证明不变子空间的方法(一)
74不变子空间1
§7.4 不变子空间教学目的本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法，掌握值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的事实，了解σ的秩和零度的概念及其相关结论。
教学难点不变子空间的证明教学重点不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的证明教学过程备注教学内容一、不变子空间的定义为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.在3V中，设σ是数量变换，即有一个确定的数k，使得对任意αασαk)(,3=∈V，设W是3V中过原点的一个平面，W是3V的一个子空间，对W中每一个向量ξ，ξ在σ作用之下的像)(ξσ仍是W中的向量，这样的子空间W就是σ的不变子空间.定义1 设σ是F上向量空间V的一个线性变换，W是V的一个子空间，若W中向量在σ下的像仍在W中，即对于W中任一向量ξ，都有W∈)(ξσ，则称W是σ的一个不变子空间，或称W在σ之下不变.例1 向量空间V本身和零子空间是V的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间.例2 向量空间V的任一子空间都是数量变换的不变子空间.例3 在R[x]中，令x)(f(f(x))'=σ，对任意][],[)(xRxRxfn∈是R[x]的子空间，并且]x[nR是σ的不变子空间.例4 设σ是3V中以过原点的一条直线L为轴,旋转θ角的变换,则L是σ的一维不变子空间;过原点且与L垂直的平面H是σ的一个二维不变子空间.二、不变子空间的判断下面给出一种判断不变子空间的方法定理7.4.1 设σ是n维向量空间V的一个线性变换，W是V的子空间，{}r21,,,ααα 是W的基.则W是σ的不变子空间的充要条件是)(,),(),(r21ασασασ 在W中.设W 是向量空间V 的关于线性变换σ的不变子空间，那么对于任意的W ∈α，必有W ∈)(ασ，因此σ也可看作是向量空间W 的一个线性变换，用Wσ表示，即对于任意W ∈ξ，)()(ξσξσ=W若W ∉ξ，那么)(ξσW就没有意义. Wσ叫做σ在W 上的限制.三、不变子空间与线性变换的矩阵的关系设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是σ的一个非平凡不变子空间.在W 中取一个基{}r 21,,,ααα ，把它扩充成V 的一个基},,,,,,{1r 21n r ααααα +，由于),,2,1()(r i W i =∈ασ，故可设r r a a a αααασ12211111)(+++= r r a a a αααασ22221212)(+++=…………r r a a a αααασr 2r 21r 1r )(+++=n r n a a a a ααααασ1,1r 1r 1r r 1r r 11r 11r )(++++++++++++= ，，，，…………n nn r n r r rn n n a a a a ααααασ+++++=++ 1,111)(因此，σ关于这个基的矩阵为,00002311,,11,11,111,1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++A A A a a a a a a a a a a a a nn r n n r r r rn r r rr r n r r这里1A 是Wσ关于W 的基{}r 21,,,ααα 的矩阵. 如果V 可以分解成两个非平凡不变子空间1W 与2W 的直和,21W W V ⊕=那么选取1W 的一个基{}r 21,,,ααα 和2W 的一个基{}n 1,,αα +r ，凑成V 的一个基{}n r ααααα,,,,,,1r 21 +，当1W 和2W 都在σ下不变时，σ关于这个基的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100A A A 这里1A 是r 阶矩阵，2A 是n-r 阶矩阵，它们分别是1W σ关于基{}r 21,,,ααα 的矩阵和2W σ关于基{}n 1,,αα +r 的矩阵. 若V 可分解成s 个非平凡子空间s 21,,,W W W 的直和，并且每一i W 都是σ的不变子空间，那么在每一子空间中取一个基，凑成V 的基，σ关于这个基的矩阵就为分块对角形矩阵其中i A 是i W σ关于iW 的基的矩阵，.,2,1s i =如果能将V 分解成n 个在σ下不变的一维子空间的直和，那么σ在适当选取的基下的 矩阵就是对角矩阵. σ的一维不变子空间的问题与线性变换的本征值和本征向量有密切关系，我们将在下一节进行讨论.四、线性变换的值域与核定义2 设是向量空间的一个线性变换，由V 中全体向量的像构成的集合称为的值域，记作或；有零向量在之下的全体原像作成的集合称为的核，记作，即定理7.4.2 设σ是向量空间V 的线性变换，那么σm I 和σKer 是V 的子空间，并且在σ之下不变.