小波神经网络原理及其应用
小波神经网络在手写数字识别中研究与应用
ｌ 引言
字符识别 技术是 模式 识别 领域研 究 的热点 问题 ， 目的是 利用计算 机对 印刷或手 写字符 进行 自动识 别 和分类 。数 字识 别是字符 识别领 域 的一个 重要 分支 ，在 邮件 自动分 拣 、银 行 票据 处理 、财 务账单 处 理等 方 面有很 高 的应 用价 值 。 目前 ， 手写数字 识别 的方法 主要 有 ：模板 匹配法 、逻 辑推理 法 、模 糊 判别 法 和神经 网络法 等 。现行 的识 别技 术存 在 误识 率 高 、 识 别速度 慢等 问题 ，因此 ，设 计速度 快 、精度 高 的数 字识 别
系统 是 努 力 的 目标 。
再对 （ ｔ ）进行伸缩 与平 移变换 ，可以得到小波基函数。
（
式 中 ，ａ 为尺度伸 缩因子 ，ｂ为 时间平移 因子 ，ａ ，ｂ∈Ｒ，
ａ≠ ０。
小 波分析 中所用 到 的小波 函数具 有多样 性 ，常用 的小 波 函数有 Ｈａ 小 波 、Ｍｏｅ 小波 、 Ｍ ｘｃｎ小 波 （ ｒ ｒ ｒｔ ｅｉａ 简称 Ｍａｒ ｒ 小 波 ） ａｂ ｃｉｓ 波 （ 、Ｄ ｕ ｅｈｅ 小 简称 ｄ ｂ小波 ）等 ，在 此设计 中选 用 Ｍｏｌ 小波 函数作 为神 经网络隐层的激励 函数。 ｒｔ ｅ
神 经 网络 技术是 人工 智能研 究领 域 的一个 重要分 支 ，它
具 有 自组 织 、 自学习 、分 布式存 储和 并行 处理 等特点 ，广 泛 应用在模式识别 、 自动控制 和专 家系统等方面 。 对数 字识别 技术详 细研 究 的基础 上 ，提 出将 小波 神经 网 络应用 于手写数字识别技术 中 ，克服 了传 统 Ｂ Ｐ算法容易 陷入 局部极小点和 收敛速度慢等 缺点 ，提高了识别速度和识别率 。
神经网络的原理和应用
神经网络的原理和应用神经网络，是一种模拟生物神经系统、具有学习和适应功能的计算模型。
神经网络模型的基本组成部分是神经元，通过有向边连接起来构成网络。
神经网络模型可以应用于图像识别、语音识别、自然语言处理、智能控制等领域，吸引了广泛的研究和应用。
一、神经网络的基本原理1.神经元模型神经元是神经网络的基本单元，也是神经网络的最小计算单元。
与生物神经元类似，神经元将多个输入信号加权求和，并通过激活函数处理后输出到下一层神经元。
常用的激活函数有Sigmoid函数、ReLU函数、Tanh函数等。
2.前馈神经网络前馈神经网络是一种最基本的神经网络模型，输入层接受输入信号，输出层输出处理结果，中间层称为隐层。
每个节点都与下一层节点相连接，信息仅从输入层流向输出层。
前馈神经网络可以用于分类、回归、预测等问题。
3.反向传播算法反向传播算法是神经网络训练中常用的算法之一。
神经网络训练的目标是通过优化权重参数使得网络输出与期望输出尽可能接近。
反向传播算法通过反向传递误差信号更新权重，使得误差逐渐减小。
反向传播算法的优化方法有随机梯度下降、自适应学习率等。
二、神经网络的应用1.图像识别图像识别是神经网络应用的一个重要领域，常用的应用有人脸识别、车牌识别、物体识别等。
神经网络可以通过反复训练调整权重参数，识别出图像中的特征，并进行分类或者抽取特征。
2.自然语言处理自然语言处理是指对人类语言进行计算机处理的领域。
神经网络在机器翻译、文本分类、情感分析等领域有着广泛的应用。
神经网络可以处理句子、段落等不同层次的语言特征，从而提高自然语言处理的效果。
3.智能控制智能控制是指通过建立控制系统，从而优化控制效果，提高生产效率。
神经网络在智能控制领域有着广泛的应用。
神经网络可以学习和自适应地优化控制系统的参数，从而提高稳定性和控制精度。
三、神经网络的未来随着人工智能技术的不断进步，神经网络将发挥越来越重要的作用。
未来，神经网络将继续发展和优化，实现更加精准和智能的应用。
小波神经网络简介
(2) 小波变换与神经网络的融合 小波变换与神经网络的融合，也称紧致型结合
小波的发展过程
小波变换的发展的历史过程 Fourier变换
Gobor变换(加窗Fourier变换)
小波变换
小波变换的时间窗和频率窗
给出了信号在时间窗
内的局部信息
给出了信号在频率窗
内的局部信息
时频窗的面积始终不变， 对于检测 高频信号时a 自适应变为(a>0，a较小的时候)使时间窗变窄，对于检测 低频信号时使时间窗变宽即可，这样可以更有效的获取 局部信息
小波神经网络的仿真
wavenet( )，可以很方便地得到网络的仿真结果。
指令格式： g = wavenet(x, THETA)
谢谢观赏
小波神经网络的优点
(1)小波变换通过尺度伸缩和平移对信号进行多尺度分析，
