主理想整环上的纯子模与有限生成模
MFG整环上的ε-算子和几乎投射模
MFG整环上的ε-算子和几乎投射模王芳贵【摘要】设R是MFG整环,S表示R的极大理想生成的乘法系.R-模M称为几乎投射模,是指对任何无挠的ε-模N,Ext1(M,N)是S-挠模.证明了ε-有限生成模M是几乎投射模当且仅当对R的任何次极大素理想(p),M(p)是自由R(p)-模.同时证明了ε-有限生成的几乎投射模是ε-有限表现模,ε-有限生成的几乎投射的ε-模一定是自反模.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(037)005【总页数】10页(P625-634)【关键词】极大性内射模;MFG整环;S-无挠模;ε-模;几乎投射模【作者】王芳贵【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066【正文语种】中文【中图分类】O1541 引言及预备知识设R是交换环.R的一个理想的集合S称为R的理想的乘法系,是指S满足:1)R∈S；2)若I,J∈S,则IJ∈S.对任何R-模M,定义torS(M)={x∈M|存在J∈S,使得Jx=0},则torS(M)是M的子模,称为M的完全S-挠子模.若则T总是S-挠模.此外,S-挠模的子模与商模还是S-挠模；S-无挠模的子模还是S-无挠模.容易看到,当J∈S,且存在J的有限生成子理想J0∈S时,M/T总是无挠模.若S是R的乘法封闭集,则S可以看作每个元素可以生成的主理想的乘法系来展开讨论.当S是R的非零因子的全体时,习惯上称这时的S-无挠模为无挠模,S-挠模为挠模.1981年,O.Gabber[1]用很繁复的非Abel上同调的方法证明了三维的 Quillen猜测.1988年,R.G.Swan[2]通过引入一个几乎投射模的概念给出了三维的Quillen猜测的一个简单的证明方法.文献[2]的几乎投射模的概念是建立在三维正则(Noether)局部环上.2005年,M.Y.Wang等在文献[3]中引入了极大性内射模的概念,在文献[4]也对极大性内射模展开了系列讨论.R-模M称为极大性内射模,是指对R的任何极大理想m,文献[5]对交换环上的极大性内射模,特别是MFG整环上的极大性内射模展开讨论.若整环R满足:极大理想m都是有限生成的,且满足m-1=R,则R称为MFG整环。
主理想整环上的有限生成模
湖北大学硕士学位论文主理想整环上的有限生成模姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***20040601摘要环Ｒ上的有限生成模的结构和分类是模论的中心问题之一，当Ｒ为主理想整环时（以下用Ｐ表示），有限生成模的结构与分类问题已经解决，本文利用矩阵的方法对这些结果重新进行讨论。
本文由三节组成．在第一节里，我们给出整环，主理想整环，模，有限生成模，自由模等基本概念。
在第二节里，我们讨论了秩有限的自由Ｐ．模的不变因子。
设Ｍ是秩ｎ的自由Ｐ．子模，Ｎ是Ｍ的秩ｒ的自由Ｐ．子模，‰Ｘ２…，Ｘ。
和Ｙｌ，Ｙ２…，ｙｒ分别是他们的一组基，且（Ｙ１．Ｙ２…，阶）＝（ｏｌ，Ｘ２·一．ｚ，。
）．＾靠ｘ，。
定义ｗ（Ｍ：Ｎ）＝（ｄｅｔＭ）；ｒ＝ｎ，Ｏ；ｒ＜ｎ，贝０可以证明存在ｄｌｌｄ２卜－Ｉｄｒ（ｄｉ∈Ｐ）使得ｄ１。
ｌ，ｄ２ｘ２一，４ｚ，是Ｎ的一组基，而且（ｄｌｄ２…也）＝ｇ．ｃ．如｛ｏ），其中Ｆ跑遍的极大秩ｓ的子模，ａ为”（Ｆ：ＦｎＮ）的生成元，我们称ｄ１，ｄ２…ｄ，为子模Ｎ的不变因子。
这说明不变因子是自由模自身的特性，与基底的选择无关。
在第三节里，我们得到有限生成模的结构与分类定理：每个有限生成模是某个自由模和它的扭子模的直和。