证 先证σm I 是σ的不变子空间因为，σσm 0)0(,0I V ∈=∈，所以Φ≠m I .由于对任意σηξIm ,,∈∈F k ，存在V ∈βα,，使得)(),(βσηασξ==，而σβασβσασηξIm )()()(∈+=+=+，σασασξIm )()(∈==k k k因此σm I 是V 的子空间.任取σζIm ∈，当然σξσζIm )(,∈∈V .所以σm I 是σ的不变子空间.再证σKer 是σ的不变子空间.因为σKer ∈0，所以σKer 非空.对任意σβαKer F k ∈∈,,，有0)(,0)(==βσασ，于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s 21A A A0)()()(=+=+βσασβασ 0)()(==ασασk k即有,,σαβαKer k ∈+，所以σKer 是V 的子空间.由于σKer 中的向量在σ下的像都是零向量，因此σKer 是σ的不变子空间. 我们把σm I 的维数称为线性变换σ的秩，记作秩σ.把的维数称为线性变换的零度.定理7.4.3 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，{}n 21,,,ααα 是V 的一个基，σ关于这个基的矩阵是A ，则(1) ))(,),(),((m 21n L I ασασασσ = (2) σ的秩等于A 的秩证 (1) σξm I ∈∀,存在n n a a a V αααηη+++=∈ 2211,，使得)(ησξ=. 于是))(,),(),(()()()()(212211n n n L a a a ασασασασασασησ ∈+++=故 ))(,),(),((Im 21n L ασασασσ ⊆又 σασασασIm ))(,),(),((21⊆n L ，所以(1)成立.(2) 由(1)知，(,),(),(())(,),(),((dim )dim (Im )(2121nn L ασασασασασασσσ 秩秩===而 A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121αααασασασααασ == 由定理5.2.14知,秩A n 秩=))(,),(),((21ασασασ ,所以A 秩秩=σ.定理7.4.4 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，则n =+的零度秩σσ证 在V 中取定一个基{}n 21ααα，，， .设σ关于这个基的矩阵为A ，由定理7.4.3， σ的秩=秩A若σαααξKer a a a n n ∈+++= 2211，则0)(=ξσ.由于)(ξσ与0向量的坐标相同，即T T n A )0,,0,0(),,,(21 =ααα，因此ξ的坐标T n a a a ),,,(21 是齐次线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021n x x x A(1)的在n F 中的解向量.反之，对齐次线性方程组(1)的每个解向量T n b b b ),,,(21 来说,σαααKer b b b n n ∈+++ 2211.令σKer 的任一向量ξ与它的坐标对应,这就得到了F 上向量空间σKer 与(1)的在F 上的解空间W 的同构映射.因此σσ秩秩-n dim dim =-==A n W Ker故n =+的零度秩σσ例5 设{}4321αααα，，，是四维向量空间V 的一个基,线性变换σ关于这个基的矩阵为A ,并且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2-12-255213121-1201A 求σ的值域与核.解 先求ker , 设ker(), 关于{1,2,3,4}的坐标为(x 1, x 2, x 3, x 4), ()在{1,2,3,4}下的坐标为(0,0, 0, 0)，由定理7.4.4，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000解得该齐次线性方程组的基础解系为X 1＝(－2,－23,1,0), X 2＝(－1,－2,0,1).令1=－2123-2+3 , 2=－1－22+4 那么ker ()＝L (1, 2)，σ的零度=2 .再求Im . 由定理7.4.3，Im ＝L ( (1), (2), (3), (4)).而由定理7.4.4, 的秩为 2. 因此，{})(,)(,)(,)(4321ασασασασ的极大无关组含有两个向量，又(1),(2)线性无关，所以Im=L( (1), (2)).作业：P332-333,习题七，第19，20，21，22，23，24，25，26题.教学小结本节内容分为下面四个问题讲：1. 加法运算2. 数乘运算3. 乘法运算(1). 乘法运算(2). 线性变换的方幂4. 可逆线性变换及线性变换可逆的充要条件本课作业本课教育评注。
不变子空间的交还是不变子空间证明
