2007-2016年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解

合集下载

2007年高考安徽卷(理科数学)

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（安徽卷）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列函数中，反函数是其自身的函数为A.2()f x x =，[0,)x ∈+∞B.3()f x x =，(,)x ∈-∞+∞C.()x f x e =，(,)x ∈-∞+∞D.1()f x x=，(0,)x ∈+∞ 2.设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l α⊥”是l m ⊥且“l n ⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.若对任意x R ∈,不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 A.1a <- B.1a ≤ C.1a < D.1a ≥ 4.若a为实数，=，则a 等于A.2B.C.-5.若2{228}x A x Z -=∈<<，2{log 1}B x R x =∈>，则(C )R A B 的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.36.函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C①图象C 关于直线1112x π=对称；②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数；③由()3sin 2f x x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是A.0B.1C.2D.37.如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为11C.11 8.半径为1的球面上的四点A ，B ，C ，D 是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为A.arccos(B.arccos(C.1arccos()3-D.1arccos()4- 9.如图，1F 和2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为B.5C.2D.1+10.以()x ϕ表示标准正态总体在区间(,)x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则概率()P ξμσ-<等于 A.()()ϕμσϕμσ+-- B.(1)(1)ϕϕ--C.1()μϕσ- D.2()ϕμσ-11.定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程()0f x =在闭区间[,]T T -上的根的个数记为n ，则n 可能为 A.0 B.1 C.3 D.5 二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分.12.若3(2nx 的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于.13.在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = .（用a ，b ，c 表示）14.如图，抛物线21y x =-+与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为1P ，2P ，…，1n P -，过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为1Q ，2Q ，…，1n Q -，从而得到1n -个直角三角形11Q OP ∆，212Q PP∆，…，121n n n Q P P ---∆,当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .15.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知04πα<<，β为函数()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，1(tan(),1)4a a β=+-.(cos ,2)b a =，a b m ⋅=，求ααβααsin cos )(2sin cos 22-++.17.（本小题满分14分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =.（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面；（Ⅱ）求证：平面11AA C C ⊥平面11B BDD ；1（Ⅲ）求二面角11A B B C --的大小（用反三角函数值表示）.18.（本小题满分14分）设0a ≥，2()1ln 2ln f x x x a x =--+（0x >）.（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0,)+∞内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+. 19.（本小题满分12分）如图，曲线G 的方程为22y x =（0y ≥）.以原点为圆心，以t （0t >）为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C . （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +，求证：直线CD 的斜率为定值.20.（本小题满分13分）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的只数. （Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；ABDA 1B 1C1D 1（Ⅱ）求数学期望E ξ；（Ⅲ）求概率()p E ξξ≥. 21.（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加d （0d >），因此，历年所交纳的储务金数目1a ，2a ，是一个公差为d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r （0r >），那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，，以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出n T 与1n T -（2n ≥）的递推关系式；（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列.2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｂ 5．Ｃ 6．Ｃ7．Ａ8．Ｃ9．Ｄ10．Ｂ11．Ｄ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．12．7 13．111244++a b c14．13 15．①③④⑤三、解答题16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．解：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期，故πβ=．因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ab ··．故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·．由于π04α<<，所以 222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==--1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·．17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．解法1（向量法）：以D 为原点，以1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（Ⅰ）证明：1111(110)(220)(110)(220)AC AC D B DB =-=-==，，，，，，，，，，，∵．111122AC AC DB D B ==，∴． AC ∴与11AC 平行，DB 与11DB 平行，于是11AC 与AC 共面，11BD 与BD 共面．（Ⅱ）证明：1(002)(220)0DD AC =-=，，，，··， (220)(220)0DB AC =-=，，，，··，1DD AC ⊥∴，DB AC ⊥．1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ．∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AA BB CC =-=--=-，，，，，，，，．设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，11120AA x z =-+=n ·，111120BB x y z =--+=n ·．于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ．设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，122220BB x y z =--+=m ·，12220CC y z =-+=m ·．于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ．1cos 5==，m n m n m n ·． ∴二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DA DC ，的中点，连结11EF A E C F ，，，有111111A E D D C F D D DE DF ==，，，∥∥． 11A E C F ∴∥，于是11A C EF ∥．由1DE DF ==，得EF AC ∥，故11AC AC ∥，11A C 与AC 共面．过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，，于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴．1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴． 1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴，又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥，根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．过点A 在平面11ABB A 内作1AM B B ⊥于M ，连结MC MO ，，ABCD1A1B1C 1DMOEF则1B B ⊥平面AMC ，于是11B B MC B B MO ⊥⊥，，所以，AMC ∠是二面角1A B B C --的一个平面角．根据勾股定理，有111A A C C B B ==．1OM B B ⊥∵，有11B O OB OM B B ==·BM =AM =，CM =． 2221cos 25AM CM AC AMC AM CM +-∠==-·，1πarccos 5AMC ∠=-，二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．18．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，，故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22()10x F x x x x-'=-=>，，列表如下：故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>．从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加．所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>．故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．解：（Ⅰ）由题意知，(A a ．因为OA t =，所以222a a t +=．由于0t >，故有t = （1）由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为1x yc t+=．又因点A 在直线BC上，故有1a c t+=，将（1）代入上式，得1a c =，解得2c a =+（Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为1CD k ====-．所以直线CD 的斜率为定值．20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．解：（Ⅰ）ξ的分布列为：（Ⅱ）数学期望为(162534)228E ξ=⨯+⨯+⨯=．2x =2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（安徽卷）第 11 页共 11 页2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（安徽卷）第 11 页共 11 页（Ⅲ）所求的概率为5432115()(2)2828P E P ξξξ++++===≥≥． 21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥．（Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++，① 在①式两端同乘1r +，得 12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++ ②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++- 1[(1)1](1)n n n d r r a r a r=+--++-．即1122(1)n n a r d a r d d T r n r r r++=+--．如果记12(1)n n a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r +=--，则n n n T A B =+．其中{}n A 是以12(1)a r d r r++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，d r-为公差的等差数列．。