能有效提取信号的局部信息 (2)神经网络具有自学习、自适应和容错性等特点，并且 是一类通用函数逼近器。 (3)小波神经网络的基元和整个结构是依据小波分析理论 确定的，可以避免BP神经网络等结构设计上的盲目性 (4)小波神经网络有更强的学习能力，精度更高对同样的 学习任务，小波神经网络结构更简单，收敛速度更快
小波神经网络简介
什么是小波神经网络？
小波神经网络（Wavelet Neural Network, WNN） Zhang Qinghua等1992年正式提出小波神经网络的概念 小波变换：一种数学分析的工具 小波变换+人工神经网络=小波神经网络
小波网络的结构形式
(1) 小波变换与神经网络的结合 小波变换与神经网络的结合，也称松散型结合 应用举例:基于小波分析的多RBF神经网络轧制力设定模型 由于轧制力信号影响因素多，关联复杂，难以建立精确 的机理模型，所以应用小波多分辨率方法，将原信号 分解重构成不同影响因素的子信号。
小波变换与神经网络技术的滋养特征提取及识别应用
小波变换与神经网络技术的滋养特征提取及识别应用近年来，小波变换与神经网络技术已经在图像、音频、信号等领域广泛应用，特别是在特征提取和识别方面取得了许多重要进展。
本文将介绍小波变换和神经网络技术的原理及其在特征提取和识别中的应用。
一、小波变换原理小波变换是一种时间-频率分析方法，它将时域信号分解成不同尺度和不同频率的子信号，可以帮助我们更好地理解信号的局部特征。
在小波分析中，小波函数是一种长度有限的函数，它具有自相似性、局部化和可变性等特点。
小波变换的基本过程是将原始信号分解成一组小波系数，这些系数包含了信号在不同尺度上的特征信息，包括低频和高频成分。
其中，低频成分代表信号的整体趋势，高频成分反映了信号的局部细节。
二、神经网络技术原理神经网络是一种模拟人类神经系统运作的计算模型。
它由大量简单的单元组成，这些单元相互连接并通过学习来实现特定任务。
神经网络可以通过多次迭代来优化网络连接权重以及神经元的激活函数，从而得到更好的分类和识别效果。
在神经网络中，网络的输入层接收原始数据，隐含层和输出层则通过多层非线性变换将输入数据映射到具有特定意义的特征空间中。
神经网络的输出层通常表示分类或者识别结果。
三、小波变换与神经网络技术在特征提取中的应用小波变换和神经网络技术已经被广泛应用于图像、音频、信号等领域，特别是在特征提取和识别方面。
以下是一些典型应用案例：1.图像特征提取在图像处理中，小波变换可以将图像分解为不同的频率和尺度。
通过选取合适的小波函数和分解层数，可以提取出图像的不同特征，如边缘、纹理等。
这些特征可以被用于分类、识别和双目视觉等应用中。
神经网络可以通过卷积层和全连接层等深度学习结构学习这些特征，并将其映射到更高层次的特征空间中。
这些特征被广泛应用于计算机视觉任务，如图像分类、目标检测和物体识别等。
2.音频特征提取在音频处理中，小波变换可以将音频信号分解为不同频率的子信号。
这些子信号可以用于声音识别、语音合成、语音分析等应用。
小波神经网络（WNN）
⼩波神经⽹络（WNN）⼈⼯神经⽹络（ANN）是对⼈脑若⼲基本特性通过数学⽅法进⾏的抽象和模拟，是⼀种模仿⼈脑结构及其功能的⾮线性信息处理系统。
具有较强的⾮线性逼近功能和⾃学习、⾃适应、并⾏处理的特点，具有良好的容错能⼒。
⼈⼯神经元神经元是构成神经⽹络的最基本单元。
要想构造⼀个⼈⼯神经⽹络系统，⾸要任务是构造⼈⼯神经元模型。
⼀个⼈⼯神经⽹络的神经元模型和结构描述了⼀个⽹络如何将它的输⼊⽮量转换为输出⽮量的过程。
⼀个神经元有两个输⼊：输⼊向量p，阈值b，也叫偏差。
输⼊向量p通过与它相连的权值分量w相乘，求和后，形成激活函数f(.)的输⼊。
激活函数的另⼀个输⼊是神经元的阈值b。
权值w和输⼊p的矩阵形式可以由w的⾏⽮量以及p的列⽮量来表⽰：神经元模型的输出⽮量可以表⽰为：激活函数是⼀个神经元及⽹络的核⼼。
激活函数的基本作⽤是：1、控制输⼊对输出的激活作⽤；2、对输⼊、输出进⾏函数转换；3、将可能⽆限域的输⼊变换成指定的有限范围内的输出。
激活函数的常⽤类型：⼩波（wave/let）：波-震荡，⼩-衰减速度⽐较快。
⼩波分析具有多分辨分析的特点，是⼀种窗⼝⼤⼩固定不变但其形状可以改变的分析⽅法，被称为信号的显微镜。
⼩波分析的种类：Haar⼩波规范正交基、Morlet⼩波、Mallat算法、多分辨分析、多尺度分析、紧⽀撑⼩波基、时频分析等。
⼩波神经⽹络（WNN）集⼈⼯神经⽹络和⼩波分析优点于⼀⾝，即使⽹络收敛速度快、避免陷⼊局部最优，⼜有时频局部分析的特点。
WNN是将神经⽹络隐结点的S函数由⼩波函数来代替，相应的输⼊层到隐含层的权值及隐含层的阈值分别由⼩波函数的尺度伸缩因⼦和时间平移因⼦所代替。
小波变换与神经网络的结合在图像分析中的应用
小波变换与神经网络的结合在图像分析中的应用随着科技的不断发展，数字化技术在图像处理中的应用越来越广泛。