不变子空间的交还是不变子空间证明【原创实用版】目录1.引言2.不变子空间的概念3.不变子空间的交4.不变子空间的证明5.结论正文1.引言在数学领域，不变子空间是一个重要的概念，它在线性代数、微积分等学科中都有着广泛的应用。
不变子空间交和证明是理解不变子空间的关键，本文将从这两个方面进行阐述。
2.不变子空间的概念不变子空间指的是一个向量空间在经过某一线性变换后，仍然保持原有结构和性质的子空间。
设 V 是一个向量空间，T 是 V 上的一个线性变换，如果存在一个子空间 W 使得 T(W)W，那么 W 就是不变子空间。
3.不变子空间的交不变子空间的交指的是多个不变子空间相交后得到的子空间。
假设 V 有两个不变子空间 W1 和 W2，它们的交为 W1∩W2。
根据不变子空间的性质，T(W1∩W2)W1∩W2，所以 W1∩W2 也是 V 的一个不变子空间。
4.不变子空间的证明为了证明不变子空间的存在性和唯一性，我们需要引入一些相关的概念和定理。
设 V 是一个向量空间，T 是 V 上的一个线性变换，W 是 V 的一个子空间。
如果 T(W)W，那么我们可以证明 W 是 V 的一个不变子空间。
证明：假设 U 是 V 的另一个子空间，且 T(U)U。
我们需要证明 W ∩U 也是 V 的一个不变子空间。
根据向量空间的性质，有 T(W∩U)T(W)∩T(U)。
因为 T(W)W 和 T(U)U，所以 T(W)∩T(U)W∩U。
所以 W∩U 也是 V 的一个不变子空间。
5.结论不变子空间在数学领域具有广泛的应用，理解不变子空间的交和证明对于深入研究不变子空间具有重要意义。
不变子空间的交还是不变子空间证明
不变子空间的交还是不变子空间证明摘要：一、不变子空间的概念与性质二、不变子空间的交与和三、证明不变子空间的交还是不变子空间四、不变子空间问题的应用与研究现状正文：不变子空间是线性代数中的一个重要概念，它是指在线性变换下保持不变的子空间。
不变子空间的研究不仅具有理论意义，而且在实际应用中也具有重要意义。
本文将从不变子空间的概念与性质、不变子空间的交与和、证明不变子空间的交还是不变子空间以及不变子空间问题的应用与研究现状四个方面进行阐述。
一、不变子空间的概念与性质不变子空间是指在线性变换下保持不变的子空间。
给定一个线性变换T和其不变子空间W，我们可以证明T(W)仍然是W的一个不变子空间。
这个性质可以通过以下方式证明：对于任意的a、b属于W，有a、b属于W，a、b属于U，其中U是V的线性变换T的不变子空间。
因此，T(a)和T(b)属于W，所以T(W)仍然是W的一个不变子空间。
二、不变子空间的交与和我们知道，两个不变子空间的交集仍然是它们的不变子空间。
这个性质可以通过以下方式证明：对于任意的a、b属于W1和W2，有a、b属于W1，a、b属于W2，且W1、W2是V的线性变换T的不变子空间。
因此，T(a)和T(b)属于W1∩W2，所以T(W1∩W2)仍然是W1和W2的交集的一个不变子空间。
同样地，两个不变子空间的和也是它们的不变子空间。
这个性质可以通过以下方式证明：对于任意的a、b属于W1和W2，有a、b属于W1，a、b 属于W2，且W1、W2是V的线性变换T的不变子空间。
因此，T(a+b) = T(a) + T(b) 属于W1+W2，所以T(W1+W2)仍然是W1和W2的和的一个不变子空间。
三、证明不变子空间的交还是不变子空间接下来，我们需要证明不变子空间的交仍然是不变子空间。
假设W1和W2是V的线性变换T的不变子空间，我们需要证明T(W1∩W2)仍然是W1和W2的交集的一个不变子空间。
对于任意的a、b属于W1∩W2，有a、b属于W1，a、b属于W2。
求不变子空间的方法
求不变子空间的方法
那啥是不变子空间呢？简单说啊，就是对于一个线性变换，有个空间在这个变换下，就像被保护起来似的，这个空间里的向量经过变换后还在这个空间里，这就是不变子空间啦。
一种常见的方法呢，就是从特征向量入手。
你想啊，如果一个向量是某个线性变换的特征向量，那由这个特征向量生成的一维子空间就是不变子空间哦。
比如说，对于线性变换T，向量v是它的特征向量，也就是T(v)=λv（这里λ是特征值），那{v}这个一维空间就是不变子空间啦。
还有啊，如果有一组线性无关的特征向量，那由它们张成的子空间也是不变子空间呢。
这就像是一群小伙伴，每个小伙伴自己就是个小不变子空间，合起来也是个大一点的不变子空间啦。
再就是从矩阵的角度看。
如果能把矩阵A化成块对角矩阵，那每一个对角块对应的列向量张成的子空间就是不变子空间。
这就好比把一个大的空间划分成了几个小空间，每个小空间都有自己的小规则，在变换下各自安好，不互相干扰。
另外呢，对于一些特殊的线性变换，比如投影变换。
投影到某个子空间的投影变换，那个被投影的子空间本身就是不变子空间呀。
就像光投影到墙上，墙这个空间就是光投影变换下的不变子空间呢。
宝子，求不变子空间其实也没那么难啦，只要抓住这些小窍门，多做几道题，就会慢慢有感觉的。
就像交朋友一样，刚开始觉得陌生，混熟了就好啦。
加油哦，宝子，我相信你肯定能掌握这个小知识点的！。
§7 不变子空间
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注 A与A|W是两个不同的线性变换.