2007年安徽省高考数学(理)试卷及答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，反函数是其自身的函数为A ．[)+∞∈=,0,)(3x x x f B ．[)+∞∞-∈=,,)(3x x x fC ．),(,)(+∞-∞∈=x e x f xD ．),0(,1)(+∞∈=x xx f 2．设,,l m n 均为直线，其中,m n 在平面α内，“l α⊥是l m ⊥且l n ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意∈x R,不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1a <-B ．a ≤1C ． a ＜1D ．1a ≥4．若a 为实数，iai 212++＝，则a 等于A ．2B ．—2C ．22D ．—225．若}{8222<≤Z ∈=-xx A ，{}1log R 2>∈=x x B ，则)(C R B A ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．36．函数)3π2sin(3)(-=x x f 的图象为C ， ①图象C 关于直线π1211=x 对称；②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数； ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 以上三个论断中，正确论断的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．37．如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为A ．15-B ．154- C ．122- D ．12-8．半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为A ．)33arccos(-B ．)36arccos(-C ．)31arccos(-D ．)41arccos(-9．如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b r a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．25D ．31+10．以)(x φ表示标准正态总体在区间（x ,∞-）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则概率)(σμξ<-P 等于A ．)(σμφ+-)(σμφ-B ．)1()1(--φφC ．)1(σμφ- D ．)(2σμφ+11．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为A ．0B ．1C ．3D ．5二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2007年高考数学真题(安徽卷)(数学文)

绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。

在试题卷上作答无．．．．．．．．效．． 4．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式)()(B P A P B A P +=+）（2R π4＝S如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()P A B P A P B ⋅=⋅（）球的体积公式 1+2+…+n=21)n(n +34πR 3V =2212++…+6)1n 2)(1(n n 2++=其中R 表示球的半径3312++…+4)1(n n n 222+=第Ⅰ卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若}}{{032,122=--===x x x B x x A ，则B A ⋂＝A ．{}3B ．{}1C ．∅D ．{}1-2．椭圆2241x y +=的离心率为A ．23B ．43 C ．22 D ．32 3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若＝则432,3,1S a a ==A ．12B ．10C ．8D ．64．下列函数中，反函数是自身的函数为A ．2(),[0,)f x x x =∈+∞B ．3(),(,)f x x x =∈-∞+∞C ．(),(,)xf x e x =∈-∞+∞D ．1(),(0,)f x x x=∈+∞ 5．若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为 A ．-2或2B ．2321或 C ．2或0D ．-2或06．设l ，m, n 均为直线，其中m, n 在平面a 内，则“l a ⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．图中的图象所表示的函数的解析式为A ．|1|23-=x y （0≤x ≤2） B ．|1|2323--=x y （0≤x ≤2）C ．|1|23--=x y （0≤x ≤2）D ．|1|1--=x y（0≤x ≤2）8．设a ＞1,且2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,则p n m ,,的大小关系为A ．n ＞m ＞pB ．m ＞p ＞nC ．m ＞n ＞pD ．p ＞m ＞n9．如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x 上,点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么||PQ 的最小值为A ．23 B ．154-C ．122-D ．12-10．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,折成直二面角后,在A ,B ,C ,D 四点所在的球面上,B 与D 两点之间的球面距离为AB ．πC ．2π D ．3π 11．定义在R 上的函数f （x ）既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期．若将方程f （x ）=0在闭区间[-T ,T ]上的根的个数记为n ,则n 可能为A ．0B ．1C ．3D ．5第Ⅱ卷（非选择题共95分）注意事项：请用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试卷上书写作答无效．．．．．．．．．．。

高中数学竞赛训练解答题(每题含详解)

高中数学竞赛训练题—解答题1．b a ,是两个不相等的正数，且满足2233b a b a -=-，求所有可能的整数c ,使得ab c 9=.2．已知不等式24131...312111an n n n >++++++++对一切正整数a 均成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论。

3．设{}n a 为14a =的单调递增数列，且满足22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++，求{n a }的通项公式。

4．（1）设,0,0>>y x 求证：;432yx y x x -≥+ （2）设,0,0,0>>>z y x求证：.2333zxyz xy x z z z y y y x x ++≥+++++5. 设数列 ,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11kk k -，问：（1）这个数列第2010项的值是多少；（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.6. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。

现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。

问共有多少种放法。

7．已知数列{}n a 满足1a a =（0,1a a ≠≠且），前n 项和为n S ，且(1)1n n aS a a=--，记lg ||n n n b a a =（n *∈N ），当a =时，问是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n ，都有m n b b ≥？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．8. 在ABC ∆中，已9,sin cos sin AB AC B A C ==，又ABC ∆的面积等于6.（Ⅰ）求ABC ∆的三边之长；（Ⅱ）设P 是ABC ∆（含边界）内一点，P 到三边AB 、BC 、AB 的距离为1d 、2d 和3d ，求123d d d ++的取值范围.9．在数列{}n a 中，1a ，2a 是给定的非零整数，21n n n a a a ++=-．（1）若152a =，161a =-，求2008a ；（2）证明：从{}n a 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．10. 已知椭圆)1(1222>=+a y ax ，Rt ABC ∆以A （0，1）为直角顶点，边AB 、BC 与椭圆交于两点B 、C 。

2016年安徽高考理科数学试题及答案(Word版)

2016年安徽高考理科数学试题及答案（满分150分，时间120分）第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)2（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B 2 （C 3（D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）98 （B ）99 （C ）100 （D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 （5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(0,3) （B ）(–1,3) （C ）(–1,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A ）20π （B ）18π（C ）17π （D ）28π（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则（A ）log log b a a c b c < （B ）c c ab ba <（C ）c ca b <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）4y x =（B ）3y x =（C ）2y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=2|DE|=5C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A) 33 (B )22 (C) 32 (D)13 12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13) 设向量a=(m ，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=______. (14) 5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是__________.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为___________。

[VIP专享]2007年安徽高考数学理科试卷及答案

，＋∞）内的单调性并求极值；分）的方程为y2=2x（y≥0）。

以原点为圆心，以t（t >0（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值。

20．（本小题满分13分）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔。

以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数。

（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）。

21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度。

公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。

这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n－2，……，以T n 表示到第n年末所累计的储备金总额。

（Ⅰ）写出T n与T n-1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：T n＝A n＋B n，其中｛A n｝是一个等比数列，｛B n｝是一个等差数列。

