数值积分方法讨论
数值积分
1.183 215 957
1.264 911 064
0.125267 7 101
0.16571813 101
0.4
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.358 212 600
1.435 132 919 1.508 966 254 1.580 338 238 1.649 783 431 1.717 779 348 1.784 770 832
上式称为欧拉公式，或称为矩形法。若已知初值，就可以经过上式的 迭代计算求得近似值。
f ( x)
o
a
b
x
yy = f ( x) Nhomakorabeaf2f1
f...
fn
O
a
b
x
梯形法
基于欧拉思想的近似思想，我们现用梯形的面积来代替前面的矩形面积，可以得到梯 形公式
h yn 1 yn ( K1 K 2 ) 2
yn1 i yni h i f n i
i 0 i 1
k 1
k 1
i , i 均为待定系数。如果 1 0 ，且上式的右端不含 式中 fi f ( yi , ti ) ， 有 y n 1，公式称为显式。如果 1 0 上式的右端含有 yn 1 ，称为隐式 公式。
欧拉法
欧拉法（Euler）是最简单的一种数值积分法。虽然它的计算精度较低，实际中很 少采用，但推导简单，能说明构造数值解法一般计算公式的基本思想。 已知一阶微分方程 dy
f (t , y ) dt y (t 0 ) y0
tn1 tn
y(tn1 ) y(t n )
ki f (t ci h, y(t ) h a j k j )(i 1, 2,3,......, r )
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
4点高斯数值积分公式
4点高斯数值积分公式概述：高斯数值积分是一种常用的数值积分方法，通过将被积函数在积分区间内进行适当的插值，然后对插值函数进行积分来近似计算定积分的值。
其中，4点高斯数值积分公式是高斯数值积分的一种常见形式。
本文将介绍4点高斯数值积分公式的原理、计算方法以及应用。
1. 原理：高斯数值积分公式是基于插值多项式的思想，通过在积分区间内选取一组特定的插值节点，构造一个与被积函数近似的插值函数，然后对插值函数进行积分来近似计算定积分的值。
2. 4点高斯数值积分公式的计算方法：4点高斯数值积分公式是通过选取4个特定的插值节点来进行数值积分的方法。
选取节点的方法是通过对区间[-1, 1]上的Legendre 多项式进行求解，得到多项式的根，并将这些根映射到积分区间[a, b]上。
具体计算方法如下：步骤1：确定积分区间[a, b]和被积函数f(x)。
步骤2：通过求解Legendre多项式的根，得到4个插值节点x1, x2, x3, x4。
步骤3：将插值节点映射到积分区间[a, b]上，得到实际的插值节点a1, a2, a3, a4。
步骤4：计算插值节点处的权重系数w1, w2, w3, w4。
步骤5：计算数值积分的近似值I ≈ w1f(a1) + w2f(a2) + w3f(a3) + w4f(a4)。
3. 4点高斯数值积分公式的应用：4点高斯数值积分公式在实际问题中有广泛的应用，特别是对于无法直接求解的复杂函数定积分而言，可以通过高斯数值积分来近似计算。
例如，在物理学中，许多物理量的计算需要进行积分。
通过使用高斯数值积分公式，可以将积分转化为对被积函数在特定插值节点上取值的加权求和，从而得到近似的积分结果。
在金融学中，对于期权定价等问题，也可以利用高斯数值积分公式来进行近似计算。
通过将期权的支付函数表示为被积函数，然后使用高斯数值积分公式来计算期权的价值。
4. 总结：4点高斯数值积分公式是一种常用的数值积分方法，通过选取4个特定的插值节点和权重系数，在积分区间内对被积函数进行插值和积分，从而近似计算定积分的值。
数值积分 正交积分
数值积分正交积分数值积分（Numerical integration）是一种用数值方法计算定积分的技术。
它在实际应用中广泛使用，尤其是对于无法通过解析方法得到闭式解的复杂函数或无限区间的积分。
数值积分方法有多种，其中一种常见的方法是基于插值的方法，如梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。
这些方法将函数曲线近似为更简单的几何图形，然后对这些几何图形进行数值计算以近似求解积分值。
正交积分（Orthogonal integration）是一种特殊的数值积分方法，它利用正交多项式的性质来进行积分计算。
正交多项式是一组满足特定正交关系的多项式，例如勒让德多项式、切比雪夫多项式和拉盖尔多项式等。
通过将被积函数与正交多项式进行内积运算，可以将积分转化为正交多项式系数的线性组合，从而简化计算过程。
正交积分具有高精度和数值稳定性的优点，因此在科学计算和工程领域得到广泛应用。
它常用于求解含有正交多项式的函数积分、拟合数据、解微分方程等问题。
总之，数值积分是一种通过数值计算逼近定积分的方法，而正交积分则是利用正交多项式的特性进行积分计算的一种特殊数值积分方法。