关键词：主理想整环，有限生成模，不变因子２ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆｆｉｎｉｔｅｇｅｎｅｒａｔｅｄｍｏｄｕｌｅｏｖｅｒａｒｉｎｇｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｒｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｒｍｏｄｕｌｅｔｈｅｏｒｙ．ＷｈｅｎＰｉｓａｐｒｉｎｃｉｐｌｅｉｄｅａｌｄｏｍａｉｎ，ｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆＰ—ｍｏｄｕｌｅｈａｄｂｅｅｎｓｏｌｖｅｄ．Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ，ｗｅｔｒｙｔｏｄｉｓｃｕｓｓｔｈｏｓｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｆｒｏｍａｎｅｗｗａｙ．Ｔｈｅｔｈｅｓｉｓｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｔｈｒｅｅｓｅｃｔｉｏｎｓ．Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｓｅｃｔｉｏｎ，Ｗｅｇｉｖｅｓｏｍｅｅｌｅ—ｍｅｎｔａｒｙｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓｏｆ：ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｉｄｅａｌｄｏｍａｉｎ，ｍｏｄｕｌｅ，ｆｉｎｉｔｅｇｅｎｇｅｒａｔｅｄｒｏｏｄ—ｕｌｅ，ｆｒｅｅｍｏｄｕｌｅａｎｄＳＯｏｎ．Ｉｎｓｅｃｔｉｏｎｔｗｏ，ｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｉｎｖａｒｉａｎｔｆａｃｔｏｒｓｏｆｆｒｅｅｍｏｄｕｌｅｗｉｔｈｆｉｎｉｔｅｒａｎｋＬｅｔＭｂｅａｆｒｅｅＰ．ｍｏｄｕｌｅｗｉｔｈｒａｎｋｎａｎｄＮｉｓｆｒｅｅＰ—ｓｕｂｍｏｄｕｌｅｏｆＭｗｉｔｈｒａｎｋａｎｄＹｌ，Ｙ２·，Ⅳｒｂｅｔｈｅｉｒｒ，。
主理想整环上有限生成模结构定理
主理想整环上有限生成模结构定理下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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有限生成模——精选推荐
主理想环上的扭模总是用D表示一个主理想整环。
定义设M为D模如果对任何Mm 都存在Dr使0rm则称M为扭模。
对于D中的元a定义0amMmaM。
对于D中的素元p1iippMM称为M的p零化子模。
定理设M为D扭模则ppMM素元。
证对于任意的Mmannsrsrppm11 其中ip为素元存在Dqi满足112131212131221sssrsrrsrsrrrsrpppqpppqppq 令mppppqmsiirsriririi111111则ipiMm所以sppsMMmmm11。
由m的任意性可知ppMM素元。
若对于素元pqpqpMMm即存在不同的素元sppp1满足0mpi0krkmpksmmm1所以011mppkrkr。
由于存在Drq使111srsriprpqp于是011mprpmqpmsrsri。
这说明0qpqpMM。
所以ppMM素元。
定义设M为D扭模如果对于D中的素元ppMM则称M为p模。
定理设M为p模则MMMii1其中xDMiipxi21i xDkp表示由x生成的循环子模满足DpDxDkpk/21kxDp表示由210xxxx 生成的满足关系1iixpx21i的子模等价地xDp为由//2pxpxxnnxpx/生成的M的子模。
