2020年复旦大学强基计划数学试题及解析
2020年复旦大学强基计划试题解析
y0
1 23
，
xa
3 y02
1 4
6 y0
14. 【答案】 (1, 2)
【解析】直线方程为 4x y 6 0 ， kAB 1 ， AB 中点为 (3, 4) ，所以 AB 中垂线方程为
y
x
1 ，则
y y
x 1 4x
6
x
y
1 2
P(1,
2)
15. 【答案】 1 9
【解析】设 C 为 AB 中点，故
即x
y
1
AO AD
AO AD OD
AO AO OE
1
1 OE
1 1 sin
A
OA
2
因为 cos A 1 sin2 A 1 sin A 3
23
23
所以 x y 3 3 2
12. 【答案】 C
【解析】直线 m 的斜率为 cos [1,1]，所以 m 和 n 不可能重合；故 A 错
19. 【答案】
【解析】 f ( f (x)) (x2 1)2 1 x4 2x2 20. 【答案】 (, 3] [0,1) (3, )
【解析】由题意可得 A (,1), B (3, 0) (3, ) 当 3 x 0 时， fA (x) fB (x) 1不满足题意； 当 x 3 时， fA (x) fB (x) 1 满足； 当 0 x 1时， fA (x) fB (x) 1满足； 当1 x 3 时， fA (x) fB (x) 1 不满足； 当 x 3 时， fA (x) fB (x) 1 满足； 综上： A B (, 3][0,1) (3, )
2
x2
5
3. 【答案】 a b c d 0
【解析】令 x
2020年复旦大学强基计划数学试题及参考解答(回忆版)
x
<
√ 2
−
x},
B
=
{x
满足 ∠AOB = 2 arctan 1 的概率为
.
3
解析: 因为 ∠AOB = 2 arctan 1 , 则 tan 1 ∠AOB = 1 . A, B 关于 y = x 对称, 故只需
3
2
3
要 tan ∠COB = 1 , 利用到角公式可得 1 = 1 − k , 解出 k = 1 . 点 (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)
(
)
(A) m 和 n 可能重合
(B) m 和 n 不可能垂直
(C) m 和 n 可能平行
(D) 在 m 上存在一点 P , 使得 n 以 P 为中心旋转后与 m 重合
解析: 直线 m 的斜率的取值范围只能是 [−1, 1], 故
A
和
C
错误. 当 cos α = 1 时, 3
两直线垂直, B 错误. 对于 D , 直线 m, n 必然相交, 交点就是我们要找的 P , D 正确.
练习:
证明:
√ f (x) = sin x + sin 2x
(x
∈ R)
不是一个周期函数.
证明: 反证法, 假定 f (x) 以 T 为周期, 则 0 = f (x + T ) − f (x), 即
(
)
0 = 2 sin T cos
T x+
+
2
sin
T √
(√ cos 2x +
T √
) .
2
2
2
2
由此知
=0 .
=0
考虑 f (x) = x3 + sin x, 显然 f (x) 为奇函数, 且当 x > 0 时, 求导后容易验证 f (x) 为单调 增函数, 又 f (x) + f (2y) = 0, 则 x + 2y = 0, cos(x + 2y) = 1.
2020年高考数学强基计划真题：2020年清华大学强基计划数学试题(解析版)
2020年清华大学强基计划数学试题共35道选择题，为不定项选择题．1．若221x y +，则22x xy y +-的取值范围是（）．A．3322⎡-⎢⎣⎦B．[]1,1-C．5522⎡-⎢⎣⎦D．[]2,2-2．设a ，b ，c 为正实数，若一元二次方程20ax bx c ++=有实根，则（）A．{}()1max ,,2a b c a b c ++ B．{}()4max ,,9a b c a b c ++ C．{}()1min ,,4a b c a b c ++ D．{}(),m n 1,3i a b c a b c ++ 3.在非等边ABC △中，BC AC =，若O 和P 分别为ABC △的外心和内心，D 在线段BC 上，且满足OD BP ⊥，则下列选项正确的是（）．A．B ，D ，O ，P 四点共圆B．OD AC ∥C．OD AB∥D．PD AC∥4．已知集合{},,1,2,3,,2020A B C ⊆ ，且A B C ⊆⊆，则有序集合组(),,A B C 的个数是（）．A．20202B．20203C．20204D．202055．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk A a==∑的值可能是（）．A．0B．2C．10D．126．已知点P 在椭圆22143x y +=上，()1,0A ，()1,1B ，则PA PB +的最大值是（）．