12.方程根讨论
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
新教材高中数学第二章等式与不等式212一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件
【解析】因为关于 x 的一元二次方程 x2－(2m＋3)x＋m2＝0 有两个不相等的实数根， 所以 Δ＝[－(2m＋3)]2－4m2＝12m＋9＞0，所以 m＞－43 .因为 x1＋x2＝2m＋3，x1·x2 ＝m2. 又因为 x1＋x2＝m2，所以 2m＋3＝m2，解得：m＝－1 或 m＝3.因为 m＞－34 ，所以 m＝3.
＝
b a
c
；x1x2＝ a
．
思考 利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？ 提示：先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－ 4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数的关系解题．
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
思考
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
x＝－b±
b2－4ac 2a
适合用于所有的一
元二次方程吗？
提示：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用，即： 当根的判别式 Δ＝b2－4ac≥0 时适用．
2．一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有x1＋x2
利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤 (1)算：计算出两根的和与积． (2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式． (3)代：代入求值．
1．下列方程中，无实数根的方程是( )
A．x2＋1＝0
B．x2＋x＝0
C．x2＋x－1＝0 D．x2＝0
【解析】选 A.A.因为 Δ＝－4×1×1＝－4＜0，
【补偿训练】 用配方法求方程 3x2－6x＋4＝0 的解集． 【解析】移项，得 3x2－6x＝－4. 二次项系数化为 1，得 x2－2x＝－43 . 配方，得 x2－2x＋12＝－43 ＋12，(x－1)2＝－13 . 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x－1)2 都是非负数，上式都不 成立，即原方程的解集为∅.
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )<2 B,a >2 <2且a ≠1 <－2·变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数．．．．值.变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x --=有两个实数根，求k 的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值已知2-是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；1. 已知12,x x 是方程22430x x --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵1211x x +；⑶212()x x -变式：已知,a b 是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值变式1： （2011·荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2变式2：（2010·中山）已知一元二次方程022=+-m x x ．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。
湘教版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》精品教案
3. 情感态度与价值观：过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严
谨的治学态度。
重点
用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根或没有实根。
难点
在具体题目中，能用一元二次方程根的判别式判别方程实根个数的情况。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动 设计意图
①当△
时，方程有两个不等的实根：
②当△
时，方程有两个相等实根：
=－ 结 合 导 入 的 思考和老师
讲授新课 +
例题讲解
③当△
时，所以原方程无实根.
我们看一个具体的例子：
【例 1】不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-3=0；
（2）4x2=12x-9；
（3）7y=5（y2+1）．
分析：要判断上述方程根的情况，就必须算出“△”，确
讲解的时候， 道 本 节 课
∴不论 m 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根 自己先思考， 的 学 习 内
【 例 4 】 已 知 ： a 、 b 、 c 是 △ ABC 的 三 边 ， 若 方 程 然 后 再 听 老 容和重点。
ax²+2 △ABC 的形状.
师讲解。 有两个等根，试判断
解：对于原方程Δ ＝0，即
∵△=（-12）2-4×4×9=144-144=0，
∴原方程有两个相等的实数根.
（3）将原方程化为一般形式，得
5y2-7y+5=0.
∵△=（-7）2-4×5×5=49-100=-51＜0，
∴原方程没有实数根.
【例 2】当 k 取什么值时，关于 x 的方程 2x2-（4k+1）
专题根与系数的关系含答案
专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0．1当m取何值时,方程有两个不相等的实数根；2若x1、x2为方程的两个不等实数根,且满足x12+x22-x1x2=2,求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．1求证：此方程有两个不相等的实数根；2设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1＜x2．若2x1=x2+1,求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0．1求证：方程有两个不相等的实数根；m,且点B m,n在x轴上,求m 2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2,若n=x2-x1-12的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围；2若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值．例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-1=0．21求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实数根；2能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数若能找到,求出k的值；若不能,请说明理由．3当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0．1求证：方程总有两个实数根；2已知方程有两个不相等的实数根α,β,满足1α+1α=1,求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=01若方程有两个实数根,求m的范围；2若方程的两个实数根为x1和x2,且x1+3x2=3,求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2,且x12-x22=0,求m的值．3.已知关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=01证明：无论m为何值方程都有两个实数根；2是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于26若存在,求出满足条件的正数m的值；若不存在,请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0k为常数．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设x1、x2为方程的两个实数根,且2x1+x2=14,试求出方程的两个实数根和k 的值．5.已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．1求k的取值范围；2若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3,求k的值．m-3=06.已知关于x的一元二次方程x2-m-2x+121求证：无论m取什么实数时,这个方程总有两个不相等的实数根；2如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1+x2=m+1,求m的值．7.已知关于x的一元二次方程a-1x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．1求a的值及方程的另一个根；2如果一个等腰三角形底和腰不相等的三边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长．8.设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2+4a -2=0的两实根,当a 为何值时,x 12+x 22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1. 