A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），).2,0,0(),2,1,0(),2,1,1(),2,0,1(1111D C B A（Ⅰ）证明：),0,2,2(),0,1,1(11-=-=AC C A ),0,2,2(),0,1,1(11==DB B D .2,21111B D DB C A AC ==∴平行，与平行，与1111B D DB C A AC ∴于是与AC 共面，与BD 共面.11C A 11D B （Ⅱ）证明：，）＝，，（），，＝（00222001-∙∙AC DD ，）＝，，（），，＝（0022022-∙∙AC DB .1AC DB AC DD ⊥⊥∴，内的两条相交直线，，是平面与111BDD B DB DD .11BDD B AC 平面⊥∴又平面，过AC ACC A 11.1111BDD B ACC A 平面平面⊥∴（Ⅲ）解：.210211201111），，＝（），，，＝（），，，＝（----CC BB AA 设的法向量，为平面11111),,(ABB A z y x n =,02,021111111==--=∙=+-=∙z y x BB n z x AA n 于是).1,0,2(,2,1,0111====n z z y 则取设的法向量，为平面11222),,(BCC B z y x m =。

安徽省07年高考模拟试题分类解析16——圆锥曲线(数学)

安徽省07年高考模拟试题分类解析16——圆锥曲线1．(2007届安徽皖南八校高三数学第二次联考11)已知F 1、F 2为椭圆E 的左右两个焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率为e ，且||||21PF e PF =则e 的值为（）A ．22B ．32-C ．33 D ．22-2．(安徽省淮南市部分重点中学2007年高三数学素质测试9)已知椭圆)0,0(1)0(122222222>>=->>=+n m ny m x b a b y a x 与双曲线有相同的焦点（－c ，0）和（c ，0），若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心是（）A ．33B ．22 C ．41 D ．21 3．(安徽省合肥市2007年第三次教学质量检测数学2)以双曲线1322=-y x 的一条准线为准线，顶点在原点的抛物线方程是A ．x y x y 6622-==或B ．y x y x 6622-==或C ．x y x y 2222-==或D ．x y x y 3322-==或4、(安徽淮南2007年一模11)已知θ是三角形的一个内角，且sin θ+cos θ=－21，则方程x 2sin θ－y 2cos θ=1表示（）A 、焦点在x 轴上的椭圆B 、焦点在y 轴上的椭圆C 、焦点在x 轴上的双曲线D 、焦点在y 轴上的双曲线5.(安徽巢湖2007二模6)已知双曲线的中心在原点，离心率为3，若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线与抛物线x y 42=的交点到抛物线焦点的距离为( )A.21B.21C.6D.46.(安徽巢湖2007二模7)已知抛物线x y 42=的准线与双曲线13222=-b y x 的一条准线重合，则这条抛物线x y 42=与双曲线13222=-b y x 的交点P 到抛物线焦点的距离为( )A.21B.21C.6 D .48．(安徽省三市2007年第二次联合质量检测4月理科)把曲线14:221=-ky x C 按向量a =（－1，2）平移后得到曲线C 2，曲线C 2有一条准线方程为31=x ，则k 的值为 59． (安徽省三市2007年第二次联合质量检测4月理科)以下四个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作该圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点.其中真命题的序号为 ③、④ （写出所有真命题的序号）10．(安徽巢湖2007届3月联考)若圆锥曲线22125x y k k +=-+的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是________（00________．11、（安徽宿州三中2007年三模）（本题满分14分）已知椭圆C 的方程为 22221(0)x y a b a b+=>>，过其左焦点F 1（－1，0）斜率为1的直线交椭圆于P 、Q 两点．（Ⅰ）若+与a =（－3，1）共线，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知直线l ：102x y +-=，在l 上求一点M ，使以椭圆的焦点为焦点且过M 点的双曲线E 的实轴最长，求点M 的坐标和此双曲线E 的方程．解：（Ⅰ）将直线PQ 的方程为1,12222=++=by a x x y 代入，化简得02)(2222222=-+++b a a x a x b a ．令),,(),,(2211y x Q y x P 则 212222a x x a b+=-+． ……………………… 2分由1212(,)OP OQ x x y y +=++， OQ OP +与a =（－3，1）共线，得 12123()()0.y y x x +++= ∴12123(2)()0x x x x ++++=．∴2321-=+x x ，即222232a a b-=-+，∴223a b =． ………………… 4分又∵221a b =+， ∴2231,22a b ==．所以椭圆C 的方程为222213x y +=． …………………………………… 6分（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F 2，则易知F 1（－1，0）F 2（1，0），直线l 的方程为：102x y +-=，因为M 在双曲线E 上，要双曲线E 的实轴最大，只须｜|MF 1|－|MF 2|｜最大， …………………………………………………… 8分设F 2（1，0）关于直线l 的对称点为2'F ，则可求2'F （12，－12），则直线12'F F 与直线l 的交点为所求M ， 121133y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得M （54，－34）． ……………………………………… 10分又'2a =｜|MF 1|－|MF 2|｜=｜|MF 1|－|M 2'F |｜≤12|'|F F……… 12分∴max '4a =，'4b =．故所求双曲线E 方程为： 2288153x y -=． ……………………………… 14分。