A是V上的线性变换，A|W是W上的线性变换. 对 ∀α ∈ W , 有 ( A | W )α = Aα . 而对 ∀α ∈ V − W , ( A | W )α 是没有任何意义的.
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定理12 定理12
设线性变换A的特征子空间为 f (λ ), 它可分解为 一次因式的乘积
f (λ ) = (λ − λ1 ) r1 (λ − λ2 ) r2 L (λ − λs ) rs . 则V 可分解为 V V = V1 ⊕ V2 ⊕ L ⊕ Vs , 其中 Vi = {ξ ∈ V | ( A − λiE ) ri ξ = 0}. = Ker( A − λiE ) ri .
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我们也可以通过将线性空间V分解为若干个A 的 不变子空间，即先将A的矩阵具有准对角形，然后对 每个子空间上考虑A的矩阵，即考虑准对角形的每个 块，每个块最简单了，整个矩阵就最简单了. 先看前面讨论过的特殊情形，即能够找到一组基 使得在这组基下的矩阵为对角形. 我们知道线性变换A的矩阵能成对角形的一个充 分必要条件是V 能分解为所有特征子空间的直和： V = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ L ⊕ Vλs . A在属于特征值 λi (i = 1,L, s ) 的特征子空间 Vλ 上的限
故 A β ∈ B −1 (0). 即B −1 (0) 为A－子空间. 要证 A β ∈ BV，即∃ξ , s.t. Bξ = Aβ （2）任取 β ∈BV , 则存在α ∈ V , 使得 Bα = β . 故
§74 不变子空间
§7.4 不变子空间教学目的 本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法，掌握值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的事实，了解σ的秩和零度的概念及其相关结论。
教学难点 不变子空间的证明教学重点不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的证明 教 学 过 程备 注教学内容一、不变子空间的定义为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.在3V 中，设σ是数量变换，即有一个确定的数k ，使得对任意αασαk )(,3=∈V ，设W 是3V 中过原点的一个平面，W 是3V 的一个子空间，对W 中每一个向量ξ，ξ在σ作用之下的像)(ξσ仍是W 中的向量，这样的子空间W 就是σ的不变子空间.定义1 设σ是F 上向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间，若W 中向量在σ下的像仍在W 中，即对于W 中任一向量ξ，都有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的一个不变子空间，或称W 在σ之下不变.例1 向量空间V 本身和零子空间是V 的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V 的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间.例2 向量空间V 的任一子空间都是数量变换的不变子空间.例3 在R [x]中，令x)(f (f(x))'=σ，对任意][],[)(x R x R x f n ∈是R [x]的子空间，并且]x [n R 是σ的不变子空间.例4 设σ是3V 中以过原点的一条直线L 为轴,旋转θ角的变换,则L 是σ的一维不变子空间;过原点且与L 垂直的平面H 是σ的一个二维不变子空间.二、不变子空间的判断下面给出一种判断不变子空间的方法定理7.4.1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的子空间，{}r 21,,,ααα 是W 的基.则W 是σ的不变子空间的充要条件是)(,),(),(r 21ασασασ 在W 中.设W 是向量空间V 的关于线性变换σ的不变子空间，那么对于任意的W ∈α，必有W ∈)(ασ，因此σ也可看作是向量空间W 的一个线性变换，用Wσ表示，即对于任意W ∈ξ，)()(ξσξσ=W若W ∉ξ，那么)(ξσW就没有意义. Wσ叫做σ在W 上的限制.三、不变子空间与线性变换的矩阵的关系设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是σ的一个非平凡不变子空间.