证存在域pDD/上的线性空间序列11nnnnpMppMppM。
由线性空间的性质可知存在线性空间的直和分解VVVpM21满足/11iiiiipMppMpV21i1nnnpMpV。
令iB为iV的基21iBBBnn。
则B为pM的基。
对于iBx21i任取一固定的满足xypi1的元素y记为1ipx。
令1iiiBxpx生成的M的子模为iM。
现证i的元素无关。
若有不同的n个元素inBxx1满足0//1111innipxapxa且Dpaik则有0//1111111nninniixaxapxapxap所以pDaknk1。
令/papak。
则0////2211innipxpapxpa。
////22112inniipxpapxpap0//11nnxpaxpa所以Dpak2nk1。
主理想环上模的矩量问题
所以 ， ｌ ２ ２＋… ＋ｒｙ ｎＹ ＋ｒｙ ｍ ｍ＝ ｒｔ１ ２ ２＋… ＋ ｌ ＋ｒ Ｙ ｙ
设， 为适合， （ ）： ， ｌ １２ 的 Ｊ。 ‘＝ ，… Ｉ 到 的模 同态 ， ｆ 则条件 １ ）自然成立 ． 证毕 ．
收稿 日期 ： ６ ０一Ｉ 枷 一１ ８
维普资讯
１ ｒ ） （ ２ １ ２ Ｖｒ∈ ， １ １＋ ）＝ ＋ ， Ｖ ， ２∈ Ｍ； ２ （ １ ｒ） ： ｒ ＋ ｒ Ｖ ｒｒ ， ∈ Ｍ； ） ｒ ＋ ２ １ ２ １２∈ ， Ｖ ３ （ １２ ： ｒ（２ ， １ｒ ） ｒｒ） １ｒ ） Ｖｒ，２∈ ， ∈ Ｍ； Ｖ
一
些推论 ．
关键词
主理想环 ； 模 ； 矩量问题； 可除子模 ； 纯子模
中图分类号
０１ ． ３３ ５
一
个交换整环称为 主理想环 ， 如果每 个理想都 是主理想 …． ， 合以下条件 ： 适
设 为含 幺环 ，ｆ Ｊ 为加法 Ａ ｅ 群 ， Ｉ ｂ ｌ 称为 Ｊ 为环 上 的模 ， Ｉ ｆ 如果存在映射 Ｒ×Ｍ — Ｊ， ｒ ） Ｉ（， ｆ
…
， ｒ １２ …， ｔ＝ ，， 那么矩量问题无解 ． 因设 ，为矩量问题的解 ， 则
＋ ）＝
）＋
）推 出 １＝ １ ， ， ＋１矛盾 ．
１ 矩量 问题解 的存 在性
定理 １ 设 Ｊ 和Ⅳ是 主理想环 上 的模 ， ， ， ∈ Ｍ， Ｙ ， ， Ⅳ， ｝ Ｉ ｆ … Ｙ ， … ∈ ｛ 生成 的子模 为 Ｊ ｛ 生成 的子模 为 ． Ｉ ，Ｙ ｝ ｆ
不然 ．
设 ， Ⅳ为环 模 ， ，２… ∈ Ｍ， ， ∈ Ⅳ， ＂， ｇ Ｙ， … 是否存在 模 同态 一 Ⅳ， Ｊ ）＝ ， ＝ １２… ． ： 使 厂 （ ， ｌ ，，
关于主理想整环上有限生成模的自同态环的一个结构定理
关于主理想整环上有限生成模的自同态环的一个结构定理：主理想整环上有限生成模的自同态环是一个数学概念，它主要指的是一个群（用整环上有限生成模表示）可以分解成一组对称集，每一组对称集都能够在环上满足特定关系。
这些关系也称为自同态。
主理想整环上有限生成模的自同态环是一种结构定理，它是基于理想环理论的一种拓展。
一个群可以分解成一组对称集，每一组对称集都有一个共同的生成模，它满足环的自同态关系。
定义：设G为主理想整环上的一群，存在是施洗十字R，R＝{r1，r2，…，rn}，其中每个ri都是一个不同的生成模。
若G能被分解成n个独立的子群，即R1，R2，…，Rn，其中每一个Ri都生成于生成模ri，且满足G的自同态关系，则称G是一个自同态环。
证明：此定理的证明可以分成三步。
(1)先以整环上的一群G为定义，证明G能被分解成n个独立的子群R1，R2，…，Rn，并在环上满足自同态关系。
首先，假设G能够分解成n个独立的子群R1，R2，…，Rn，其中每一个Ri都有一个共同的生成模ri。
每一个Ri都在环上满足自同态关系，即Ri定义为一组结构和性能相同的子群，每一个子群都满足元素的结构和性能的等价关系。