2007年全国高考数学卷(安徽.文)含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）参考公式：(1)122n n n ++++=L 222(1)(21)126n n n n +++++=L22333(1)124n n n ++++=L第I 卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若{}21A x x ==，{}2230B x x x =--=，则A B =I （）Ａ．{}3Ｂ．{}1Ｃ．∅Ｄ．{}1-2．椭圆2241x y +=的离心率为（）Ａ．2Ｂ．34Ｃ．2Ｄ．233．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21a =，33a =，则4S =（）Ａ．12 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．64．下列函数中，反函数是其自身的函数为（）Ａ．2()f x x =，[0)x ∈+∞，Ｂ．3()()f x x x =∈-∞+∞，，Ｃ．()e ()xf x x =∈-∞+∞，，Ｄ．1()f x x=，(0)x ∈+∞，5．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=，则a 的值为（）Ａ．2-或2Ｂ．12或32Ｃ．2或0 Ｄ．2-或0 6．设t ，m ，n 均为直线，其中m n ，在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件7．图中的图象所表示的函数的解析式为（）Ａ．312y x =- (02)x ≤≤第7题图Ｂ．33122y x =-- (02)x ≤≤Ｃ．312y x =-- (02)x ≤≤Ｄ．11y x =--(02)x ≤≤8．设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =-，log (2)a p a =，则m n p ，，的大小关系为（）Ａ．n m p >>Ｂ．m p n >> Ｃ．m n p >> Ｄ．p m n >>9．如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（）Ａ．321-Ｃ．1110．把边长为的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，折成直二面角后，在A B C D ，，，四点所在的球面上，B 与D 两点之间的球面距离为（）Ｃ．π Ｂ．π2 Ｄ．π311．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．3Ｄ．52007年普通高等学校招生全国统一考试（安微卷）数学（文科）第II 卷（非选择题共95分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．12．已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则024135()()a a a a a a ++++的值等于．13．在四面体O ABC -中，OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OC c =u u u r，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =u u u r（用a b c ，，表示）14．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为． 15．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分）解不等式(311)(sin 2)0x x --->．17．（本小题满分14分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面．（Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；（Ⅲ）求二面角1A BB C --的大小（用反三角函数值表示） 18．（本小题满分14分）设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u rg ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 19．（本小题满分13分）在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．（I ）求笼内恰好剩下．．．．1只果蝇的概率；ABCD1A1B1C 1D（II ）求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率． 20．（本小题满分14分）设函数232()cos 4sincos 43422x xf x x t t t t =--++-+，x ∈R ，其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ．（I ）求()g t 的表达式；（II ）讨论()g t 在区间(11)-，内的单调性并求极值．21．（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a L ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，L L ．以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；（Ⅱ）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文史）参考答案一、选择题：本题考查基本知识的基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｃ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ａ7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ｃ 11．Ｄ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．256-13．111244a b c ++ 14．31115．①②③三、解答题16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．解：因为对任意x ∈R ，sin 20x -<，所以原不等式等价于3110x --<．即311x -<，1311x -<-<，032x <<，故解为203x <<．所以原不等式的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．解法1（向量法）：以D 为原点，以1DADC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（Ⅰ）证明：1111(110)(220)(110)(220)AC AC D B DB =-=-==u u u u r u u u r u u u u r u u u r，，，，，，，，，，，∵． 111122AC AC DB D B ==u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，∴． AC u u u r ∴与11AC u u u u r 平行，DB u u u r 与11DB u u u u r 平行，于是11AC 与AC 共面，11BD 与BD 共面．（Ⅱ）证明：1(002)(220)0DD AC =-=u u u u r u u u r，，，，··，(220)(220)0DB AC =-=u u u r u u u r ，，，，··， 1DD AC ⊥u u u u r u u u r ∴，DB AC ⊥u u ur u u u r ．