A．4B．4C．4+D．67．已知P 为双曲线2214x y -=上一点（非顶点），()2,0A -，()2,0B ，令PAB α∠=，PBA β∠=，下列表达式为定值的是（）．A．tan tan αβB．tan tan22αβC．()tan PAB S αβ+△D．()cot PAB S αβ+△8．甲、乙、丙三位同学讨论同一道数学竞赛题，甲说：“我做错了．”乙说：“甲做对了．”丙说：“我做错了．”老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说：“你们仅有一人做对且仅有一人说谎了”，则根据以上信息可以推断（）．A．甲做对了B．乙做对了C．丙做对了D．无法确定谁做对了9．在Rt ABC △中，π2ABC ∠=，AB =1BC =，PA PB PC PA PB PC++=0 ，则下列说法正确的是（）．A．2π3APB ∠=B．2π3BPC ∠=C．2PC PB =D．2PA PC=10．求值：212lim arctan nn k k →+∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（）．A．π2B．3π4C．5π4D．3π211．从0到9这十个数中任取五个数组成一个五位数abcde （a 可以等于0），则396abcde 的概率为（）．A．1396B．1324C．1315D．121012．随机变量()1,2,3,X = ，()0,1,2Y =，满足()12kP X k ==，且()mod3Y x ≡，则()E Y =（）．A．47B．87C．127D．16713．已知向量a ，b ，c 满足1a ，1b ，22++=-a bc a b ，则下列说法正确的是（）．A．c 的最大值为B．c 最大值为C．c 的最小值为0D．c 的最小值为214．若存在x ，*y ∈N ，使得2x ky +与2y kx +均为完全平方数，则正整数k 可能取值为（）．A．2B．4C．5D．615．sin arctan1arccosarcsin⎛+= ⎝（）．A．0B．12C．2D．116．已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为α，侧棱与底面夹角为β，则（）．A．2cos tan 1αβ+=B．2sec tan 1αβ+=-C．2cos 2tan 1αβ+=D．2sec 2tan 1αβ+=-17．已知函数()[]()e 2e sin 2,2exx x f x x x -=+∈-+，则()f x 的最大值与最小值的和是（）．A．2B．eC．3D．418．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x 的图像与直线x a =，()x t a t c =<<，x 轴围成图形的面积为()S t ，则下列说法正确的是（）．A．()()S t cf b <B．()()f S t a ' C．()()f S t b ' D．()()f S t c '19．我们称数列{}n a 为“好数列”，若对任意*n ∈N 存在*m ∈N ，使得n m a S =，其中1nn ii S a ==∑，则下列说法正确的是（）．A．若21,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨⎩，则数列{}n a 为“好数列”B．若n n a k （k 为常数），则数列{}n a 为“好数列”C．若{}n b ，{}n c 均为“好数列”，则n n n a b c =+为等差数列D ．对任意等差数列{}n a ，存在“好数列”{}n b ，{}n c ，使()*n n n a b c n =+∈N 20．22π440sin d sin cos xx x x=+⎰（）．A．πC．2π21.在ABC △中，1AC =，BC =2AB =，设M 为AB 中点，现将ABC △沿CM折起，使得四面体B ACM -的体积为212，则折起后AB 的长度可能为（）A．1D．222．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，若11z =，221212520z z z z +-=，则12OZ Z △的面积为（）A．1C．2D．23．使得sin115cos1n >+成立的最小正整数n 等于（）A．3B．4C．5D．624．已知实数x ，y ，z 满足323232111931119311193x y y y z z z x x ⎧--=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪--=⎪⎩，则（）A．(),,x y z 有1组B．(),,x y z 有4组C．x ，y ，z 均为有理数D．