在W 中取一个基{}r 21,,,ααα ，把它扩充成V 的一个基},,,,,,{1r 21n r ααααα +，由于),,2,1()(r i W i =∈ασ，故可设r r a a a αααασ12211111)(+++= r r a a a αααασ22221212)(+++=…………r r a a a αααασr 2r 21r 1r )(+++=n r n a a a a ααααασ1,1r 1r 1r r 1r r 11r 11r )(++++++++++++= ，，，，…………n nn r n r r rn n n a a a a ααααασ+++++=++ 1,111)(因此，σ关于这个基的矩阵为,00002311,,11,11,111,1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++A A A a a a a a a a a a a a a nn r n n r r r rn r r rr r n r r这里1A 是Wσ关于W 的基{}r 21,,,ααα 的矩阵.如果V 可以分解成两个非平凡不变子空间1W 与2W 的直和,21W W V ⊕=那么选取1W 的一个基{}r 21,,,ααα 和2W 的一个基{}n 1,,αα +r ，凑成V 的一个基{}n r ααααα,,,,,,1r 21 +，当1W 和2W 都在σ下不变时，σ关于这个基的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210A A A 这里1A 是r 阶矩阵，2A 是n-r 阶矩阵，它们分别是1W σ关于基{}r 21,,,ααα 的矩阵和2W σ关于基{}n 1,,αα +r 的矩阵.若V 可分解成s 个非平凡子空间s 21,,,W W W 的直和，并且每一i W 都是σ的不变子空间，那么在每一子空间中取一个基，凑成V 的基，σ关于这个基的矩阵就为分块对角形矩阵其中i A 是i W σ关于i W 的基的矩阵，.,2,1s i =如果能将V 分解成n 个在σ下不变的一维子空间的直和，那么σ在适当选取的基下的 矩阵就是对角矩阵. σ的一维不变子空间的问题与线性变换的本征值和本征向量有密切关系，我们将在下一节进行讨论.四、线性变换的值域与核定义2 设是向量空间的一个线性变换，由V 中全体向量的像构成的集合称为的值域，记作或；有零向量在之下的全体原像作成的集合称为的核，记作，即定理7.4.2 设σ是向量空间V 的线性变换，那么σm I 和σKer 是V 的子空间，并且在σ之下不变.证 先证σm I 是σ的不变子空间因为，σσm 0)0(,0I V ∈=∈，所以Φ≠m I .由于对任意σηξIm ,,∈∈F k ，存在V ∈βα,，使得)(),(βσηασξ==，而σβασβσασηξIm )()()(∈+=+=+，σασασξIm )()(∈==k k k因此σm I 是V 的子空间.任取σζIm ∈，当然σξσζIm )(,∈∈V .所以σm I 是σ的不变子空间.再证σKer 是σ的不变子空间.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s 21A A A因为σKer ∈0，所以σKer 非空.对任意σβαKer F k ∈∈,,，有0)(,0)(==βσασ，于是0)()()(=+=+βσασβασ 0)()(==ασασk k即有,,σαβαKer k ∈+，所以σKer 是V 的子空间.由于σKer 中的向量在σ下的像都是零向量，因此σKer 是σ的不变子空间. 我们把σm I 的维数称为线性变换σ的秩，记作秩σ.把的维数称为线性变换的零度.定理7.4.3 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，{}n 21,,,ααα 是V 的一个基，σ关于这个基的矩阵是A ，则(1) ))(,),(),((m 21n L I ασασασσ = (2) σ的秩等于A 的秩证 (1) σξm I ∈∀,存在n n a a a V αααηη+++=∈ 2211,，使得)(ησξ=. 于是))(,),(),(()()()()(212211n n n L a a a ασασασασασασησ ∈+++=故 ))(,),(),((Im 21n L ασασασσ ⊆又 σασασασIm ))(,),(),((21⊆n L ，所以(1)成立.