解：1∵方程有两个不相等的实数根, 例2. ∴△=b 2-4ac =-2m -12-4mm -2=4m +1＞0, 例3. 解得：m ＞-14,∵二次项系数≠0,∴m ≠0, 例4. ∴当m ＞-14且m ≠0时,方程有两个不相等的实数根； 例5. 2∵x 1、x 2为方程的两个不等实数根,例6. ∴x 1+x 2=2α−1α,x 1x 2=α−2α, 例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=x 1+x 22-3x 1x 2=2α−1α2-3(α−2)α=2, 例8.解得：m 1=√2+1,m 2=-√2+1舍去；∴m =√2+1．例9. 解：1∵△=-4m 2-44m 2-9=36＞0,例10. ∴此方程有两个不相等的实数根； 例11. 2∵x =4α±√362=2m ±3,例12. ∴x 1=2m -3,x 2=2m +3,例13. ∵2x 1=x 2+1,∴22m -3=2m +3+1,例14.∴m =5．例15. 解：1∵△=4-3m 2-4m 2m -8, 例16. =m 2+8m +16=m +42例17. 又∵m ＞0∴m +42＞0即△＞0 例18. ∴方程有两个不相等的实数根； 例19. 2∵方程的两个根分别为x 1、x 2x 1＜x 2,例20. ∴x 1+x 2=-4−3αα,x 1x 2=2α−8α, 例21. n =x 2-x 1-12m ,且点B m ,n 在x 轴上, 例22. ∴x 2-x 1-12m =√(α1+α2)2−4α2α1-12m =√(4−3αα)2−4×2α−8α-12m =0, 例23. 解得：m =-2,m =4,例24.∵m ＞0,∴m =4．例25. .解：1∵方程x 2-2m +1x +m 2+5=0有两个不相等的实数根, 例26. ∴△=-2m +12-4m 2+5=8m -16＞0,解得：m ＞2． 例27. 2∵原方程的两个实数根为x 1、x 2, 例28. ∴x 1+x 2=2m +1,x 1x 2=m 2+5． 例29. ∵m ＞2,例30. ∴x 1+x 2=2m +1＞0,x 1x 2=m 2+5＞0, 例31. ∴x 1＞0、x 2＞0．例32. ∵x 12+x 22=(α1+α2)2-2x 1x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1x 2, 例33. ∴4m +12-2m 2+5=2m +1+2m 2+5,即6m -18=0,例34.解得：m =3．例35. 证明：1∵△=2k +12-16k -12=2k -32≥0, 例36. ∴方程总有实根；例37. 解：2∵两实数根互为相反数, 例38. ∴x 1+x 2=2k +1=0,解得k =； 例39. 3①当b =c 时,则△=0, 例40. 即2k -32=0,∴k =32, 例41. 方程可化为x 2-4x +4=0,∴x 1=x 2=2,而b =c =2,∴b +c =4=a 不适合题意舍去；例42. ②当b =a =4,则42-42k +1+4k -12=0, 例43. ∴k =52, 例44. 方程化为x 2-6x +8=0,解得x 1=4,x 2=2, 例45. ∴c =2, C △ABC =10,例46. 当c =a =4时,同理得b =2,∴C △ABC =10,例47.综上所述,△ABC 的周长为10．训练1.1证明：∵方程mx 2-m +2x +2=0m ≠0是一元二次方程, ∴△=m +22-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=m -22≥0, ∴方程总有两个实数根；2解：∵方程有两个不相等的实数根α,β,∴由根与系数的关系可得α+β=α+2α,αβ=2α, ∵1α+1α=1,∴α+2α2α=α+22=1,解得m =0,∵m ≠0,∴m 无解．2.解：1∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根,∴△=-22-4m ≥0,解得m ≤1；2由两根关系可知,x 1+x 2=2,x 1x 2=m ,解方程组{α1+α2=2α1+3α2=3, 解得{α1=32α2=12,∴m =x 1x 2=32×12=34； 3∵x 12-x 22=0,∴x 1+x 2x 1-x 2=0,∵x 1+x 2=2≠0,∴x 1-x 2=0,∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根,∴△=-22-4m =0,解得m =1．3. 1证明：∵关于x 的方程x 2+m -3x -m 2m -3=0的判别式△=m -32+4m 2m -3=9m -12≥0,∴无论m 为何值方程都有两个实数根；2解：设方程的两个实数根为x 1、x 2,则x 1+x 2=-m -3,x 1×x 2=-m 2m -3,令x 12+x 22=26,得：x 1+x 22-2x 1x 2=m -32+2m 2m -3=26,整理,得5m 2-12m -17=0,解这个方程得,m =175或m =-1, 所以存在正数m =175,使得方程的两个实数根的平方和等于26．4. 1证明：在方程x 2-6x -k 2=0中,△=-62-4×1×-k 2=4k 2+36≥36, ∴方程有两个不相等的实数根．2解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根,∴x 1+x 2=6①,x 1x 2=-k 2,∵2x 1+x 2=14②,联立①②成方程组{α1+α2=62α1+α2=14, 解之得：{α1=8α2=−2, ∴x 1x 2=-k 2=-16,∴k =±4．5. 解：1∵原方程有两个不相等的实数根,∴△=-2k -32-4k 2+1=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0,解得：k ＜512；2∵k ＜512,∴x 1+x 2=2k -3＜0,又∵x 1x 2=k 2+1＞0,∴x 1＜0,x 2＜0,∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-x 1+x 2=-2k +3,∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3,∴-2k +3=2k 2+2-3,即k 2+k -2=0,∴k 1=1,k 2=-2,又∵k ＜512, ∴k =-2．6. 解：1∵△=m -22-4×12m -3=m -32+3＞0, ∴无论m 取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根；2解：x1+x2=m-2,2x1+x2=x1+x1+x2=m+1,∴x1=m+1+2-m=3,把x1代入方程有：9-3m-2+12m-3=0解得m=245．7. 解：1将x=3代入方程中,得：9a-1-15+4a-2=0, 解得：a=2,∴原方程为x2-5x+6=x-2x-3=0,解得：x1=2,x2=3．∴a的值为2,方程的另一个根为x=2．2结合1可知等腰三角形的腰可以为2或3,∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8. .解：∵△=2a2-4a2+4a-2≥0,∴α≤12又∵x1+x2=-2a,x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=x1+x22-2x1x2=2a-22-4．设y=2a-22-4,根据二次函数的性质．∵α≤12∴当α=12时,x12+x22的值最小．此时α12+α22=2(12−2)2−4=12,即最小值为12．。
根与系数关系例题附答案
根与系数关系专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根，则为x 1、x 2，则α2+β2的值为（ ） A ．﹣7 B ．25 C ．17 D ．1【答案】B 【分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8，∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ．2．一元二次方程240x kx +-=的一个根是1x =-，则另一个根是（ ） A ．4 B ．-1 C ．-3 D ．-2【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m ， 则有m ×（-1）=-4， 解得：m =4． 故选：A ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于ca是解题的关键．3．已知,m n 是方程2310x x +-=的两根，则24m m n ++的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4【答案】A 【分析】,m n 是方程2310x x +-=的两根,则有2310m m +-=，3m n +=-，将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵,m n 是方程2310x x +-=的两根 ∴2310m m +-=，3m n +=- ∴231m m +=∴22+4+=3=132m m n m m m n +++-=- 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则x 12﹣2017x 1﹣2018x 2的值为（ ） A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．2017【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得21110x x +-=，根与系数的关系求得12x x +1=-，代入求解即可． 【详解】x1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴21110x x +-=，12x x +1=-，()()2111220181201812019x x x x ∴=+-+=-⨯-=原式．故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．