1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ．∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AA BB CC =-=--=-u u u r u u u r u u u u r，，，，，，，，．设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，11120AA x z =-+=u u u r ·n ，111120BB x y z =--+=u u u r n ·．于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ．设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，122220BB x y z =--+=u u u r m ·，12220CC y z =-+=u u u u r m ·．于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ．1cos 5==，m n m n m n ·． ∴二面角1A BB C --的大小为1πarccos 5-．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．设E F ，分别为DADC ，的中点，连结11EF A E C F ，，，有111111A E D D C F D D DE DF ==，，，∥∥． 11A E C F ∴∥，于是11A C EF ∥．由1DE DF ==，得EF AC ∥，故11AC AC ∥，11A C 与AC 共面．过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，，于是11OE B A ∥，11OF B C ∥，OE OF =∴． ABCD1A1B1C 1DMOEF1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴． 1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴，又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，AC ⊥∴平面11B BDD ．又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．（Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥，根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．过点A 在平面1ABB A 内作1AM B B ⊥于M ，连结MC MO ，，则1B B ⊥平面AMC ，于是11B B MC B B MO ⊥⊥，，所以，AMC ∠是二面角1A B B C --的一个平面角．根据勾股定理，有111A A C C B B ==． 1OM B B ⊥∵，有11B O OB OM B B ==·，BM =AM =，CM =． 2221cos 25AM CM AC AMC AM CM +-∠==-·，1πarccos 5AMC ∠=-，二面角1A BB C --的大小为1πarccos5-． 18．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．解：（I ）设切点2004x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由2xy '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为2000()42x xy x x -=-．即20424x x y x =-．因为点(0)P -4，在切线上．所以2044x -=-，2016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-．（II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A C ，的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=，由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，24(1)AC k ===+．因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+．同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2222218(1)18(2)322ABCDk S AC BD k k k +===++≥．当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．19．本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．解：以k A 表示恰剩下k 只果蝇的事件(016)k =L ，，，．以m B 表示至少剩下m 只果蝇的事件(016)m =L ，，，．可以有多种不同的计算()k P A 的方法．方法1（组合模式）：当事件k A 发生时，第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7k -只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以17287()28kk C k P A C --==．方法2（排列模式）：当事件k A 发生时，共飞走8k -只蝇子，其中第8k -只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前7k -只飞出的蝇子中有6k -只是果蝇，有68kC -种不同的选择可能，还需考虑这7k -只蝇子的排列顺序．所以162688(7)!7()28kk kC C k kP A A ----==g ．由上式立得163()2814P A ==； 356563()()()()28P B P A A P A P A =+=+=． 20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分．解：（I ）我们有232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，．列表如下：由此可见，()g t 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭．21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．解：（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥．（Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=L12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++L ，①在①式两端同乘1r +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++L②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-L1[(1)1](1)n n n dr r a r a r=+--++-．即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--．如果记12(1)nn a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r+=--，则n n n T A B =+．其中{}n A 是以12(1)a r dr r++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列．。