(2) 由(1)知，(,),(),(())(,),(),((dim )dim(Im )(2121nn L ασασασασασασσσ 秩秩===而 A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121αααασασασααασ == 由定理5.2.14知,秩A n 秩=))(,),(),((21ασασασ ,所以A 秩秩=σ.定理7.4.4 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，则n =+的零度秩σσ证 在V 中取定一个基{}n 21ααα，，， .设σ关于这个基的矩阵为A ，由定理7.4.3， σ的秩=秩A若σαααξKer a a a n n ∈+++= 2211，则0)(=ξσ.由于)(ξσ与0向量的坐标相同，即T T n A )0,,0,0(),,,(21 =ααα，因此ξ的坐标T n a a a ),,,(21 是齐次线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021n x x x A(1)的在n F 中的解向量.反之，对齐次线性方程组(1)的每个解向量T n b b b ),,,(21 来说,σαααKer b b b n n ∈+++ 2211.令σKer 的任一向量ξ与它的坐标对应,这就得到了F 上向量空间σKer 与(1)的在F 上的解空间W 的同构映射.因此σσ秩秩-n dim dim =-==A n W Ker故n =+的零度秩σσ例5 设{}4321αααα，，，是四维向量空间V 的一个基,线性变换σ关于这个基的矩阵为A ,并且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2-12-255213121-121A求σ的值域与核.解 先求ker σ, 设ξ∈ker(σ), ξ关于{α1,α2,α3,α4}的坐标为(x 1, x 2, x 3,x 4), σ (ξ)在{α1,α2,α3,α4}下的坐标为(0, 0, 0, 0)，由定理7.4.4，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000解得该齐次线性方程组的基础解系为X 1＝(－2,－23,1,0), X 2＝(－1,－2,0,1).令 β1=－2α123-α2+α3 , β2=－α1－2α2+α4那么ker (σ)＝L (β1, β 2)，σ的零度=2 .再求Im σ. 由定理7.4.3，Im σ＝L (σ (α1), σ (α2), σ (α3), σ (α4)).而由定理7.4.4, σ的秩为2. 因此，{})(,)(,)(,)(4321ασασασασ的极大无关组含有两个向量，又σ (α1), σ (α2)线性无关，所以Im σ =L (σ (α1), σ (α2)).作 业：P332-333,习题七，第19，20，21，22，23，24，25，26题.教学小结本节内容分为下面四个问题讲： 1. 加法运算 2. 数乘运算3. 乘法运算(1). 乘法运算(2). 线性变换σ的方幂4. 可逆线性变换及线性变换可逆的充要条件本课作业本课教育评注。
7.7 不变子空间
则在这组
A 1
A2
⋱ As
(4)
其中 Ai ( i = 1 , 2 , … , s ) 就是 A |W 在基 (3) 下的 矩阵. 矩阵. 反之，如果线性变换 A 在基 I 下的矩阵是准 反之， 对角形 (4) ，则由 (3) 生成的子空间 Wi 是A - 子空间. 子空间. 由此可知， 由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为 不变子空间的直和是相当的. 不变子空间的直和是相当的.
变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在A 的子空间. 变换， 下 换句话说， 的像仍在 W 中，换句话说，对于 W 中任一向量 ξ 有 A ξ ∈ W，我们就称 W 是 A 的 不变子空间， 不变子空间， 简称 A - 子空间. 子空间.
二、举例
例 1 整个空间 V 和零子空间 { 0 }，对于每个 ，
那么， 那么， A 在这组基下的矩阵就具有下列形状
(1)
a11 ⋮ a k1 0 ⋮ 0
⋯ a1k ⋮ ⋯ akk ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0
a1,k+1 ⋮ ak,k+1 ak+1,k+1 ⋮ an,k+1
a1n ⋮ ⋯ akn A A2 = 1 O A . (2) ⋯ ak+1,n 3 ⋮ ⋯ ann ⋯
性质2 性质2
A 的属于特征值 λ0 的特征子空间 Vλ0
的不变子空间. 也是 A 的不变子空间
性质3 性质3 A - 子空间的和与交还是 A - 子空间 子空间.