已知实数a ，b 满足a ≠b ，且a 2－4a ＝b 2－4b ＝2，则a 2＋b 2的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．25 D ．30【答案】B 【分析】根据题意可得则,a b 为2x 4x 2-=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可． 【详解】242a a -=，242b b -=，则,a b 为2x 4x 2-=的两根 2420x x --=， 4,2a b ab ∴+==-，()222216420a b a b ab ∴+=+-=+=，故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，理解,a b 为2x 4x 2-=的两根是解题的关键．6．等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k +2＝0的两根，则k 的值为（ ） A ．30 B ．34或30C ．36或30D ．34【答案】D 【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a=b 时；结合一元二次方程根与系数的关系即可求解； 【详解】解：当4a =时，440448b -=<<+=时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，440448a -=<<+=，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==，236k ab ∴+==，34k ∴=； 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 7．方程2x 2+（k +1）x －6=0的两根和是－2，则k 的值是（ ） A ．k =3 B ．k =－ 3 C ．k =0 D ．k =1【答案】A 【分析】设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ，则由题意得12122k x x ++=-=-，解方程即可． 【详解】解：设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ， ∵方程22(1)60x k x ++-=的两根之和是-2， ∴12122k x x ++=-=-， ∴3k =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8．点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，且a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根，则点A 坐标是（ ）A ．（1，9）B ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（3，3）D ．（-3，-3）【答案】C 【分析】根据点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，可得9ab = ，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得ab m =，从而得到9m = ，然后解出方程，即可求解． 【详解】解：∵点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上， ∴9ab = ，∵a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根， ∴ab m =， ∴9m = ，∴方程260x x m -+=为2690x x -+=， 解得：123x x == ， 即3a b == ， ∴点A 坐标是()3,3 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题9．设a ，b 是方程x 2＋x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为____． 【答案】2020 【分析】由于a 2＋2a ＋b ＝（a 2＋a ）＋（a ＋b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2＋a ）的值，由根与系数的关系得到（a ＋b ）的值，即可求解． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2＋x −2021＝0的两个实数根， ∴a 2＋a −2021＝0，即a 2＋a ＝2021，a ＋b ＝ba-＝−1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋a ＋b ＝2021−1＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．10．若方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为___． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝3、x 1x 2＝1，将其代入x 1（1+x 2）+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 1（1+x 2）+x 2＝x 1+x 1x 2+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a、两根之积等于ca 是解题的关键．11．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a +1）（b +1）的值为_______． 【答案】-2021 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出1,2021a b ab +=-=-，然后整体代入求解即可． 【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根， 1,2021a b ab ∴+=-=-，()()()()1112021112021a b ab a b ∴++=+++=-+-+=-，故答案为：-2021． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．12．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_________． 【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，再将它们代入x 1+x 2﹣x 1x 2，计算即可． 【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝13﹣1()3-＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．13．设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______． 【答案】11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根， ∴2x 12+3x 1﹣4＝0， ∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8， ∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣32，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11．故答案为:11． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12bx x a +=-，12c x x a=．14．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为______． 【答案】2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0，则α2+2α=2021，于是α2+3α+β可化为2021+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=-2，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021． 又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019． 故答案是：2019． 【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b cx x x x a a+=-=，也考查了一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系．三、解答题15．已知关于x 的方程240x x m -+=的一个根为2+ （1）求m 的值及方程的另一个根； （2）设方程的两个根为1x ，2x ，求20212022121x xx +的值．【答案】（1）m =1，（2）4 【分析】（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，求出即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，解得：a m =1，即m =1，方程的另一个根为 （2）x 1，x 2是方程x 2-4x +1=0的两个根， 则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，∴x 12021x 22022+x 1=（x 1x 2）2021x 2+x 1=x 2+x 1=4． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=ba -，x 1x 2=c a ，反过来也成立．16．已知关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）不存在；理由见解析． 