所示，单击OK按钮完成设置，划分网格结果如图11-10所示。
图11-9 设置显示单元编号 图11-10 划分网格结果 7．加载 （1）施加约束 运行主菜单Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural> Displacement>On Keypoints命令，出现拾取菜单，选择关键点1，单击OK按钮出现约束定义对话框，如图11-11所示，选择UY约束Y方向自由度，在Displacement Value选项输入0，其它项默认，再单击OK按钮，完成约束定义。 （2）施加载荷 运行主菜单Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural> Force/Moment>On Keypoints命令，出现拾取菜单，拾取关键点2，单击OK按钮出现载荷定义对话框，如图11-12所示，载荷类型为FY，载荷数值为-37699 N，再单击OK按钮完成载荷的施加，结果如图11-13所示。
图11-11 施加约束 图11-12 施加载荷
图11-13 施加约束和载荷结果 8．求解 运行主菜单Main Menu>Solution>Current LS命令，出现Solve Current Load Step对话框，单击/STAT Command窗口菜单/STAT Command>File>Close关闭/STAT Command窗口，然后单击Solve Current Load Step菜单中OK按钮确定，计算机开始进行求解，求解完成后出现“Solution is done”提示表示求解完成，单击Close按钮完成求解。 选择菜单路径Main Menu>Finish退出求解器。 8．查看分析结果 （1）扩展获得360度模型 运行下拉菜单Utility Menu> PlotCrls>Style> Symmetry Expansion>2D Axis-Symmetric弹出轴对称扩展设置对话框，选择Full expansion，单击OK按钮完成操作，图形窗口将显示扩展后的图形。 （2）打开单元形状显示开关 运行下拉菜单Utility Menu> PlotCrls>Style> Size and Shape弹出Size and Shape对话框，将Display of element shapes based on real constant descriptions设置为On即打开状态，将Replot upon OK/Apply设置为Replot，单击OK按钮完成操作，图形窗口将显示图形的截面形状。 （3）显示节点（单元）位移云图 运行主菜单Main Menu>General Postproc>Plot Results> Contour Plot>Nodal Solu（or Element Solu）命令，选择DOF Solution>Displacement Vector sum合位移，单击OK按钮，节点位移云图如图11-14所示。 （4）显示径向应力（SX） 运行主菜单Main Menu>General Postproc>Plot Results> Contour Plot>Nodal Solu（or Element Solu）命令，选择Stress>X-Component stress径向应力，单击OK按钮，节点应力云图如图11-15所示。 （5）显示环向应力（SZ） 运行主菜单Main Menu>General Postproc>Plot Results> Contour Plot> Nodal Solu（or Element Solu）命令，选择Stress> Z-Component stress环向应力，单击OK按钮，节点应力云图如图11-16所示。
第4章 空间问题有限元分析-轴对称
Re N T f p
FL e 2 r0 N T 62 f p 21
圆环 2 r0 Ni f pr Ni f pz N j f pr
N j f pz
Nm f pr
T
Nm f pz
r0 -- 集中力作用点的径向坐标。
2019/10/18
第4章 空间问题有限元分析 空间轴对称问题
曹国华
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
1
主要内容
§ 4.1位移模式 § 4.2几何方程 § 4.3单元刚度 § 4.4等效载荷
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
3
1、研究对象
当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外力都 轴对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题称为轴对 称应力分析问题，在工程中如 活塞，压力容器等 。
空间有限元分析-轴对称
12
几何方程与物理方程
PA线应变
0，（略去高阶小量）.