x ，y ，z 均为无理数25．设实数1221,,,x x x 满足()011,2,,21i x，则212111i k i k x x ==-∑∑的最大值为（）A．110B．120C．220D．24026．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，且所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形．若一个格点多边形的内部有8个格点，边界上有10个格点，则这个格点多边形的面积为（）A．10B．11C．12D．1327．设复数z 满足37i 3z -=，则2221iz z z -+-+的（）A．最大值为83B．最大值为73C．最小值为43D．最小值为2328．设α，β为锐角，且()sin cos sin ααββ+=，则tan α的最大值为（）A．24B．33C．129．已知函数()()e 1x f x a x b =+-+在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为（）A．e2B．eC．2e 2D．2e 30．设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）A．π5B．2π5C．4π5D．π31．已知实数a ，b 满足3331a b ab ++=，设a b +的所有可能值构成的集合为M ，则（）A．M 为单元素集B．M 为有限集，但不是单元素集C．M 为无限集，且有下界D．M 为无限集，且无下界32．已知数列{}n a 的前n 项和()1132n n n nS a n =-⋅++-，且实数t 满足()()10n n t a t a +--<，则t 的取值范围是（）A．311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B．311,45⎛⎫- ⎪⎝⎭C．311,54⎛⎫- ⎪⎝⎭D．311,55⎛⎫- ⎪⎝⎭33．《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》和《西游记》四部书分列在四层架子的书柜的不同层上．小赵，小钱，小孙，小李分别借阅了四部书中的一部．现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是《红楼梦》，《三国演义》在第四层．则（）A．《水浒传》一定陈列在第二层B．《西游记》一定陈列在第一层C．小孙借阅的一定是第三层的书籍D．小李借阅的一定是第四层的书籍34．设多项式()f x 的各项系数都是非负实数，且()()()()11111f f f f ''''''====，则()f x 的常数项的最小值为（）A．12B．13C．14D 15．35．已知()1051051112f z z z z z ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（）A．()0f z =存在实数解B．()0f z =共有20个不同的复数解C．()0f z =复数解的模长均为1D．()0f z =存在模长大于1的复数解答案：（1）C（2）AD（3）AC（4）BC（5）BD （6）AC（7）AD（8）A（9）D（10）C (11)AD（12）C（13）C（14）D（15）AD （16）ABCD（17）A（18）C(19）D（20）ABD (21)A（22）C（23）B（24）C（25）B （26）A（27）A（28）CD(29）D（30）BC (31)B（32）A（33）B（34）CD（35）BC。
XXX2020年强基计划数学试题及详细解析
XXX2020年强基计划数学试题及详细解析XXX2020年强基计划数学试题解析1.已知实数$x,y$满足$x^2+y^2\leq1$，则$x^2+xy-y^2$的最大值为()A.1B.答案B.解析1：由AM-GM不等式，得x^2-y^2+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)\leq x^2-y^2+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{2}(x^2-2xy+y^2)=(x+y)^2\leq1$$上式当$x=\frac{1}{\sqrt{10}}-\frac{4}{\sqrt{10}}y$时取等号。
即原式的最大值为$\frac{1}{2}$。
解析2：设$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，其中$r\leq1,\theta\in R$，则x^2+xy-y^2=r\cos^2\theta+\sin\theta\cos\theta-r\sin^2\theta=\frac{1}{2}(r\cos2\theta+\sin2\theta)\leq\frac{1}{2} $$上式当$r=1,\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{10}},\sin\theta=\frac{5}{2\sqrt{10 }}$时取等号。