【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，∴Δ=（m -2）2-2144m ⨯ ＞0即：4-4m ＞0 m ＜1（2）由题意，x 1+x 2=()214m ---=4m -8， 若方程两实数根互为相反数，则4m -8=0， 解得，m =2， 因为m ＜1，所以m =2时，原方程没有实数根，所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m 的值而忽略m 的范围．17．定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为12,x x （12x x <），分别以12,x x 为横坐标和纵坐标得到点M （12,x x ），则称点M 为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x 2=3x ，写出该一元二次方程的奇特点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0（m ＜0）的奇特点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值； （3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，若存在请算出b ，c 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）()0,3 ；（2）12m =- ；（3）存在，148,33b c ==【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，即可求解；（2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，可得奇特点M 的坐标为()2,1m ，再由过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于m 的方程，解出即可；（3）将直线解析式变形，可得直线过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ，即可求解．【详解】解：（1）23x x = ，整理得： 230x x -=，即()30x x -=，解得：120,3x x == ， ∴奇特点M 的坐标为()0,3 ； （2）x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0， ∴()()210x m x --= ， 解得：122,1x m x == ， ∵m ＜0， ∴21m < ，∴奇特点M 的坐标为()2,1m ，∵过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴21m -= ，解得：12m =- ；（3）存在，理由如下：∵()()322324y kx k k x =--=-+ ，∴当320x -= ，即23x =时，4y = ， ∴直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭ ，∵一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ， ∴224,433b c +=-⨯= ， 解得：148,33b c == ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．18．已知方程2x ﹣（m ﹣3）x ﹣3m ＝0有一个根为4，求它的另一个根．【答案】﹣3【分析】直接把4代入方程即可求得m 的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【详解】解：把4代入已知方程得：24﹣4（m ﹣3）﹣3m ＝0，解得m ＝4，∴两根之积为﹣3m ＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10x x --=； （2）(25)(1)7x x x ++=+．【答案】（1）1213x x +=，1213x x =-；（2）123x x +=-，121x x =-． 【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-⋅=，求解即可．【详解】解：（1）原式整理为：2310x x --=，∴3,1,1a b c ==-=-， ∴1213b x x a +=-=，1213c x x a ⋅==-； （2）原式整理为：2310x x +-=，∴1,3,1a b c ===-， ∴123b x x a +=-=-，121c x x a⋅==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．求下列方程两个根的和与积：（1）25100x x --=； （2）22710x x ++=；（3）23125x x -=+； （4）(1)37x x x -=+．【答案】（1）125x x +=，x x ⋅=-1210；（2）1272x x +=-，1212x x ⋅=；（3）1223x x +=，122x x ⋅=-；（4）124x x +=，x x ⋅=-127 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；（2）直接根据根与系数的关系求解；（3）先把方程化为一般式为23260x x --=，然后根据根与系数的关系求解； （4）先把方程化为一般式为2470x x --=，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则125x x +=，x x ⋅=-1210 ．（2）设方程的两根为1x ，2x ，则1272x x +=-，1212x x ⋅=． （3）原方程化为23260x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则1223x x +=，122x x ⋅=-． （4）原方程化为2470x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则124x x +=，x x ⋅=-127．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ． 21．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12,x x 的和与积： （1）26150x x --=（2）23790x x +-=（3）2514x x -=【答案】（1）12126,15x x x x +==-；（2）12127,33x x x x +=-=-；（3）121251,44x x x x +== 【分析】（1）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵26150x x --=，∴1a =，6b =-，15c =-， ∴126b x x a +=-=，1215c x x a==-； （2）∵23790x x +-=，∴3a =，7b =，9c =-， ∴1273b x x a +=-=-，123c x x a==-； （3）∵2514x x -=，即24510x x -+=∴4a =，5b =-，1c =， ∴1254b x x a +=-=，1214c x x a ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．22．已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m；（2）1-或0 【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解．（2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根，∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+， 解得12m ， ∴实数m 的取值范围是12m； （2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>， 解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=． 23．已知关于x 的方程 (k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0．（1）证明：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）是否存在实数k ，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在符合条件的实数k ，理由见解析【分析】（1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出Δ=4k 2+5＞0，由此可得出无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，利用根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，可得出关于k 的方程，解之即可求出k 值，再由（1）中k 的取值范围，即可得出不存在符合条件的k 值．【详解】（1）证明：Δ=(2k 2+1)2-4×(k 2+1)×(k 2-1) =4k 4+4k 2+1-4k 4+4=4k 2+5，∴k 2+1＞0，4k 2+5＞0，∴无论k 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）不存在符合条件的实数k ，理由如下：设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系得：x 1+x 2=-22211k k ++． ∵x 1、x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，即-222101k k +=+， ∵k 2≥0，∴2k 2+1≥1，∴不存在符合条件的k 值．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、相反数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据非负数的性质得到根的判别式Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，求出k 值．24．关于x 的方程2210x x k -++=的两个实数根是1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为整数，且满足12124x x x x +-<，求k 的值．【答案】（1）0k ≤；（2）2k =-，1-，0【分析】（1）根据“方程2210x x k -++=有两个实数根，”可得0∆≥，即可求解；（2）根据“k 为整数，且满足12124x x x x +-<，”可得3k >-，结合（1）0k ≤，即可求解．【详解】解：（1）∵方程2210x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()244410b ac k -=-+≥，解得0k ≤；（2）∵122x x +=，121x x k =+，∴214k --<，由（1）0k ≤，可得30k -<≤，∵k 为整数，∴2k =-，1-，0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式24b ac ∆=-，根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a =是解题的关键．。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