(2)然后，证明在主理想整环上的每一组Ri的全部元素与生成模ri的定义具有一致性。
设Ri的全部元素分别为A1，A2，…，An，生成模ri=<A^n>，其中A^n=<A1A2…An>，那么元素A1与生成模ri=<A^n>有关，A2与生成模ri=<A^n>有关，以此类推。
由此可以证明，在主理想整环上的每一组Ri的全部元素与生成模ri的定义具有一致性。
(3)最后，证明Ri在整环上满足自同态关系即满足关系：A^n=<A1A2…An>=A^n。
设我们有R1，R2，…，Rn两个群，每一组Ri的元素分别为A1，A2，…，An。
那么满足自同态关系的条件就是：A1A2…An=A1A2…An，即A^n=A^n，从而满足元素两两之间的等价性。
第四讲：主理想整环上的模及其分解
數學傳播32卷1期,pp.25-47線性代數五講一一第四講主理想整環上的模及其分解龔昇·張德健4.1.環上的模的基本概念A.在第二講及第三講中,我們討論了向量空間及其上線性變換,在這一講及下一講中將從模的觀點來重新認識之,這是本書的主要部份,在這一講中,將介紹模的定義和基本性質,尤其是在主理想整環上的模及其分解。
若V體F上的一個向量空間,T∈L(V)。
對F[x]中任一多項式p(x),對任意 v∈V,可定義p(x) v=p(T)( v),這就是我們要討論作用在V上的線性算子。
顯然對任意r(x),s(x)∈F[x], u, v∈V有r(x)( u+ v)=r(x) u+r(x) v,(r(x)+s(x)) u=r(x) u+s(x) u,(r(x)s(x)) u=r(x)(s(x) u),1 u= u,等等。
但是F[x]不是體而是環,所以F[x]中元素對V作純量乘積,V不能成為一個向量空間。
於是引入了比向量空間更為一般的概念:模。
定義4.1.1:若R是有單位元的交換環,其元素稱為純量(scalar)。
一個R−模(R−module),或R上的一個模(a module over R)是一個非空集合M,有運算加法,記作+,對( u, v)∈M×M,有 u+ v∈M;另一個是R與M的運算是純量乘積,用毗連來表示,對(r, v)∈R×M,有r v∈M,而且有1.M對加法而言是Abel群;2.對所有r,s∈R, u, v∈M有2526數學傳播32卷1期民97年3月a.(分配律):r( u+ v)=r u+r v,(r+s) u=r u+s v;b.(結合律):(r s) u=r(s u),c.1 u= u.顯然當R為體,則模為向量空間,即體上的模就是向量空間。
當R=Z(整數環),則Z−模就是Abel群,故模也是Abel群的概念之擴充。
特別重要的是在第一講開始就說到的R=F[x],若F是體,則由定理1.2.1,F[x]是主理想整環,於是可以定義F[x]−模,這是我們今後要主要討論的對象。
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主理想整环上的纯子模与有限生成模
摘要：本文主要讨论主理想整环上纯子模与有限生成模的性质。
首先介绍主理想整环及其性质，接着给出纯子模与有限生成模的定义和性质，讨论它们之间的关系以及对每种模的分类和描述。
最后给出一些相关的例子和定理的证明。
关键词：主理想整环；纯子模；有限生成模；分类；定理
正文：
1. 引言
主理想整环是一类非常特殊的环，在学习和研究线性代数和抽象代数中起到了很重要的作用。
纯子模和有限生成模是主理想整环上最具代表性的两种模，它们在很多领域应用广泛。
本文将介绍主理想整环、纯子模和有限生成模的定义和性质，以及它们之间的关系。
此外，本文还将对每种模的分类和描述进行讨论，并给出一些相关的例子和定理的证明。
2. 主理想整环和其性质