在图像分析领域中，小波变换和神经网络是两个重要的工具，它们可以互相结合，最终帮助人们更好地进行图像分析。
本文将探讨小波变换和神经网络的结合在图像分析中的应用。
一、小波变换的介绍小波变换是一种基于时间和频率分析的变换方法，它可以将信号分解为不同频率成分和时域特征。
相比于傅里叶变换，小波变换更适合处理非稳态信号，可以提取出更为准确的信息。
在图像分析中，小波变换可以用于图像压缩、去噪、边缘检测等方面。
通过分解和重构，小波变换可以将图像压缩到更小的尺寸，同时保留图像的主要信息。
此外，小波变换可以减少噪声在图像中的影响，提高图像的质量。
在边缘检测方面，小波变换可以定位图像中的边缘，并将其突出显示。
二、神经网络的介绍神经网络是一种基于生物神经系统的模拟技术，它通过多个节点（神经元）之间的连接，来实现信息的处理。
神经网络可以设置多个隐藏层，根据数据集不断进行学习，提高其对目标的识别准确性。
在图像分析中，神经网络可以用于图像识别、物体检测等方面。
通过对大量数据的学习，神经网络可以判断图像中是否存在目标物体，并将其与其他物体区分开来。
此外，神经网络还可以对图像进行分类，例如将不同的动物、车辆等分类出来。
三、小波变换与神经网络的结合小波变换和神经网络在图像分析中都有重要的作用，它们的结合可以更全面地分析图像。
以下是小波变换与神经网络结合的一些应用。
1. 基于小波变换的图像预处理在使用神经网络进行图像分析之前，需要对图像进行预处理。
由于神经网络对噪声、模糊等干扰比较敏感，因此需要使用小波变换来对图像进行去噪、边缘检测等处理，以提高神经网络的准确性。
2. 基于小波变换的神经网络训练方法神经网络的识别准确性与其所学习的数据集的质量有关。
在训练神经网络时，可以采用小波变换来对数据集进行压缩，从而减少神经网络的训练时间和计算量，提高训练效率。
控制系统的小波神经网络控制方法
控制系统的小波神经网络控制方法随着科技的发展和应用需求的增加，控制系统在各个领域中扮演着重要的角色。
而小波神经网络作为一种新兴的控制方法，在控制系统中也展现出了广泛的应用前景。
本文将介绍控制系统中的小波神经网络控制方法，并探讨其在实际应用中的效果和优势。
第一部分：小波神经网络的基本特点小波神经网络是一种将小波分析和神经网络相结合的控制方法。
其基本特点有以下几个方面：1. 非线性能力强：小波神经网络通过神经元之间的连接和权值的调整，可以实现对非线性系统的建模和控制。
2. 适应性调整能力好：小波神经网络具有自动学习和适应环境变化的能力，可以根据实际情况自动调整网络的参数。
3. 高效性：小波神经网络采用了小波分析的方法，可以对信号进行多尺度表示，提高了系统的控制效果和响应速度。
第二部分：小波神经网络控制方法的步骤小波神经网络的控制方法通常包括以下几个步骤：1. 数据采集和预处理：首先需要采集控制系统的输入和输出信号，并对其进行预处理，去除噪声和异常值。
2. 网络结构设计：根据实际需求和系统特点，设计小波神经网络的结构，包括神经元的数量和各层之间的连接关系。
3. 参数设置和初始化：设置网络的参数，包括学习率、权值范围等，并进行初始化。
4. 训练网络：利用采集到的数据对小波神经网络进行训练，通过不断调整神经元之间的连接权值，使网络输出接近于期望输出。
5. 模型验证和调整：训练完成后，对网络进行验证和调整，确保其在实际环境中的控制效果和稳定性。
6. 实时控制：将训练好的小波神经网络应用于实际控制系统中，实现对系统的实时控制和监测。
第三部分：小波神经网络控制方法的实际应用小波神经网络控制方法在各个领域中都有广泛的应用。
以下是几个典型的实际应用案例：1. 智能交通系统：小波神经网络可以应用于智能交通系统中的交通流量控制和优化，提高道路通行效率和交通安全性。
2. 机器人控制：小波神经网络可以应用于机器人控制系统中，实现对机器人的智能导航和任务执行。
小波神经网络
0.5
0
y
-0.5
-1 -1
-0.5
0 x
0.5
1
图8 逼近结果(虚线为函数f, 实线为逼近) M=9
23
对一维函数的逼近仿真
1
——逐次剔除小波选择法 (方法2)
0.5
0
y
-0.5
-1 -1
-0.5
0 x
0.5
1
图8 逼近结果(虚线为函数f, 实线为逼近) M=9
24
对一维函数的逼近仿真
1
——逐次选入小波选择法 (方法3)
0.5
0
y
-0.5
-1 -1
-0.5
0 x
0.5
1
图8 逼近结果(虚线为函数f, 实线为逼近) M=3
25
三种小波选择方法比较
基于 OLS 小波选择法(方法 1) 逐次剔除小波选择法(方法 2) 逐次选入小波选择法(方法 3)
好 较好 不理想
故以下仿真实验采用 OLS 小波选择法
n 2
xb )： a
a R , b R n
5
1. 小波神经网络