即原式的最大值为$\frac{1}{2}$。
2.设$a,b,c$为正实数，若一元二次方程$ax^2+bx+c$有实根，则()A。
max$\{a,b,c\}\geq(a+b+c)$B。
max$\{a,b,c\}\geq\frac{4}{9}(a+b+c)$C。
max$\{a,b,c\}\leq(a+b+c)$D。
max$\{a,b,c\}\leq\frac{4}{9}(a+b+c)$答案BCD.解析：依题意，有$b^2\geq4ac$。
由齐次性不妨设$a+b+c=1$。
①首先证明：max$\{a,b,c\}\leq(a+b+c)$。
精品解析：武汉大学2020年强基计划数学试题(解析版)
武汉大学2020年强基计划数学试题考试科目：数学与逻辑不定项选择题：共15小题，每题答案完全正确得满分；选对但不全得部分分；选错得0分.1.设圆O 的半径为3，其一条弦4AB =，P 为圆O 上任意一点，则AB BP ⋅的最大值为（）A.0B.1C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】通过基底转化，将BP 转化BO OP + ，其中，BO 能够直接与AB 求出数量积，OP 能够求出与AB数量积的表达式，且可以判断范围，从而确定数量积的最大值【详解】将所求数量积进行转化得：()AB BP AB BO OP AB BO AB OP =+⋅⋅=⋅+⋅，如上图所示，根据投影定理可得：2182AB BO B A A O B B =-=-=-⋅⋅ ，12cos AB OP ⋅= α，α为,AB OP 所成角，因为P 为圆O 上任意一点，所以0α=时，12cos AB OP ⋅α取得最大值12，此时()max8124AB BP AB BO AB OP ⋅=⋅⋅=-+=+ ，则AB BP ⋅ 的最大值为4故选：D2.设实数x y 、满足22545x xy y --=，则222x y +的最小值为（）A.0B.2C.53 D.56【答案】C 【解析】【分析】由22455xy x y =--，两边平方，设222x y m +=，则222y m x =-，代入平方表达式，再设2x t =，利用0∆≥，解出即可．【详解】解：设222x y m +=，则222y m x =-，22545x xy y --= ，22455xy x y ∴=--，2222216(55)x y x y ∴=--，222216(2)(57)x m x m x ∴-=--+，42281(3070)(5)0x m x m ∴-+++=，设2x t =，2281(3070)(5)0t m t m ∴-+++=，∴22(3070)481(5)0m m ∆=+-⨯+ ，即257696032000m m +-≥，解得53m 或103m ≤-（舍去），222x y ∴+的最小值是53，故选：C ．3.过椭圆22149x y +=的中心作两条互相垂直的弦AC 和BD ，顺次连接,,,A B C D 得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A.10B.12C.14D.16【答案】B 【解析】【分析】设()11,A x y ,()22,B x y ，设x 轴正方向旋转到与向量OA同向所转过的角为α，利用三角函数的定义表示,A B 的坐标，代入椭圆方程，求得223636,OAOB关于α的函数表达式，进而得到223636OA OB关于α的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四边形面积的取值范围，从而做出选择.【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ，设x 轴正方向旋转到与向量OA同向所转过的角为α，并根据题意不妨设OA 到OB为逆时针旋转π2,则11cos ,sin .x OA y OA αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,22cos sin ,2sin cos .2x OB OB y OB OB πααπαα⎧⎛⎫=+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+= ⎪⎪⎝⎭⎩22149x y +=，229436x y +=,2222369cos 4sin 5cos 4OA ααα=+=+, 22223694cos 5sin 4sin OB ααα=+=+,2222236362516925cos sin 3623636,44OA OBααα⎡⎤=+=+∈⎢⎥⎣⎦，∴36136,2OA OB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,1442,1213ABCD S OA OB ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,当4πα=时取到最小值14413，当0α=时取得最大值12.