b 2 2 Δ一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1．掌握一元二次方程根的判别式的应用．2．掌握一元二次方程的根与系数的关系．【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式．通常用符号“”来表示．2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-1 2 ba，x x =1 2 ca4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-p ，x x =q12 1 2【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b 2－4ac ≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
韦达定理ppt
b b 2 4ac 2a
●
b b 2 4ac 2a
4ac 4a 2
=
(b) 2 ( b 2 4ac) 2 4a 2
=
c = a
韦达（1540－1603） 法国数学家 十六世纪最有影响的 数学家之一，被尊称为 “代数学之父”。
2、 2x2 - 6x =0 3、 3x2 =4
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=0
4 x1x2= 3
韦达定理
一：思考、发现， 噢，是这样哎！
二：疑问，为什么会是这样呢？能证明吗？
三：疑问，我学习它有什么用呢？
1、解方程
6 x 2 13x 5 0
可以检验一元二次方程的解是否正确； 2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求关于一元二次方程的两根x1,x2的代数式的值；
1、韦达定理及证明 2、韦达定理的简单应用
3、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件： 根的判别式△ ≥0
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4(k 1) 2 4k 2 0
即-8k+4≥0
k
由韦达定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
1 2
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
中考数学总复习 第十二章 一元二次方程 第9课时 根的判别式教案-人教版初中九年级全册数学教案
一元二次方程第9课时：一元二次方程的根的判别式（二）教学目标：1、熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．2、学会运用判别式求符合题意的字母的取值X围和进行有关的证明．3、通过例题教学，渗透分类的思想．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值X围．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．教学过程：上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利用其逆定理，求符合题意的字母的取值X围，以及进行有关的证明．本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．一、新课引入：（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？二、新课讲解：将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值X围．请看下面的例题：例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（1）方程无实数根．解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．方程有两个不相等的实数根．方程有两个相等的实数根．方程无实数根．本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．教师评价，纠正不精练的步骤．假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？练习2．已知：关于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值X围．和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值X围．解：∵△＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．原方程有两个实数根．学生板书、笔答，教师点拨、评价．例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．分析：将△算出，论证△＜0即可得证．证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）＝-4（m2＋2）2．∵不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．此种题型的步骤可归纳如下：（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；（3）判断△的符号；（4）结论．练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．提示：将括号打开，整理成一般形式．学生板书、笔答、评价、教师点拨．三、课堂小结：1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值X围以及进行有关的证明．须注意以下几点：（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．四、作业：1．教材P．29中B1，2，3．2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．参考题目：一、选择题（每题4分，共24分）将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内。
2122 一元二次方程的解法(二)公式法(解析版)
21.2.2一元二次方程的解法（二）公式法夯实双基，稳中求进公式法解一元二次方程知识点管理 归类探究 1 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac =->时，242b b ac x a-±-=.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：24b ac =-．①当240b ac =->时，原方程有两个不等的实数根242b b acx a-±-=；②当240b ac =-=时，原方程有两个相等的实数根； ③240b ac =-<当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的步骤：①变形：把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求△：求出24b ac -的值；④定根：240b ac -≥若，则利用公式242b b acx a-±-=求出原方程的解；若240b ac -<，则原方程无实根.题型一：一元二次方程的求根公式【例题1】（2021·全国九年级）关于x 的一元二次方程220(0,40)ax bx c a b ac ++=≠->的根是（ ）A B C D 【答案】D【详解】当20,40a b ac ≠->时，一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式为x .故选D.变式训练【变式1-1】（2020·福建省福州延安中学九年级月考）x =是下列哪个一元二次方程的根（ ）A ．23210x x +-=B ．22410x x +-=C ．2x 2x 30--+=D ．23210x x --= 【答案】D【分析】根据一元二次方程的求根公式解答即可．【详解】解：对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，方程的根为：2b x a-=．因为x =3a =，2b =-，1c =-，所以对应的一元二次方程是：23210x x --=．故选：D ．【变式1-2】（2019·全国八年级课时练习）解下列方程，最适合用公式法求解的是( ) A ．2(26)10x =＋－ B ．2(14)x =＋ C ．2121x ＝ D ．