─ 标架（Frame)
标架 设 H 为一 Hilbert 空间, { j } jZ 为 H 中的一个 函数序列。 若对任一 f H , 存在0 A B , 使得下述 不等式成立:
A f
2
f , j B f
1 N 2 MSE 为模型的均方误差: MSE [ yk fˆ ( xk )] N k 1
19
2. 基于小波神经网络的非线性建模
1
0.5
0
-0.5 -5
0
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2.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
20
2.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
小波逆变换 如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换 的逆变换是存在的
1 x(t ) C
1 C
0
CWTf (a, b) a ,b (t )
1 2
1 dtda 2 a
×
x(t)
X
连续小波---运算过程示意图
a 50
(s,t)
Inner product
×
x(t)
X
5.小波变换的应用领域
事实上小波分析的应用领域十分广 泛，它包括：数学领域的许多学科；信 号分析、图象处理；量子力学、理论物 理；军事电子对抗与武器的智能化；计 算机分类与识别，音乐与语言的人工合 成；医学成像与诊断；地震勘探数据处 理；大型机械的故障诊断等方面。
0
CWTf (a, b) a (
t b 1 ) dtda a a2
21
2.小波变换的基本原理与性质
离散小波变换DWT（ discrete wavelet transform，DWT ） 定义 对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间进行均 匀离散取值 （要求采样率满足尼奎斯特采样定理）
(a ) 1 0 其频域窗口中心为： a , a
窗口宽度为： 信号在频域窗内：[
a , ( ) a e
1 a
1 1 1 1 0 , 0 ] a 2a a 2a
从上面的时频域的讨论可见，连续小波的时频域窗口 中心及其宽度都随a的变化而伸缩，如果我们称△t· △ ω为窗口函数的窗口面积，则： t a ,
12
假定小波母函数窗口宽度为△t，窗口中心为t0，则相
应可求出连续小波的窗口中心为at0+τ，窗口宽度为a· △t。 即信号限制在时间窗内：[at0+τ- △t ·a/2, at0+τ+△t · a/2] 为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的连续小波的傅立叶 1 变换为： 2 j
同样，对于小波母函数的频域变换，其频域窗口中心
sin(t)---a=1 1 0 -1 1 1 0 -1 -10 1 0 -1 -10 1 0 -1 -10 时间 t morlet---a=1
0
2 4 6 sin(2t)---a=1/2
8
-5 0 5 morlet---a=1/2
10
幅度 A
0 -1 1 0 -1
0
2 4 6 sin(4t)---a=1/4
4
1.小波变换与傅里叶变换的比较
（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系 数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频 率指标j， 在不同时刻 k，小波系数也是不同的。 （2）克服第二个不足：由于小波函数具有紧支撑 的性质即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同 时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息。 从而克服了上面所述的第二个不足。 （3）克服第三个不足：通过与加窗傅立叶变换的 “时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的 “时间—频率窗”的笛卡儿积。小波变换的“时间--频 率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号 时变宽。这正是时间--频率分析所希望的。根据小波变 换的 “时间—频率窗” 的宽度可变的特点，为了克服 上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频 5 信息，问题就迎刃而解了。
Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑.