只有选项B 中的12在此范围内，故选：B .4.设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若{cos (sin 1)0a cb ac b C ++-=），则（）A.3B π=B.4B π=C.ABC 的面积最大值为3316 D.ABC 的周长最大值为332【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式以及基本不等式化简即可。
2020年复旦大学强基计划数学试题及其详解
２０２０年复旦大学强基计划数学试题及其详解甘志国(北京市丰台二中㊀１０００７１)摘㊀要:２０２０年复旦大学强基计划数学试题共计３３道ꎬ全部是单项选择题.本文中的试题均是由参加考试的学生回忆得出的ꎬ因而回忆出的题目可能不准确(没有回忆出选项的题目均改成了填空题)ꎬ题号也不准确.㊀关键词:复旦大学ꎻ强基计划ꎻ数学试题ꎻ详解ꎻ华清园教育ꎻ整理中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００５１－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:甘志国(１９７１－)ꎬ湖北省竹溪人ꎬ研究生ꎬ正高级教师ꎬ特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系北京市教育学会 十三五 教育科研滚动立项课题 数学文化与高考研究 (课题编号ＦＴ２０１７ＧＤ００３ꎬ课题负责人:甘志国)阶段性研究成果之一.㊀㊀试题及其解答是笔者由华清园教育(ｈｔｔｐ://ｇｋ.ｑｈｙｅｄｕ.ｃｏｍ/ｑｈｙ/２０２００７１４/９８１８５.ｈｔｍｌ)等公开的内容整理而成的.１.已知直线ｍ:ｘｃｏｓα－ｙ＝０和直线ｎ:３ｘ＋ｙ－ｃ＝０ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｍ和ｎ可能重合Ｂ.ｍ和ｎ不可能垂直Ｃ.直线ｍ上存在点Ｐꎬ使得直线ｎ绕点Ｐ旋转后与直线ｍ重合Ｄ.以上都不对２.Ｇｉｖｅｎ㊀ｔｗｏ㊀ｓｅｔｓ㊀Ａ:１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５{}㊀ａｎｄ㊀Ｂ:３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７{}ꎬｔｈｅｎ㊀ｔｈｅ㊀ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ㊀ｓｅｔ㊀ｏｆ㊀Ａ㊀ａｎｄ㊀Ｂ㊀ｉｓ(㊀㊀).Ａ.{１ꎬ２}㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.{３ꎬ４ꎬ５}Ｃ.{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７}㊀㊀Ｄ.{６ꎬ７}３.若实数ｘꎬｙ满足ｘ２＋２ｘｙ－１＝０ꎬ则ｘ２＋ｙ２最小值为.４.若点Ｏ是әＡＢＣ的内心ꎬｃｏｓøＢＡＣ＝１３ꎬ且满足ＡＯң＝ｘＡＢң＋ｙＡＣңꎬ则ｘ＋ｙ的最大值是.Ａ.３＋３２㊀㊀Ｂ.３－３２㊀㊀Ｃ.３４㊀㊀Ｄ.４３５.Ｗｈｉｃｈ㊀ｎｕｍｂｅｒ㊀ｔｈａｔ㊀ｎｕｍｂｅｒ㊀５㊀ｉｓ㊀ｔｈｅ㊀ｃｕｂｉｃ㊀ｒｏｏｔ㊀ｏｆ?Ａ.３㊀㊀Ｂ.５㊀㊀Ｃ.２５㊀㊀Ｄ.１２５６.在抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)中ꎬ过焦点Ｆ作直线交抛物线于两点ＡꎬＢꎬ且有ＡＦң＝３ＦＢң.再过点Ａ作抛物线准线的垂线ꎬ垂足为Ａᶄꎬ准线与ｘ轴交于点Ｃ.若四边形ＣＦＡＡᶄ的面积是１２３ꎬ则ｐ＝.７.已知抛物线ｘ＝３ｙ２的焦点为Ｆꎬ若该抛物线在点Ａ处的切线与直线ＡＦ的夹角为３０ʎꎬ则点Ａ的横坐标为.Ａ.１９㊀㊀Ｂ.１３６㊀㊀Ｃ.１４㊀㊀Ｄ.１１６８.已知点Ｐ在直线ｘｙ－６－１４＝０上ꎬ且点Ｐ到点Ａ２ꎬ５()和点Ｂ(４ꎬ３)的距离相等ꎬ则点Ｐ的坐标为.９.已知两点Ａ(ｘꎬｙ)ꎬＢ(ｙꎬｘ)ꎬ其中ｘꎬｙɪ{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８}且ｘʂｙꎬ连结ＯＡꎬＯＢ(其中Ｏ是坐标原点)ꎬ则øＡＯＢ＝２ａｒｃｔａｎ１３的概率为.１０.ａｒｃｓｉｎ１４＋３２８＋ａｒｃｓｉｎ３４＝.Ａ.π３㊀㊀Ｂ.