2350x x =－－【答案】D【分析】解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法，根据每种方法的特点逐个判断即可．【详解】解：A 、用因式分解法好，故本选项错误； B 、用直接开平方法好，故本选项错误；C 、变形后用直接开平方法好，故本选项错误；D 、用公式法好，故本选项正确．故选D ．【变式1-3】（2019·全国九年级课时练习）用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ）A ．x 1、2B ．x 1、2C ．x 1、2D ．x 1、2【答案】D【详解】∵3x 2+4=12x ， ∵3x 2-12x+4=0， ∵a=3，b=-12，c=4，∵x =，故选D.题型二：公式法解一元二次方程【例题2】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级二模）解方程：()86x x +=-．【答案】14x =-24x =-【分析】将方程化为一般式，再利用公式法进行求解即可． 【详解】解：原方程可化为：2860x x ++=， ∵1,8,6a b c ===， ∵2841640∆=-⨯⨯=，∵4x ==-，∵14x =-24x =-【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 变式训练【变式2-1】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级其他模拟）解方程：2x 2＝3x －1 【答案】x 1＝1，x 2＝12【分析】将二次方程整理为二次方程的一般式，根据二次方程根的判别式可知该方程有两个不相等的实数根，代入求根公式计算即可．【详解】解：原式整理为：2x 2－3x ＋1＝0 ∵∵＝b 2－4ac ＝10>， ∵方程有两个不相等的实数根，∵x =， 故1314x +＝或2314x -=得x 1＝1；x 2＝12． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，可以根据根的判别式判断根的情况，熟知公式法解一元二次方程的方法是解题关键．【变式2-2】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级三模）解方程：()2121x x +=- 【答案】方程没有实数根【分析】首先去括号合并同类项，化为一般式，根据0<可知，方程没有实数根． 【详解】解：去括号化简得：2+20x ，224041280b ac =-=-⨯⨯=-<，∵方程没有实数根．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式2-3】（2020·永善县墨翰中学九年级月考）解方程．2820x x --= 【详解】（1）∵1a =，8b =-，2c =- ∵2(8)4(2)720∆=--⨯-=> ∵方程有两个不相等的实数根．∵4x ===±∵14x =+24x =-判别式与方程的根的关系题型三：判别式求根的个数【例题3】（2021·江苏苏州市·苏州草桥中学九年级一模）定义运算：21m n mn mn =-+☆．例如：232323217=⨯-⨯+=☆，则方程40x =☆的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根【答案】B【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：4∵x =4x 2-4x +1=0， ∵∵=16-4×4×1=0， ∵有两个相等的实数根， 故选：B ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 变式训练【变式3-1】（2021·河南二模）关于x 的一元二次方程()2220x p x p -++=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．无实数根【答案】C2 1.一元二次方程根的判别式（1）∵＞0∵方程有两个不相等的实数根； （2）∵＝0∵方程有两个相等的实数根； （3）∵＜0∵方程没有实数根．2. 根据一元二次方程方程根的情况可以确定△的取值范围.3. 通过配方法对△进行变形可以得到含参方程的解的情况特别说明：（1）一元二次方程根的情况与判别式∵的关系是可以双向互相推导的.（2）考查一元二次方程根的情况的时候，注意讨论参数的取值，要注意题目中是否是关于未知数的一元二次方程，因此一定不要忘记讨论二次项系数为0时的情况．【分析】先计算根的判别式得到∵＝[﹣（p+2）]2﹣4×2p＝（p﹣2）2，再利用非负数的性质得到∵≥0，然后可判断方程根的情况．【详解】解：∵＝[﹣（p+2）]2﹣4×2p＝（p﹣2）2，∵（p﹣2）2≥0，即∵≥0，∵方程有两个实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与∵＝b2﹣4ac有如下关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵＝0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0时，方程无实数根．x x-=-的根的情况，正确的是（）【变式3-2】（2021·河南九年级二模）关于x的方程()53A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到方程根的情况．x x-=-，即x2-5x+3=0【详解】解：∵()53∵Δ=(-5)2−4×1×3=25-12=13>0，∵原方程有两个不相等的实数根；故选择：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式．【变式3-3】（2021·河南焦作市·九年级二模）已知关于x的一元二次方程2-+=，其中b，c在x bx c20数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【答案】A【分析】由数轴可知：0b >，0c <，然后计算根的判别式的值即可得出答案． 【详解】由数轴可知：0b >，0c <； ∵280b c ∆=->； ∵有两个不相等的实数根 故选：A【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题． 题型四：根据根的个数求参数的取值范围【例题4】（2021·南京二模）若一元二次方程20x x a -+=有实数根，则a 的取值范围是____________． 【答案】14a ≤【分析】根据判别式大于等于0即可求解． 【详解】解：一元二次方程20x x a -+=有实数根 ∵2(1)40a ∆=--≥，解得14a ≤ 故答案为14a ≤． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·山东济南市·八年级期末）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围是________． 【答案】1k ≤【分析】根据一元二次方程判别式的性质，列一元一次不等式并求解，即可得到答案． 【详解】∵关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根 ∵()2240k ∆=--≥ ∵1k ≤故答案为：1k ≤．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．【变式4-2】（2021·济南期末）关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．1a ≤且0a ≠ D ．1a <且0a ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式可得440a -≥，然后求解即可． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有实数根， ∵24440b ac a ∆=-=-≥，且0a ≠， 解得：1a ≤且0a ≠； 故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【变式4-3】（2020·四川巴中市·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2+（2a ﹣3）x +a 2+1＝0有两个实数根，则a 的最大整数解是（ ） A ．1 B ．1- C ．2- D ．0【答案】D【分析】根据一元二次方程根的情况，用一元二次方程的判别式代入对应系数得到不等式计算即可. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(23)10x a x a +-++=有两个实数根，∵()22(23)410a a ∆=--+≥，解得512a ≤， 则a 的最大整数值是0．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是能够熟练地掌握和运用一元二次方程根的判别式.题型五：根的判别式综合应用【例题5】（2020·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +2）x +（3m +6）＝0． （1）试讨论该方程的根的情况并说明理由；（2）无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根．【答案】（1）关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +2）x +（3m +6）＝0有实数根；（2）无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3【分析】（1）求出判别式的值即可判断．（2）由无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，又m （x 2-4x+3）-2x+6=0，推出x 2-4x+3=0，且-2x+6=0即可解决问题．