PB线应变
εφ
PB PB PB
(u
φ
uφ φ
d φ)
u
ρdφ
1 uφ ; ρ φ
PA转角
α
DA
uφ ρ
d
ρ
uφ
,
PA d ρ ρ
2019/10/18
空间有限元分析-轴对称
空间有限元分析-轴对称
28
等效载荷
r Niri N j rj Nmrm
2、体积力移置
FFGee 2 [N] f rdrdz
若体积力为重，则单位体积 的力为
f
＝－0
第10章 弹性力学轴对称问题的有限元法简介
一、轴对称问题的定义 (1)几何形状轴对称：要求结构是相对对称轴的受到的载荷和位移约束条件具 有轴对称性。 (3)材料轴对称要求：结构的材料特性具有轴对称性。
二、 轴对称问题基本方程
轴对称问题的特点是结构的位移、应变和应力都呈轴对称分布。 (l) 柱坐标系(r, θ, z) (u, v, w) 有许多实际工程问题，其几何形状、约束条件以及载荷 都对称于某一固定轴，这类问题为轴对称问题。 (2)基本变量 对于轴对称问题，在柱坐标中的三大 类力学变量为: 位移: ur , wz , (vθ=0)
(下标i, j, m轮换)
用矩阵表示的单元位移为
u Ni w 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
ui w i 0 u j N m w j um wm
四、 三结点单元刚度矩阵
轴对称问题的几何方程：
u a1 a 2 r a 3 z w a4 a5 r a6 z
该模式与平面问题三节点三角形单元相同，由节点条件可以推出相同的形 状函数矩阵，即
Ni N 0
定义形态函数为
Ni
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
1 (ai bi r ci z ) 2
bj 0 fj 0 0 cj cj bj
式中
ai ci z f i bi r r
{ } [ B] { }e
(i , j, m )
B B( r , z )
用几何矩阵表示单元的应变
[ B] [ Bi
Bj
Bm ]
bi 1 fi [ Bi ] 2 0 ci
有限单元法 第4章 空间轴对称问题有限元分析
+
# % ! 5 & +
习 !! 题
# " 如图 ! " ) 所示两个轴对称三角形单元 $ 其形状 ) 大小 ) 方位均相 同 $ 但位置 不同 ( 设材料弹性模量为 1$ 泊松比为&$/ 坐标!) " # ($ 试分别计算两单元的刚度矩阵 # " 取平 均值 ) ) % ( " ,
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’
& " / / / ) $ * , / $ ) ! # 0 *$+% / $ /* ! !
! "# "$! 等效结点荷载的计算 %集中力 # 集中力的处理很简单 $ 一般直接把集中力作用点取为结点 $ 不需要作特殊处理 $ 就可 以直接把集中力加入到结点荷载列阵中去 ( %体积力 & 设单元内单位体积上作用的体积力为 ’ ’ $ 则移置到单元各结点的等效结点力为
"$# #’ #$ $ # # #+ % )! *! , / / # % / / # 0 & # / $ ) ! " *&+# /$ & ( / /
.
" # ! # # & " # ! # # )
" # ! # # !
/ , / $ & 由于在 0 是坐标 & 的函数 & ! " $ / ! 分量在单元中不为常量 & 其他三 个应变 分量 在单元
图! "!! 习题 # 图
$ 所示的是受轴向压缩的圆柱体 " 直径5$ ) " 如图! " (# 1 # / 3 6" 长度6 $ # & 3 6" 两端面 受均布载荷" & 如图 ! $ 所示$ % + / 7 8 1作用 % 现取轴对称面的 # ! 均匀划分单元 # " (# 2 "$ # $写出离散体的位移约束条件 % # # $求单元 " ’ # ’ $ ’ % 的等效结点荷载 % & $写出结点 #’&’)’!’(’+ 的荷载矩阵 % # )
第5章：轴对称问题的有限单元法
第4章
轴对称体的有限单元法[专题2]
中南大学
由弹性力学知，轴对称问题的位移列阵和应力列阵分别为： r ＝ z rz 1.几何方程 r 方向的位移分量 f ＝ z方向的位移分量
(4 1)
对应于应力分量的应变分量为 r， z， rz， ，应变分量与位移分量 之间安的关系写成列阵形式为 u r r v z z ＝ rz u v z r u r
1 ri ai , bi , ci (i, j , m)分别是ijm面积行列式2＝ 1 rj 1 rm
第4章
轴对称体的有限单元法[专题2]
中南大学
(4 5)式写成矩阵形式为： ui i 0 Nj 0 Nm 0 u j u Ni 0 N 0 N 0 N i j m j um m 式中：f 为单元内任一点P(r , z )的位移列阵
(4 4)
第4章
轴对称体的有限单元法[专题2]
中南大学
4.2 轴对称体的离散化
由于轴对称问题的位移和应力仅与坐标r,z有关，因此结构离散 化只在子午面内进行。离散轴对称体时，采用的单元是环单元，这 些环单元与rz平面（子午面）正交的截面可以有不同的形状，例如3 结点三角形、6结点三角形或其它形状，各单元在rz平面内形成网格， 如图6－1所示。当用3结点三角形环单元进行网格离散时，每一个 三角形环单元都有3条棱边，这3条棱边是3个圆周，称为结点圆， 而它们与rz面的交点是三角形的3个顶点i,j,m，称为结点。单元结点 是圆环形的铰链，三角形环单元之间用这些铰链互相连接传力。