π２㊀㊀Ｃ.２π３㊀㊀Ｄ.３π４１１.已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的体积为２１２ꎬ且ＡＢ＝６ꎬＡＣ＝ＢＣ＝４ꎬＡＰ＝ＢＰ＝１０ꎬ则ＣＰ＝.１２.在әＡＢＣ中ꎬ已知ＡＢ＝９ꎬＢＣ＝６ꎬＣＡ＝７ꎬ则ＢＣ边上中线长为.１３.已知ｆｘ()＝ａｓｉｎ(２πｘ)＋ｂｃｏｓ(２πｘ)＋ｃｓｉｎ(４πｘ)１５＋ｄｃｏｓ(４πｘ)ꎬ若ｆ１２＋ｘæèçöø÷＋ｆｘ()＝ｆ２ｘ()ꎬ则在ａꎬｂꎬｃꎬｄ中能确定的参数是.１４.若关于ｘ的实系数一元三次方程ｘ３＋ａｘ２＋４ｘ＋５＝０有一个根是纯虚数ꎬ则ａ＝.１５.ｘ２＋１ｘ＋ｙ３＋１ｙæèçöø÷１０的展开式中的常数项为１６.ｌｉｍｎң¥１１ˑ４＋１２ˑ５＋ ＋１ｎｎ＋３()[]＝１７.已知ｘꎬｙɪ[－π４ꎬπ４]ꎬ若ｘ２＋ｃｏｓ(ｘ＋３π２)－２ａ＝０ꎬ４ｙ２＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０ꎬ{则ｃｏｓ(ｘ＋２ｙ)的值是.Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.－１㊀㊀Ｄ.与ａ有关图１１８.如图１所示ꎬ在凸四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＢＡＣ＝øＢＤＣ是øＤＡＣ＝øＤＢＣ的.Ａ.充分不必要条件Ｂ.必要不充分条件Ｃ.充要条件Ｄ.既不充分也不必要条件１９.如图２所示ꎬ平面内两条直线ｌ１ꎬｌ２交于点ＯꎬＭ为该平面内的任意一点.若点Ｍ到直线ｌ１ꎬｌ２的距离分别为ｐꎬｑꎬ则称(ｐꎬｑ)是点Ｍ的 距离坐标 .ｐꎬｑ是已知的非负常数ꎬ给出下列三个结论:图２(１)若ｐ＝ｑ＝０ꎬ则 距离坐标 为(０ꎬ０)的点有且仅有１个ꎻ(２)若ｐｑ＝０ꎬ且ｐ＋ｑʂ０ꎬ则 距离坐标 为ｐꎬｑ()的点有且仅有２个ꎻ(３)若ｐｑʂ０ꎬ则 距离坐标 为ｐꎬｑ()的点有且仅有４个.其中正确结论的个数是.Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.３２０.若函数ｆ(ｘ)＝３ｘ－３－ｘ的反函数为ｙ＝ｆ－１(ｘ)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ－１(ｘ－１)＋１在[－３ꎬ５]上的最大值和最小值的和为.Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.４２１.若ｋ>４ꎬ则直线ｋｘ－２ｙ－２ｋ＋８＝０与２ｘ＋ｋ２ｙ－４ｋ２－４＝０与两条坐标轴围成的四边形面积的取值范围是.２２.如图３所示ꎬ已知ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点共圆ꎬ且ＡＢ＝１ꎬ图３ＣＤ＝２ꎬＡＤ＝４ꎬＢＣ＝５ꎬ则ＰＡ＝.Ａ.１３３㊀㊀Ｂ.１４３㊀㊀Ｃ.５㊀㊀Ｄ.１６３２３.已知向量数列ａｎң{}满足ａｎ＋１ң＝ａｎң＋ｄң(ｎɪＮ∗)ꎬ且ａ１ң＝３ꎬａ１ңｄң＝－３２.若Ｓｎ＝ａ１ңðｎｉ＝１ａｉңꎬ则当Ｓｎ取最大值时ꎬｎ＝.Ａ.８㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.６㊀㊀Ｄ.６或７２４.给定５个函数ꎬ其中３个是奇函数但不是偶函数ꎬ２个是偶函数但不是奇函数ꎬ则在这５个函数中任意取３个ꎬ其中既有奇函数又有偶函数的概率为.２５.方程５ρｃｏｓθ＝４ρ＋３ρｃｏｓ２θ所表示的曲线形状是.２６.在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ把点(４ꎬ５)绕点(１ꎬ１)顺时针旋转６０ʎꎬ所得的点的坐标为.２７.已知实数ｘꎬｙ满足ｘ２＋ｙ２＝１ꎬ若ｘ＋２ｙ－ａ＋ａ＋６－ｘ－２ｙ的值与ｘꎬｙ的取值无关ꎬ则ａ的取值范围是.２８.某公司安排甲㊁乙㊁丙等７人完成除夕到大年初六共７天的值班任务ꎬ每人值班一天.已知甲不值第一图４天ꎬ乙不值第二天ꎬ甲和丙在相邻两天值班ꎬ则不同的安排方式共有种.２９.若函数ｆ(ｘ)的图象如图４所示ꎬ则函数ｆ(ｆ(ｘ))的图象大致为.２９.解法１㊀Ｂ.设ｇ(ｘ)＝ｆｆｘ()().由ｆ(ｘ)的图象关于ｙ轴对称不关于坐标原点对称ꎬ可得ｆ(ｘ)是偶函数不是奇函数ꎬ所以可得ｇ(ｘ)也是偶函数不是奇函数ꎬ从而可排除选项ＡꎬＤ.可得ｇ(１)＝ｆｆ１()()＝ｆ(０)＝－１<０ꎬ可排除选项Ｃ.３０.定义ｆＭ(ｘ)＝１ꎬｘɪＭꎬ－１ꎬｘ∉Ｍꎬ{Ｍ Ｎ＝ｘ｜ｆＭ(ｘ)ｆＮ(ｘ)＝－１{}ꎬ已知集合Ａ＝ｘ｜ｘ<２－ｘ{}ꎬＢ＝２５ｘ｜ｘ(ｘ＋３)(ｘ－３)>０{}ꎬ则Ａ Ｂ＝.３１.方程３ｘ＋４ｙ＋１２ｚ＝２０２０的自然数解的组数为.Ａ.Ｃ２１６８㊀㊀Ｂ.Ｃ２１６９㊀㊀Ｃ.Ｃ２１７０㊀㊀Ｄ.Ｃ２１７１３２.已知ｍꎬｎɪＺꎬ且０ɤｎɤ１１.若２２０２０＋３２０２１＝１２ｍ＋ｎꎬ则ｎ＝.