专题二 第5讲

第5讲 功能关系在力学中的应用专题提升训练一、选择题(1～4题为单项选择题，5、6题为多项选择题)1.在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。

质量为60 kg 的跳水运动员进入水中后受到水的阻力做竖直向下的减速运动，设水对他的阻力大小恒为2 600 N ，那么在他减速下降2 m 的过程中，下列说法正确的是(取g ＝10 m/s 2)( )A.他的动能减少了5 200 JB.他的重力势能减少了1 200 JC.他的机械能减少了4 000 JD.他的机械能保持不变解析 在运动员减速下降高度为2 m 的过程中，运动员受重力和阻力，由动能定理得(mg －F )h ＝ΔE k ，解得ΔE k ＝－4 000 J ，A 错误；ΔE p ＝－W G ＝－mgh ＝－1 200 J ，他的重力势能减少了1 200 J ，B 正确；除了重力之外的力做功等于机械能的变化，故W 外＝W F ＝－Fh ＝－5 200 J ，他的机械能减少了5 200 J ，C 、D 错误。

答案 B2.(2015·天水一模)如图1所示，倾角为α的斜面体放在粗糙的水平面上，质量为m 的物体A 与一劲度系数为k 的轻弹簧相连。

现用拉力F 沿斜面向上拉弹簧，使物体A 在光滑斜面上匀速上滑，上滑的高度为h ，斜面体始终处于静止状态。

在这一过程中( )图1A.弹簧的伸长量为F －mg sin αkB.拉力F 做的功为Fh sin αC.物体A 的机械能增加mghD.斜面体受地面的静摩擦力大小等于F sin α解析 物体A 在斜面上匀速运动，弹簧的弹力等于F ，弹簧的伸长量为F k，A 错误；拉力F 做的功为W F ＝F h sin α，B 错误；物体A 的动能不变，重力势能增加mgh ，所以机械能增加mgh ，C 正确；斜面体和物体都受力平衡，以斜面体和物体A 整体作为研究对象进行受力分析，整体受重力、支持力、拉力F 和摩擦力，在水平方向应用平衡条件得F f ＝F cos α，D 错误。

答案 C3.(2015·天津市河西区高三质量调查)静止在地面上的物体在竖直向上的恒力作用下上升，在某一高度撤去恒力。

不计空气阻力，在整个上升过程中，物体机械能随时间变化关系是( )解析 物体机械能的增量等于恒力做的功，恒力做功W F ＝Fh ，h ＝12at 2，则有外力作用时，物体机械能随时间变化关系为E ＝12Fat 2。

撤去恒力后，物体机械能不变，故选项C 正确。

答案 C4.(2015·海南单科，4)如图2，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g 。

质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )图2A.14mgRB.13mgR C.12mgR D.π4mgR 解析 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有F N －mg ＝m v 2R，F N ＝2mg ，联立解得v ＝gR 。

下滑过程中，根据动能定理可得mgR －W f ＝12m v 2，解得W f ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功12mgR ，C 正确。

答案 C5.如图3所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m 的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A 点，已知杆与水平面之间的夹角θ＜45°，当小球位于B 点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长。

现让小球自C 点由静止释放，在小球滑到杆底端的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是( )图3A.小球的动能与重力势能之和保持不变B.小球的动能与重力势能之和先增大后减小C.小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变D.小球的机械能与弹簧的弹性势能之和保持不变解析 由题意知，小球、弹簧和地球组成的系统机械能守恒，D 项正确；弹簧的形变量越大，弹性势能越大，小球到B 点时，弹簧为原长，故小球由C 滑到杆底端过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，因此小球的机械能先增大后减小，A 项错，B 项正确；整个过程中，小球的重力势能不断减小，故动能与弹性势能之和不断增大，C 项错。

答案 BD6.(2015·海宁市高三考试)在某一高度用细绳提着一质量m ＝0.2 kg 的物体，由静止开始沿竖直方向运动，运动过程中物体的机械能与位移关系的E －x 图象如图4所示，图中两段图线都是直线。

取g ＝10 m/s 2，则下面说法正确的是( )图4A.物体在x ＝2 m 时的加速度比物体在x ＝6 m 时的加速度小B.物体在x ＝4 m 时的速度大小为2 5 m/sC.物体在0～4 m 过程中合力做功为10 JD.物体在x ＝2 m 时的动能可能比物体在x ＝6 m 时的动能大解析 根据功能关系有W 非重＝ΔE 机，即Fx ＝E 末－E 初，所以E 末＝Fx ＋E 初，从表达式可以看出，图象斜率为力F ，显然x ＝4 m 后图象的斜率大，所以产生的加速度大，A 正确；在0～4 m 内Fx ＝E 末－E 初，将有关数据代入得F ＝2.5 N ，由动能定理得Fx －mgx ＝12m v 2－0，所以v ＝2 5 m/s ，B 正确；合力做功W 合＝Fx －mgx ＝2 J ，C 错误；因为物体一直加速运动，所以动能逐渐增多，D 错误。