连续小波---运算过程示意图
0
a 1
(s,t)
Inner product
×
x(t)
X
连续小波---运算过程示意图
50 a 1
(s,t)
Inner product
×
x(t)
X
连续小波---运算过程示意图
100
a 1
8
-5 0 5 morlet---a=1/4
10
0
2
4
6
8
-5
0
5
10
16
2.小波变换的基本原理与性质
17
2.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
平移因子对小波的作用
平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析， 伸缩因子通过收缩和伸张小波，使得每次遍历分析实 现对不同频率信号的逼近
18
3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
常用的基本小波
1. Haar小波
1 (t ) 1 0 0 t 1/ 2 1/ 2 t 1 其它
ˆ ( ) i
4
e i / 2 sin 2 / 4
1
(t )
0
1 2
1
1
常用的基本小波
2. Daubechies小波
D4尺度函数与小波
连续小波变换实现过程 首先选择一个小波基函数，固定一个尺度因子，将它 与信号的初始段进行比较 ； 通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度 下的小波与所对应的信号段的相似程度）； 改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个 步骤完成一次分析； 增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析； 循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。
2.小波变换的基本原理与性质
小波是什么？ 小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时 间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味 着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变 的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。
6
2.小波变换的基本原理与性质
小波的“容许”条件 用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件 的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波 变换的可逆性。
数学中的显微镜小波
小波神经网络原理及其应用 ——短时交通流量预测
1
主要内容
1.小波变换与傅里叶变换的比较 2.小波变换的基本原理与性质 3.几种常用的小波简介 4.小波变换的应用领域 5.小波分析应用前景 6.小波变换的去噪应用 7.小波神经网络
2
1.小波变换与傅里叶变换的比较
傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里 程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世 纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得 到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是 傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重 要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有 物理意义。遗憾的是，这种理论具有一定的局限性。 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全 部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率 成分的变化情况。 傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变 成分。 由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足， 3 这就导致了小波分析。
1.4 1.2 1
1 2 1.5
0.8 0.6 0.4 0.2 0
-1 0.5 0 -0.5
-0.2 -0.4
-1.5 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
D6尺度函数与小波
常用的基本小波
3. Morlet小波
(t ) e
t 2 / 2 i0t
e
ˆ ( ) 2 e
( 0 )2 / 2
1.小波变换与傅里叶变换的比较
小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的， 但小波分析与傅里叶分析存在着极大的不同，与 Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的 局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸 缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细 化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。 小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信 号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。
(s,t)
Inner product
×
x(t)
X
连续小波---运算过程示意图
150
a 1
(s,t)
Inner product
×
x(t)
X
连续小波---运算过程示意图
200
a 10
(s,t)
Inner product
×
x(t)
X
连续小波---运算过程示意图
a 10
8
3.小波变换的基本原理与性质
为什么选择小波 小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不 同于FT方法，与STFT方法比较具有更为明显的优势
9
2.小波变换的基本原理与性质
小 波 变 换
幅度
时间
尺度
时间
10
2.小波变换的基本原理与性质
小波变换的定义： 小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频 率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时 频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口 大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可 以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较 低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具 有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于 分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波 变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号 时，小波变换具有对信号的自适应性，也是是一种优 于傅里叶变换和窗口傅里叶变换的信号处理方法。
a ,
1 a t a
可见，连续小波基函数的窗口面积不随参数的变化而
变化。
2.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
FT
信号
连续正弦波或余弦波
傅立叶分解过程
CWT
信号
不同尺度和平移因子的小波
小波分解过程
15
2.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析