主理想整环是指每个理想都是主理想的整环。
一个整环被称为主理想整环，当且仅当它满足以下条件：
（1）它是一个整环。
（2）所有它的理想都是主理想。
（3）它有一个非零元素作为唯一基本域。
主理想整环具有如下性质：
（1）每个主理想整环都是唯一分解整环。
（2）每个主理想整环都是域当且仅当它是PID（主理想整环）。
（3）每个有限生成交换整环都是主理想整环。
3. 纯子模和有限生成模
3.1 纯子模
设M是主理想整环R的一个左模，如果对任意的0 ≠ a∈R和
任意非0元素m∈M，存在一个整数n=n(a,m) (n可能是负数)，使得am^n \in M，则称M是R的纯子模。
3.2 有限生成模
设M是主理想整环R的一个左模，如果存在一个元素集{m1,
m2, ..., mn} \subset M，使得M=\sum Rm_i，则称M是R的有
限生成模。
4. 纯子模和有限生成模的分类和描述
下面对纯子模和有限生成模根据条件进行分类和描述。
4.1 纯子模的分类和描述
对于纯子模M，以下是几个可能的情况：
（1）如果M ={0}，则M是零模。
（2）如果M ≠ {0}，但存在一个元素 a∈R，使得am \notin M，对于任意m\in M，则称M是零子模。
（3）如果M ≠ {0}，且对任意0 ≠ a∈R和任意非0元素
m∈M，存在一个整数n=n(a,m) (n可能是负数)，使得am^n \in M，则称M是纯子模。
（4）如果M 是有限生成模，但不是有限纯子模，则称M为
混合模。
（5）如果M 是有限纯子模，但不是自由模，则称M为纯模。
4.2 有限生成模的分类和描述
对于有限生成模M，以下是几个可能的情况：
（1）如果{0}是M的生成集，则M是零模。
（2）如果M不是零模，但存在一个元素a∈R，使得am
\notin M，对于任意m\in M，则称M是零子模。
（3）如果M可以被完整地由有限个元素
\{m1,m2,...,mk\}\subset M生成，则称M是有限生成模。
（4）如果M本身不是自由模，而是自由模和有限数个断点（主要是注重于素因子分解的情况下所用到的）投影相同，则称M是分段自由模。
（5）如果M 的直和分解中只包含有限个非零纯模和自由模，则称M是有限纯子模，通常称其为近纯模。
（6）如果M是自由模，但不是主理想整环R的自由模，则
称M为商模，(因为商模是另一种分类方式，而这里是主要讨
论基底的纯性质所在，所以不对此进行详细讨论)。
5. 例子及证明
下面给出一些有关纯子模和有限生成模的例子和定理的证明。
5.1 定理1：R及其PIR的纯子模是有限生成的，则R是主理
想整环。
证明：如果R是不是主理想整环，则存在一个非主理想。
设I
是主理想整环R中一个非主理想，且存在一个素元素p∈I，
使得p能被表示为p=\sum_{i=1}^k a_ib_i其中k≥2且
a_i,b_i∈R∖\{0\}，则I 是非纯的，即存在a∈R，m∈I，使得am \notin I. 又由于am^n \in I 对于任意0 ≠ a∈R和任意非0元
素m∈M，存在一个整数n=n(a,m) (n可能是负数) ，所以I不
是纯子模。
因此，R的纯子模是有限生成的。
反之，如果R的纯子模是有限生成的，则R是主理想整环。
5.2 例子1：设R是主理想整环，I是R的一个非主理想，令
M=I/I^2，证明M是一个纯子模。
证明：对任意非零的a∈R和m∈M，设p∈I是I中的一个元素，使得m\equiv p\mod I^2，则am\equiv aP\mod I^2. 因此，I
不是纯子模，即M是一个纯子模。
5.3 定理2：设R是主理想整环，I是R的一个非零理想，则
I/I^2是一个纯子模。
证明：对任意非零的a\inR 和m\inI/I^2，设p\in I 是一个元素，使得m\equiv_p\mod I^2，则am\equiv aP\mod I^2. 因此，I/I^2