数值积分方法基于离散化的思想，将定积分问题转化为对一组离散点上函数值的求和或加权平均。
以下是两种常见的数值积分方法：1. 梯形法则（Trapezoidal rule）：梯形法则将被积函数在积分区间上近似为一系列线段构成的梯形，然后计算这些梯形面积之和。
它的基本思想是通过线性插值来逼近原函数，并计算相邻线段之间的面积。
梯形法则的公式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈(b-a) * [(f(a) + f(b)) / 2]2. 辛普森法则（Simpson's rule）：辛普森法则将被积函数在积分区间上近似为一系列抛物线，通过将每个小区间分成偶数个子区间，并利用抛物线曲线来逼近函数。
它的基本思想是使用二次多项式插值，并计算相邻子区间之间的面积。
辛普森法则的公式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈(b-a) * [(f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)) / 6]对于正交积分，我们使用正交多项式的特性来简化计算。
二重数值积分的计算方法的比较
二重数值积分的计算方法的比较1.矩形法：矩形法是最简单的一种数值积分方法，它将区域划分为若干矩形，然后计算每个矩形的面积并求和。
其中有两种常见的矩形法：左矩形法和右矩形法。
左矩形法取每个小矩形的左下角点作为近似点，右矩形法则取每个小矩形的右下角点作为近似点。
矩形法简单易懂，但精度较低。
2.梯形法：梯形法是将区域划分为多个梯形，并计算每个梯形的面积再求和。
梯形法比矩形法更精确，因为它考虑了函数在两个近似点之间的变化。
梯形法的计算公式为：积分=（边界点的函数值之和-首尾两个边界点的函数值）*（区间长度/2）。
梯形法适用于连续函数。
3.辛普森法：辛普森法是通过拟合给定区域上的函数为一个二次多项式，然后计算该多项式的面积从而近似计算二重积分。
辛普森法比起梯形法更加精确，因为它考虑了更多的曲线特征。
辛普森法计算公式为：积分=（边界点的函数值之和+4*中点的函数值之和+边界点之外的所有点的函数值之和）*（区间长度/6）。
4.高斯-勒让德法：高斯-勒让德法是一种通过选择特定的积分点和权重系数来进行数值积分的方法。
该方法通过将区域变换为[-1,1]上的标准化区域，并使用具有一定带权系数的高斯勒让德多项式来逼近原函数。
高斯-勒让德法在给定节点和权重的情况下可以实现任意阶的精度。
综上所述，不同的二重数值积分计算方法各有优劣。
简单的矩形法和梯形法易于理解和实现，但精度较低；辛普森法提供了更高的精度，但计算复杂度也更高；而高斯-勒让德法具有任意阶的精度，但对节点和权重的选择较为复杂。
因此，在实际应用中应根据具体的需求和计算资源来选择适当的数值积分方法。
计算方法 数值积分-插值型积分ppt课件
y = f(x) y
图4-1 数值积分 的几何意义
a
b
8
最常用的建立数值积分公式的两种方法：
第1种：机械求积方法. 第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法
本段讲授机械求积方法.
由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区
计算方法 (Numerical Analysis)
第6次 数值积分-插值型积分-误差求积公式的收敛性与稳定性
1
第四章 数值积分
1. 数值积分引论 2. 机械求积方法 3. 以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型
求积公式 4. 插值型求积公式的例子 5. 求积公式的收敛性和稳定性
2
数值积分引论
3
第四章 数值积分
取f(x)=x, 左 b xdx 1 (b2 a2) b a (a b) 右
a
2
2
取f(x)=x2 , 左 b x2dx 1 (b3 a3) b a (a2 b2) 右
a
3
2
所以梯形公式只有1次代数精度。
Home 28
插值型求积公式的例子
29
例3 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
1 4
x
1 2
dx
2 3
从而，得到插值型求积公式如下：
1
f(x)dx
0
1 3
2f
1 4
f
1 2
2f
3 4
21
例2 设积分区间[a, b]为[0, 2]，取 f(x) 1, x, x2 , x3 , x4 , ex
分别用梯形和辛卜生公式：
牛顿科特斯公式数值积分方法
牛顿科特斯公式数值积分方法牛顿科特斯公式是常用的数值积分方法之一，其基本思想是通过在一定的节点上对被积函数进行逼近，从而计算积分值。
具体地，我们将区间[a,b]等分为n段，然后在每个小区间上选择一个节点，例如取节点x0=a，x1=a+h，x2=a+2h，……，xn=b，其中h=(b-a)/n。
这些节点构成了一个等差数列，被称为插值节点。
然后，我们在每个小区间上采用一个低次多项式来逼近被积函数。
由于这里我们采用的是插值多项式，因此牛顿科特斯公式也被称为插值型数值积分方法。