2007年高考数学真题(安徽卷)(数学理)

绝密 ★ 启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。

在试题卷上作答无．．．．．．．．效．。

4．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24π=S R 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式1+2+…+n=(1)2n n + V=343R π 2212++…+2(1)(21)6n n n n++=其中R 表示球的半径22333(1)124n n n ++++=…第Ⅰ卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，反函数是自身的函数为A ．2(),[0,)f x x x =∈+∞ B ．3(),(,)f x x x =∈-∞+∞C ．(),(,)x f x e x =∈-∞+∞D ．1(),(0,)f x x x=∈+∞ 2．设l ，m,n 均为直线，其中m,n 在平面a 内，则“l a ⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意x R ∈，不等式|x|ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是A ．1a <-B ．|a|1≤C ．|a|<1D ．a 1≥4．若a=，则a 等于AB．C．D．-5．若{}2|228XA x Z -=∈≤<，{}2log 1B x R x =∈>，则()R A B ⋂ð的元素个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C ，①图象C 关于直线1112x π=对称； ②函数()f x 在区间(12π-，5)12π内是增函数； ③由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确论断的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．37．如果点P 在平面区域22021020x y x y x y ⎧-+≥⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为A1-B41-C．1- D1-8．半径为1的球面上的四点A ，B ，C ，D 是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为A ．arc cos 3⎛- ⎪⎝⎭B ．arc cos 6⎛- ⎪⎝⎭C ．1arc cos 3⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1arc cos 4⎛⎫-⎪⎝⎭9．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为A B C D ．1+10．以()x Φ表示标准正态总体在区间),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()ξμσP -<等于A ．()()μσμσΦ+-Φ-B ．()()11Φ-Φ-C ．1μσ-⎛⎫Φ⎪⎝⎭D ．()2μσΦ+11．定义在R 上的函数f （x ）既是奇函数，又是周期函数．T 是它的一个正周期。

2007年高考理科数学(安徽)卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A+B ）=PA ．+PB ．S=4лR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P （A ·B ）=PA ．+PB ．球的体积公式1+2+…+n　V=2)1(+n n 334R π12+22+…+n 2=　其中R 表示球的半径6)12)(1(++n n n 13+23++n 3=4)1(22+n n 第Ⅰ卷（选择题　共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，反函数是其自身的函数为A ．B ．[)+∞∈=,0,)(3x x x f [)+∞∞-∈=,,)(3x x x f C ．D ．),(,)(+∞-∞∈=x e x f x ),0(,1)(+∞∈=x xx f 2．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面内，“l ”是l m 且“l n ”的α⊥α⊥⊥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若对任意R,不等式≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是∈x x A ．a ＜-1B ．≤1C ．＜1D ．a ≥1a a4．若a 为实数，＝-i ，则a 等于iai212++2A ．B ．—C ．2D ．—222225．若，，则的元素个数为}{8222<≤Z ∈=-x x A {}1log R 2>∈=x x B )(C R B A ⋂A ．0B ．1C ．2D ．36．函数的图象为C ，①图象关于直线对称；)3π2sin(3)(-=x x f C π1211=x ②函灶在区间内是增函数；③由的图象向右平移个单)(x f 12π5,12π(-x y 2sin 3=3π位长度可以得到图象. 以上三个论断中，正确论断的个数是C A ．0B ．1C ．2D ．37．如果点在平面区域上，点在曲线上，那么P ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x Q 1)2(22=++y x Q P 的最小值为A ．B ．C ．D ．15-154-122-12-8．半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离D C B A ,,,A B 为A ．B ．C ．D ．33arccos(-36arccos(-)31arccos(-41arccos(-9．如图，和分别是双曲线的两个1F 2F )0,0(12222>>=-b a br a x 焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支A BO 1F O 的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为AB F 2A ．B ．C ．D ．352531+10．以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分)(x φx ,∞-ξ布，则概率等于),(2σμN )(σμξ<-P A ．-B ．)(σμφ+)(σμφ-)1()1(--φφC ．D ．1(σμφ-)(2σμφ+11．定义在R 上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程)(x f T 在闭区间上的根的个数记为，则可能为0)(=x f ][T T ,-n n A ．0B ．1C ．3D ．5第Ⅱ卷（非选择题　共95分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2007-2016年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解 2

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题 1.如果集合.AB同时满足

1.2.3.4ABU1ABI,1,1AB就称有序集对,AB

为

“好集对”。这里的有序集对,AB意指当AB，,,ABBA和

是不同的集对，那么“好集对”一共有

（）个。 64862ABCD ２.设函数lg101xfx,122xxff方程的解为( )

2222.loglg21.lglog101.lglg21.loglog101ABCD

3.设100101102499500AL是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是( )

4.在直角ABCV中, 90Co,CD为斜边上的高,D为垂足. ,,1ADaBDbCDab.设数列ku的通项为1221,1,2,3,,kkkkkkuaababbkLL

则( )