是一个纯子模。
6. 结论
本文对主理想整环上纯子模与有限生成模的性质进行了学习和研究，讨论了它们之间的关系以及每种模的分类和描述，并给出了一些相关的例子和定理的证明。
这些结论对于抽象代数和其他领域中的问题都有一定的应用价值。
7. 应用
主理想整环上的纯子模和有限生成模在许多领域都有应用。
以下是一些可能的应用领域：
（1）纯子模和有限生成模在代数几何中有广泛的应用。
（2）纯子模和有限生成模可以用来描述线性代数中的基本概念，例如线性空间、基底等。
（3）纯子模和有限生成模可以用于代数拓扑中的研究。
（4）纯子模和有限生成模可以用于代数数论中的研究，例如代数数的整性、范德蒙德猜想等。
（5）纯子模和有限生成模在代数交换群的研究中也有应用，例如扩张机理、基本定理等。
8. 结语
本文介绍了主理想整环上纯子模和有限生成模的定义和性质，讨论了它们之间的关系以及对每种模的分类和描述。
这些结论对于抽象代数和其他领域中的问题都有一定的应用价值。
在以后的研究中，我们还可以进一步探讨这些结论在具体领域中的应用，以及发掘更多有趣的结论和性质。
除了上文中提到的领域，主理想整环上的纯子模和有限生成模在几何学、代数编码论、代数密码学、代数辅助计算以及计算机科学等领域也有着重要的应用。
在几何学中，纯子模和有限生成模可以用来描述代数曲面的结构和性质。
代数曲面是经典几何学和代数几何学的重要研究对象。
通常，我们根据点、直线和曲线的交点来描述代数曲面。
然而，使用主理想整环上的纯子模和有限生成模，我们可以更
加简洁和整洁地描述曲面的性质，例如奇异点、射影投影、双重点等等。
在代数编码论和代数密码学中，主理想整环上的纯子模和有限生成模可以用来设计高效的编码和密码算法。
这些算法基于有限域上的线性代数，而主理想整环上的纯子模和有限生成模则可以看作是无限域上的线性代数的扩展。
因此，在设计编码和密码算法时，我们可以利用主理想整环上的纯子模和有限生成模的特殊性质，使得算法更加简单和高效。
在计算机科学和代数辅助计算领域中，主理想整环上的纯子模和有限生成模可以用来优化符号计算和多项式求解算法。
我们可以使用主理想整环上的纯子模和有限生成模的结构和性质，将多项式问题转化为线性问题，进而应用线性代数中的技巧解决问题。
这种方法不仅可以提高计算效率，还可以简化计算过程，并且可以应用于多种不同的代数结构中。
最后，可以使用主理想整环上的纯子模和有限生成模研究椭圆曲线密码学中的算法。
椭圆曲线密码学是一个重要的公钥加密技术。
主理想整环可以用来构造椭圆曲线上的离散对数问题，进而设计构建椭圆曲线密码算法。
因此，主理想整环上的纯子模和有限生成模可以作为椭圆曲线密码学算法的关键工具。
综上所述，在多个领域中，主理想整环上的纯子模和有限生成模的研究都有多层次的应用。
这些应用不仅可以为抽象代数学的发展带来新的思维，也可以推动其他领域的发展。
未来，这些结论、理论和技术将会在更多的领域中得到更广泛的应用。
主理想整环上的纯子模和有限生成模是抽象代数学中的一个重要研究领域，同时在多个应用领域中都有重要的应用。
在数学领域，这些结构可以用来描述环、域和代数对象的性质和结构。
在几何学中，它们可以用于代数曲面的描述和计算；在代数编码论和代数密码学中，主理想整环上的纯子模和有限生成模可以用来设计高效的编码和密码算法；在计算机科学和代数辅助计算领域中，它们可以用来优化符号计算和多项式求解算法；在椭圆曲线密码学中，它们可以用来构造椭圆曲线上的离散对数问题，进而设计构建椭圆曲线密码算法。
因此，主理想整环上的纯子模和有限生成模的研究不仅能够推动抽象代数学的发展，还可以为其他领域的发展提供支持和帮助。
在未来，这些结论、理论和技术将会在更多的领域中得到更广泛的应用。