具体地，我们设f(x)在插值节点上的函数值为f(x0),f(x1),…,f(xn)。
对于每个小区间[a+kh,a+(k+1)h]，我们可以采用以下的插值多项式：P(x)=b0+b1(x-xk)+b2(x-xk)(x-xk+1)+…+bn(x-xk)(x-xk+1)…(x-xn-1)其中bk的值可以通过牛顿插值公式来求得。
对于每个小区间上的积分，我们可以将其转化为对插值多项式的积分。
不难发现，这些小区间的积分加起来就是整个区间[a,b]上的积分。
因此，我们只需要计算出每个小区间上的积分值，然后将它们相加即可得到整个区间上的积分值。
具体地，我们可以采用以下的牛顿-科特斯公式来计算：∫[xk,xk+1]f(x)dx=h/2[f(xk)+f(xk+1)]+h^2/12[f′(xk)f′(xk+1)]+h^4/720[f(ξk)+f(ξk+1)]其中f′(x)和f(x)分别表示f(x)在x处的一阶和三阶导数，ξk和ξk+1是在[xk,xk+1]上的某个点。
从上式可以看出，牛顿科特斯公式的精度随着n的增大而提高，但随着n的增大，计算量也会增大。
因此，在实际应用中需要根据精度和计算量的折衷来选择合适的n值。
常微分方程初值问题的数值积分法
y( xn1) y( xn ) hfh ( xn , y( xn )) Rh ( xn ),
并且当 h 0时，
yh,0
y(x0 )
h1 max xIh
Rh (x)
0,
(7.4.2)
则称(7.4.1) 式为初值问题(7.1.1)的一个相容近似 ，
或称此格式满足相容条件即(7.4.2)式。
若
Rh (xn ) O(h p1), yh,0 y(x0) O(h p )(h 0)
a x0 x1 L xN1 xN b,
令 hn xn1 xn，称为积分网格的步长。
用y0 , y1, y2 , , yN 表示精确解 y(x)在节点 x0 , x1, x2 , , xN 上函数值 y( x0 ), y( x1), y( x2 ), , y( xN )的近似值。
对给定的数值积分法，各个 yn 是按某一递推算法确 定的。若在计算 yn1 时只用到已求出的 y0, y1,L , yn中的 yn ，而无须使用其余值 y0, y1,L , yn1 中的任何一个， 则称此法为单步法，否则，称之为多步法。
xn
的右端积分中用梯形公式，则得
yn1
yn
h 2
[
f
(
xn
,
yn
)
f (xn1, yn1)],
n 0,1,L
称该递推公式为梯形方法。
梯形公式
b f (x)dx (b a) ( f (a) f (b))
a
2
梯形方法
yn1
yn
h 2
[
f
( xn
,
yn
)
f (xn1, yn1)],
n 0,1,L
7.2 几个简单的数值积分法
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数值积分方法讨论
数值积分是数值分析中的一种重要方法，用于计算数学函数的积分。
与解析积分不同，数值积分使用数值方法来近似积分值，因此可以处理复杂的数学函数，而解析积分可能无法求解。
本文将讨论几种常见的数值积分方法，包括矩形法、梯形法、辛普森法和高斯积分法。
1. 矩形法
矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间内取一个值作为近似值，通常是左端点、右端点或区间中点。
然后将所有小区间的近似值相加，得到最终的积分值。
矩形法的优点是简单易懂，计算速度快，但它的精度不高，特别是在积分区间较大或函数曲线变化较大的情况下。
2. 梯形法
梯形法是另一种简单的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间内用梯形面积近似函数曲线下的面积。
具体
而言，梯形面积等于两个端点函数值的平均值乘以小区间长度。
然后将所有小区间的梯形面积相加，得到最终的积分值。
与矩形法相比，梯形法的精度更高，但它仍然受到积分区间大小和函数曲线变化的影响。
3. 辛普森法
辛普森法是一种更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间内用一个二次多项式近似函数曲线。
具体而言，辛普森法将小区间分成偶数个子区间，然后在每个子区间内用一个二次多项式拟合函数曲线。
积分值等于所有子区间的积分值之和。
辛普森法比矩形法和梯形法更精确，特别是在积分区间变化较大或函数曲线较复杂的情况下。
但它需要更多的计算量。
4. 高斯积分法
高斯积分法是一种基于多项式插值的数值积分方法。
它利用高斯-勒
让德多项式在积分区间内的节点值和权重，将积分转化为节点值和权重的线性组合。
具体而言，高斯积分法将积分区间划分为若干个节点，然后将函数曲线在每个节点处用高斯-勒让德多项式插值。
积分值等
于各节点处插值函数值和权重的乘积之和。
高斯积分法是最精确的数值积分方法之一，但它需要更多的计算量和节点数。
它特别适用于计算高度非线性的函数曲线的积分。
总之，数值积分方法是在数值计算和科学工程应用中广泛使用的工具。
不同的数值积分方法具有不同的精度和适用范围，应根据具体问题选择合适的方法。