四、子空间为 A - 子空间的条件
的子空间， 定理1 定理1 设 W 是线性空间 V 的子空间，且 W = L(α1 , α2 , … , αs ) . 则 W 是 A - 子空间的充分必要条件是
不变子空间的交还是不变子空间证明
不变子空间的交还是不变子空间证明【编号一】不变子空间的交与不变子空间的证明【引子】在线性代数中，矩阵的不变子空间是指在矩阵变换下保持不变的向量空间或子空间。
矩阵的不变子空间具有重要的数学和应用价值。
在本文中，我们将探讨不变子空间的交以及如何证明一个子空间是不变的。
【编号二】不变子空间的交要理解不变子空间的交，我们首先需要了解两个概念：矩阵的不变子空间和子空间的交。
（一）矩阵的不变子空间对于一个n×n矩阵A，如果存在一个非零向量v使得Av = λv，其中λ是一个标量，则向量v所张成的向量空间称为A的特征子空间或特征空间。
特征空间是A的一个不变子空间，因为矩阵A作用在特征空间上的结果仍然在特征空间中。
（二）子空间的交设V和W是一个线性空间的两个子空间，则V和W的交集V∩W是指同时属于V和W的所有向量构成的集合。
交集仍然是一个子空间。
在研究矩阵的不变子空间时，我们会遇到不变子空间的交。
当两个矩阵的不变子空间的交非空时，即存在一个向量同时属于这两个矩阵的不变子空间，我们称此向量属于这两个不变子空间的交。
【编号三】证明不变子空间如何证明一个子空间是不变的呢？下面，我们将介绍一种常见的证明方法：使用矩阵的性质和线性代数的基本定理。
（一）使用矩阵的性质对于一个矩阵A和一个子空间V，如果对于每个向量v∈V，都有Av∈V，则V是A的一个不变子空间。
这是因为矩阵A作用在不变子空间V上的结果仍然在V中。
（二）使用线性代数的基本定理根据线性代数的基本定理，任何一个m×n的矩阵A可以通过初等行变换化为行简化阶梯形矩阵R。
在行简化阶梯形矩阵中，非零行的每一行都有一个主元，而主元所在的列的其它元素都为零。
如果我们想证明一个子空间V是矩阵A的不变子空间，我们可以使用以下步骤：1. 选取子空间V的一组基向量{v₁, v₂, ..., vₖ}。
2. 将这组基向量按列排成矩阵B。
3. 计算AB，并得到矩阵R。
4. 观察R的形式，如果R中的每一列都满足主元所在列的其它元素都为零的条件，那么可以证明子空间V是矩阵A的不变子空间。
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证明不变子空间的方法(一)
证明不变子空间的方法
1. 线性变换的定义
•线性变换是指具有以下两个性质的函数：
–保持向量加法：对于任意向量u和v，有T(u+v) = T(u) + T(v)
–保持标量乘法：对于任意标量k和向量u，有T(ku) = kT(u)
2. 不变子空间的定义
•不变子空间是指在进行线性变换后仍然保持不变的向量空间。
即对于线性变换T，如果向量空间V的任意子空间U在作用T后仍
然保持不变，即T(U) ⊆ U，则U是V的一个不变子空间。
3. 证明不变子空间方法
利用定义证明
•通过直接应用线性变换的定义，可以证明对于给定的子空间U，线性变换T(U)是U的不变子空间。
要完成证明，需要分别证明两个条件：
1.对于U中的任意向量u，都有T(u) ∈ U
2.对于U中的任意向量u和标量k，都有kT(u) ∈ U
使用基向量证明
•如果给定子空间U的一个基向量组B={v1, v2, …, vn}，可以通过证明线性变换T对于基向量组B中的向量的作用结果仍然在U
中来证明T(U)是U的不变子空间。
利用零空间证明
•使用线性变换的零空间可以证明该线性变换对于某些子空间的作用结果是零向量或仅包含零向量，从而得出其不变子空间的证明。
利用子空间的性质证明
•利用子空间的性质，可以通过证明线性变换T对于某些子空间的作用结果满足子空间的性质来证明其为不变子空间。
4. 总结
•通过利用定义、基向量、零空间和子空间性质等方法，我们可以证明不变子空间的存在。
这些证明方法可以根据具体问题的需求
和特点来选取，使用不同的方法能够更加有效地证明不变子空间
的存在性。