答案 AB二、非选择题7.(2015·呼和浩特市高三阶段考试)如图5所示，小滑块以一定的初速度冲上足够长的斜面，经过A 点时的速度为v 0，若斜面光滑，则物块恰能到达D 点后返回；若AB 段不光滑，其余段光滑，则物块恰能到达C 点返回；已知AB 段与BC 段和CD 段长度之比为1∶2∶3，试求：图5(1)斜面光滑时，物体通过B 点的速率；(2)AB 段不光滑时，物体通过B 点的速率；(3)若已知斜面倾角为θ，则物块与AB 段不光滑时的动摩擦因数。

解析 (1)设斜面倾角为α，当斜面光滑时，由动能定理得－mg ·AD sin α＝0－12m v 20 －mg ·AB sin α＝12m v 2B －12m v 20 v B ＝56v 0(2)当AB 段不光滑时，有－mg ·AC sin α－f ·AB ＝0－12m v 20－mg ·AB sin α－f ·AB ＝12m v B ′2－12m v 20v B ′＝33v 0(3)当斜面倾角为θ且AB 段不光滑时，有mg ·CD sin θ＝μmg cos θ·AB又AB ∶CD ＝1∶3故μ＝3tan θ答案 (1)56v 0 (2)33v 0 (3)3tan θ 8.(2015·四川理综，9)严重的雾霾天气，对国计民生已造成了严重的影响，汽车尾气是形成雾霾的重要污染源，“铁腕治污”已成为国家的工作重点。

地铁列车可实现零排放，大力发展地铁，可以大大减少燃油公交车的使用，减少汽车尾气排放。

若一地铁列车从甲站由静止启动后做直线运动，先匀加速运动20 s 达最高速度72 km/h ，再匀速运动80 s ，接着匀减速运动15 s 到达乙站停住。

设列车在匀加速运动阶段牵引力为1×106 N ，匀速运动阶段牵引力的功率为6×103 kW ，忽略匀减速运动阶段牵引力所做的功。

图6(1)求甲站到乙站的距离；(2)如果燃油公交车运行中做的功与该列车从甲站到乙站牵引力做的功相同，求公交车排放气态污染物的质量。

(燃油公交车每做1焦耳功排放气态污染物3×10－6克)解析 (1)设列车匀加速直线运动阶段所用的时间为t 1；距离为s 1；在匀速直线运动阶段所用的时间为t 2，距离为s 2，速度为v ；在匀减速直线运动阶段所用的时间为t 3，距离为s 3；甲站到乙站的距离为s 。

则s 1＝12v t 1① s 2＝v t 2②s 3＝12v t 3③ s ＝s 1＋s 2＋s 3④联立①②③④式并代入数据得s ＝1 950 m ⑤(2)设列车在匀加速直线运动阶段的牵引力为F ，所做的功为W 1；在匀速直线运动阶段的牵引力的功率为P ，所做的功为W 2。

设燃油公交车做与该列车从甲站到乙站相同的功W ，将排放气态污染物质量为M 。

则W 1＝Fs 1⑥W 2＝Pt 2⑦W ＝W 1＋W 2⑧M ＝(3×10－9 kg·J －1)·W ⑨ 联立①⑥⑦⑧⑨式并代入数据得M ＝2.04 kg ⑩答案 (1)1 950 m (2)2.04 kg9.(2015·稽阳联谊学校高三联考)如图7所示，足够长的水平传送带在电动机的带动下匀速转动。

现有一可视为质点，质量m ＝0.5 kg 的煤块落在传送带左端(不计煤块落下的速度)，煤块在传送带的作用下达到传送带的速度后从右轮轴正上方的P 点恰好离开皮带做平抛运动，正好落入运煤车车厢中心点Q 。

已知煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.8，P 点与运煤车底板间的竖直高度H ＝1.8 m ，与运煤车车厢底板中心点Q 的水平距离x ＝1.2 m ，取g ＝10 m/s 2，求：图7(1)传送带的速度v 0；(2)右轮半径R ；(3)由于传送煤块，电动机多做的功W 。

解析 (1)煤块最终将与传送带一起匀速运动，故传送带的速度等于煤块运动到P 点后做平抛运动的初速度为v 0v 0＝x 2H /g＝2 m/s (2)煤块运动至P 点恰好离开皮带的临界条件是：它在P 点做圆周运动且恰好不受到皮带的支持力，因此有mg ＝m v 2P Rv P ＝v 0 解得R ＝v 2P g＝0.4 m (3)根据功能关系，在传送带传送煤块过程中，电动机多做的功等于该过程煤块动能的增量ΔE k 与煤块与皮带由于摩擦生热而产生的内能Q 之和，即W ＝ΔE k ＋Q其中ΔE k ＝12m v 2P Q ＝μmg (x 皮－x 煤)＝μmg (v P ·v P μg －v P 2v P μg )＝12m v 2P得W ＝2 J答案 (1)2 m/s (2)0.4 m (3)2 J10.(2015·浙江理综，23)如图8所示，用一块长L 1＝1.0 m 的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H ＝0.8 m ，长L 2＝1.5 m 。

斜面与水平桌面的倾角θ可在0～60°间调节后固定。

将质量m ＝0.2 kg 的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数μ1＝0.05，物块与桌面间的动摩擦因数为μ2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失(重力加速度取g ＝10 m/s 2；最大静摩擦力等于滑动摩擦力)图8(1)求θ角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示)(2)当θ角增大到37°时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数μ2；(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(3)继续增大θ角，发现θ＝53°时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离x m 。