Ａ.４㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.１０㊀㊀Ｄ.１３３３.下列不等式恒成立的是(㊀㊀).Ａ.ｘ２＋１ｘ２ȡｘ＋１ｘ㊀㊀㊀Ｂ.｜ｘ－ｙ｜＋１ｘ－ｙȡ２Ｃ.｜ｘ－ｙ｜－１ｘ－ｙȡ２Ｄ.｜ｘ－ｙ｜ȡ｜ｘ－ｚ｜＋｜ｙ－ｚ｜参考答案１.Ｃ㊀２.Ｂ㊀３.㊀５－１２㊀４.Ｂ㊀５.Ｂ㊀６.２２㊀７.Ｃ８.(１ꎬ２)㊀９.１９㊀１０.ｄ㊀１１.９８ʃ７４３㊀１２.２１４㊀１３.ａꎬｂꎬｃꎬｄ㊀１４.５４㊀１５.１２６００㊀１６.１１１８㊀１７.Ｂ㊀１８.Ｃ㊀１９.Ｄ㊀２０.Ｃ㊀２１.(１７４ꎬ８)㊀２２.Ｂ㊀２３.Ｄ㊀２４.９１０㊀２６.(５２＋２３ꎬ３－３２３)㊀２７.[５－６ꎬ－５]㊀２８.１１２８㊀２９.Ｂ㊀３０.(－ɕꎬ－３]ɣ[０ꎬ１)ɣ(３ꎬ＋ɕ)㊀３１.Ｃ㊀３２.Ｂ㊀３３.Ａ㊀㊀参考文献:[责任编辑:李㊀璟]函数与不等式齐驱并驾㊀多角度解决最值问题２０２０年全国Ⅱ卷第２１题一题多解探讨张培杰(云南省大理大学教师教育学院㊀６７１０００)摘㊀要:最值问题能考查学生推理㊁转换㊁归纳等综合数学能力ꎬ每年高考都会出现.在高中数学教学中ꎬ最值问题的有两个主要的解决策略ꎬ一是转换成函数ꎬ利用函数性质求解ꎬ二是利用不等式求解.２０２０年全国Ⅱ卷第２１题第(２)问是典型的最值问题ꎬ本文分别从函数性质和不等式的角度给出不同的解答ꎬ以总结出一般的思路步骤ꎬ供复习参考.关键词:最值问题ꎻ函数ꎻ不等式ꎻ一题多解中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００５３－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:张培杰(１９９３.９－)ꎬ男ꎬ研究生ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀一㊁真题再现(２０２０年全国Ⅱ卷第２１题)已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘｓｉｎ２ｘ.(１)讨论ｆ(ｘ)在(０ꎬπ)的单调性ꎻ(２)证明:ｆ(ｘ)ɤ３３８ꎻ(３)证明:ｓｉｎ２ｘｓｉｎ２２ｘｓｉｎ２４ｘ ｓｉｎ２２ｎｘɤ３ｎ４ｎ.通过观察题目发现ꎬ该题以三角函数为背景ꎬ考查判断函数在区间内的单调性㊁求函数值域㊁不等式证明等多个知识点.题目综合性强ꎬ难度较大ꎬ对考生的逻辑推理能力和运算能力有较高的要求ꎬ很好地体现了课程标准要求的核心素养导向ꎬ具有高考命题需要的区分度.下面重点给出第(２)问的一题多解ꎬ对于第(１)㊁(３)问仅给出一种可行的解答.３５。
2020届高考强基3套卷 全国卷(二)文数 答案
则 f (x) 1 1 ………………………………………………2 分 x
令 f (x) 0 ，得 x 1 .
当 x (0，1) 时， f '(x) 0 ， f ( x) 单调递增；
当 x (1， ∞) 时， f (x) 0 ， f ( x) 单调递减..…………..4 分
f (x)max f (1) 0 ..………………………………….…….5 分
又 AC1 AC A ，BC 平面 A1ACC1 ， BC 平面 ABC ，平面 A1ACC1 平面 ABC ..………6 分
（2）过 A1 作 A1D AC ，交 AC 于点 D，
可得 A1D AA1·sin A1AC 2 3 .
S菱形ACC1A1 AC·A1D 8 3 ，
则 S△ AA1C1 12 S菱形ACC1A1 4 3 ..…………………………..…8 分
x 3y 4 0
图中阴影部分(含边界).令 z x y ，则 y x z .作出直线 l0 ：y x ，并平移该直线.由图可知，当直线 y x z 经过点 M 时，其在 y 轴上的截距最小，
此时 z x y 取得最大值.
由
3x 2x
y y
2 2
0 0
，得
x
y
0 2
14.【答案】 n
【解析】
Sn 2 2n 1
1
n
，
Sn
(n
1)·2n1
2
.当 n 2
时， Sn1 (n 2)·2n 2，两式相减，得 anbn n·2n ，bn n ； 当 n 1 时， a1b1 2 ， b1 1.综上所述， bn n . 15.【答案】 e2
【解析】设曲线 f (x) aex 在点 (x0 ，aex0 ) 处的切线为直线 y x 3 .由题意，得 f (x) aex ， f (x0 ) aex0 ，则曲线 f ( x) 在点 (x0 ，aex0 ) 处的切线方程为 y aex0 aex0 (x x0 ) . 曲线 f ( x) 在点 (x0 ，aex0 ) 处的切线为直线 y x 3 ，aex0 1 ， y 1 1 (x x0) ，即 y x x0 1 ，x0 1 3 ，解得 x0 2 . aex0 ae2 1 ，解得 a e2 .