有限元法与程序-空间问题和轴对称问题
Sj
Sm
bi A1g i A1ci A b g A c 2A3 1 i i 1 i Si A1 bi g i ci A c A b 2 i 2 i
(i、j、m)
其中
A1
1
1 2 A2 2(1 )
3122jijjiiiiirrldslrlrlrdsln??????12jijjiijijirrldslrlrllrdsln??????33121223631212sirijsjrijsirijsjrijesisizijsjzijsizijsjzijllprrprrprrprrlfprrprrllprrprr??????????????????????????????????????312122sirijsjrijellprrprrf?????????????231212336sisizijsjzijsirijsjrijsizijsjzijfllprrprrprrprrlprrprr?????????????????????????????特殊情况1均布表面力设单元ij边上作用均布表面力其集度为???????zrsppp???????rsppp????????zrjiesipprrlp23?????????zrjiesjpprrlp23???zpl当当rirj时静力等效原则2三角形分布表面力沿单元ij边作用了三角形分布的表面力表面力在i点集度为?????rpp????zspp????????zrjiesipprrlp36?????????zrjiesjpprrlp6?当当rirj时静力等效原则
其中的近似子矩阵为
[k rs ] 2 [ Br ][D][Bs ]rA
Ac 2 rA3 br (bs A1 g s ) gr ( Ab 1 s g s ) A2 cr cs 1 s (br g r ) A2cr bs Ac ( b g ) A b c c c A b b A 1 r s s 2 r s r s 2 r s
有限单元法课件第三章 轴对称问题的有限元解法
结构中的应力,应变和位移只是r,z的函数
任意一点的位移只有沿r方向的径向位移u 方向的切向 和沿z方向的轴向位移w,而沿 位移等于零。
子午面
o
r
因此,可以取出结构的任一子午面进 行分析,从而将三维问题转化为二维 问题来求解。
z ( z )
根据轴对称特点,有:
zr ( zr )
r z 0 r z 0
j
ui
uj
o
i
r
三节点三角形轴对称环单元
二、单元分析
从划分的单元中任取一个单元。 三个节点的编号分别为i,j,m,节点 坐标 (ri , zi ) , (rj , z j ) ,(rm , zm ) 为已知,节 点位移分别为(ui , wi ), (u j , wj ), (um , wm ) 。 1.位移函数
T
bi (3-12) l d s ci l
jn N 在 jm 边上有 Ni (r, z) 0 ,令 m jm t N j 1 jn 1 t jm
则有 ds jmdt ldt
s jn jmt lt
将以上五式代入式(3-12),积分得表面力 Ps 的等效节点载荷为
T
1
0
轴对称问题的弹性矩阵
第二节 轴对称问题有限元法
一、结构离散 轴对称结构本身是一个三维结构 ,由于形状和载荷的特殊 性,其网格划分仅在任一子午面上进行 ,因此网格表现为平面 网格 , 但实际上单元具有环状的空间结构。本章采用三节点 三角形环单元。 w z m
m
um
wj
wi
( x, y)
T e
考虑到虚位移的任意性,将上式两边的 q 同时消去,则有 T e F B rdrd dz
有限元分析—空间问题简介 PPT
坐标下表示的形函数，xi为 总体坐标下的节点坐标
N1
1(1)(1)
4
N2
1(1)(1)
4
对四节点四边形等参元，Ni
N3
1(1)(1)
4
N4
1(1)(1)
4
5-4 等参数单元
变换实例
η 4 (-1,1)
1 (-1,-1)
3 (1,1) ξ
2 (1,-1)
tη ζ ξ
4 (x4,y4) y
η=1 η
v P(x,y) u
2.位移函数
线性位移函数
u(x, y,z) a1 a2xa3ya4z v(x,y,z)a5 a6xa7ya8z w(x, y,z)a9 a10xa11ya12z
5-3 四面体单元
利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式
u v ( (x x ,,y y ,,z z ) ) N 0 1 N 0 1 0 0N 0 2 N 0 2 0 0N 0 3 N 0 3 0 0N 0 4 N 0 4 0 0 u M 1 w (x ,y ,z) 0 0N 1 0 0N 2 0 0N 3 0 0N 4 w 4
x
柱坐标系
z
p
(r, , z)
5-1 轴对称问题
基本方程
位移分量{urw }T Q u=0
应力分量{}{r z rz}T
应变分量 {}{r z rz}T
= { u r ru rr w z u r z w r } T
虚功方程
2
Q d 2 则 { * } T { F } 2 { * } T { } R rd rd z
zx
v
z
w y
bi 0 0
wx
东南大学 有限元分析课程 第三章 轴对称问题和空间问题有限元法