2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007 .. .. uuuuuuuuuuABCD

5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺

783660ABCD 3

序排成一个新的数列na,易见123451,3,7,9,13aaaaaL那么

2007____________a192759.. 55 .. ABCD2831

9597

6.设001cos31cos3ABLL0000001+cos7+1+cos111+cos871-cos7+1-cos111-cos87 + + + +则:AB

.. .. ABCD222-12+1222-2+ 7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n,且n为使得nnia=2-22+2取实数值的最小正整数,则对应此n的na为 9.若正整数n恰好有4个正约数,则称n为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个. 10.平行六面体1111ABCDABCD中,顶点A出发的三条棱1,,ABADAA的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60o

那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,ACBDDBCA的

长度(按顺序)分别为___________________ 11.函数,fxgx的迭代的函数定义为



12,,fxfxfxffxL





1121,,,nnnnfxffxgxgxgxggxgxggxL 4

其中n=2,3,4… 设23,32fxxgxx,则方程组969696fxgyfygzfzgx的解为_________________ 12.设平行四边形ABCD中，3,4,2,2ABADBD则平行四边形ABCD绕直线AC旋转所得的旋转体的体积为_______________ 三．解答题 13.已知椭圆22412:3yx和点,0,Qq直线

,lQAB过且与交于两点(可以重合). 1)若AOB为钝角或平角(O为原点), 4,q试确定l

的斜率的取值范围.

2)设A关于长轴的对称点为1A,,4,Fq为椭圆的右焦点试判断1,AFB和三点是否共线,并说明理由. 3)问题2)中,若14,,,qAFB那么三点能否共线?请说明理由. 14. 数列nx由下式确定: 112,1,2,3,,121nnnxxnxx

L

,试

求20072007lglg.xkx整数部分(注a表示不大于a的最大整数,即a的整数部分.)

15. 设给定的锐角ABCV的三边长,,,,,abcxyz正实数满足 5

,ayzbzxcxypxyz其中p为给定的正实数,试求222sbcaxcabyabcz

的最大值,并求出当s

取此最大值时, ,,xyz的取值.

2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、选择题 1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D. 第1题解答过程逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A和B. 元素2必须至少属于A、B中之一个，但不能同时属于A和B，有2种选择：属于A但不属于B，属于B但不属于A. 同理，元素3和4也有2种选择. 但元素2，3，4不能同时不属于A，也不能同时不属于B. 所以4个元素满足条件的选择共有62222种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C. 第2题解答过程令)110lg(xy，则0y，且yx10110，11010yx，

)110lg(yx， 6

)110lg(yx.从而)110lg()(1xxf. 令tx2，则题设方程为 )()(1tftf，即)110lg()110lg(tt，故

0)]110)(110lg[(tt，1)110)(110(tt，2102t， 2lg2t，解得 2lg212tx. 从而 1)2(lglog)2lg21(log22x. 答：A. 第3解答过程注意 972126,2,7和9两两互质. 因为 0A

（mod2）,

）（）（）（）（）（005994201101001A 5001021011002401500100）（6120300（mod9）,

所以6A（mod18）. （1）又因为1103，nn)1(103（mod7）,所以

iiiA3400010)500(iii）（1)500(4000

100)101102()495496()497498()499500(6300

（mod7）. (2)，（1），（2）两式以及7和18

互质，知6A（mod126）. 答：C. 另解：632126，99999963，1109999996，

）（）（11011066n，,3,2,1n所以

499500104974981010310410101102101006118811941200A ）（）（）（）（1104974981101031041101011021101006118811941200）（499500497498103104101102100 2200499500101102100999999）（B 7

60060200100999999B 60060300999999B60360999999C，

其中B，C为整数.从而6036063DA663E，其中D，E为整数.所以A除以63的余数为6.因为A是偶数，所以A除以126的余数也为6. 答：C. 第4解答过程易见BDADCD2，即abba2）（，又已知1ba，故1ab，

1)1(aa，012aa；1)1(bb，012bb.显然ku是首项为ka，公比为abq的等比数列的前1k项和.故

babaqqaukkkkk111)(1)1(， 3,2,1k .

即

babababauukkkkkk22111)()(])()([11212kkkkbbaa

)]1()()1([111bbaabakk

])([12121bbaabakk

233])([1kkkuba

， 3,2,1k .

故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见BDADCD2，即abba2）（，又已知

1ba，故1ab，51414)((222abbaba），5ba.解得

215a， 215b.