2020届高考强基3套卷山东卷(二)数学试题(2020.4) Word版含解析
2020届高考强基3套卷山东卷数学(二)[满分: 150 分]一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|30},M x x x =∈-<Z 则满足条件M ∪N={1,2,3,4}的集合N 的个数是() A.2B.3C.4D.162.已知复数z 满足(2+i)z=1-i,则z z ⋅=()2.5A -2.5B2.5C i2.5D i -3.若l,m 是平面α外的两条直线，且l//α,则m//l 是m// α的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知a>b>0,且a+b=1, 1111(),log (),log ,b a b x y z aa b a==+=则x,y,z 的大小关系是()A. x>z> yB.x>y>zC.z>y>xD. z>x> y5.函数2(2cos )()1xx x e f x e +=+ (其中e=2.718...为自然对数的底数)的部分图象大致为()6.已知62(1)(1)()a x a x++∈R 展开式的各项系数之和为128,则展开式中3x 的系数为() A.30B.33C.26D.297.某师范院校为响应国家教育脱贫攻坚号召，决定每年安排5名师范生到某贫困县的3所学校进行支教.要求每所学校至少安排1名师范生，且1名师范生只去一所学校，则不同的安排方法有()A.90种B.120种C.150种D.180种8.已知双曲线C 2222:1(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A,O 为坐标原点，A 为OM 的中点，若以AM 为直径的圆与C 的渐近线相切，则双曲线C 的离心率等于()32.A23.B.3C.2D二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知函数31log (2),2()3,2x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩() A. f(5)=1B. f(f(5))=1C. f(3)=93.((3))log 7D f f =10.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值( 单位:℃ )数据，绘制如下折线图:那么，下列叙述正确的是()A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B.全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C.全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 11.若函数f(x)24sin sin ()cos 21(0)24x x x ωπωωω=⋅++->在3[,]24ππ-上是增函数，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B. f(x)的最小正周期2Tπω=C. ω的最大值为23D.ω没有最小值12.在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,PA ⊥底面ABCD ，PA=AB ，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是A. E 为PA 的中点B.PB 与CD 所成的角为3π C.BD ⊥平面PACD.三棱锥C- BDE 与四棱锥P- ABCD 的体积之比等于1:4三、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.若函数3()1f x x x =++的图象与直线y=a+x 相切,则a 的值为____. 14.已知实数a,b 满足a> 2b>0，且22,2a b a b +=-则223a bz a b+=+的最大值是____.15.已知圆2222:()()(,0)C x a y a r a r -+-=∈>R 与直线14y =-相切，则圆C 所过的定点为____.16.已知函数321ln (),()3x f x x ex ax g x x =-+=对于任意的11[,],2x e ∈存在21[,],2x e ∈使12()(),f x g x '≤则实数a 的取值范围为_____;若不等式31()()6f x x xg x +<有且仅有一个整数解,则实数a 的取值范围为_____(本题第一空2分,第二空3分)四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若101211,2.1210S S a =-= (1)求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S (2)记21,n n b a =数列{}n b 的前n 项和为,n T 求证:5.4n T <18. ( 12分)在△ABC 中，a,b,c 分别为角A, B, C 的对边，且2()cos()cos sin sin cos C B C B A C B +-=-. ( 1)求A;(2)若a=3,求b+ 2c 的最大值.19. ( 12分)如图,在直角梯形ABCD 中, AB //CD,∠DAB 190,12AD DC AB ︒====.直角梯形ABEF 是直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到的，且平面ABEF ⊥平面ABCD.(1)求证:EC//平面ADF;(2 )已知点M 在线段EC 上，若三棱锥M - ABC 的体积为1,6求二面角M-AB-C 的大小.20.(12分)某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握,提高命题质量,对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩(满分300分)，将数据分成7组: [160, 180) ,[180, 200) ,[200 ,220) ,[220 ,240) ,[240 ,260)， [260，280) ,[280，300]，并整理得到如图所示的频率分布直方图.(1 )根据频率分布直方图,求直方图中x 的值;(2 )用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个,记理综成绩位于区间[220，260)内的个数为y,求y 的分布列及数学期望E(y) ;(3)若变量S 满足P(μ-σ<S≤μ+σ)≈0.6827,且P(μ-2σ<S≤μ+ 2σ)≈0.9545，则称S 近似服从正态分布2(,)N μσ.若该市高三考生的理综成绩近似服从正态分布N(225, 225)， 则给予这套试卷好评,否则差评.试问:这套试卷得到好评还是差评?21.(12分)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,点B 的横坐标为4,且点B 在x 轴上方.( 1)求抛物线C 的方程；(2)设P 是抛物线C 上不同于A,B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线l '于E,G 两点，x 轴与准线l '的交点为H,求PHE PHG S S ⋅V V 的最小值.22.(12分)已知函数(1)()ln (0).1a x f x x a x -=->+ (1)求函数f(x)的单调区间; ( 2)求证:1111ln(1).35721n n +>+++++L。