B = Bi
Bj
Bm
0 0 ( s = i , j , m) cs bs
K e = 2π rc B T DB
单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为：
K sp = 2π rc BsT DB p bs bp + f s f p + A1 (bs f p + f s bp ) + A2 cs c p = A1 (cs bp + cs f p ) + A2bs c p A1 (bs c p + f s c p ) + A2 cs bp cs c p + A2bs bp
式中： 式中：
A1 =
µ
1− µ
A2 =
1 − 2µ 2(1 − µ )
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到， 为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , z c 代替 B 矩阵中的变 量，将单元中的r和z近似地当作常量，并且分别等于 rc , z c 。
1 r ≈ rc = ( ri + rj + rm ) 3
K e = 2π ∫∫ B T DBrdrdz
单元刚度矩阵的分块矩阵为， 单元刚度矩阵的分块矩阵为，
K sp = 2π ∫∫ BsT DB p rdrdz ( s, p = i, j , m)
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到， 为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , z c 代替 B 矩阵中的变 量 r, z 。
1 rc = ( ri + r j + rm ) 3
1 z c = ( zi + z j + z m ) 3
板、壳、轴对称、梁、桁架问题的有限元分析-2015
板
常用板单元见表1。
板单元名称 Plane182 说 明
二维结构实体单元，用于解决平面应力问题、平面应 变问题和轴对称问题
Plane183
Plane182的高阶单元
板
在利用ANSYS进行板的有限元分析时，有四种情况： 1）平面应力问题； 2）平面应变问题； 3）等厚度板问题； 4）轴对称问题。 利用ANSYS分析时，先定义单元，定义后，需要通过设 置单元配置项KEYOPT（3）来选择分析类型。 如平面应力问题，KEYOPT（3）选Plane stree ； 如平面应变问题，KEYOPT（3）选Plane strain； 如为等厚度板的非平面应力问题，KEYOPT（3） 选 Plane stress with thickness input； 如为轴对称问题，KEYOPT（3） 选Axisymmtric。
Loads>Settings>For Surface Ld>Gradient命令
二、轴对称问题
轴对称例题1
如图所示，圆柱筒材质为A3钢，受1 000 N/m的压力作用，其厚度为0.1 m，直径12 m， 高度为16 m，并且圆柱筒壳的下部轴线方向 固定，其它方向自由，试计算其变形、径向 应力和轴向应力。弹性模量为2.0×1011 N/m2，泊松比为0.3。
桁架常用单元
桁架问题例题
人字形屋架的几何尺寸、边界条件如图所 示。材料的弹性模量为207×109N/m2，泊 松比为0.3，杆件截面尺寸为0.01m2，试进 行静力分析，求人字形屋架的变形图和各 点的位移及轴向力、轴力图。
四、梁问题的有限元分析
• 梁的有限元分析问题也是工程中最常见的 结构形式之一，常用在建筑、机械、汽车、 工程机械、冶金等多种场合。 • 梁结构的特点是，梁的横截面均一致，可 承受轴向、切向、弯矩等载荷。根据梁的 特点，等截面的梁在进行有限元分析时， 需要定义梁的截面形状和尺寸，用创建的 直线代替梁，在划分网格结束后，可以显 示其实际形状。
轴对称及工程分析问题
3.4载荷移置
与平面问题相同，由虚功方程可以得到结点载 荷。单元体力{p}的移置，
{R}e 2 [ N ]T { p}rdrdz
假定对称轴垂直于地面，单元上仅受到重力作 用，将重力移置到单元结点上。
bj a j b j c j zc 1 [B j ] rc 2A 0 cj 0 0 cj bj
bi ai 1 bi ci zc rc [ Bi ] 2A 0 ci bm am 1 bm cm zc rc [ Bm ] 2A 0 cm
u 1 ( f i ui f j u j f m u m ) r 2A w 1 (ci wi c j w j cm wm ) z 2 A u 1 (ci ui c j u j cmum ) z 2 A w 1 (bi wi b j w j bm wm ) r 2 A
e
3.2 三结点单元位移函数
参照平面问题的三角形单元位移函数，轴对称 问题的三结点三角形单元位移函数取为， u a1 a2 r a3 z (3-14) w a4 a5r a6 z
轴对称问题的三结点三角形单元是环状单元。
将结点坐标和结点位移代入（3-14）得到
ai a1 1 bi a 2 a 2 A c 3 i aj bj cj am ui bm u j u cm m
由于[B]中包含1/r，积分运算较为复杂。通常用三角 形单元形心位置的坐标代替[B]矩阵中的变量r、z。 1 1 z z c ( zi z j z m ) r rc (ri rj rm ) 3 3