【详解】解：（1）对于关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0，∵∵＝[﹣（4m+2）]2﹣4m （3m+6）＝16m 2+16m+4﹣12m 2﹣24m ＝4m 2﹣8m+4＝4（m ﹣1）2≥0， ∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0有实数根． （2）∵无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵m （x 2﹣4x+3）﹣2x+6＝0， ∵x 2﹣4x+3＝0，且﹣2x+6＝0 解得x ＝3，∵无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 变式训练【变式5-1】（2020·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k +-+-=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k 值代入方程，并求出此时方程的解． 【答案】（1）详见解析；（2）120,1x x ==-【分析】（1）先求出∵的值，再根据∵的意义即可得到结论； （2）任意取一个k 值代入，然后根据一元二次方程的解法解答即可. 【详解】解：（1）2(1)4(k 2)k ∆=---269k k =-+ ()230k =-≥∵0∆≥，∵方程总有两个实数根. （2）当2k =∵20x x +=解得120,1x x ==-【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，正确理解公式是解答本题的关键. 【变式5-2】（2016·甘肃白银市·中考真题）已知关于x 的方程x 2+mx+m -2=0. (1)若此方程的一个根为1,求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根. 【答案】（1）12；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∵=b 2﹣4ac ：当∵＞0，方程有两个不相等的实数根；当∵=0，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根． （1）直接把x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0求出m 的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可． 解：（1）根据题意，将x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0， 得：1+m+m ﹣2=0， 解得：m=12； （2）∵∵=m 2﹣4×1×（m ﹣2）=m 2﹣4m+8=（m ﹣2）2+4＞0，∵不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【变式5-3】（2015·四川南充市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程（x ﹣1）（x ﹣4）=p 2，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 【答案】（1）见解析；（2）P=0、2、－2. 【详解】解：（1）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0， ∵∵=（﹣5）2﹣4×（4﹣p 2）=4p 2+9＞0，∵不论p 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0，∵ ∵方程有整数解，为整数即可，∵p 可取0，2，﹣2时，方程有整数解．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式∵的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．【真题1】（2011·广东深圳市·中考真题）如果关于x 的方程2x 2x m 0-+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______．【答案】1【详解】本题需先根据已知条件列出关于m 的等式，即可求出m 的值．解答：解：∵x 的方程x 2-2x+m=0（m 为常数）有两个相等实数根∵∵=b 2-4ac=（-2）2-4×1?m=04-4m=0m=1故答案为1【真题2】（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．14k >- B ．14k < C ．14k >-且0k ≠ D ．14k <0k ≠ 【答案】C【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k ≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“∵>0”，解这两个不等式即可得到k 的取值范围．【详解】解：由题可得：()()2021420k k k k ≠⎧⎪⎨⎡⎤---->⎪⎣⎦⎩, 解得：14k >-且0k ≠； 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．链接中考【真题3】（2021·辽宁营口市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，则实数m 的取值范围是_________．【答案】2m ≤【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解．【详解】解：∵一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，∵()4410m ∆=--+≥，解得2m ≤，故答案为：2m ≤．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【真题3】（2021·四川雅安市·中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程27120x x -+=的两根，则该直角三角形的面积是（ ）A ．6B ．12C ．12或2D ．6或2 【答案】D【分析】根据题意，先将方程27120x x -+=的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．【详解】解方程27120x x -+=得13x =，24x =当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为134=62⨯⨯；当4为斜边，3=13=22；则该直角三角形的面积是6或2， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．【真题5】（2021·山东菏泽市·中考真题）关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．14k >且1k ≠B ．14k ≥且1k ≠C ．14k >D ．14k ≥ 【答案】D【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求k 的取值范围即可．【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，∵()()22121410k k ∆=+-⨯⨯≥-，且 1k ≠， 解得，14k ≥且1k ≠， 当方程为一元一次方程时，k =1，方程有实根 综上，14k ≥故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中0a ≠，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．【拓展1】（2021·东莞外国语学校九年级一模）已知：关于x 的方程2x (k 2)x 2k 0-++=，（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，两个边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求∵ABC 的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）∵ABC 的周长为5．【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；（2）分a 为底边和a 为腰两种情况，当a 为底边时，b=c ，可得方程的判别式∵=0，可求出k 值，解方程可求出b 、c 的值；当a 为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k 值，解方程可求出b 、c 的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．【详解】（1）∵判别式∵=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k -2)²≥0，∵无论k 取任何实数值，方程总有实数根．满分冲刺（2）当a=1为底边时，则b=c，∵∵=(k-2)²=0，解得：k=2，∵方程为x2-4x+4=0，解得：x1=x2=2，即b=c=2，∵1、2、2可以构成三角形，∵∵ABC的周长为：1+2+2=5．当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，∵1-（k+2）+2k=0，解得：k=1，∵方程为x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∵1+1=2，∵1、1、2不能构成三角形，综上所述：∵ABC的周长为5．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式∵的关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵=0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键．。
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第十二讲 方程根的讨论
班级 姓名
【知识梳理】
1．有关二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的分布有关的结论：
①方程0)(=x f 的两根中一根比r 大，另一根比r 小0)(<⇔r af .
②二次方程0)(=x f 的两根都大于r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->-=∆⇔0
)(2042r af r a b ac b ③二次方程0)(=x f 在区间（p ，q ）内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<>∆⇔0
)(0)(20p af q af q a b p ④二次方程0)(=x f 一个根在（p ，q ）内，另一个根在),(r q ⇔⎪⎩
⎪⎨⎧><>0)(0)(0)(r af q af p af
⑤方程0)(=x f 的两根在区间（p ，q ）外⎩
⎨⎧<<⇔0)(0)(q af p af 【例题选讲】
一、 二次方程根的讨论：
1．（1）方程0212=-++a ax x 的一根在区间)0,1(-内，另一根在区间),0(∞+，则a
的取值范围为 ．
（2）关于x 的方程03222=--k x kx 的两根一个大于1，一个小于1，则实数k 的取值
范围 ．
（3）已知不等式012≥--bx ax 的解集为,31,21⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-- 则不等式02<--a bx x 的解集为 ．
（4）若关于x 的方程2x 2-3x+2m=0在[-1，1]上有解，则实数m 的取值范围__________．
2．已知关于x 的方程为x 2+(m +1)x +1=0
（1）若方程的两实根都在( 0, 2)上，求实数m 的取值范围；
（2）若方程的两根满足一根在(0, 1)，另一根在(1, 2)，求m 的取值范围；
（3）若方程在(0，+∞)上有解，求m 的取值范围．
二、函数的零点与方程的根综合问题
3．已知函数124)(+⋅+=x x m x f 有且仅有一个零点，求m 的值，并求出该零点．
4．已知函数123)(2-+-=m mx x x f ，其中21<<m 。
（1）证明函数)(x f 在区间)1,0(内有两个不同的零点；
（2）对任意的)2,1(),1,0(∈∈m x ，1)(<x f 是否恒成立？并说明理由。
5．对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点． （Ⅰ）对于)0(1)22()(2≠-+--=a b x a ax x f ．
（1）当a =1时，函数f (x )有两个不同的不动点，求b 的取值范围；
（2）若对一切)1,0(∈a ，函数f (x )在R 上恒有两个不同的不动点，求b 的取值范围； *（Ⅱ）对于定义在R 上的奇函数，若存在不动点，证明：不动点的个数为奇数个．
12．方程根的讨论
班级 姓名
1．关于x 的方程)0,0(02>>=++c b c bx x 两根为1x ，2x )(21x x <，则 （ ）
（A ）01<x ，02<x （B ）01<x ，02>x （C ）01>x ，02<x （D ）01>x ，02>x
2．已知方程0132=--x x 两根为1x ，2x ，则=+2221x x ________．
3．已知不等式012≤--bx ax 的解集为]2,1[-，则不等式02<--a bx x 的解集为_______．
4．已知方程01lg 3)(lg 2=++x x 两根为1x ，2x ，则21x x ⋅=__________．
5．解下列各题
（1）已知关于x 的方程03)12(22=-++-k x k x 一根大于1，另一根小于1，求实数k
的取值范围；
（2）已知关于x 的方程为01)1(2=+++x m x 一根在(0, 2)，另一根在(2, 3)，求m 的取值
范围；
（3）若关于x 的方程03)12(2=-+-x k kx 有一根大于1，另一根小于1，求实数k 的取
值范围．
6．已知关于x 的方程01)1(2=+-+x a x 的两根为1x ，2x ，且21x x ≠．
（1）若1x ，),0(2∞+∈x ，求a 的取值范围；
（2）若1x ，)2,0(2∈x ，求a 的取值范围．
7．解下列各题
（1）若关于x 的方程02=+-m x x 在[-1, 1]上有解，求实数m 的取值范围；
（2）若关于x 的方程m x x
=+1
22有解，求实数m 的取值范围； （3）若函数1)1()(2+-+=x m x x f 在),0(∞+上存在零点，求实数m 的取值范围；
（4）若关于x 的方程02=--a ax x 在)1,0(仅有一解，求实数a 的取值范围．
8．已知函数x
ax x x f 1)(2-+-=． （1）若)(x f 在)2,0(上存在两个零点，求a 的取值范围；
（2）已知x x f x g +=)()(，若函数)(x g 定义域与值域均为)0(],[>>m n n m ，求a 的取值
范围．。